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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-10-26 18:15:03 +0200
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--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -304,8 +304,8 @@ explicites sur un nombre fini de mesures locales décrites de manière
%Cf. Weil, commentaire sur [1967c] dans ses Œuvres, tome III.
%l'idée est que, sauf erreur, on intègre des fonctions
%dans $𝒮(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes
-%dans $𝒪_x$ [utile pour formule du produit] et que
-%$μ_{ψ_x}(𝒪_x)=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramène au cas
+%dans $𝒪_{K,x}$ [utile pour formule du produit] et que
+%$μ_{ψ_x}(𝒪_{K,x})=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramène au cas
%d'un produit fini.
Soit $G$ un groupe topologique localement compact et soit $φ$ une fonction
@@ -1137,7 +1137,7 @@ fonction sur $\chap{K}$.
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-(r+n(ψ))}}.
\]
-En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{-n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
+En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
@@ -1178,7 +1178,7 @@ des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une
gaussienne\footnote{On veut montrer que $∫_𝐑 e^{-2 i π xy}e^{-πx²}dx=e^{-πy²}$.
Or, le terme de gauche est une fonction $g$ de $y$ satisfaisant
l'équation différentielle $g′(y)=-2πyg(y)$. On a donc $g(y)=C e^{- π y²}$,
-où $C=∫_𝐑 e^{-π x²}dx>0$. Enfin, par Fubini et changement de variable, on a
+où $C=∫_𝐑 e^{-π x²}dx>0$. Enfin, par Fubini et changement de variables, on a
$C²=∫_{𝐑²} e^{-π (x²+y²)}dxdy= 2π ∫_{𝐑^+} e^{-π ρ²}ρdρ=1$.}.
Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
@@ -1471,6 +1471,7 @@ la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$.
(Les notations $β$ et $ψ$ ne sont pas standards.) %% standard ?
\subsubsection{}
+\label{équation-fonctionnelle-thêta}
Notons que la fonction $Γ ζ$ n'est \emph{a priori} définie
que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après
ce qui précède en une fonction méromorphe
@@ -2143,14 +2144,14 @@ On dispose donc d'une valeur absolue
privilégiée sur $K_x$, la valeur absolue normalisée,
que l'on note $|⋅|_x$, ainsi que sa restriction à $K$, qui
appartient à la classe $x$. Si $x$ est ultramétrique,
-on note également $𝒪_x=\{f ∈ K_x : |f|_x ≤ 1\}$
+on note également $𝒪_{K,x}=\{f ∈ K_x : |f|_x ≤ 1\}$
l'anneau de valuation de $K_x$, $𝔪_x$ son idéal maximal,
-$k_x=𝒪_x/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — appelé
+$k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — appelé
\emph{norme} de $x$ — et enfin $v_x$ la valuation $K_x ↠ 𝐙 ∪ \{+∞\}$.
-Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_x$,
+Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_{K,x}$,
on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$.
Il est parfois utile de faire la convention suivante :
-lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$.
+lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$.
% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »
@@ -2158,7 +2159,7 @@ lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$.
\subsubsection{}
\label{U-entiers}
Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
-qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
+qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
@@ -3846,7 +3847,7 @@ $K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}).
\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
On peut montrer que si $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
et $ω$ une forme différentielle non nulle,
-pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_x)=\{1\}$.
+pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_{K,x})=\{1\}$.
De plus, on peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
% cf. Tate, cours à Harvard.
\end{remarque2}
@@ -3858,7 +3859,7 @@ sur $K$. Pour chaque place $x$ de $K$, considérons la transformée
de Fourier locale autoduale $ℱ_{ψ_x}$ (\ref{Fourier et mesure locaux}).
Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x f_x$
appartient à l'espace de Bruhat-Schwartz (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
-les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$ :
+les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_{K,x}}$ :
cela résulte du fait que le niveau $n(ψ_x)$ sont presque tous nuls
(\ref{dual des classes de adèles}) et de la dualité locale (\ref{Fourier et
mesure locaux}, (i) et (v)). La fonction $ℱ_ψ(f):=
@@ -4315,116 +4316,155 @@ Cf. [Rosen, p. 247] \XXX
\subsubsection{Idèle différentiel}
\label{idèle différentiel}
Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère de $K_𝐀∕K$.
-Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux}
+Il résulte des généralités sur la transformée de Fourier
+locale (\ref{Fourier et mesure locaux})
que pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, il existe
un élément (non canonique) $d_{ψ,x} ∈ K_x^×$
tel que
\[
-μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}.
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1},
\]
-Lorsque $x$ est ultramétrique,
-ceci se produit si et seulement si
-la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale au niveau $n_x(ψ_x)$.
-Dans ce cas, on a la formule
+où $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ est la mesure de Haar auto-duale
+associée à $ψ_x$ sur le groupe additif du corps local $K_x$ et $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$ est la mesure
+de Tamagawa locale définie en \ref{mesures Tamagawa locales} sur ce même corps.
+Lorsque $x$ est ultramétrique, une condition nécessaire et suffisante
+sur $d_{ψ,x}$ est que sa valuation $x(d_{ψ,x})$ soit égale au
+niveau $n_x(ψ_x)$. En particulier (\ref{dual des classes de adèles}),
+$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
+idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \textbf{idèle différentiel attaché à $ψ$},
+\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
+
+\subsubsection{}Lorsque $x$ est une place ultramétrique,
+on a vu au cours de la démonstration de \ref{Fourier et mesure locaux}
+(orthogonalité des caractères) que la fonction
+$ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_{K,x}})$ est égale à la fonction $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}(𝒪_{K,x})
+𝟭_{𝒪_{K,x}^{⊥}}$, où $𝒪_{K,x}^{⊥}$ est l'orthogonal $\{ f ∈ K_x: ψ_x(f
+  𝒪_{K,x}) =\{1\}\}$
+de $𝒪_{K,x}$ relativement à l'accouplement défini par $ψ_x$.
+On en tire
\[
-ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* 𝟭_{𝒪_x},
+𝒪_{K,x}^{⊥}=d_{K,x}^{-1}𝒪_{K,x},
\]
-ou encore
+car on a l'égalité (\emph{loc. cit.}, (ii))
\[
-𝒪_x^{⊥}= d_{ψ,x}^{-1} 𝒪_x,
+ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_{K,x}})=|d_{K,x}|^{½}[× d_{K,x}]^* 𝟭_{𝒪_{K,x}}. \tag{$†$}
\]
-où $𝒪_x^{⊥}=\{ f ∈ K_x: ψ_x(f 𝒪_x) =\{1\}\}$
-est l'orthogonal relativement à l'accouplement défini
-par $ψ_x$.
-En particulier, $|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x
-∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
-idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \emph{idèle différentiel attaché à $ψ$},
-\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.
\subsubsection{}Lorsque la place $x$ est archimédienne,
il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} (v)
et que l'on peut prendre pour $d_{ψ,x}$ l'unique
-élément de $K_x^×$ tel que $ψ_x=[× d_{ψ,x}]^* 𝐞_{K_x}$.
-(Le caractère $𝐞_{K_x}$ est défini en \ref{caractère corps local}.)
+élément de $K_x^×$ tel que $ψ_x=[× d_{ψ,x}]^* 𝐞_{K_x}$,
+où le caractère $𝐞_{K_x}$ est défini en \ref{caractère corps local}.
+La formule $(†)$ admet l'analogue suivant :
+$ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$,
+où les fonctions gaussiennes $g_{K_x}$ sont comme
+en \ref{Mellin local archimédien}.
+D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère},
+elle est équivalente à la formule bien connue
+\[
+\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big)
+=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big)
+\]
+et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 π |z|²}\big)$.
\subsubsection{}
\label{Tamagawa et idèle différentiel}
-Par construction, on a l'égalité
+L'égalité locale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$
+entraîne l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
-En particulier, le module $|d_ψ|$ ne dépend pas du choix de $ψ$ ;
-on le notera dorénavant $|d_K|$.
+Le module $|d_ψ|$ ne dépendant pas du choix de $ψ$, on
+le note dorénavant $|d_K|$.
Il résulte des calculs effectués en \ref{Poisson implique RR}
et, en caractéristique nulle, de la proposition \ref{niveau et différente}
-— car on peut supposer $ψ=𝐞_K$ — que l'on a :
+%— car on peut supposer $ψ=𝐞_K$ —
+que l'on a :
\[
|d_K| =
\begin{cases}
\displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0.
+\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
+où $𝔡_K$ est la différente (\refext{AVD-D}{différente}) du corps
+de nombres $K$ sur $𝐐$ et $g$ est le genre (\ref{Riemann-Roch}) du corps de
+fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$.
\subsubsection{}
\label{Fourier de 1}
-Lorsque $K$ est un corps de fonctions, on a
-\[
-ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭,
-\]
-où $𝟭$ est la fonction introduite en \ref{Poisson implique RR}.
-Elle s'obtient à partir de son analogue local par produit.
-Cette formule est également valable dans le cas des corps de nombres
-si l'on considère la fonction
+Soit $K$ un corps global et posons
\[
-𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠
-\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
+𝟭= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
+g_{K_x}\big).
\]
-Il suffit pour cela d'établir l'égalité, pour chaque place
-archimédienne $x$ de $K$ : $ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$.
-D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère},
-on peut supposer $ψ_x=𝐞_{K_x}$, de sorte qu'il faut montrer
-l'égalité
+Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on
+a la formule (globale)
\[
-\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big)
-=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big)
+ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭.
\]
-et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=g_𝐂$.
+Cette égalité est le pendant adélique de l'équation fonctionnelle
+$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}.
+Elle nous servira également à établir les équations fonctionnelles des
+fonctions $ζ$ de corps globaux.
\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
-Compte tenu de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$,
-il résulte \ref{Tamagawa et idèle différentiel} que l'on a :
-\[
-μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
+Pour toute mesure de Haar $μ$ sur $K_𝐀$, notons ici
+$\sur{μ}$ l'unique mesure de Haar sur $K_𝐀/K$
+telle que $μ$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients})
+de $\sur{μ}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$.
+Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$
+(\ref{Fourier adélique}, (i)), et $μ^{\mbox{\minus
+$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
+(\ref{Tamagawa et idèle différentiel}), on a :
+\[
+\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
=
\begin{cases}
\displaystyle √{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0.
+\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
-
+où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+est la mesure de Haar sur $K_𝐀$ produit
+restreint des mesures locales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$.
+(Lorsque $K$ est un corps de fonctions, c'est l'unique mesure de Haar pour laquelle
+le compact $∏_x 𝒪_{K,x}$ est de mesure $1$.)
Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
-\subsubsection{Analogue multiplicatif}
-
-[...]
-
\begin{théorème2}
-Si $K$ est un corps de nombres,
-\[
-μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
-\]
-sinon
+Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines
+de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de
+Picard. Alors,
+
\[
-\frac{h}{w=q-1}
+\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)
+= \frac{h}{w}×
+\begin{cases}
+\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}\frac{R}{√{|D|}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
+\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\end{cases}
\]
\end{théorème2}
-Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé) ou
-[Tate, cours à Harvard 2006]. (Il manque peut-être une
-puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)
+\begin{démo}
+Commençons par traiter le cas d'un corps de fonctions.
+La suite exacte $1 → 𝒪_{K_𝐀}^× → C_K^{=1} → \Pic⁰(X) → 1$
+nous ramène à montrer que $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×)=1/w$.
+Or, la surjection $𝒪_{K_𝐀}^× ↠ 𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×$ a pour noyau
+$𝒪_{K_𝐀}^× ∩ K^× = k^×$, de cardinal $q-1$. La conclusion résulte alors
+le l'égalité (tautologique) $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^×)=1$
+et de la définition de $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$.
+
+\end{démo}
+
+Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53].
+(Il manque peut-être une puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)
+
+
\section{Fonctions zêta}
@@ -4443,7 +4483,7 @@ La plus célèbre est la \emph{fonction zêta de Dedekind}
ζ_K(s)= ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} \frac{1}{1-q_x^{-s}}
\]
où $x$ parcourt les places \emph{ultramétriques} de $K$
-et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_x/𝔪_x$.
+et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$.
% vérifier notations ci-dessus \XXX
Notons que $ζ_K(s)=∏_{x ∈Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} ζ_{K_x}(s)$
où $ζ_{K_s}=…$. [choisir un caractère ?] cf. \ref{calcul
@@ -4837,7 +4877,7 @@ Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$.
Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à
la fonction
\[
-𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠
+𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations