[Gröbner] Une proposition donnant une borne triviale sur le degré de la base de Gröbner réduite en une variable dominante.

Bizarrement, je ne trouve aucune trace de cette remarque — qui a
pourtant l'air utile — dans la littérature.  À vérifier soigneusement.

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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 37bbb45..1c15972 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -832,6 +832,7 @@ conclure.
 %
 \subsection{L'algorithme de Buchberger}\label{section-algorithme-de-buchberger}
 
+\subsubsection{Le $S$-polynôme}\label{definition-s-polynome}
 Soient $f_1,f_2\in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ : on définit le \textbf{polynôme
   de syzygie standard} ou \textbf{$S$-polynôme} $S(f_1,f_2)$ entre
 $f_1$ et $f_2$ de la manière suivante :
@@ -1282,6 +1283,36 @@ C'est une conséquence immédiate de la proposition précédente et
 de \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}.
 \end{proof}
 
+\begin{proposition2}\label{borne-degre-base-groebner-sur-une-variable-dominante}
+Soit $\preceq$ un ordre monomial sur $k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tel que $Y$
+soit supérieur à tout monôme en $Z_1,\ldots,Z_d$.  Soient
+$h_1,\ldots,h_n \in k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tels que $\deg_Y(h_i) \leq N$
+pour tout $i$, où $N$ est une certaine constante (ici, $\deg_Y(h)$
+désigne le degré partiel du polynôme $h$ en la variable $Y$).  Alors
+la base de Gröbner $f_1,\ldots,f_r$ réduite de $I = (h_1,\ldots,h_n)$
+vérifie également $\deg_Y(f_i) \leq N$ pour tout $i$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'hypothèse effectuée sur l'ordre garantit que $\deg_Y(h) =
+\deg_Y(\initial(h))$ pour tout $h$.  Il suffit de montrer que, dans
+l'algorithme de Buchberger \ref{algorithme-de-buchberger}, aucun
+polynôme de degré en $Y$ strictement supérieur à $N$ n'est jamais
+ajouté à la base (et que, dans l'algorithme de
+réduction \ref{algorithme-reduction-base-de-groebner} ou, en fait,
+dans l'algorithme de division \ref{algorithme-division}, on n'augmente
+jamais le degré en $Y$, mais c'est évident).  Le point essentiel à
+vérifier est donc que si $h_i$ et $h_j$ vérifient $\deg_Y(h_i) \leq N$
+alors le $S$-polynôme $S(h_i,h_j)$ défini
+en \ref{definition-s-polynome} vérifie la même inégalité.  Mais son
+terme initial est strictement inférieur à $\ppcm(\initial(h_i),
+\initial(h_j))$, lequel a bien un degré en $Y$ majoré par $N$, donc
+c'est le cas de $S(h_i,h_j)$.
+\end{proof}
+
+\XXX --- Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas
+la construction algorithmique.  Par ailleurs, il faudrait sans doute
+déplacer cette proposition à un autre endroit.
+
 
 \section{Idéaux de dimension $0$}