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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-12-06 15:39:54 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-12-06 15:39:54 +0100 |
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[Gröbner] Une proposition donnant une borne triviale sur le degré de la base de Gröbner réduite en une variable dominante.
Bizarrement, je ne trouve aucune trace de cette remarque — qui a
pourtant l'air utile — dans la littérature. À vérifier soigneusement.
-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 31 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 37bbb45..1c15972 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -832,6 +832,7 @@ conclure. % \subsection{L'algorithme de Buchberger}\label{section-algorithme-de-buchberger} +\subsubsection{Le $S$-polynôme}\label{definition-s-polynome} Soient $f_1,f_2\in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ : on définit le \textbf{polynôme de syzygie standard} ou \textbf{$S$-polynôme} $S(f_1,f_2)$ entre $f_1$ et $f_2$ de la manière suivante : @@ -1282,6 +1283,36 @@ C'est une conséquence immédiate de la proposition précédente et de \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}. \end{proof} +\begin{proposition2}\label{borne-degre-base-groebner-sur-une-variable-dominante} +Soit $\preceq$ un ordre monomial sur $k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tel que $Y$ +soit supérieur à tout monôme en $Z_1,\ldots,Z_d$. Soient +$h_1,\ldots,h_n \in k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tels que $\deg_Y(h_i) \leq N$ +pour tout $i$, où $N$ est une certaine constante (ici, $\deg_Y(h)$ +désigne le degré partiel du polynôme $h$ en la variable $Y$). Alors +la base de Gröbner $f_1,\ldots,f_r$ réduite de $I = (h_1,\ldots,h_n)$ +vérifie également $\deg_Y(f_i) \leq N$ pour tout $i$. +\end{proposition2} +\begin{proof} +L'hypothèse effectuée sur l'ordre garantit que $\deg_Y(h) = +\deg_Y(\initial(h))$ pour tout $h$. Il suffit de montrer que, dans +l'algorithme de Buchberger \ref{algorithme-de-buchberger}, aucun +polynôme de degré en $Y$ strictement supérieur à $N$ n'est jamais +ajouté à la base (et que, dans l'algorithme de +réduction \ref{algorithme-reduction-base-de-groebner} ou, en fait, +dans l'algorithme de division \ref{algorithme-division}, on n'augmente +jamais le degré en $Y$, mais c'est évident). Le point essentiel à +vérifier est donc que si $h_i$ et $h_j$ vérifient $\deg_Y(h_i) \leq N$ +alors le $S$-polynôme $S(h_i,h_j)$ défini +en \ref{definition-s-polynome} vérifie la même inégalité. Mais son +terme initial est strictement inférieur à $\ppcm(\initial(h_i), +\initial(h_j))$, lequel a bien un degré en $Y$ majoré par $N$, donc +c'est le cas de $S(h_i,h_j)$. +\end{proof} + +\XXX --- Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas +la construction algorithmique. Par ailleurs, il faudrait sans doute +déplacer cette proposition à un autre endroit. + \section{Idéaux de dimension $0$} |