diff options
author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-10-12 15:30:18 +0200 |
---|---|---|
committer | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-10-12 15:30:18 +0200 |
commit | 0c174b07b63a77c3b56cf11dba08047bb1d3ec82 (patch) | |
tree | eceab40f9bf5a5005f4fb607892d750dd956e50f | |
parent | af24249cab5a90b1d44f4bd666c6168b37106dbc (diff) | |
download | galois-0c174b07b63a77c3b56cf11dba08047bb1d3ec82.tar.gz galois-0c174b07b63a77c3b56cf11dba08047bb1d3ec82.tar.bz2 galois-0c174b07b63a77c3b56cf11dba08047bb1d3ec82.zip |
[LG] clarification sur les signes (Poisson adélique)
-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 32 |
1 files changed, 18 insertions, 14 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 1b4e8c3..0aabe52 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -1110,14 +1110,14 @@ prêter à confusion. Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $ \item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est en fait une somme \emph{finie} \[ -∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}( (f ψ_x)^{-1}(λ)),\] +∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}\big( (f ψ_x)^{-1}(λ)\big),\] où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction localement constante à support compact $f ψ_x$. Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}$ est la transformation de Fourier usuelle, que nous noterons aussi $ℱ_𝐑$, % notation XXX \[ -f↦ (x ↦ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2i π tx) dt\big). +f↦ \big(x ↦ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2i π tx) dt\big). \] \item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut @@ -1150,8 +1150,8 @@ où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$. \item Il existe une unique mesure de Haar, dite \textbf{auto-duale} (relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure -$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{-n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ -(resp. $√{|a|} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique +$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{-½n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ +(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et $ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$). \item $μ_{ψ_a}=√{|a|} μ_ψ$. @@ -3893,18 +3893,22 @@ un élément $o$ de $𝐤$. Comme ci-dessus, on établit sans peine l'égalit où $ψ_𝐤^{ ≠ ∞}=(ψ_{𝐤_x})_{x ≠ ∞}$ désigne le caractère additif du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$ (\ref{caractères additifs kA}), et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲ ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$. -Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet +Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet le calcul explicite de $ℱ_{ψ_∞}(f^∞)$ par dévissage ; -par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p [× t^{-2}]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$. +par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p [× t²]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$. On en tire en particulier que la valeur en zéro de $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}})$, qui coïncide par définition avec la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_𝐤}(𝒪_{𝐤_𝐀})$ de $𝒪_{𝐤_𝐀}$, est égale à $p$. \commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?} -Dans ce cas, la formule de Poisson adélique est moins immédiate. -La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des -rationnels nous ramène en effet au théorème +D'autre part, on vérifie immédiatement la formule +$∑_{λ ∈ 𝐤} 𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}(λ)= ∑_{λ ∈ 𝐤} ℱ_{ψ_𝐤}\big(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}\big)(λ)$. +Le terme de gauche est le cardinal, égal à $p$, de $𝒪_{𝐤_𝐀} ⋂ 𝐤=𝐅_p$ ; +le terme de droite est $p$ fois le nombre, égal à $1$, de fonctions rationnelles $f ∈ 𝐤$ +sans pôle hors de l'infini et ayant un zéro (au moins) double en l'infini. +Dans le cas d'une fonction $f ∈ 𝒮(𝐤_𝐀)$, la formule +de Poisson adélique est moins immédiate. +La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des rationnels nous ramène en effet au théorème de Riemann-Roch énoncé ci-après. [à vérifier/détailler] \XXX -\end{exemple2} \subsection{Formules d'inversion et de Poisson} @@ -4117,7 +4121,7 @@ Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a l'égalité : \[ ℱ_ψ(\mathbf{1}) -= ⊠′_x \big( q_x^{½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big) += ⊠′_x \big( q_x^{-½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big) = q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}. \] Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement @@ -4127,8 +4131,8 @@ Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement la finitude du terme de droite ayant été déjà observée en \ref{finitude K inter O sur a}. Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ n'est autre que l'ensemble des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur -$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$. -(Noter le signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$ +$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$. +(Prendre garde au signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$ sa dimension sur $k$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$. De même, @@ -4182,7 +4186,7 @@ semblable à celle suivie ici. \begin{exemple2} \label{genre droite affine} -$g_{𝐅_p(t)}=0$. \XXX +$g_{𝐅_p(t)}=0$. On a vu que $\div(ψ_{𝐤_𝐀})=-2⋅∞$.\XXX % cf. p. ex Rosen, p. 49 % via forme différentielle ou bien calcul fonction zêta ;) \end{exemple2} |