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[LG] places ⤳ points, pour éviter confusion avec places K → k ∪ {+∞}
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 619e2cc..fa596dd 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -2133,7 +2133,7 @@ sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$. Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible -confusion entre les places archimédiennes et les places « à l'infini » +confusion entre les valeurs absolues archimédiennes et les valeurs absolues « à l'infini » en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation $P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$ cette place (ultramétrique). @@ -2188,7 +2188,7 @@ cf. \ref{définition adèles}.) \subsubsection{Exemples} \label{sections globales droite projective} -Notons pour simplifier $Σ$ l'ensemble des places du corps global $𝐅_p(t)$. +Notons pour simplifier $Σ$ l'ensemble des points du corps global $𝐅_p(t)$. On a alors $𝒪_{𝐅_p(t)}(Σ)=𝐅_p$ : une fraction rationnelle sans pôle est une constante. Plus précisément, si l'on a $|f|_P ≤ 1$ pour chaque $P ∈ 𝐅_p[t]$ irréductible et que l'on écrit $f=a/b$ avec $a,b ∈ 𝐅_p[t]$ premiers entre eux, @@ -2196,8 +2196,8 @@ alors $P$ ne divise pas $b$. Ceci étant vrai pour tout $P$, le polynôme $b est nécessairement une constante. Comme $|a|_∞=p^{\deg(a)}$, on a $\deg(a)=0$ (absence de pôle à l'infini). « Calculons » maintenant $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)$ pour un ouvert quelconque $U ≠ Σ$. -Supposons pour commencer que la place $|⋅|_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce cas, les places -appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $|⋅|_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes +Supposons pour commencer que la place $|⋅|_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce +cas, les points appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $|⋅|_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes irréductibles, que l'on peut supposer unitaires, de $𝐅_p[t]$. Ils sont en nombre fini par hypothèse et l'on peut considérer leur produit $P=∏_i P_i$. On a alors l'égalité $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)=k[t][1/P]=\{f ∈ 𝐅_p(t): ∃n ≥ 1, ∃a ∈ 𝐅_p[t], @@ -2838,8 +2838,8 @@ On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon \subsubsection{} \label{définition adèles} Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$ -l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble -cofini des places ultramétriques. La construction +l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble +cofini des points ultramétriques. La construction générale précédente nous permet de définir le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$. @@ -3015,7 +3015,7 @@ le quotient $𝐙[1/p]/𝐙$.) \item Cas des fractions rationnelles sur $𝐅_p$, $p$ premier. Soient $C=𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{𝐅_p(t),P}$ — où $P$ parcourt l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de $𝐅_p[t]$, -identifiés aux places de $𝐅_p(t)$ différentes de la place infinie — le sous-ensemble +identifiés aux points de $𝐅_p(t)$ différents du point à l'infini — le sous-ensemble compact de $𝐅_p(t)_𝐀$ et $C^∘$ le voisinage ouvert $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{K,P}$ de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\}$ : toute fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$ @@ -3117,8 +3117,8 @@ et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$. \subsubsection{} \label{définition idèles} Comme précédemment, on considère un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$ -l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble -cofini des places ultramétriques. La construction +l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble +cofini des points ultramétriques. La construction générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$). @@ -3355,8 +3355,8 @@ Cf. \cite{} \XXX. \subsubsection{} \label{définition-régulateur} -Soient $K$ un corps de nombres, $X$ l'ensemble de ses places ultramétriques -et $A$ l'ensemble des places archimédiennes, de cardinal $r_𝐑 + r_𝐂 = r +1$. +Soient $K$ un corps de nombres, $X$ l'ensemble de ses points ultramétriques +et $A$ l'ensemble des points archimédiens, de cardinal $r_𝐑 + r_𝐂 = r +1$. D'après ce qui précède, le \emph{covolume} de $\log_𝐀 𝒪_K^×$ dans l'hyperplan $H$ des vecteurs de somme nulle de $𝐑^A$ (muni de la mesure de Lebesgue usuelle) est fini. @@ -3873,7 +3873,7 @@ d'adèles. Soit $L\bo K$ une extension séparable, $x$ une place de $K$ nette dans $L$, et $ψ_x$ un caractère additif de $K_x$ de niveau nul. Pour chaque $y↦ x$, le caractère $ψ_y =ψ_x ∘ \Tr_{L_y \bo K_x}$ de $L_y$ est de niveau nul (\ref{niveau reste nul si extension nette}). -Comme presque toutes les places sont nettes (\refext{AVD-D}{extension est presque partout nette} +Comme presque tous les points sont nets (\refext{AVD-D}{extension est presque partout nette} [résulte aussi de \ref{adèles et cb} \XXX]), on constate que si le résultat à démontrer est vrai pour un caractère $ψ$ sur $K$, il l'est également pour $ψ ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$. @@ -4074,7 +4074,7 @@ Soit $U$ un ouvert dense de $K$ tel que le support de $f$ soit contenu dans $K_𝐀(U)=∏_{u ∈ U} 𝒪_{k,u} × ∏_{x ∉ U} K_x$. Considérons le compact $D=∏_x D_x$ de $K_𝐀$, où $D_x$ est le support $\Supp(f_x)$ de $f_x$ si $x ∉ U$, ou bien $𝒪_{k,x}$ si $x ∈ U$. -(En présence de places archimédiennes, la compacité de $\Supp(f_x)$ et, \emph{a +(En présence de points archimédiens, la compacité de $\Supp(f_x)$ et, \emph{a fortiori}, celle de $D$ ne sont pas garanties.) La fonction $f$ est nulle hors de $D$. Il en résulte que chaque terme $f(a_𝐀+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être @@ -4211,7 +4211,7 @@ notes à la fin. \XXX \label{définition classe canonique} Soient $K$ un corps global de caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes, -de cardinal $q$, et $X$ l'ensemble des places. +de cardinal $q$, et $X$ l'ensemble des points. Pour chaque caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial de $K_𝐀\bo K$, considérons le diviseur $\div(ψ)=∑_x n(ψ_x) ⋅ x$, où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}). @@ -4539,7 +4539,7 @@ $\Res_{s=0} \frac{ζ_K(s)}{s^{r_𝐑+r_𝐂}}=-\frac{hR}{w}$. \begin{démo} Le groupe de Picard étant isomorphe au quotient $C_K^{=1}/C_K^{=1}(X)$, -où $X$ est l'ensemble des places ultramétriques de $K$ et +où $X$ est l'ensemble des points ultramétriques de $K$ et $C_K^{=1}(X)=K^×K_𝐀^{×,=1}(X)/K^×$, il suffit de démontrer l'égalité $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C_K^{=1}(X))=1/w$ si $K$ est un corps de fonctions et $2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R/w$ sinon. @@ -4587,7 +4587,7 @@ au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition. \subsubsection{} \label{définition zêta Dedekind} -Soit $K$ un corps global, dont on note $X$ l'ensemble des places +Soit $K$ un corps global, dont on note $X$ l'ensemble des points ultramétriques. Pour chaque $x ∈ X$ notons $q_x$ — ou parfois $N(x)$ — le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$. La \textbf{fonction zêta de Dedekind} \index{fonction zêta de Dedekind} @@ -4677,8 +4677,8 @@ Pour chaque extension $k′$ du corps des constantes $k$ de $K$, notons $X(k′)$ l'ensemble des $k$-places de $K$ à valeurs dans $k′$ (\refext{AVD-D}{définition-place}). Comme expliqué dans \emph{loc. cit.}, on a une application naturelle $X(k′) → X$, envoyant -une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$. -(Ce dernier correspond à une classe de valuations sur $K$.) +une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$, +correspondant à son tour à une classe de valuations sur $K$. Si l'extension $k′ \bo k$ est finie de degré $n$, l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$. @@ -4695,7 +4695,7 @@ agissent sur $X(k′)$ : $σ ⋅ φ = φ ∘ σ^{-1}$. Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$. Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k k_e$ obtenu à partir de $K$ -par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_d$ l'ensemble de ses places (ultramétriques). +par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_e$ l'ensemble de ses points (ultramétriques). Les faits suivant résultent des résultats exposés en \refext{AVD-D}{} \XXX : \begin{enumerate} \item le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ ; @@ -4816,7 +4816,7 @@ En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$. \subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles} \label{exemple zêta fonctions} -Par définition et description des places de $𝐅_p(t)$, on a +Par définition et description des points de $𝐅_p(t)$, on a \[ ζ_{𝐅_p(t)}(s)= \Big(∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}\Big) ⋅ (1-p^{-s})^{-1}, \] @@ -4992,7 +4992,7 @@ ce qui revient à montrer la convergence absolue du produit eulérien définissant $ζ_K(s)$ dans ce domaine. À nouveau, nous procédons par réduction au cas d'un corps global premier. Choisissons un plongement de $𝐐$ ou $𝐤=𝐅_p(t)$ dans $K$ ; -le morphisme induit sur l'ensemble des places est à fibres +le morphisme induit sur l'ensemble des points est à fibres de cardinaux majorés par le degré $d$ de l'extension et, si une place $x$ de $K$ s'envoie sur $y$, on a $q_x ≥ q_y$. Il en résulte que $ζ_K(s)$ est majorée respectivement |