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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-02-21 17:25:26 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-02-21 17:25:26 +0100 |
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[Gröbner] Construction par récurrence de l'algèbre de décomposition universelle.
-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 57 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 436fac5..e0e012d 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1802,12 +1802,57 @@ $q_{d-i+1}$ ne fait intervenir que $Z_1,\ldots,Z_i$ et est unitaire de degré $d-i+1$ en $Z_i$. \end{proof} -\subsubsection{} Probablement, on peut vérifier que -pour tout anneau $k$ et tout polynôme unitaire -$f$, on a $E_{f,k}$ [algèbre de déc. universelle de $f$ -sur $k$, notations BBK] est $k$-isomorphe à $E_{f₁,A}$ où -$A=k[X]/f$ et $f₁=f(T)/(T-x) ∈ A[T]$. Du coup, par -récurrence on a $E_{f,k}$ libre de rang $d!$. \XXX +\begin{remarque2}\label{definition-recursive-algebre-de-decomposition-universelle} +On peut préférer la définition suivante de l'algèbre de décomposition +universelle d'un polynôme unitaire $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + +a_d \in k[X]$ (avec $k$ un anneau quelconque) par récurrence sur son +degré $d$ : si $d=0$ (de sorte que $f$ est le polynôme $1$) on définit +simplement l'algèbre de décomposition universelle de $f$ comme $k$ +lui-meme ; et si $d>0$, on note $K = k[X]/(f)$ l'algèbre de rupture de +$f$ et $x$ la classe de $X$ dans $K$ et $g = X^{d-1} + b_1 X^{d-2} + +\cdots + b_{d-1}$ le polynôme de $K[X]$ défini par $b_i = a_i + x +a_{i-1} + \cdots + x^{i-1} a_1 + x^i$ pour tout $1 \leq i \leq d-1$ +(de sorte que $f = (X-x) g$ comme il est facile de vérifier), et +l'algèbre de décomposition de $f$ sur $k$ est alors définie comme +celle de $g$ sur $K$. (Avec cette définition, le +corollaire \ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} est +clair.) + +Pour montrer que les deux définitions coïncident, c'est-à-dire pour +montrer que la propriété de récurrence qui vient d'être donnée est +bien vérifiée pour l'algèbre de décomposition universelle telle que +définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, on +utilise la proposition suivante (qui, si on appelle $Z_d$ plutôt que +$X$ la variable dans l'algèbre de rupture, exprime le fait que nos +deux présentations coïncident exactement) : +\end{remarque2} + +\begin{proposition2} +Soit $k$ un anneau et $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in k[X]$ +un polynôme unitaire de degré $d$. Alors l'idéal $I$ de +$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les $e_i(Z_1,\ldots,Z_d) - (-1)^i +a_i$ coïncide avec celui $J$ engendré par les $e_i(Z_1,\ldots,Z_{d-1}) +- (-1)^i b_i$ où $b_i = a_i + a_{i-1} Z_d + \cdots + a_1 Z_d^{i-1} + +Z_d^i$ et par $f(Z_d)$. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Convenons de noter $e_i^{[d]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_d)$ et +$e_i^{[d-1]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_{d-1})$. On a $e_i^{[d]} = +e_i^{[d-1]} + Z_d e_{i-1}^{[d-1]}$ et $a_i = b_i - Z_d b_{i-1}$ : donc +$(e_i^{[d]} - (-1)^i a_i) = (e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i) + Z_d +(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ --- ceci montre que les +$e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i$ engendrent les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$ (la +relation $f(Z_d)$ sert lorsque $i=d$ pour annuler le terme $b_d$), et +réciproquement par récurrence que les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$ +engendrent les $e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i$. Enfin, $f(Z_d)$ s'écrit +comme $\sum_{i=1}^d (-1)^{i+1} Z_d^{d-i} (e_i^{[d]}-(-1)^i a_i)$ grâce +à l'égalité $\sum_{i=1}^d (-1)^{i+1} Z_d^{d-i} e_i^{[d]} = Z_d^d$ (qui +est elle-même, si on ne la trouve pas évidente, une réécriture de +l'égalité $\mathfrak{F}_1(Z_1,\ldots,Z_d|Z_d) = 0$ contenue dans le +lemme \ref{lemme-modules-de-cauchy}). + +\XXX --- Cette démonstration est complètement pourrie. +\end{proof} \begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines} Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire |