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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-21 16:30:19 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-21 16:30:19 (GMT)
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[LG] places ⤳ points, pour éviter confusion avec places K → k ∪ {+∞}
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex42
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2133,7 +2133,7 @@ sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
-confusion entre les places archimédiennes et les places « à l'infini »
+confusion entre les valeurs absolues archimédiennes et les valeurs absolues « à l'infini »
en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation
$P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$
cette place (ultramétrique).
@@ -2188,7 +2188,7 @@ cf. \ref{définition adèles}.)
\subsubsection{Exemples}
\label{sections globales droite projective}
-Notons pour simplifier $Σ$ l'ensemble des places du corps global $𝐅_p(t)$.
+Notons pour simplifier $Σ$ l'ensemble des points du corps global $𝐅_p(t)$.
On a alors $𝒪_{𝐅_p(t)}(Σ)=𝐅_p$ : une fraction rationnelle
sans pôle est une constante. Plus précisément, si l'on a $|f|_P ≤ 1$ pour chaque $P ∈ 𝐅_p[t]$
irréductible et que l'on écrit $f=a/b$ avec $a,b ∈ 𝐅_p[t]$ premiers entre eux,
@@ -2196,8 +2196,8 @@ alors $P$ ne divise pas $b$. Ceci étant vrai pour tout $P$, le polynôme $b
est nécessairement une constante. Comme $|a|_∞=p^{\deg(a)}$, on a $\deg(a)=0$
(absence de pôle à l'infini).
« Calculons » maintenant $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)$ pour un ouvert quelconque $U ≠ Σ$.
-Supposons pour commencer que la place $|⋅|_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce cas, les places
-appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $|⋅|_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes
+Supposons pour commencer que la place $|⋅|_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce
+cas, les points appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $|⋅|_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes
irréductibles, que l'on peut supposer unitaires, de $𝐅_p[t]$. Ils sont en nombre
fini par hypothèse et l'on peut considérer leur produit $P=∏_i P_i$. On
a alors l'égalité $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)=k[t][1/P]=\{f ∈ 𝐅_p(t): ∃n ≥ 1, ∃a ∈ 𝐅_p[t],
@@ -2838,8 +2838,8 @@ On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon
\subsubsection{}
\label{définition adèles}
Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$
-l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
-cofini des places ultramétriques. La construction
+l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+cofini des points ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
@@ -3015,7 +3015,7 @@ le quotient $𝐙[1/p]/𝐙$.)
\item Cas des fractions rationnelles sur $𝐅_p$, $p$ premier.
Soient $C=𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{𝐅_p(t),P}$
— où $P$ parcourt l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de $𝐅_p[t]$,
-identifiés aux places de $𝐅_p(t)$ différentes de la place infinie — le sous-ensemble
+identifiés aux points de $𝐅_p(t)$ différents du point à l'infini — le sous-ensemble
compact de $𝐅_p(t)_𝐀$ et $C^∘$ le voisinage ouvert $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{K,P}$
de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\}$ : toute
fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$
@@ -3117,8 +3117,8 @@ et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$.
\subsubsection{}
\label{définition idèles}
Comme précédemment, on considère un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$
-l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
-cofini des places ultramétriques. La construction
+l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
+cofini des points ultramétriques. La construction
générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir
le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
@@ -3355,8 +3355,8 @@ Cf. \cite{} \XXX.
\subsubsection{}
\label{définition-régulateur}
-Soient $K$ un corps de nombres, $X$ l'ensemble de ses places ultramétriques
-et $A$ l'ensemble des places archimédiennes, de cardinal $r_𝐑 + r_𝐂 = r +1$.
+Soient $K$ un corps de nombres, $X$ l'ensemble de ses points ultramétriques
+et $A$ l'ensemble des points archimédiens, de cardinal $r_𝐑 + r_𝐂 = r +1$.
D'après ce qui précède, le \emph{covolume} de
$\log_𝐀 𝒪_K^×$ dans l'hyperplan $H$ des vecteurs de somme nulle de $𝐑^A$
(muni de la mesure de Lebesgue usuelle) est fini.
@@ -3873,7 +3873,7 @@ d'adèles. Soit $L\bo K$ une extension
séparable, $x$ une place de $K$ nette dans $L$, et $ψ_x$ un caractère additif
de $K_x$ de niveau nul. Pour chaque $y↦ x$, le caractère $ψ_y =ψ_x ∘ \Tr_{L_y \bo
K_x}$ de $L_y$ est de niveau nul (\ref{niveau reste nul si extension nette}).
-Comme presque toutes les places sont nettes (\refext{AVD-D}{extension est presque partout nette}
+Comme presque tous les points sont nets (\refext{AVD-D}{extension est presque partout nette}
[résulte aussi de \ref{adèles et cb} \XXX]),
on constate que si le résultat à démontrer est vrai pour un caractère $ψ$
sur $K$, il l'est également pour $ψ ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$.
@@ -4074,7 +4074,7 @@ Soit $U$ un ouvert dense de $K$ tel que le support de $f$ soit contenu dans
$K_𝐀(U)=∏_{u ∈ U} 𝒪_{k,u} × ∏_{x ∉ U} K_x$. Considérons le compact $D=∏_x D_x$
de $K_𝐀$, où $D_x$ est le support $\Supp(f_x)$ de $f_x$ si $x ∉ U$, ou
bien $𝒪_{k,x}$ si $x ∈ U$.
-(En présence de places archimédiennes, la compacité de $\Supp(f_x)$ et, \emph{a
+(En présence de points archimédiens, la compacité de $\Supp(f_x)$ et, \emph{a
fortiori}, celle de $D$ ne sont pas garanties.)
La fonction $f$ est nulle hors de $D$. Il en résulte
que chaque terme $f(a_𝐀+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être
@@ -4211,7 +4211,7 @@ notes à la fin. \XXX
\label{définition classe canonique}
Soient $K$ un corps global de
caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
-de cardinal $q$, et $X$ l'ensemble des places.
+de cardinal $q$, et $X$ l'ensemble des points.
Pour chaque caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
de $K_𝐀\bo K$, considérons le diviseur $\div(ψ)=∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}).
@@ -4539,7 +4539,7 @@ $\Res_{s=0} \frac{ζ_K(s)}{s^{r_𝐑+r_𝐂}}=-\frac{hR}{w}$.
\begin{démo}
Le groupe de Picard étant isomorphe au quotient $C_K^{=1}/C_K^{=1}(X)$,
-où $X$ est l'ensemble des places ultramétriques de $K$ et
+où $X$ est l'ensemble des points ultramétriques de $K$ et
$C_K^{=1}(X)=K^×K_𝐀^{×,=1}(X)/K^×$, il suffit de démontrer
l'égalité $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C_K^{=1}(X))=1/w$ si
$K$ est un corps de fonctions et $2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R/w$ sinon.
@@ -4587,7 +4587,7 @@ au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition.
\subsubsection{}
\label{définition zêta Dedekind}
-Soit $K$ un corps global, dont on note $X$ l'ensemble des places
+Soit $K$ un corps global, dont on note $X$ l'ensemble des points
ultramétriques. Pour chaque $x ∈ X$ notons $q_x$ — ou
parfois $N(x)$ — le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$.
La \textbf{fonction zêta de Dedekind} \index{fonction zêta de Dedekind}
@@ -4677,8 +4677,8 @@ Pour chaque extension $k′$ du corps des constantes $k$ de $K$,
notons $X(k′)$ l'ensemble des $k$-places de $K$ à valeurs dans $k′$
(\refext{AVD-D}{définition-place}). Comme expliqué dans \emph{loc. cit.},
on a une application naturelle $X(k′) → X$, envoyant
-une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$.
-(Ce dernier correspond à une classe de valuations sur $K$.)
+une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$,
+correspondant à son tour à une classe de valuations sur $K$.
Si l'extension $k′ \bo k$ est finie de degré $n$,
l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre
au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$.
@@ -4695,7 +4695,7 @@ agissent sur $X(k′)$ : $σ ⋅ φ = φ ∘ σ^{-1}$.
Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$.
Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme
près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k k_e$ obtenu à partir de $K$
-par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_d$ l'ensemble de ses places (ultramétriques).
+par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_e$ l'ensemble de ses points (ultramétriques).
Les faits suivant résultent des résultats exposés en \refext{AVD-D}{} \XXX :
\begin{enumerate}
\item le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ ;
@@ -4816,7 +4816,7 @@ En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
\subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles}
\label{exemple zêta fonctions}
-Par définition et description des places de $𝐅_p(t)$, on a
+Par définition et description des points de $𝐅_p(t)$, on a
\[
ζ_{𝐅_p(t)}(s)= \Big(∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}\Big) ⋅ (1-p^{-s})^{-1},
\]
@@ -4992,7 +4992,7 @@ ce qui revient à montrer la convergence
absolue du produit eulérien définissant $ζ_K(s)$ dans ce domaine.
À nouveau, nous procédons par réduction au cas d'un corps global premier.
Choisissons un plongement de $𝐐$ ou $𝐤=𝐅_p(t)$ dans $K$ ;
-le morphisme induit sur l'ensemble des places est à fibres
+le morphisme induit sur l'ensemble des points est à fibres
de cardinaux majorés par le degré $d$ de l'extension et,
si une place $x$ de $K$ s'envoie sur $y$, on a $q_x ≥ q_y$.
Il en résulte que $ζ_K(s)$ est majorée respectivement