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-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 67 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index c50a5d0..d880836 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -111,7 +111,7 @@ de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$ Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes démo}, où l'on fait usage des résultats des paragraphes qui -vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats déjà établis +vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats établis dans le chapitre précédent, la principale difficulté est de munir un corps localement compact d'une valeur absolue. Celle-ci sera construire via la théorie de l'intégration @@ -1458,7 +1458,7 @@ que l'intégrale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge pour aucune valeur de $s$.) On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de \[ -∑_{k ≥ 1} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!} +β(t)=∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!} t^{k-1}, \] où la seconde égalité n'est autre que la définition @@ -1468,6 +1468,8 @@ et celle de ψ(t)=∑_{k ≥ 1} e^{-π k² t} \] la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$. +(Les notations $β$ et $ψ$ ne sont pas standards.) %% standard ? + \subsubsection{} Notons que la fonction $Γ ζ$ n'est \emph{a priori} définie que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après @@ -1515,6 +1517,34 @@ satisfait l'équation fonctionnelle \] \end{théorème2} +En particulier $ζ(-1)=\text{« }1+2+3+4+5+\cdots\text{»}=-\frac{1}{12}$ car +$B₂=⅙$. + +\begin{remarque2} +Certains auteurs considèrent plutôt $M(f,s)=Γ(s)^{-1}ζ(f,s)$ (cf. \cite[VII.2]{Elements@Colmez}). +Supposons que $f$ n'a pas de singularités : +elle est $𝒞^∞$ sur $𝐑_+$ (c'est-à-dire restriction d'une fonction $𝒞^∞$ sur un +ouvert $]-ε,+∞[$, pour un $ε>0$) et à décroissance rapide à l'infini, ainsi que toutes ses dérivées. +Dans ce cas, la fonction holomorphe $M(f,s)$, définie \emph{a priori} sur le +demi-plan $\Re(s)>0$, se prolonge en une fonction holomorphe +sur $𝐂$ en vertu de l'égalité +\[ +M(f,s)=- M(f′,s+1), +\] +obtenue par intégration par partie. +On en déduit que $M(f,0)=-M(f′,1)=-∫₀^{+∞} f′=f′(0)$ et, plus généralement, +les égalités +\[ +M(f,-k)=(-1)^k f^{(k)}(0) +\] +pour chaque $k ∈ 𝐍$. Hormis l'équation fonctionnelle, on retrouve les résultats +du théorème précédent en constatant que $β(t)=\frac{1}{t}f(t)$, où +$f(t)=\frac{t}{e^t-1}=∑_n \frac{B_n}{n!}t^n$, +si bien que la fonction zêta de Riemann $ζ(s)=ζ(β,s)=ζ(f,s-1)$ coïncide avec +le produit $Γ(s-1)M(f,s-1)$. +\end{remarque2} + + \begin{remarque2} Signalons un argument élémentaire conduisant à l'existence d'un pôle simple en $s=1$ de @@ -1673,8 +1703,8 @@ complexe\footnote{Explicitement : \[ ζ_𝐂(s) :=\frac{1}{π}∫_{𝐂^×} e^{-2 π z \sur{z}} |z|_𝐂^s \frac{dxdy}{|z|_𝐂} -=\frac{1}{π} ∫_{𝐑_× × [0, 2 π]} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ -=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑_×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}. +=\frac{1}{π} ∫_{𝐑^× × [0, 2 π[} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ +=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑^×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}. \]}. À une constante multiplicative près dépendant des auteurs, ces fonctions zêta locales sont appelées « facteurs Gamma » et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$. @@ -2035,7 +2065,7 @@ comme il est loisible d'après \ref{epsilon par translation et produit}, (ii). Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est à support dans $𝒪$. D'autre part, par définition, c'est la fonction $x↦ ∫_{𝒪^×} χ^{-1}(y) ψ(xy) dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$. À moins que $χ_{|𝒪^×}$ ne soit trivial (c'est-à-dire $χ$ net, ou encore $a=0$). -on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant déjà été traité, supposons maintenant $a>0$. +on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant été traité, supposons maintenant $a>0$. Pour $x ∈ 𝒪-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$ et la formule \ref{module=module} entraîne : $ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} 𝒪^×} χ^{-1}(z) ψ(z) dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$. @@ -2954,7 +2984,7 @@ où le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$, et $C^∘$ le voisinage ouvert Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel dont l'image dans chaque $𝐐_p$ appartient à $𝐙_p$ est entier, c'est-à-dire dans $𝐙$. D'autre part, le seul entier dans $]-½,½[$ est l'entier nul. -Ceci prouve déjà que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également +Ceci prouve que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également fermé — car discret dans un espace séparé — de sorte que le groupe topologique quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐$ est séparé (\ref{discrétion et séparation quotient}). Pour montrer la compacité du quotient, @@ -2980,7 +3010,7 @@ de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\} fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$ appartient à $𝒪_{𝐅_p(t),P}$ est un polynôme, c'est-à-dire dans $𝐅_p[t]$. D'autre part, le seul polynôme dans $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))$ est le polynôme nul. -Ceci prouve déjà que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$. +Ceci prouve que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Pour montrer que le quotient (séparé) $𝐅_p(t)_𝐀/𝐅_p(t)$ est compact, il suffit de vérifier l'égalité $C+𝐅_p(t)=𝐅_p(t)_𝐀$, c'est-à-dire que le groupe additif quotient $𝐅_p(t)_𝐀 / 𝐅_p(t)_𝐀(Σ-\{∞\})$ @@ -4149,7 +4179,7 @@ l'égalité : Fixons un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(ι)$. Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$ (dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts}, -a déjà été observée en \ref{finitude K inter O sur a}), +a été observée en \ref{finitude K inter O sur a}), n'est autre que l'ensemble \[ L(𝔞):=\{f ∈ K: \div(f) ≥ - 𝔞\}, @@ -4287,22 +4317,19 @@ De plus, $\Spec(𝒪_K(U))=U ∪ \{(0)\}$. Cf. [Rosen, p. 247] \XXX -\begin{remarques2} -\begin{enumerate} -\item Munissons l'ensemble $Σ$ de la topologie suivante, -dite de Zariski (cf. \refext{AC}{}) : un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou vide. -Le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire -$(Σ,𝒪_K)$ (« espace annelé ») est un \emph{schéma}. C'est une courbe projective lisse -sur $𝐅_p$. +\subsubsection{}Si l'on muni l'ensemble $Σ$ de la topologie +de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}), +en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou +vide, le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire +$(Σ,𝒪_K)$ est \textbf{espace annelé} d'un type particulier, appelé \textbf{schéma}. +Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$. \XXX -\item Observons que les résultats de la proposition précédente ont -déjà été obtenus en \ref{sections globales droite projective} -dans le cas particulier d'un corps de fonctions rationnelles $𝐅_p(t)$. +\item Les résultats de la proposition précédente ont +été établis en \ref{sections globales droite projective} +lorsque $K=𝐅_p(t)$. \item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.) %(Cf. Joël Riou, forum 2007.) -\end{enumerate} -\end{remarques2} \begin{proposition2} Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme |