[calculs] Holomophe d'un groupe simple. Produits en couronne tordus. Éclaircissement de O'Nan-Scott.

Ça reste assez merdique, mais j'espère que ça l'est un peu moins.

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@@ -1355,6 +1355,38 @@ l'image $M^*$ de $M$ sur les $r-1$ premières coordonnées
 vaut $T^{r-1}$, il est désormais clair que $M = T^r$.
 \end{proof}
 
+\begin{remarque2}\label{holomorphe-d-un-groupe-simple}
+Le cas particulier des groupes de permutation de type diagonal où
+$r=2$ et où il n'y a pas de permutation des composantes (avec les
+notations précédentes, l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$ est
+triviale) est assez spécifique, puisque c'est le seul cas de ce type
+où il y a deux sous-groupes distingués minimaux distincts : expliquons
+comment on peut le présenter différemment.
+
+Si $T$ est un groupe simple fini non-abélien, on appelle parfois
+\emph{holomorphe} de $T$ le produit semi-direct $H$ de $T$
+par $\Aut(T)$ opérant naturellement sur $T$, et on voit ce produit
+semidirect comme opérant lui-même sur $\Omega := T$ (où $\Aut(T)$
+opère naturellement et $T$ opère par translation à gauche).  En
+identifiant $\Omega=T$ à l'ensemble des classes à gauche de la
+diagonale dans $T^2$, par $(v_1,v_2) \mapsto v_1 v_2^{-1}$, on voit
+que cet holomorphe est un cas particulier (en tant que groupe de
+permutation) de la construction des actions diagonales où $r=2$, où il
+n'y a pas de permutation des coordonnées et où on a inclus tous les
+automorphismes de $T$.  Les deux sous-groupes distingués minimaux de
+$H$ sont l'ensemble des translations à gauche sur $T$ (vu
+naturellement comme $T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$), et l'ensemble des
+translations à droite sur $T$ (vu comme l'ensemble des $(t, (x\mapsto
+t^{-1}xt))$ pour $t\in T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$).  Comme on l'a
+expliqué, le socle de $H$ est le produit $T^2$ de ces deux
+sous-groupes (et $H = T^2 \cdot \Out(T)$).
+
+Plus généralement, un groupe de permutation de type diagonal avec
+$r=2$ et action triviale sur les composantes se décrit comme un
+sous-groupe $G$ de $H$ contenant $T^2$ (c'est-à-dire, contenant les
+translations à gauche et les translations à droite).
+\end{remarque2}
+
 \subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$
 un groupe simple.  Un groupe $G$ tel que $T = \Int(T) \leq G \leq
 \Aut(T)$ est dit \emph{presque simple}.  La donnée d'un sous-groupe
@@ -1366,14 +1398,15 @@ sur les classes à gauche de $U$) : un tel groupe de permutations est
 dit \emph{presque simple}.  Son socle est alors $T$, et il n'est pas
 régulier.
 
-\subsubsection{Produits en couronne} Si $K$ est un groupe fini, et $S$ un
+\subsubsection{Produits en couronne}\label{produit-couronne} Si $K$ est un groupe fini, et $S$ un
 groupe de permutations dont on notera $\Gamma$ l'ensemble sur lequel
 il opère, on définit le \emph{produit en couronne} $K \wr_\Gamma S$
 (ou parfois $K \wr S$ lorsque $\Gamma$ est évident) de la façon
-suivante : il s'agit du produit semidirect $K^\Gamma \rtimes S$, où
-$K^\Gamma$ désigne l'ensemble des fonctions $\Gamma \to K$ et $S$
-opère sur $K^\Gamma$ par $(\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma^{-1}(i))$
-pour $\sigma \in S$, $f\in K^\Gamma$ et $i \in \Gamma$.
+suivante : il s'agit du produit semi-direct $K^\Gamma \rtimes S$, où
+$K^\Gamma$ désigne le groupe des fonctions $\Gamma \to K$ (muni de la
+multiplication point par point) et $S$ opère sur $K^\Gamma$ par
+$(\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma^{-1}(i))$ pour $\sigma \in S$, $f\in
+K^\Gamma$ et $i \in \Gamma$.
 
 La définition précédente construit $K \wr_\Gamma S$ comme un groupe
 abstrait.  Si $K$ est lui-même un groupe de permutation sur un
@@ -1487,6 +1520,62 @@ fonctions engendrent manifestement $K^\Gamma$, et comme $H$ contient
 aussi $S$, on a prouvé $H = K \wr_\Gamma S$.
 \end{proof}
 
+\subsubsection{Produits en couronne tordus}\label{produit-couronne-tordu} Considérons
+maintenant la situation suivante : soit $U$ un sous-groupe d'un groupe
+fini $S$, et soit $K$ un groupe fini ; on suppose de plus donné un
+morphisme $\varphi\colon U \to \Aut(K)$ du groupe $U$ vers les
+automorphismes du groupe $K$, permettant de considérer que $U$ opère
+sur $K$ : on notera $u \mathbin{\bullet_{\varphi}} k := \varphi(u)(k)$
+l'action en question.  On considère l'ensemble $\mathscr{F}$ des
+applications $f\colon S \to K$ vérifiant la condition suivante : pour
+tout $s\in S$ et tout $u\in U$ on a $f(su) = u^{-1}
+\mathbin{\bullet_{\varphi}} f(s)$ ; il s'agit d'un sous-groupe de
+$K^S$ pour la multiplication point par point.  Remarquons que si
+$\Gamma$ est une section ensembliste de l'ensemble des classes à
+gauche de $U$ dans $S$, c'est-à-dire un choix d'un élément de chaque
+$sU \in K/U$, alors on peut considérer $\mathscr{F}$ comme le groupe
+$K^\Gamma$, puisque la valeur de $f\in \mathscr{F}$ sur toute la
+classe $sU$ est déterminée par sa valeur sur l'unique élément $s$.
+Néanmoins, la description de $\mathscr{F}$ comme sous-ensemble de
+$K^S$ permet de rendre plus claire l'action de $S$ sur $\mathscr{F}$
+définie comme suit : si $f\in \mathscr{F}$ et $\sigma\in S$, on
+définit $\sigma\cdot f$ par $(\sigma\cdot f)(s) = f(\sigma^{-1}s)$
+(pour tout $s\in S$).  Le produit semi-direct $\mathscr{F} \rtimes S$
+défini par cette action s'appelle \emph{produit en couronne tordu}
+défini par les données de $K$ de $U \leq S$, et du morphisme
+$\varphi\colon U \to \Aut(K)$ ; on le notera $G$ dans la fin de cette
+section.
+
+La terminologie de produit en couronne tordu se justifie par le fait
+que le produit en couronne usuel (défini en \ref{produit-couronne})
+s'obtient comme le cas particulier où $\varphi$ est le morphisme
+trivial (tout élément de $U$ s'envoyant sur l'identité de $K$) et $U$
+est le stabilisateur d'un point dans le $S$-ensemble $\Gamma$, lequel
+peut alors être identifié à l'ensemble des classes à gauche de $U$
+dans $S$, où à un choix arbitraire d'une section pour cet ensemble.
+Notons par ailleurs que si $U=S$, alors le produit en couronne tordu
+que nous avons défini n'est autre que le produit semi-direct $K \rtimes
+S$ pour l'action donnée par $\varphi$ (en effet, si on identifie
+$f\in\mathscr{F}$ avec $f(1)\in K$, alors $(\sigma\cdot f)(1) =
+f(\sigma^{-1}) = \varphi(\sigma)(f(1))$).
+
+L'action considérée pour $G$ sera celle sur les classes à gauche
+de $S$ : il revient au même de faire agir $G$ sur $\mathscr{F}$ en
+décrétant que $S$ opère sur $\mathscr{F}$ comme on l'a déjà dit et que
+$\mathscr{F}$ lui-même opère par translation à gauche.  (Dans le cas
+d'un produit en couronne non-tordu, ceci correspond à l'action produit
+où $K$ est vu comme opérant sur lui-même par translation à gauche ; il
+y aurait sans doute moyen de définir une action généralisant l'action
+produit dans tous les cas, mais ceci ne nous importera pas.)  Cette
+action peut très bien ne pas être fidèle : penser au cas où $U=S$ et
+$\varphi$ est trivial, par exemple (auquel cas $G$ est le produit
+direct $K \times S$) ; il ne semble pas facile de trouver des
+conditions nécessaires et suffisantes sur les données pour que
+l'action qu'on vient de décrire soit fidèle et primitive : on peut
+néanmoins montrer que c'est le cas si $K$ est simple fini non-abélien
+et que $\Im\varphi$ contient les automorphismes intérieurs de $K$ et
+n'est pas l'image de $S$ par un morphisme.
+
 \subsection{Le théorème de O'Nan-Scott}
 
 Cette section fait suite à la précédente.
@@ -1519,18 +1608,24 @@ vraie :
   $\#\Omega$ de $G$ est $(\#T)^{r-1}$.  Si $r\geq 3$ alors $G$ a un
   unique sous-groupe distingué minimal qui est son socle.
 \item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
-  \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit sur
+  \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit (\ref{produit-couronne}) sur
   $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
   sur $\Delta$ d'un des deux types précédents, et le socle de $G$ est
   $H^\Gamma$ où $H$ est le socle de $K$.  Dans ce cas, le socle en
   question n'est pas régulier.
-\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
-  \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit sur
-  $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
-  sur $\Delta$ du type diagonal avec $r=2$ ayant deux sous-groupes
-  distingués minimaux $N_1,N_2$ (isomorphes) distincts, et le socle de
-  $G$ est isomorphe à $N_1^\Gamma$.  Ceci se produit si et seulement
-  si le socle de $G$ est régulier mais non abélien.
+\item $G$ est un produit en couronne tordu
+  (\ref{produit-couronne-tordu}) défini par la donnée d'un groupe fini
+  $S$, d'un sous-groupe $U$ de celui-ci, d'un groupe \emph{simple}
+  non-abélien $K$, et d'un morphisme $\varphi \colon U \to \Aut(K)$
+  dont l'image contient le sous-groupe $\Int(K)$ des automorphismes
+  intérieurs de $K$ ; le groupe $G$ est alors sous-groupe du produit
+  en couronne $H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$, où $H$ est
+  l'holomorphe de $K$ (cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), et où
+  $\Gamma$ est l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$.  Dans
+  ce cas, le socle de $G$ est isomorphe à $K^{\#\Gamma}$ (soit à
+  $\mathscr{F}$ avec la notation de \ref{produit-couronne-tordu}), et
+  il est régulier.  Ce cas se produit si et seulement si le socle de
+  $G$ est régulier mais non abélien.
 \end{itemize}
 \end{theoreme2}