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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-01-18 14:46:58 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-01-18 14:46:58 (GMT)
commit24cf006f080488fa6fb791410528dfc00cf15d00 (patch)
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[Gröbner] Démonstration du lemme-à-tout-faire sur les modules de Cauchy.
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex61
1 files changed, 59 insertions, 2 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 38554a0..6b99a29 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1567,14 +1567,71 @@ et on a
\begin{align*}
X^d + \sum_{i=1}^d (-1)^i E_i X^{d-i} &=
\mathfrak{C}_1(\underline{E} | T_1) + (X-T_1)\,
-\mathfrak{C}_2(\underline{E} | T_1,T_2) \\
+\mathfrak{C}_2(\underline{E} | T_1,T_2) \\[-1.5ex]
& + \cdots + (X-T_1)\cdots(X-T_{d-1})\, \mathfrak{C}_d(\underline{E} |
T_1,\ldots,T_{d-1})\\
&+ (X-T_1)\cdots(X-T_d)
\end{align*}
(où $\underline{E}$ est une abréviation pour $E_1,\ldots,E_d$).
\end{lemme2}
-\XXX
+\begin{proof}
+Commençons par montrer la relation
+\[
+\mathfrak{F}_i(W_1,\ldots,W_d | T_1,\ldots,T_i)
+= \sum_{j=0}^{d-i+1} (-1)^j e_j(W_1,\ldots,W_d)\, h_{d-i+1-j}(T_1,\ldots,T_i)
+\]
+par récurrence sur $i$. Pour $i=1$, il s'agit simplement de la
+relation $\prod_{i=1}^d(T-W_i) = \sum_{j=0}^d (-1)^j
+e_j(W_1,\ldots,W_d)\, T^{d-j}$ entre coefficients d'un polynôme et
+fonctions symétriques de ses racines. La relation de récurrence
+découle de
+\[
+(T_i - T_{i+1})\, h_n(T_1,\ldots,T_{i+1}) = h_{n+1}(T_1,\ldots,T_{i-1},T_i)
+- h_{n+1}(T_1,\ldots,T_{i-1},T_{i+1})
+\]
+(ce qui traduit pour le membre de droite de l'égalité ci-dessus la
+même relation de récurrence que pour $\mathfrak{F}_i$). Pour montrer
+cette relation, on écrit $h_{n+1}(T_1,\ldots,T_{i-1},T') =
+\sum_{u=0}^{n+1} T^{\prime u} h_{n+1-u}(T_1,\ldots,T_{i-1})$, on
+remplace $T'$ par $T_i$ et $T_{i+1}$ et on utilise $T_i^u - T_{i+1}^u
+= (T_i - T_{i+1}) h_{u-1} (T_i,T_{i+1})$ ; enfin, $\sum_{u=1}^{n+1}
+h_{u-1} (T_i,T_{i+1}) h_{n+1-u}(T_1,\ldots,T_{i-1}) =
+h_n(T_1,\ldots,T_{i+1})$.
+
+La relation en question montre bien que
+$\mathfrak{F}_i(\underline{W}|\underline{T})$ est un polynôme à
+coefficients entiers complètement symétrique en chaque jeu de
+variables (\textit{a priori} il était défini comme fonction
+rationnelle, à coefficients rationnels, de ces jeux de variables).
+
+Le fait que $\mathfrak{F}_i$ s'annule identiquement si on substitute
+aux $T_j$ un sous-ensemble des $W_j$ vient de ce que $\mathfrak{F}_1$
+s'annule trivialement dans ce cas, et que la relation de récurrence
+s'applique avec cette spécialisation (les dénominateurs $W_{u_i} -
+W_{u_{i+1}}$ sont inversibles dans les fractions rationnelles sur
+$W_1,\ldots,W_d$).
+
+L'existence et l'unicité du polynôme $\mathfrak{C}_i$ tel que
+$\mathfrak{C}_i(e_1(\underline{W}),\ldots,e_d(\underline{W}) |
+T_1,\ldots,T_i) = \mathfrak{F}_i(W_1,\ldots,W_d | T_1,\ldots,T_i)$
+découle du fait que $\mathfrak{F}_i$ est complètement symétrique dans
+les variables $W_j$ et que les $e_j(\underline{W})$ egendrent
+linéairement les polynômes en question. L'expression trouvée pour
+$\mathfrak{F}_i$ donne alors immédiatement l'expression annoncée pour
+$\mathfrak{C}_i$.
+
+Enfin, pour montrer la dernière expression annoncée, remarquons que
+$X^d + \sum_{i=1}^d (-1)^i E_i X^{d-i} =
+\mathfrak{C}_1(\underline{E}|X)$ (d'après l'expression qu'on vient de
+montrer) et que pour chaque $i$ on a
+$\mathfrak{C}_i(\underline{E}|T_1,\ldots,T_{i-1},X) =
+\mathfrak{C}_i(\underline{E}|T_1,\ldots,T_i) + (X-T_i)\,
+\mathfrak{C}_{i+1}(\underline{E}|T_1,\ldots,T_i,X)$ (d'après la
+formule de récurrence des $\mathfrak{F}_i$), en convenant que
+$\mathfrak{C}_{d+1}(E_1,\ldots,E_d|\ldots)$ vaut identiquement $0$ :
+en appliquant successivement cette formule pour $i$ allant de $1$ à
+$d$ on trouve ce qu'on voulait.
+\end{proof}
\begin{proposition2}\label{relations-algebre-de-decomposition-universelle}
Soit $k$ un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire, disons $f =