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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-21 16:25:26 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-21 16:25:26 (GMT)
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[Gröbner] Construction par récurrence de l'algèbre de décomposition universelle.
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex57
1 files changed, 51 insertions, 6 deletions
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index 436fac5..e0e012d 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1802,12 +1802,57 @@ $q_{d-i+1}$ ne fait intervenir que $Z_1,\ldots,Z_i$ et est unitaire de
degré $d-i+1$ en $Z_i$.
\end{proof}
-\subsubsection{} Probablement, on peut vérifier que
-pour tout anneau $k$ et tout polynôme unitaire
-$f$, on a $E_{f,k}$ [algèbre de déc. universelle de $f$
-sur $k$, notations BBK] est $k$-isomorphe à $E_{f₁,A}$ où
-$A=k[X]/f$ et $f₁=f(T)/(T-x) ∈ A[T]$. Du coup, par
-récurrence on a $E_{f,k}$ libre de rang $d!$. \XXX
+\begin{remarque2}\label{definition-recursive-algebre-de-decomposition-universelle}
+On peut préférer la définition suivante de l'algèbre de décomposition
+universelle d'un polynôme unitaire $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots +
+a_d \in k[X]$ (avec $k$ un anneau quelconque) par récurrence sur son
+degré $d$ : si $d=0$ (de sorte que $f$ est le polynôme $1$) on définit
+simplement l'algèbre de décomposition universelle de $f$ comme $k$
+lui-meme ; et si $d>0$, on note $K = k[X]/(f)$ l'algèbre de rupture de
+$f$ et $x$ la classe de $X$ dans $K$ et $g = X^{d-1} + b_1 X^{d-2} +
+\cdots + b_{d-1}$ le polynôme de $K[X]$ défini par $b_i = a_i + x
+a_{i-1} + \cdots + x^{i-1} a_1 + x^i$ pour tout $1 \leq i \leq d-1$
+(de sorte que $f = (X-x) g$ comme il est facile de vérifier), et
+l'algèbre de décomposition de $f$ sur $k$ est alors définie comme
+celle de $g$ sur $K$. (Avec cette définition, le
+corollaire \ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} est
+clair.)
+
+Pour montrer que les deux définitions coïncident, c'est-à-dire pour
+montrer que la propriété de récurrence qui vient d'être donnée est
+bien vérifiée pour l'algèbre de décomposition universelle telle que
+définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, on
+utilise la proposition suivante (qui, si on appelle $Z_d$ plutôt que
+$X$ la variable dans l'algèbre de rupture, exprime le fait que nos
+deux présentations coïncident exactement) :
+\end{remarque2}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $k$ un anneau et $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in k[X]$
+un polynôme unitaire de degré $d$. Alors l'idéal $I$ de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par les $e_i(Z_1,\ldots,Z_d) - (-1)^i
+a_i$ coïncide avec celui $J$ engendré par les $e_i(Z_1,\ldots,Z_{d-1})
+- (-1)^i b_i$ où $b_i = a_i + a_{i-1} Z_d + \cdots + a_1 Z_d^{i-1} +
+Z_d^i$ et par $f(Z_d)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Convenons de noter $e_i^{[d]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_d)$ et
+$e_i^{[d-1]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_{d-1})$. On a $e_i^{[d]} =
+e_i^{[d-1]} + Z_d e_{i-1}^{[d-1]}$ et $a_i = b_i - Z_d b_{i-1}$ : donc
+$(e_i^{[d]} - (-1)^i a_i) = (e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i) + Z_d
+(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ --- ceci montre que les
+$e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i$ engendrent les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$ (la
+relation $f(Z_d)$ sert lorsque $i=d$ pour annuler le terme $b_d$), et
+réciproquement par récurrence que les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$
+engendrent les $e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i$. Enfin, $f(Z_d)$ s'écrit
+comme $\sum_{i=1}^d (-1)^{i+1} Z_d^{d-i} (e_i^{[d]}-(-1)^i a_i)$ grâce
+à l'égalité $\sum_{i=1}^d (-1)^{i+1} Z_d^{d-i} e_i^{[d]} = Z_d^d$ (qui
+est elle-même, si on ne la trouve pas évidente, une réécriture de
+l'égalité $\mathfrak{F}_1(Z_1,\ldots,Z_d|Z_d) = 0$ contenue dans le
+lemme \ref{lemme-modules-de-cauchy}).
+
+\XXX --- Cette démonstration est complètement pourrie.
+\end{proof}
\begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines}
Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire