summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 21:47:25 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 21:47:25 +0100
commit20f60ce8105e4e7c5af9154859c2bfc7f683653a (patch)
tree95f751fd427361546a2720fc3f43dd8de3e856ee
parent18b346e04c4b4853d156583e0698c7b0fb8fae9f (diff)
downloadgalois-20f60ce8105e4e7c5af9154859c2bfc7f683653a.zip
galois-20f60ce8105e4e7c5af9154859c2bfc7f683653a.tar.gz
galois-20f60ce8105e4e7c5af9154859c2bfc7f683653a.tar.bz2
[tmp] fichier temporaire/tampon qui peut servir pour les copier-coller très espacés dans le temps.
-rw-r--r--chapitres/tmp.txt57
1 files changed, 57 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/tmp.txt b/chapitres/tmp.txt
new file mode 100644
index 0000000..1b5fa6f
--- /dev/null
+++ b/chapitres/tmp.txt
@@ -0,0 +1,57 @@
+% vim: textwidth=150
+
+\subsection{Points d'une $k$-algèbre}\label{points-algebre}
+
+Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire
+un morphisme d'anneaux $k→A$.
+Pour toute $k$-algèbre $B$, on note $A^\japmath{田}(B)$
+ou $\japmath{田}(B)$ l'ensemble $\Hom_k(A,B)$.
+Cette notation est un cas particulier d'une notation
+générale, cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}.
+
+Le lemme suivant décrit cet ensemble comme
+un ensemble de points d'un espace affine.
+
+\begin{lemme2}\label{points-quotient}
+Si $A=k[X₁,\dots,X_n]/(f₁,\dots,f_e)$, et $B$ est une $k$-algèbre, l'application
+$$
+A^\japmath{田}(B)=\Hom_k(A,B)→\{(b₁,\dots,b_n)∈B^n:f₁(b₁,\dots,b_n)=\cdots=f_e(b₁,\dots,b_n)=0\}
+$$
+$$
+\big(φ:A→B\big)↦\big(φ(x₁),\dots,φ(x_n)\big),
+$$
+où les $x_i$ sont les images dans $A$ des variables $X_i$,
+est une bijection.
+\end{lemme2}
+
+En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur-representable}),
+l'anneau $A$ représente le foncteur covariant « solutions dans $B$ »
+des équations $f₁,\dots,f_e$. Il résulte de la démonstration
+(ci-dessous) que ce lemme est également, avec les modifications
+évidentes, pour les quotients d'un anneau de polynômes
+ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini d'indéterminées
+par un idéal ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini
+de générateurs.
+
+Dans cet énoncé, on a implicitement fait usage de la convention
+d'écriture suivante.
+
+\begin{convention2}\label{changement-de-base-polynome}
+Soient $k$ un anneau, $C$ une $k$-algèbre et $P∈k[X]$.
+Si aucune confusion ne semble pouvoir en résulter,
+on notera encore $P$ l'image dans $C[X]$ du polynôme $P$ par le morphisme
+canonique $k[X]→C[X]$.
+\end{convention2}
+
+\begin{démo}
+Observons que d'une part l'application $\Hom_k(k[X₁,\dots,X_n],B)→B^n$,
+$ψ↦\big(ψ(X_i)=:b_i\big)_{1≤i≤n}$ est une bijection et que d'autre part, par définition du quotient, un tel morphisme $ψ$
+se factorise à travers le quotient $k[X₁,\dots,X_n]↠A$ en un morphisme $φ:A→B$
+\ssi $ψ(f_j)=0$ pour chaque $1≤j≤e$. La conclusion résulte du fait que
+$ψ(f_j)=f_j(b₁,\dots,b_n)$.
+\end{démo}
+
+ ⁂
+
+
+