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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-22 17:56:24 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-22 17:56:24 +0100
commit16a91cde5f6fbfb6f65969c1c011735a52d4e104 (patch)
treeb8a7c2e326a853fd136e41a36b58200ea5cfdb92
parentfb6a8632bdff8253e59269afbb8127fddcb178f8 (diff)
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galois-16a91cde5f6fbfb6f65969c1c011735a52d4e104.tar.gz
galois-16a91cde5f6fbfb6f65969c1c011735a52d4e104.tar.bz2
[Gröbner] L'énoncé précédent était incorrect. Rectification (malheureusement lourdingue).
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex19
1 files changed, 12 insertions, 7 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index ba38aba..365763a 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1435,13 +1435,18 @@ relèvement quelconque de $x$ à $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, étant évident que
$\tilde I$ ne dépend pas de ce choix). On calcule la base de Gröbner
réduite $\tilde B$ de $\tilde I$ pour un ordre monomial $\preceq$
quelconque qui ordonne $Y$ après n'importe quel monôme en
-$Z_1,\ldots,Z_d$ : cette base est de la forme $B \cup C$ où $B$ est la
-base de Gröbner réduite de $I$ (pour le même ordre monomial,
-c'est-à-dire, pour sa restriction aux monômes en $Z_1,\ldots,Z_d$) et
-$C$ est formé de polynômes de degré partiel en $Y$ valant exactement
-$1$. L'élément $x$ est inversible si et seulement si $C$ est réduit à
-un unique polynôme $Y - g$ avec $g \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$, et lorsque
-c'est le cas, la classe de $g$ modulo $I$ est l'inverse recherché.
+$Z_1,\ldots,Z_d$ : cette base est de la forme $B' \cup C$ où $B'$ est
+la base de Gröbner réduite de $I' = \tilde I \cap k[Z_1,\ldots,Z_d]$
+(pour le même ordre monomial, c'est-à-dire, pour sa restriction aux
+monômes en $Z_1,\ldots,Z_d$) et $C$ est formé de polynômes dont le
+degré partiel en $Y$ vaut exactement $1$. L'élément $x$ est
+inversible si et seulement si $I' = I$ (ce qui se teste en vérifiant
+que les bases de Gröbner réduites coïncident) et que $C$ est (soit
+vide, soit) réduit à un unique polynôme et que celui-ci est de la
+forme $Y - g$ avec $g \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ ; et lorsque c'est le
+cas, la classe de $g$ modulo $I$ est l'inverse recherché (quant au cas
+où $I'=I$ et $C$ est vide, il ne se produit que lorsque
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est l'algèbre nulle, ce cas étant trivial).
\end{proof}
\begin{proof}
\XXX