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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 12:09:34 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-21 12:09:34 (GMT)
commit1ace98ff0309c312da878852b860426d4a0df511 (patch)
tree274d97ffe09cf5d4f4ed9696a92ae4b797052505
parentcd75010cce49e9c05a9d039ebe11f9f7515c3b08 (diff)
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[RT, AVD-D] ajout de quelques énoncés sur séparabilité, k((t)) etc. (à détailler lors de l'écriture)
-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex20
-rw-r--r--chapitres/RT.tex13
2 files changed, 28 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index 37df69f..bf6494c 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -491,6 +491,8 @@ Attention confusion possible valuation/valeur absolue... \XXX
Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}.
+
+
\subsection{Hensélisation et complétion}
\subsection{Indice de ramification}
@@ -540,10 +542,20 @@ AC, ch.VI, §8, n.5, Cor.1
\end{démo}
-\begin{exemple2}
-\XXX
-Cas inséparable : cf. Gabber-Ramero 6.2.7 (iii).
-\end{exemple2}
+\begin{exercice2}
+Soit $p$ un nombre premier.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer qu'il existe un élément $u$
+de $𝐅_p((t))$ transcendant sur $𝐅_p(t)$ (voir aussi \refext{RT}{degtr-Laurent-fractions-rationnelles}).
+\item Soit $K=𝐅_p(t,u^p)$ et $L=𝐅_p(t,u)$. Montrer que $[L:K]=p$
+et qu'il existe une valuation discrète $v$ de $K$ telle
+que $∑_{v′↦ v} e(v′:v)f(v′:v)<[L:K]$.
+\end{enumerate}
+% cf. Lenstra, websites.math.leidenuniv.nl/algebra/exercises93s.pdf
+% Gabber-Ramero 6.2.7 (iii).
+\end{exercice2}
+
+[À mettre en remarque plutôt qu'en exercice.]
\begin{définition2}
\XXX
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index 7284426..ce881b2 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -55,9 +55,20 @@ sur $k$.
Toute sous-extension d'une extension de type fini est
de type fini.
\end{corollaire2}
-
% cf. p. ex A.VI.§16.nº7.
+\begin{proposition2}
+Pour tout corps $k$, le corps des séries formelles
+$k((x₁,…,x_n))$ est séparable sur $k$.
+% ÉGA IV₁, chap. 0, 21.9.6.4
+\end{proposition2}
+
+\begin{exercice2}
+\label{degtr-Laurent-fractions-rationnelles}
+Montrer que $\mathrm{deg.tr}_k k((x))=\mathrm{card.}(k^{𝐍})$.
+% Bourbaki, A, exercice.
+\end{exercice2}
+
\section{Extensions radicielles. $p$-bases}
\subsection{Extensions linéairement disjointes}