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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 16:15:50 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 16:15:50 (GMT)
commit0239da2771081f91eb90be437c34e55036515a22 (patch)
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choose ⤳ \binom{}{}
cf. Package amsmath Warning: Foreign command \atopwithdelims
-rw-r--r--chapitres/KASW.tex6
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex6
-rw-r--r--chapitres/corps-c1.tex4
-rw-r--r--chapitres/spectre.tex4
-rw-r--r--config/macros.tex4
5 files changed, 14 insertions, 10 deletions
diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex
index b262f4b..1c5fc10 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -966,7 +966,7 @@ nilpotent du $k$-espace vectoriel $K$ de dimension $p$.
Le noyau de $𝔫$ n'est autre que $\Ker(σ-\Id_K)=\Fix_Π(K)=k$ : c'est une
droite\footnote{On peut en déduire que l'indice de nilpotence de $n$ est exactement $p$.
Ceci résulte également du fait qu'une relation
-$0=(σ-\Id_K)^r=∑₀^r {r \choose i} σ^i $ (où $r<p$) contredirait
+$0=(σ-\Id_K)^r=∑₀^r \binom{r}{i} σ^i $ (où $r<p$) contredirait
l'indépendance linéaire des éléments de $Π$ (\refext{CG}{indépendance linéaire
des automorphismes}).}. La dimension de $K$ sur $k$ étant $p ≥ 2$,
il en résulte qu'il existe un élément $α$ de $K$ tel que $𝔫²(α)$
@@ -1628,12 +1628,12 @@ alors qu'en caractéristique $p>0$, on a $(1-α X^{n/p})^p=1-α^p X^n$.
\end{démo}
\subsubsection{}Soit $n ∈ A^×$. Le groupe $W_∞(A)$ n'a pas de $n$-torsion car
-l'égalité $(1+f)^n=1$ se réécrit $nf+{n \choose 2}f²+\cdots=0$ d'où $f=0$
+l'égalité $(1+f)^n=1$ se réécrit $nf+\binom{n}{2}f²+\cdots=0$ d'où $f=0$
(regarder le terme de plus bas degré de $f$.
D'autre part, le groupe $W(A)$ est $n$-divisible : tout élément
$1+f$ de $W_∞(A)$ s'écrit — de manière unique d'après ce qui précède —
sous la forme $(1+g)^n$. Il suffit en effet de poser
-$g=∑_{i>0} {1/n \choose i } f^i$. Ainsi, la structure de groupe abélien,
+$g=∑_{i>0} \binom{1/n}{i} f^i$. Ainsi, la structure de groupe abélien,
c'est-à-dire de $𝐙$-module sur $W_∞(A)$ s'étend (de façon unique) en
une structure de $𝐙[1/n]$-module. Soit $p$ un nombre premier ou bien égal
à un. Notons $𝐙_{(p)}$ le sous-anneau $𝐙[1/n:(n,p)=1]$ de $𝐐$. (Par exemple,
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 7053ec0..95fb39c 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -294,7 +294,7 @@ Soit $f ∈ 𝐂[X]$ un polynôme de degré $n$. Les inégalités suivantes so
\begin{démo}
(i) Soit $r ∈ [0,n]$. On a $a_{n-r} = ±a_n∑_{I: \# I=r} α_J$,
où $α_I=∏_{i ∈ I} α_i$. Par définition, on a $|a_n||α_I| ≤ M(f)$.
-Il en résulte que $|a_r|$ est majoré par ${n \choose r} M(f)$ puis $‖ f ‖₁ = ∑_r |a_r| ≤ 2^n M(f)$.
+Il en résulte que $|a_r|$ est majoré par $\binom{n}{r} M(f)$ puis $‖ f ‖₁ = ∑_r |a_r| ≤ 2^n M(f)$.
(ii) Commençons par observer que pour tout polynôme $g$ et
tout $α ∈ 𝐂$, on a l'égalité $‖(X-α)g‖₂ = ‖(\sur{α}X-1)g‖₂$.
En effet, si l'on écrit $g = ∑_{i ∈ 𝐙} b_i X^i$, on a
@@ -324,7 +324,7 @@ M(f)$. D'autre part, on a $‖ g ‖_∞ ≤ ‖ g ‖₁$ et $‖ g ‖₁ ≤
Il n'est pas difficile d'améliorer un peu la borne
ci-dessus : si $g=b_dX^d+\cdots+b₀$ et $f=a_nX^n+\cdots+a₀$ sont comme dans l'énoncé, on a :
\[
-|b_k| ≤ {d-1 \choose k} M(f) + {d-1 \choose k-1} |a_n|.
+|b_k| ≤ \binom{d-1}{k} M(f) + \binom{d-1}{k-1} |a_n|.
\]
Pour la vérifier, on peut supposer $g=f$.
Dans ce cas, la majoration est valable sans hypothèse
@@ -342,7 +342,7 @@ multiplié par la $k-1$-ième fonction symétrique
élémentaire en les $x₁,…,x_{d-2}$.
Il en résulte que $σ_k$ prend sa valeur maximale
lorsque $x₁=…=x_{d-1}$ et $x_d=M$, auquel
-cas elle vaut ${d-1 \choose k-1} M + {d-1 \choose k}$.
+cas elle vaut $\binom{d-1}{k-1} M + \binom{d-1}{k}$.
On fait alors le changement d'indice : $k ↔ d-k$.
\end{remarque2}
diff --git a/chapitres/corps-c1.tex b/chapitres/corps-c1.tex
index 30d3eab..286dde5 100644
--- a/chapitres/corps-c1.tex
+++ b/chapitres/corps-c1.tex
@@ -1010,8 +1010,8 @@ sur $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} n_i = q^2$. Comme chacune des $q+1$
tangentes à $E$ contient $q+1$ points dont $q$ ne sont pas situés
sur $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} i\, n_i = q(q+1)$. Comme chaque paire
de tangentes distinctes définit un unique point d'intersection situé
-en-dehors de $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} {i \choose 2} \, n_i =
-{q+1 \choose 2}$. En combinant linéairement ces formules, on a
+en-dehors de $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} \binom{i}{2} \, n_i =
+\binom{q+1}{2}$. En combinant linéairement ces formules, on a
$\sum_{i=0}^{q+1} (i-1) (q+1-i) \, n_i = 0$. Puisque $q$ est pair,
$\#E$ est impair, donc, si $R$ est un point non situé sur $E$, il doit
exister une droite passant par $R$ ne contenant qu'un seul point
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index 2ae0e4c..55dc085 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -193,8 +193,8 @@ Alors $I^N$ et $J^N$ sont étrangers.
\begin{démo}
Par hypothèse, $I+J=A$ ; il existe donc deux éléments $i∈I$ et $j∈J$ tels que
$i+j=1$. D'après la formule du binôme de Newton, l'élément $1=(i+j)^{2N}$ est la
-somme de $i'=∑_{α=0}^N \big({2N \choose α} j^α\big) i^{2N-α}∈I^N$ et
-de $j'=∑_{α=N+1}^{2N} \big({2N \choose α} i^{2N-α}\big) j^α∈J^N$.
+somme de $i'=∑_{α=0}^N \big(\binom{2N}{α} j^α\big) i^{2N-α}∈I^N$ et
+de $j'=∑_{α=N+1}^{2N} \big(\binom{2N}{α} i^{2N-α}\big) j^α∈J^N$.
On a donc $I^N+J^N=A$.
\end{démo}
diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex
index dd26145..7083dfe 100644
--- a/config/macros.tex
+++ b/config/macros.tex
@@ -183,6 +183,9 @@ end
% Symbole de Legendre
\newcommand{\Legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}
+%% macro pourrie à changer
+\renewcommand{\binom}[2]{\big(\begin{matrix}\scriptstyle #1 \\ \scriptstyle #2 \end{matrix}\big)}
+
% Quaternions
\def\quater#1#2{\left(\frac{#1}{#2}\right)_{\mathbf{H}}}
@@ -348,6 +351,7 @@ end
%% Macros générales
%%
+
%% Référence externe (chapitre #1, référence #2)
\newcommand\refext[2]{\textbf{#1}-\ref{#2}}