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authorFabrice Orgogozo <fabrice@localhost.localdomain>2008-07-25 19:12:19 (GMT)
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Structure k-algèbres finie (suite et fin (?))
changement dans l'ordre des sections : cas monogène d'abord, quelques lemmes en exercice pour alléger Remarque : fausse manip' → j'ai effacé mon .git (lors d'une synchronisation avec l'X). Je récupère celui d'Ulm.
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@@ -0,0 +1,1706 @@
+\chapter{Corps et algèbres : premières définitions}
+
+Bien que l'on s'intéresse principalement dans cet ouvrage aux \textit{corps}
+$\QQ,\FF_p,\RR,\CC,\QQ(t),\QQ_p,\QQ((t)), \FF_p((t))$ etc., on s'apercevra
+vite que la théorie gagne beaucoup en souplesse en s'autorisant l'étude des \emph{algèbres}.
+On rapprochera ce phénomène du fait que l'étude des espaces
+topologiques gagne à considérer également les espaces non connexes même
+si \emph{in fine} seuls les espaces connexes nous intéressent.
+
+\section{Éléments algébriques}
+
+
+\begin{dfn}\label{entier}
+Soit $A$ un anneau commutatif et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
+est \emph{algébrique} ou \emph{entier} sur $A$ si la sous-$A$-algèbre
+de $B$ engendrée par l'élément $b$, $A[b]:=\{\sum_{i=0}^r a_i b^i; a_i\in A, r\in \NN\}$,
+est un $A$-module de type fini.
+\end{dfn}
+
+\begin{prp}\label{algébrique} Soit $b\in B$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item $b$ est algébrique sur $A$,
+\item il existe un polynôme unitaire $P\in A[X]$ tel que $P(b)=0$,
+\item il existe un sous-$A$-algèbre de $B$ finie sur $A$, contenant $b$.
+\end{itemize}
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Établissons l'équivalence des deux premières conditions.
+Si $A[b]$ est de type fini sur $A$ (\cad $b$ algébrique sur $A$),
+de générateurs $P_1(b),\dots,P_r(b)$ (pour un choix convenable
+de $P_i\in A[X]$) alors $b^n$ appartient à $A+Ab+\cdots+Ab^{n-1}$
+pour tout entier $n$ supérieur ou égal aux degrés des polynômes $P_i$.
+Cela signifie précisément que $b$ est annulé par un polynôme \emph{unitaire}
+de degré $n$ à coefficients dans $A$.
+Réciproquement, d'une relation $P(b)=b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_0=0$, on tire immédiatement,
+par récurrence sur $r\in \NN$, le fait que $b^{n+r}$ appartient au $A$-module
+de type fini $A+Ab+\cdots+Ab^{n-1}$, qui
+n'est donc finalement autre que $A[b]$.
+
+Il reste à montrer que si $b$ est contenu dans une sous-algèbre $C$ finie sur $A$, alors
+$b$ est racine d'un polynôme unitaire.
+Si $c_1,\dots,c_r$ sont des générateurs de $C$ sur $A$, l'action de la multiplication par
+$b$ sur $C$ peut se décrire par un endomorphisme (non canonique) de $A^r$.
+Le polynôme caractéristique de cet endomorphisme s'annule en $b$ ; il est
+unitaire.
+\end{proof}
+
+\begin{lmm}
+Soit $A$ un anneau tel que $A[X]$ soit principal.
+Alors, si $B$ est une $A$-algèbre et $b\in B$ est entier
+sur $A$, il existe un unique polynôme unitaire $P$
+tel que $A[X]/P\iso A[b]$.
+C'est en particulier le cas si $A$ est un corps.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+L'algèbre $A[b]\subset B$ est un quotient de $A[X]$
+via l'application $A[X]\surj A[b],\ X\mapsto b$.
+Le noyau de celle-ci est un idéal donc par hypothèse
+principal, engendré par un polynôme $P$. Comme $P$ doit diviser un polynôme unitaire
+(car $b$ est entier), $P$ est à coefficient dominant inversible ; on peut le supposer
+égal à $1$. Enfin c'est un fait valable dans tout anneau $A$
+que si $(P)=(Q)$ avec $P,Q$ unitaires, alors $P=Q$.
+\end{proof}
+
+La généralité de l'énoncé précédent est illusoire :
+
+\begin{lmm}
+Soit $A$ un anneau tel que l'anneau de polynômes $A[X]$ soit
+principal. Alors, tout élément non diviseur de zéro de $A$ est une
+unité. En particulier, si $A$ est intègre, c'est un corps.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Soit $a\in A$ non diviseur de zéro.
+Supposons qu'il existe $P_a\in A[X]$ tel que $(P_a)=(a,X)$.
+Il existe alors deux polynômes $Q_1,Q_2\in A[X]$ tels
+que $X=Q_1P_a$ et $a=Q_2P_a$. On en déduit tout d'abord que $P_a(0)Q_2(0)=a$
+si bien que $P_a(0)$ n'est pas un diviseur de zéro. Comme $P_a(0)Q_1(0)=0$,
+on a $Q_1(0)=0$, \cad $Q_1=\widetilde{Q}_1X$. On a alors $\widetilde{Q}_1P_a=1$ ;
+en particulier, $(P_a)=A[X]$ et donc $(a)=(P_a(0))=A$.
+\end{proof}
+
+L'élément $\sqrt{2}\in \RR$, annulé par le polynôme $X^2-2$,
+est un élément entier sur $\ZZ$. Par contre, $\frac{1}{2}$ ne l'est pas.
+Plus généralement :
+
+\begin{lmm}\label{entiers alg rationnels}
+Tout nombre rationnel entier sur $\ZZ$ est un entier relatif.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Soit $r=a/b\in \QQ$, où $a,b\in \ZZ-\{0\}$ et $(a,b)=1$.
+Si l'on a
+$$
+\frac{a}{b}^n+a_{n-1}\frac{a}{b}^{n-1}+\cdots+a_1 \frac{a}{b}+a_0=0,
+$$
+où les coefficients sont entiers, on voit par multiplication par $b^{n}$
+que $b$ divise $a$. C'est donc une unité : $b=\pm 1$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Le cas des corps}
+Soit $K$ un \emph{corps} et $A$ une $K$-algèbre.
+\begin{prp}
+Un élément $a\in A$ est algébrique sur $K$ si et seulement si $\dim_K K[a]$
+est finie. Dans ce cas, cet entier est aussi la dimension de l'\emph{unique}
+polynôme unitaire $\mathrm{Irr}_{K}(a)\in K[X]$ s'annulant en $a$ et de degré
+minimal. On l'appelle le polynôme minimal de $a$ sur $K$.
+\end{prp}
+
+Réciproquement, si $K$ est un corps et $P\in K[X]$ un polynôme unitaire (donc
+non nul) quelconque, l'algèbre $A:=K[X]/P$ est de dimension finie
+égale à $\deg(P)$ sur $K$ ; l'élément $x= (X \mod P)$ est algébrique
+de polynôme minimal $P$.
+En particulier un polynôme minimal n'est pas nécessairement, avec ce
+niveau de généralité, irréductible.
+
+Nous nous intéresserons particulièrement au cas où la $K$-algèbre $A$ est un corps.
+
+\begin{dfn}
+Soit $K$ un corps. On appelle \emph{extension} du corps $K$, tout morphisme $u:K\ra L$
+(noté en abrégé $L/K$), où $L$ est également un corps. Le morphisme $u$ est
+nécessairement une injection. Si la dimension $\dim_K L$ est finie,
+auquel cas on dit que $L/K$ est finie, on note cet entier
+$[L:K]$ et on l'appellera \emph{degré} de $L$ sur $K$.
+\end{dfn}
+
+Il résulte de la définition que si l'extension $L/K$ est finie, tout élément
+$\alpha$ de $L$ est algébrique sur $K$, de degré inférieur ou égale à $[L:K]$.
+(Le cas d'égalité sera discuté plus bas.) Dans ce cas, l'anneau $K[\alpha]\subset L$
+étant \emph{intègre}, le polynôme
+minimal $\mathrm{Irr}_K(\alpha)$ est \emph{irréductible} et
+$K[\alpha]$ est donc un \emph{corps}, que l'on notera également $K(\alpha)$.
+
+On laisse au lecteur le soin de définir les notions de sous-extension etc.
+
+\subsection{Structure des éléments algébriques}\label{1.1}
+
+\begin{prp}
+Soit $B$ une $A$-algèbre. L'ensemble des éléments de $B$ algébriques sur $A$
+est une sous-$A$-algèbre de $B$. En d'autres termes,
+si $b,b'$ sont deux éléments de $B$, algébriques sur $A$,
+il en est de même de $b+b'$, $bb'$ et $ab$ pour tout $a\in A$.
+\end{prp}
+
+(Si elle coïncide avec l'algèbre $B$ tout entière, on dit que $B$ est \emph{entière}
+sur $A$. Si $B/A$ est une extension de corps, on dit alors plutôt que
+l'extension est \emph{algébrique}.)
+
+\begin{proof}
+Par hypothèse, les sous-$A$-algèbres de $B$, $A[b]$ et $A[b']$ sont
+des $A$-modules de type fini.
+La multiplication dans $B$ induit un morphisme de $A$-algèbres
+$$A[b]\otimes_A A[b']\ra B,$$
+dont l'image est la sous-algèbre $A[b,b']=\{\sum_{i,j\geq 0} a_{i,j}b^i{b'}^j; a_{i,j}\in A
+\text{\ presque tous nuls}\}$. Ainsi, $A[b,b']$, qui est un quotient
+d'un $A$-module de type fini (le produit tensoriel de deux $A$-modules
+de type fini est de type fini), est de type fini.
+Finalement, comme $b+b'$, $bb'$ et les $ab$ appartiennent à $A[b,b']$,
+ils sont algébriques sur $A$ en vertu de \ref{algébrique}.
+\end{proof}
+
+\begin{exm}
+Il résulte de la proposition précédente que $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\in \CC$
+est entier sur $\ZZ$. (On dit alors que c'est un \emph{entier algébrique}.)
+Un moyen de trouver explicitement un polynôme est de remarquer que si
+l'on prend pour base de $\ZZ[X]/(X^3-2)\otimes_{\ZZ} \ZZ[Y]/(Y^2-3)$ les monômes
+(classes de) $1,X,X^2,Y,XY,X^2Y$, la matrice de la multiplication par $X+Y$
+est
+
+$$
+\left( \begin {array}{cccccc} 0&0&2&3&0&0\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&3&0\\\noalign{\medskip}0&1&0&0&0&3\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&0&2\\\noalign{\medskip}0&1&0
+&1&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0&1&0\end {array} \right)
+$$
+
+Son polynôme caractéristique est ${x}^{6}-9\,{x}^{4}-4\,{x}^{3}+27\,{x}^{2}-36\,x-23$.
+Il s'annule en $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$. Cet élément étant de degré $6$ sur $\QQ$
+(exercice), le polynôme ci-dessus est irréductible sur $\QQ$.
+
+\end{exm}
+
+Nous n'utiliserons pas la définition suivante dans cette partie.
+
+\begin{dfn}\label{normal}
+Soit $A\ra B$ un morphisme d'algèbres. On appelle \emph{clôture intégrale},
+ou \emph{normalisation}, de $A$ dans $B$, la sous-$A$-algèbre de $B$ constituée
+des éléments entiers sur $A$.
+
+On dit qu'un anneau intègre $A$ de corps des fractions $K$ est \emph{intégralement clos},
+si tout élément de $K$ entier sur $A$ est dans $A$,
+\cad si la clôture intégrale de $A$ dans $K$ coïncide avec $A$.
+Un anneau quelconque est dit \emph{normal} s'il est intègre et intégralement clos.
+\end{dfn}
+
+On a vu en \ref{entiers alg rationnels} que l'anneau $\ZZ$ des entiers relatifs
+est normal.
+
+
+\begin{prp}
+Soit $F/L/K$ deux extensions finies de corps. Alors l'extension $F/K$ qui s'en déduit
+par composition est également finie et
+$$
+[F:K]=[F:L][L:K].
+$$
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Par définition, on dispose d'isomorphismes $F\isononcan_L L^{[F:L]}$
+et $L\isononcan_K K^{[L:K]}$. On en tire immédiatement $F=\isononcan_K
+\big(K^{[L:K]}\big)^{[F:L]}\isononcan_K K^{[F:L][L:K]}$.
+\end{proof}
+
+La dernière égalité a également un sens sans hypothèse de finitude.
+
+\begin{crl}
+Si $L/K$ est une extension finie et $K'/K$ une sous extension, on
+a $[K':K] | [L:K]$.
+\end{crl}
+
+\begin{exm}
+Soit $P(X)=X^3-X+1\in \QQ[X]$, irréductible (exercice).
+Soit $L:=\QQ[X]/P$ ; c'est une extension de degré $3$ sur $\QQ$, engendrée
+(comme $\QQ$-algèbre) par la classe $\alpha$ de $X$ dans le quotient.
+Soit $K'=\QQ(\alpha^2)$. Comme $\alpha$ est de degré $3$ sur $\QQ$, $\alpha^2\notin \QQ$,
+donc l'extension $K'/\QQ$ est non triviale. Il en résulte
+que $[K':\QQ]=3$ et finalement que $\QQ(\alpha)=\QQ(\alpha^2)$.
+Nous laissons au lecteur la tâche simple d'exprimer $\alpha$ comme un polynôme en $\alpha^2$.
+\end{exm}
+
+Étudions maintenant plus en détail la structure de $K[X]/P$ pour un corps $K$
+et un polynôme $P$ quelconque. Remarquons qu'une $K$-algèbre est de cette
+forme si et seulement si elle est \emph{monogène} (\cad engendrée par un seul élément) et de dimension
+finie (\cad que l'élément générateur est algébrique sur $K$).
+Il résulte immédiatement du théorème chinois que si l'on décompose
+$P$ en $P=P_1^{\alpha_1}\cdots P_r^{\alpha_r}$ ($\alpha_i>0$), où les $P_i$ sont irréductibles et
+distincts deux à deux, on a :
+$$
+K[X]/P \iso \prod_{i=1}^r K[X]/P_i^{\alpha_i}.
+$$
+Un fait essentiel est que les algèbres $K[X]/P_i^{\alpha_i}$ sont \emph{locales},
+\cad non nulles n'ayant qu'un \emph{unique} idéal maximal $\MM_i$,
+engendré par $P_i$. Ce dernier
+est ici nilpotent : il existe un entier $n$ (ici $\alpha_i$) tel que $\MM_i^n=0$.
+
+Le théorème suivant affirme qu'on a un énoncé analogue pour des $K$-algèbres
+non nécessairement monogènes.
+
+\begin{thm}\label{structalgdimfinie}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre de dimension finie.
+Alors :
+\begin{enumerate}
+\item $A$ a un nombre fini d'idéaux premiers $\wp_1,\dots,\wp_r$,
+\item $r=\# \SP(A)\leq \dim_k A$,
+\item les idéaux premiers $\wp_i$ sont \emph{maximaux},
+\item $\displaystyle A\iso \prod_{i=1}^r A_i$, où $A_i$ est une $k$-algèbre de dimension finie,
+\emph{locale}, dont l'idéal maximal est nilpotent.
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+
+Rappelons la
+
+\begin{dfn}\label{spectre}
+Pour un anneau commutatif $A$, on note $\SP(A)$ le \emph{spectre} de $A$, qui
+est l'ensemble de ses idéaux premiers.
+Un morphisme d'anneaux commutatifs $f:A\ra B$ étant donné, on note $\SP(f)$
+l'application en sens inverse :
+$$\SP(B)\ni \wp\mapsto f^{-1}(\wp)\in \SP(A).$$
+\end{dfn}
+
+Nous utiliserons principalement le théorème précédent sous la forme suivante :
+
+\begin{crl}\label{algèbre réduite}
+Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie, \emph{réduite} (\cad sans éléments nilpotents).
+Alors
+$$A\iso \prod_{i=1}^r K_i,$$ où les $K_i/k$ sont des extensions finies de corps.
+\end{crl}
+
+(Rappelons que les isomorphismes $A\iso B$ entre deux $k$-algèbres sont
+par définition $k$-linéaires.)
+
+\begin{crl}\label{hom versus dim}
+Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie.
+Alors,
+$$
+\# \Hom_k(A,k) \leq \dim_k A.
+$$
+\end{crl}
+
+En effet, à un morphisme de $\Hom_k(A,k)$ correspond bijectivement un idéal maximal $\wp$ de $A$ dont le corps
+résiduel $\kappa(\wp):=A/\wp$ est isomorphe à $k$.
+
+\begin{proof}[Démonstration du théorème]
+Soit $\wp\in \SP(A)$ ; l'anneau quotient $A/\wp$ est intègre, de dimension finie sur $k$
+donc c'est un corps et $\wp$ est maximal.
+Soient $\wp_1,\dots,\wp_n$ des idéaux premiers distincts ; pour $1\leq i\neq j\leq n$
+on a $\wp_i+\wp_j=A$ d'où, par le lemme chinois, une surjection
+$$
+A\surj \prod_{i=1}^n A/\wp_i.
+$$
+
+Chaque facteur du terme de droite est non nul, donc de dimension sur $k$ supérieure
+ou égale à $1$. Il en résulte que $n\leq \dim_k A$. Cela prouve les deux premiers
+points. Soit $\SP(A)=\{\wp_1,\dots,\wp_r\}$ (les éléments sont supposés distincts).
+Le noyau du morphisme précédent (pour $n=r$) est $\cap_1^r \wp_i=\Nilp A$.
+Comme $A$ est noethérien, il existe $N\in \NN$ tel que $(\Nilp A)^N=0$.
+On en déduite que l'idéal produit $\wp_1^N\cdots \wp_r^N=0$, et finalement
+que $\cap \wp_i^N=0$. Pour ce dernier point on remarque que si
+$x$ est un élément de cette intersection, son annulateur $\mathrm{Ann}(x)$ contient $\prod_{j\neq i} \wp_j^N$,
+pour tout $i$.
+S'il existait un idéal maximal $\wp$ contenant $\mathrm{Ann}(x)$, il contiendrait donc en particulier
+$\prod_{\wp'\neq \wp \in \SP(A)} {\wp'}^N$, ce qui est absurde\footnote{Car si $x'\in \wp'-\wp$,
+$\prod_{\wp'\neq \wp} x'^N \in \wp$ est impossible.}.
+
+
+Ainsi,
+$$A\iso \prod_1^r A/\wp_i^N.$$
+L'anneau $A_i:=A/\wp_i^N$ est local (car l'ensemble
+$\SP(A/\wp^N)$ est en bijection avec les idéaux premiers contenant $\wp^N$ donc
+$\wp$), d'idéal maximal nilpotent.
+\end{proof}
+
+On laisse le soin au lecteur de vérifier que les anneaux locaux $A/\wp_i^N$
+s'identifient aux localisés $A_{\wp_i}$.
+On verra plus tard (\ref{décomposition algèbre artinienne}) que plus généralement,
+si $C$ est un anneau noethérien dont
+les idéaux premiers sont maximaux (anneau de « dimension nulle »),
+$C\iso\prod_{\wp\in \SP(C)} C_{\wp}$.
+
+\section{Extensions composées}
+
+\begin{dfn}
+Soit
+$$
+\xymatrix{
+& L & \\
+E \ar@{-}[ur]^u & & F \ar@{-}[ul]_v \\
+& K \ar@{-}[ul] \ar@{-}[ur] &
+}
+$$
+
+un diagramme commutatif d'extensions. On dit que $(L,u,v)$ est une \emph{extension
+composée} si $L$ est engendrée par $u(E)\cup v(F)$ comme $K$-algèbre.
+
+\end{dfn}
+
+Par exemple, si $E,F\subset K'$ et $E=K(\alpha_i, i\in I)$, $F=K(\beta_j, j\in J)$
+où les $\alpha_i,\beta_j$ sont dans $K'$, la sous-extension $L=K(\alpha_i,\beta_j, (i,j)\in
+I\times J)$ de $K'$ est une extension composée de $E$ et $F$.
+
+\begin{prp}\label{extension composée}
+Pour tout couple d'extensions, il existe une extension composée.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Soient $E_1/K$ et $E_2/K$ les deux extensions et considérons la $K$-algèbre
+produit tensoriel $E_1\otimes_K E_2$. Elle est non nulle et possède donc un idéal
+maximal (lemme de Krull) qui induit une surjection
+$$
+E_1\otimes_K E_2\surj L
+$$
+où $L$ est un corps.
+
+Le sous-corps engendré par les images de $E_1$ et $E_2$ dans $L$ est une extension
+composée désirée.
+\end{proof}
+
+Si $E_1/K$ et $E_2/K$ sont finies, toute extension composée
+est de dimension inférieure ou égale à $[E_1:K][E_2:K]$.
+On note en général $E_1E_2/K$ une telle extension.
+
+La question de l'« unicité » de l'extension composée sera abordée plus tard.
+
+\begin{rmr}\label{produit tensoriel infini}
+Il est utile de noter que le produit tensoriel d'un ensemble quelconque
+de modules ou d'algèbres $M_i$ ($i\in I$) sur un anneau existe ; il représente le
+foncteur $\mathrm{Bil}((M_i),T):=\cup_{J \text{ fini}\subset I} \mathrm{Bil}(M_{j\in J},T)$.
+\end{rmr}
+
+\section{Corps de rupture, de décomposition}
+
+\begin{prp}
+Soient $k$ un corps et $f\in k[X]$ un polynôme irréductible.
+Il existe une extension finie $K/k$ telle que $f$ ait une racine $\alpha$ dans $K$ et que
+$K/k$ soit engendré par cette racine. De plus, $K$ est nécessairement isomorphe (sur $k$)
+à $k[X]/f$. Un tel corps est appelé \emph{corps de rupture} de $f$ sur $k$.
+Une telle extension existe sans supposer $f$ irréductible mais elle n'est pas nécessairement
+unique.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Posons $k_f:=k[X]/f$ ; c'est un corps et $f(\sur{X})=0$ dans $k_f$. D'où l'existence.
+Pour $K$ et $\alpha$ comme plus haut, on a un morphisme $k[X]\surj K$, $X\mapsto \alpha$.
+Son noyau contient $f$ ; il se factorise donc en $k_f\surj K$. Ce morphisme étant
+nécessairement injectif, c'est un isomorphisme. Pour démontrer le second point, il
+suffit par exemple de considérer un facteur irréductible de $f$, ou plus savamment
+un corps quotient de $k[X]/f$.
+\end{proof}
+
+\begin{prp}\label{décomposition}
+Soit $f\in k[X]$. Il existe une extension $K/k$ telle que dans $K[X]$
+$f$ se factorise en $\prod_{i=1}^{\deg f} (X-\alpha_i)$ et que $K$ soit
+engendrée par les $\alpha_i$ sur $k$. Deux tels corps sont isomorphes sur $k$.
+Un tel corps est appelé corps de \emph{décomposition} de $f$ ; il sera
+parfois noté $\mathrm{d\acute{e}c}_k(f)$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+L'existence résulte de la proposition précédente, qui permet --- dans un sur-corps
+de $k$ --- de factoriser $f$ en $(X-\alpha)g$ et d'une récurrence sur le degré de $f$.
+Soient $K_1$ et $K_2$ deux corps de décomposition. D'après \ref{extension composée},
+il existe un diagramme
+$$
+\xymatrix{
+& E & \\
+K_1 \ar@{-}[ur]^u & & K_2 \ar@{-}[ul]_v \\
+& k \ar@{-}[ul] \ar@{-}[ur] &
+}
+$$
+Par hypothèse $u(K_1)$ est la sous-$k$-extension $\tilde{K}$ de $E$ engendrée par les racines
+de $f$. Il en est de même de $v(K_2)$. Comme les morphismes $u$ et $v$ sont injectifs
+(et induisent donc des isomorphismes $?^{|\tilde{K}}$ vers $\tilde{K}$),
+$(v^{|\tilde{K}})^{-1}u^{|\tilde{K}}$ induit un isomorphisme
+$K_1\iso K_2$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Clôture algébrique}
+
+\begin{dfn}
+Un corps est dit \emph{algébriquement clos} si tout polynôme non constant
+a une racine dans ce corps.
+\end{dfn}
+Cela revient à supposer que toute extension algébrique (resp. toute
+extension algébrique \emph{monogène}) du corps est triviale.
+
+\begin{dfn}
+Une extension $K$ d'un corps $k$ est une \emph{clôture algébrique} de $k$
+si $K$ est un corps algébriquement clos et si l'extension $K/k$ est algébrique.
+\end{dfn}
+
+\begin{thm}[Steinitz]
+Pour tout corps $k$, il existe une clôture algébrique de $k$. Deux telles clôtures
+algébriques sont isomorphes (sur $k$).
+\end{thm}
+ Elles sont habituellement dénotées
+par $\sur{k}$ ou $k^{\mathrm{alg}}$\footnote{
+Cette dernière notation a l'avantage d'éviter toute confusion
+avec un corps obtenu par réduction modulo un idéal et d'insister sur
+la différence entre la notion de clôture algébrique et celle
+assez semblable de \emph{clôture séparable}, introduite plus bas.}
+
+\begin{proof}
+Soit $F$ l'ensemble des polynômes irréductibles de $k$.
+Pour tout $f\in F$, notons comme plus haut $\mathrm{d\acute{e}c}(f)$ un corps de
+décomposition de $f$.
+Soit $K$ un corps quotient de l'algèbre $\displaystyle \bigotimes_{f\in F}
+\mathrm{d\acute{e}c}(f)$ (cf. remarque \ref{produit tensoriel infini}).
+Il est bien évident que l'extension $K/k$ est algébrique
+(car $\displaystyle \otimes_{f\in F}
+\mathrm{d\acute{e}c}(f)$ est la réunion des produits tensoriels finis).
+De plus, tout polynôme irréductible sur $k$ a une racine dans $K$.
+Cela suffit pour vérifier que $K$ est algébriquement clos. En effet,
+si $K'/K$ est une extension algébrique monogène, $K'=K(\alpha)\isononcan K[X]/P$,
+il existe $k'/k$ finie telle que $P\in k'[X]$. L'extension $k'_P=k'(\alpha)$
+est algébrique sur $k'$ donc sur $k$. Finalement $\alpha$ est algébrique sur $k$
+donc appartient à $K$ ; $K'/K$ est donc triviale.
+
+L'unicité se démontre comme en \ref{décomposition} : si $K_1$ et $K_2$ sont
+deux clôtures algébriques, on commence par choisir une extension composée
+contenant les deux corps dans laquelle l'isomorphisme est évident.
+\end{proof}
+
+
+Le lecteur est sans doute déjà convaincu que l'on aurait pu considérer
+la notion de corps de décomposition d'un ensemble quelconque de polynômes ;
+c'est ce que fait par exemple N.~Bourbaki.
+
+\begin{exm}
+Ainsi le corps des nombres réels $\RR$ possède une clôture algébrique.
+D'après le théorème de d'Alembert-Gauß, une telle clôture algébrique
+est isomorphe au corps des nombres complexes. Nous en donnerons une
+démonstration algébrique plus bas (cf. \ref{d'Alembert-Gauss}). Nous encourageons le
+lecteur à le démontrer dès maintenant en commençant par vérifier à la main que
+si une fonction polynomiale non constante $f\in \CC[z]$ prend une valeur non nulle (par exemple
+$1$) en un nombre complexe $z_0$ (par exemple $0$),
+elle prend également des valeurs strictement inférieures en module. (Et ce d'ailleurs dans
+des voisinages arbitrairement proches de $0$.)
+\end{exm}
+
+\subsection{Au sujet de l'unicité}
+Si $k$ est un corps, $K$ une extension algébrique et $\bar{k}$ une clôture algébrique.
+Toute clôture algébrique de $K$ étant une clôture algébrique de $k$ (exercice),
+et deux clôtures algébriques étant $k$-isomorphes, on voit qu'il existe un $k$-morphisme
+$K\hra \sur{k}$. Se pose alors la question de savoir quand un tel morphisme
+est unique.
+
+\begin{exm}\label{exemple radiciel}
+Soient $p$ un nombre premier, $k=\FF_p(t)$ le corps des fractions de l'algèbre $\FF_p[t]$
+des polynômes et $K=k[X]/(X^p-t)$. Le polynôme $X^p-t$ est irréductible (exercice
+ou cf. \ref{} [À rédiger]) donc $K$ est bien un corps. Toute clôture algébrique $\sur{k}$
+de $k$ scinde le polynôme $X^p-t$ en $(X-t')^p$, pour un unique $t'\in \sur{k}$.
+Il en résulte qu'il existe un unique morphisme $k$-linéaire $K\ra \sur{k}$ : celui envoyant
+la classe de $X$ dans $K$ sur $t'$. Le morphisme $\Hom(K,\sur{k})\hra \Hom(k,\sur{k})$
+est donc une bijection.
+\end{exm}
+
+\begin{dfn}
+Soient $K/k$ une extension et $p$ l'exposant caractéristique de $k$.
+On dit qu'un élément $x\in K$ est \emph{radiciel} sur $k$ s'il existe un entier
+$e$ tel que $x^{p^e}\in k$. Le plus petit entier $e$ satisfaisant à ce critère
+est la \emph{hauteur} de $x$, notée $\mathrm{ht}(x)$.
+\end{dfn}
+
+\begin{prp}
+Soient $K/k$ une extension et $x\in K$, radiciel de hauteur $e$ sur $k$.
+Alors
+$$
+\mathrm{Irr}_k(x)=X^{p^e}-x^{p^e}.
+$$
+En particulier, $[k(x):k]=p^e$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Il s'agit de montrer que $X^{p^e}-x^{p^e}$ est irréductible sur $k$.
+Dans $\sur{k}$, une clôture algébrique de $k$, ce polynôme se
+factorise en $X^{p^e}-x^{p^e}=(X-x)^{p^e}$. Ainsi le polynôme minimal
+de $x$ sur $k$, qui divise nécessairement $X^{p^e}-x^{p^e}$ est de la forme
+$(X-x)^r$ pour un $r\in \NN$. Écrivons $r=p^{f}n$, avec $(p,n)=1$ ;
+
+$$(X-x)^r=(X^{p^f}-x^{p^f})^n.$$
+
+Si ce polynôme est à coefficient dans $k$, il en est en particulier ainsi de $n x^{p^f}$.
+Comme $n$ est inversible dans $k$, cela entraîne que $x^{p^f}\in k$ et donc $f=e$
+et finalement $r=n$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Extensions radicielles}
+
+\begin{dfn}
+Une extension $K/k$ est dite \emph{radicielle} si tout élément
+de $K$ est radiciel sur $k$.
+\end{dfn}
+
+\begin{prp}
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+
+\begin{enumerate}
+\item $K/k$ est radicielle,
+\item pour tout corps $L$, l'application $\Hom(K,L)\ra \Hom(k,L)$ est une injection,
+\item pour tout corps \emph{parfait} $L$, l'application ci-dessus est une bijection.
+\end{enumerate}
+\end{prp}
+
+Le lien entre ces notions passe essentiellement par la remarque triviale
+mais importante suivante :
+
+\begin{lmm}\label{plongement racines}
+Soient $k$ un corps, $P\in k[X]$ un polynôme et $K$ l'\emph{anneau} quotient $k_P:=k[X]/P$.
+Alors, pour toute $k$-algèbre $A$, l'application
+$$\Hom_k(K,A)\ra \{a\in A, P(a)=0\},
+$$
+envoyant $f:K\ra A$ sur $f(X \mod P)\in A$ est une bijection.
+\end{lmm}
+
+On appliquera souvent ce lemme dans le cas où $P$ est irréductible, \cad $K$ est un corps,
+et $A$ est une extension algébriquement
+close de $k$ (p. ex. une clôture algébrique).
+
+Nous aurons également besoin du lemme suivant :
+
+\begin{lmm}\label{extension}
+Soient $K/k$ une extension et $L/K$ une extension algébriquement close de $K$.
+Alors l'application de restriction
+$$
+\Hom(K,L)\ra \Hom(k,L)
+$$
+est surjective.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+La démonstration est laissée au lecteur qui pourra en donner une directe à l'aide du lemme
+de Zorn ou bien utiliser une extension composée en s'inspirant de \ref{décomposition}.
+\end{proof}
+
+
+\begin{proof}[Démonstration de la proposition]
+(1) entraîne (2).
+Supposons $K/k$ radicielle, $L$ un corps et considérons un diagramme commutatif :
+$$
+\xymatrix{
+K \ar@<1ex>[r]^{v_1} \ar[r]_{v_2} & L \\
+k \ar[u] \ar[ur]^u &
+}
+$$
+Si $x\in K$, et $e=\mathrm{ht}(x)$, on a alors $u(x^{p^e})=v_1(x)^{p^e}=v_2(x)^{p^e}$,
+et finalement $v_1(x)=v_2(x)$.
+
+(2) ou (3) entraînent (1).
+L'extension $K/k$ étant donnée, notons pour tout $n\in \NN$, $k_n$
+l'ensemble des éléments de $K$ radiciels sur $k$ de hauteur inférieure ou égale à $n$.
+C'est un corps, tout comme la réunion $k_{\infty}$ de ces corps, dont on montre
+immédiatement que c'est l'extension radicielle maximale de $k$ dans $K$.
+Si $L$ est un corps (resp. un corps parfait), l'application
+$\Hom(k_{\infty},L)\ra \Hom(k,L)$ est injective (resp. bijective). L'injectivité résulte
+de l'implication ci-dessus ; la surjectivité dans le cas parfait bien du fait
+que l'on peut extraire dans $L$ des racines $p^i$-ièmes (de façon unique et donc
+cohérente).
+
+On peut donc supposer $K/k$ sans éléments radiciels (\cad de hauteur $>0$) sur $k$.
+Il nous suffit donc de montrer que sous cette hypothèse, si $\sur{K}$ est
+une clôture algébrique de $K$ (en particulier un corps parfait),
+l'injectivité de $\Hom(K,\sur{K})\ra \Hom(k,\sur{K})$ entraîne que $K=k$.
+
+Soit $x\in K$. Si $x$ n'est pas algébrique sur $k$, il existe une infinité d'extension
+d'un morphisme $k\ra L$ à $k(x)$. Ainsi, $K/k$ est nécessairement algébrique
+(car en vertu de \ref{extension}, on pourra toujours prolonger
+les morphismes de $k(x)$ à $K$ tout entier).
+Pour $x$ comme ci-dessus, si l'extension n'est pas radicielle, $\mathrm{Irr}_k(x)$
+a strictement plus d'une racine sur $\sur{K}$. Dans le cas contraire,
+ce polynôme serait de la forme $(X-\alpha)^r$ et, si l'on écrit $r=p^en$,
+$(X-\alpha)^r=(X^{p^e}-\alpha^{p^e})^n$, qui est à coefficient dans $k$
+contredit l'hypothèse : $n\alpha^{p^e}\in k$ donc $\alpha^{p^e}\in k$, $n=1$ et
+$x=\alpha$ est radiciel sur $k$. Or, pour $k\hra \sur{K}$ donné,
+chacune des racines de $\mathrm{Irr}_k(x)$ dans $\sur{K}$
+détermine une extension distincte de $k\hra \sur{K}$ à
+$k(x)=k[X]/\mathrm{Irr}_k(x)\hra \sur{K}$ (cf. lemme \ref{plongement racines} ci-dessus).
+\end{proof}
+
+Remarquons que la fibre en $\iota \in \Hom(k,L)$ de l'application
+$\Hom(K,L)\ra \Hom(k,L)$ s'identifie à $\Hom_k(K,L)$ où la structure
+de $k$-algèbre sur $L$ est donnée par $\iota$.
+
+
+%\begin{rmr}[Analogie]
+%En géométrie différentielle, l'analogue de la notion
+%de morphisme radiciel est celle de morphisme injectif (sous-variété).[...]
+%Nous allons introduire une classe de morphismes (dit étales ou séparables) qui
+%sont l'analogue des morphismes submersifs (ou lisse) en géométrie différentielle
+%(cf. \ref{caractérisation différentielle}).
+%\end{rmr}
+
+La théorie de Galois de $K/k$ se construit autour du groupe
+$\Aut_k(K)$ alors qu'a priori il est naturel de s'intéresser aux plongements
+$\Hom_k(K,\sur{K})$ (cf. \ref{plongement racines}). Enfin, et c'est bien
+plus essentiel, ce dernier ensemble pourrait être trop petit pour qu'on en tire
+de l'information (cf. \ref{exemple radiciel}) sur $K$. Ces deux aspects sont
+développés dans les paragraphes suivants.
+
+\section{Extensions séparables, algèbres étales}
+
+\begin{dfn}\label{def séparable}
+Soit $k$ un corps ; un polynôme $P\in k[X]$ est dit \emph{séparable}
+s'il n'a que des racines \emph{simples} dans toute clôture algébrique de $k$.
+Si $K/k$ est une extension, et $x\in K$ est algébrique sur $k$,
+on dit que $x$ est \emph{séparable} sur $k$ si et seulement
+si son polynôme minimal est séparable.
+\end{dfn}
+
+En particulier, un polynôme séparable est non nul.
+
+\begin{prp}\label{poly séparable}
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $P\in k[X]$ est séparable,
+\item $(P,P')=1$ \cad $P$ et sa dérivée $P'$ sont premiers entre eux,
+\item si $\sur{k}$ est une clôture algébrique de $k$, l'algèbre
+$k_P\otimes_k \sur{k}$ est réduite et de dimension finie sur $\sur{k}$.
+\end{enumerate}
+\end{prp}
+
+Remarquons que si $k_p\otimes_k \sur{k}$ est réduite (et de dimension
+finie sur $\sur{k}$), elle est nécessairement
+isomorphe à l'algèbre produit $\sur{k}^{\deg P}$ (\ref{algèbre réduite}).
+
+\begin{proof}
+(1) équivalent à (2). On remarque que $P$ et $P'$ sont premiers entre eux
+si et seulement si leurs images dans $\sur{k}[X]$ le sont. On peut donc supposer $k$ algébriquement
+clos auquel cas le résultat est trivial. (1)-(2) sont équivalents à (3). Factorisons
+$P$ sur $\sur{k}$ en $P=c_P\prod_{i=1}^r (X-\alpha_i)^{n_i}$, pour des $\alpha_i\in \sur{k}$
+distincts, des entiers $n_i>0$ et $c_p\in k^{\times}$.
+On a alors
+$$k_P\otimes_k \sur{k}\iso \sur{k}_P=\sur{k}[X]/\prod_{i=1}^r (X-\alpha_i)^{n_i}
+\iso \oplus_{i=1}^r \sur{k}[X]/(X-\alpha_i)^{n_i}.$$
+Cette dernière algèbre n'a pas d'élément nilpotent si et seulement si tous les entiers
+$n_i$ sont égaux à $1$. CQFD.
+\end{proof}
+
+Remarquons que l'algèbre $\sur{k}[X]/(X-\alpha_i)^{n_i}$ qui apparaît dans la démonstration
+est isomorphe à $\sur{k}[X]/X^{n_i}$ (que l'on imagine comme un \emph{épaississement}
+de $\sur{k}$).
+
+Cette dernière propriété nous incite à faire la
+
+\begin{dfn}\label{corps étale}
+Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre de dimension finie $A$ est dite \emph{étale}
+si pour toute clôture algébrique $\sur{k}$ de $k$, l'algèbre $A_{\sur{k}}:=A\otimes_k \sur{k}$
+est réduite. Une $k$-algèbre $A$ isomorphe à $k^X$ pour un ensemble fini $X$
+est dite \emph{diagonalisable}. On dit qu'une $k$-algèbre $A$ est \emph{diagonalisée}
+(ou trivialisée) par une extension $K/k$ si $A_K$ est diagonalisable.
+\end{dfn}
+
+Ainsi, une $k$-algèbre \emph{étale} est une algèbre qui devient \emph{diagonalisable}
+sur $\sur{k}$. Nous verrons d'autres conditions équivalentes plus bas.
+\begin{lmm}
+Une sous-$k$-algèbre d'une $k$-algèbre étale est nécessairement
+étale.
+\end{lmm}
+\begin{proof}Si $A\hra B$, alors $A_{\sur{k}}\hra B_{\sur{k}}$.
+\end{proof}
+
+Remarquons également que pour tout $k$-algèbre, et tout clôture algébrique
+$\sur{k}$ de $k$, le morphisme canonique $A\ra A_{\sur{k}}$ est une inclusion.
+Ainsi, si $A/k$ est étale, $A$ est également réduite. Il résulte
+alors de \ref{algèbre réduite} que $A$ est $k$-isomorphe à un produit fini d'extensions,
+nécessairement étales, $k_i/k$.
+
+Dans le cas des corps, on use en général d'une autre terminologie :
+\begin{dfn}Soit $k$ un corps. Une extension algébrique $K/k$ est dite \emph{séparable} si toute
+sous-extension finie est étale.
+\end{dfn}
+
+%Il faut donner une définition générale à un moment ou
+%à un autre dans le cas *non* algébrique. P. ex.
+%F_p((t)) / F_p{{t}} est séparable
+
+Commençons par deux propriétés essentielles des algèbres étales.
+
+\begin{prp}\label{sous-quotient étale}
+Soient $k$ un corps et $A,B$ deux $k$-algèbre étales.
+Alors $A\otimes_k B$ est étale. De plus, toute sous-$k$-algèbre (resp.
+$k$-algèbre quotient) de $A$ est étale.
+\end{prp}
+
+Bien que le cas des sous-algèbres ait été traité plus haut, nous
+en donnons une autre démonstration ici ; elle nous sera utile en
+\ref{primitif}.
+Compte tenu de l'isomorphisme $(A\otimes_k B)\otimes_k \sur{k}\isononcan
+A_{\sur{k}}\otimes_{\sur{k}} B_{\sur{k}}$, et du fait que $A\surj C$ (resp.
+$C\hra A$) entraîne, par tensorisation avec $\sur{k}$ sur $k$,
+$A_{\sur{k}} \surj C_{\sur{k}}$ (resp. $C_{\sur{k}}\hra A_{\sur{k}}$), il suffit
+de démontrer la proposition pour des algèbres \emph{diagonalisables} :
+tout \emph{sous-quotient} d'une algèbre diagonalisable est diagonalisable.
+Le produit tensoriel d'algèbres diagonalisables est en effet diagonalisable.
+
+Cela résulte des deux lemmes suivants.
+
+\begin{lmm}
+Soient $X$ un ensemble fini et $k$ un corps. Les idéaux de l'algèbre $k^X$
+des fonctions $f:X\ra k$ sont de la forme
+$$\mc{I}_Y:=\{f, f(y)=0 \ \forall y\in Y\}$$
+pour une unique partie $Y\subset X$. De plus, la restriction à
+$Y$ induit un isomorphisme $k^X/\mc{I}_Y\iso k^Y$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Soit $\mc{J}$ un idéal et posons $Y:=\{x\in X, f(x)=0 \ \text{pour tout } f\in \mc{I}\}$.
+On a un inclusion évidente : $\mc{J}\subset \mc{I}_Y$.
+Pour chaque $x\notin Y$, il existe $f\in \mc{J}$ telle que $f(x)\neq 0$. En particulier
+la fonction de Dirac en $x$, $\delta_x$ est égale à $\delta_x \frac{f}{f(x)}$ et appartient
+donc à $\mc{J}$. Comme toute fonction de $\mc{I}_Y$ est somme de Dirac à support hors
+de $Y$, on a l'inclusion opposée et finalement l'égalité.
+L'isomorphisme de restriction est évident.
+\end{proof}
+
+En particulier, le nombre d'idéaux de $k^X$ est $2^{\# X}$.
+Remarquons que la même démonstration est valable pour $X$ infini et $k^{(X)}$ (fonctions
+à support fini).
+
+\begin{lmm}\label{sous-algèbres diagonalisables}
+Soient $k$ un corps et $X$ un ensemble fini. Les sous-$k$-algèbres de $k^X$
+sont de la forme
+$$
+k^X e_{I_1}\oplus \cdots \oplus k^X e_{I_r}\subset k^X,
+$$
+où $(I_j)_{1\leq j \leq r}$ est une partition de $X$ et pour tout
+$I\subset X$, $e_I:=\sum_{i\in I} \delta_i$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Soit $A\hra k^X$ une sous-algèbre. Elle est finie sur $k$ et réduite
+donc elle est isomorphe à $\prod_{\wp \in \SP(A)} A/\wp^N$ pour un $N\gg 1$,
+où les facteurs sont des corps.
+Rappelons que $\SP(A)$ est fini et notons $k_{\wp}$ le corps correspondant
+au $\wp$-ième facteur ; c'est une extension finie de $k$.
+Nous allons voir qu'elle est triviale. En effet, on a un diagramme commutatif :
+
+$$
+\xymatrix{
+A \ar@{->>}[r] \ar@{^{(}->}[d] & k_{\wp} \ar@{^{(}->}[d] \\
+k^X \ar@{->>}[r] & k^X\otimes_A k_{\wp}
+}
+$$
+
+D'après le lemme précédent, le quotient $ k^X\otimes_A k_{\wp}$ de $k^X$ est isomorphe à
+$k^{X_{\wp}}$ pour une partie $X_{\wp}\subset X$.
+
+Comme $k_{\wp}$ est la localisation de $A$ en $\wp$,
+$k_{\wp}$ s'injecte dans $k^{X_{\wp}}$ (et en est un localisé). Finalement
+$k_{\wp}=k$ et $A$ est donc diagonale. Elle est donc de la forme
+$\displaystyle \oplus_i k e_i$,
+où les $e_i$ forment un système complet d'idempotents orthogonaux de $A$.
+(C'est-à-dire que les $(e_i)$ satisfont à : $e_i^2=e_i$, $e_ie_j=0$ pour $i\neq j$ et $\sum_i e_i=1$.)
+On vérifie alors sans peine que de tels idempotents de $k^X$ sont du type décrit plus haut.
+\end{proof}
+
+Dans le langage des corps, la proposition \ref{sous-quotient étale} se réécrit :
+
+\begin{crl}\label{sous-quotient séparable} Si $K_1/k$ et $K_2/k$ sont deux extensions séparables de $k$, il en est de même
+de toute extension composée $K_1K_2/k$ et de toute sous-extension de $K_1/k$. \end{crl}
+
+\begin{crl}
+Soit $K/k$ une extension finie. Alors $K/k$ est étale si et seulement si
+tout $\lambda\in K$ est séparable sur $k$ au sens de \ref{def séparable}
+\end{crl}
+\begin{proof}
+Une extension finie monogène $k(x)/k$, est étale si et seulement
+si $x$ est séparable (\cad $\mathrm{Irr}_k(x)$ séparable) (\ref{poly séparable}).
+Il en résulte que si $K/k$ est étale, $k(\lambda)/k$ étant
+également étale (c'est une sous-algèbre) ; compte tenu de \ref{poly séparable}
+et des définitions, $\lambda$ est séparable sur $k$.
+L'extension $K/k$ est la composée de ses sous-$k$-extensions monogènes,
+qui sont étales. La conclusion résulte alors du corollaire précédent.
+\end{proof}
+
+
+Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème principal de cette section.
+
+\begin{thm}\label{nbre points et degré}
+Soient $k$ un corps, $K/k$ une extension finie et $A$ une $k$-algèbre finie.
+Alors
+$$\# \Hom_k(A,K) \leq [A:k],$$
+avec égalité si et seulement si $A$ est diagonalisée par $K/k$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Remarquons que pour tout $K/k$, $\Hom_k(A,K)\iso \Hom_K(A_K,K)$ (exercice) et
+que, bien entendu, $\dim_k A=\dim_K A_K$. On peut donc supposer que $K=k$, ce que nous faisons
+dorénavant. L'inégalité n'est autre que \ref{hom versus dim}.
+Comme $k$ est réduit, la surjection $A\surj A_{\red}$ (cf. définition ci-dessous) induit
+une bijection
+$$
+\Hom_k(A_{\red},k)\iso \Hom_k(A,k).
+$$
+Ainsi, l'égalité $\# \Hom_k(A,K) = [A:k]$ n'a lieu que si d'une part
+$\dim_k A_{\red}=\dim_k A$, \cad que $A$ est \emph{réduit}, et d'autre part
+que $\# \Hom_k(A_{\red},k)=[A_{\red}:k]$. Comme $A_{\red}\isononcan \prod_i k_i$,
+et que $\Hom_k(k_i,k)=\emptyset$ si $k_i/k$ est non triviale, la conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+Rappelons la définition suivante, utilisée dans la démonstration.
+
+\begin{dfn}
+Soit $A$ un anneau. Notons $\Nilp(A)$ l'ensemble de ses éléments nilpotents.
+On définit $A_{\red}$ comme le quotient $A/\Nilp(A)$ ; c'est le plus grand quotient réduit de $A$.
+\end{dfn}
+
+(On vérifie sans peine qu'il existe une bijection naturelle $\SP(A_{\red})\iso \SP(A)$.)
+
+\begin{crl}
+Soient $k$ un corps, $\sur{k}$ une clôture algébrique et $A$ une $k$-algèbre finie.
+L'égalité $\# Hom_k(A,\sur{k})=\dim_k A$ a lieu si et seulement si $A$ est étale sur $k$.
+\end{crl}
+
+
+\subsection{Une autre caractérisation des algèbres étales : formes différentielles
+(facultatif)}\label{dérivations-1}
+
+\begin{dfn2}
+Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre et $M$ un $A$-module. Une \emph{dérivation}
+de $A/k$ dans $M$ est une application $k$-linéaire $d:A\ra M$, $a\mapsto da$,
+satisfaisant à la règle
+de Leibnitz :
+$$
+d(ab)=adb+bda
+$$
+pour tous $a,b\in A$.
+\end{dfn2}
+Il résulte de la définition que pour tout $\lambda\in k$, $d(\lambda)=0$ (exercice).
+On note $\mathrm{D\acute{e}r}_k(A,M)$ l'ensemble de ces dérivations.
+
+\begin{prp2}\label{caractérisation différentielle}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie.
+Alors $A/k$ est étale si et seulement si toute dérivation de $A/k$ est nulle.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+Soient $A$ une $k$-algèbre étale, $M$ un $A$-module et $d:A\ra M$
+une ($k$-)dérivation. Soit $a\in A$. Notons $P$ son polynôme minimal $\mathrm{Irr}_k(a)$
+sur $k$. La sous-algèbre $k[a]$ de $A$ est isomorphe à $k[X]/P$ ; elle est étale sur $k$
+(\ref{sous-quotient étale}). Il résulte immédiatement de la règle de Leibnitz
+que pour tout polynôme $Q\in k[X]$, $dQ(a)=Q'(a)da$. En particulier, $P'(a)da$ est nul.
+Comme $(P,P')=1$ (car $k[a]/k$ est étale donc séparable), $P'(a)$ est inversible
+dans $k[a]$ et finalement $da=0$. La dérivation est donc triviale.
+
+Démontrons la réciproque en quelques lemmes.
+\begin{lmm2}
+Soit $A$ une $k$-algèbre telle que toute $k$-dérivation de $A$ soit nulle. Alors, pour toute
+extension $K/k$, toute $K$-dérivation de $A_K:=A\otimes_k K$ est nulle.
+\end{lmm2}
+On écrit traditionnellement l'hypothèse ---~par analogie avec
+la géométrie différentielle~--- sous la forme : $\Omega^1_{A/k}=\{0\}$
+\begin{proof}
+Soient $M$ un $A_K$-module et $d:A_K\ra M$ une $K$-dérivation.
+Notons $d':A\ra A_K \ra M$ l'application qui s'en déduit par composition
+avec $A\hra A_K$. C'est une dérivation $k$-linéaire $A\ra M$ ($M$ étant vu
+comme $A$-module). Elle est donc nulle par hypothèse ;
+autrement dit, $d_{|A}=0$.
+Comme $A_K$ est engendré par $A$ comme $K$-espace vectoriel et
+que $d$ est $K$-linéaire, on a bien $d=0$. CQFD.
+\end{proof}
+Soit donc $A$-une $k$-algèbre finie telle que $\Omega^1_{A/k}=\{0\}$.
+On souhaite montrer que pour toute clôture algébrique $\sur{k}$ de $k$,
+$A_{\sur{k}}$ est réduite. D'après le lemme précédente, on a également
+$\Omega^1_{A_{\sur{k}}/\sur{k}}=\{0\}$ ; on peut donc supposer dans
+la démonstration $k$ algébriquement clos. Il s'agit donc de montrer
+que si $\Omega^1_{A/k}=0$, $k=\sur{k}$, $A$ est diagonale.
+Écrivons $A=\prod_{i=1}^r A_i$, où chaque $A_i$ est une $k$-algèbre finie
+\emph{locale}. Le lemme suivant nous ramène au cas où $A$ est elle-même locale.
+\begin{lmm2}
+Soient $(A_i)_{i=1,\dots,r}$ des $k$-algèbres et posons $A:=\prod_1^r A_i$.
+Alors, si $\Omega^1_{A/k}=\{0\}$, on a $\Omega^1_{A_i/k}=\{0\}$ pour tout
+$i\in [1,r]$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Soient $i_0\in [1,r]$ et $d_{i_0}:A_{i_0}\ra M$ une $k$-dérivation.
+Considérons l'application $d_{i_0}^{|A}:A\ra M$ définie par le
+diagramme :
+$$
+\xymatrix{
+A_{i_0} \ar[r]^{d_{i_0}} & M \\
+A \ar[u]^{\mathrm{pr}_{i_0}} \ar[ur]^{d_{i_0}^{|A}} &
+}
+$$
+\cad
+$$
+d_{i_0}^{|A}\big(a_1,\dots,a_r\big)=d_{i_0}a_{i_0}.
+$$
+C'est une $k$-dérivation de $A$ dans $M$, où $M$ est muni d'une structure
+de $A$-module par le morphisme de projection $\mathrm{pr}_{i_0}: A\ra A_{i_0}$.
+Par hypothèse, $d_{i_0}^{|A}$ est nulle ; il en est donc de même de $d_{i_0}$.
+\end{proof}
+
+Finalement, il reste à démontrer le lemme suivant ; c'est le point clé.
+\begin{prp2}
+Soient $k$ un corps algébriquement clos et $A$ une $k$-algèbre locale finie.
+Alors, si $\Omega^1_{A/k}=\{0\}$, $k\iso A$.
+\end{prp2}
+\begin{proof}
+Soit $\MM_A$ l'idéal maximal de $A$. Comme $A/\MM_A$ est une extension finie
+de $k$, et $k$ est algébriquement clos, on a $k\iso A/\MM_A$. Il en résulte
+que pour tout $a\in A$, il existe un unique $c(a)\in k\cdot 1_A$ tel
+que $a-c(a)\in \MM_A$. Admettons un instant que l'application
+$$\begin{array}{l}
+d:A\ra \MM_A/\MM_A^2\\
+a\mapsto a-c(a)\mod \MM_A^2
+\end{array}
+$$
+soit une $k$-dérivation. Elle est d'une part surjective car $c(a\in \MM_A)=0$
+et d'autre part nulle par hypothèse. Il en résulte que $\MM_A=\MM_A^2$.
+Comme $\MM_A$ est nilpotent, on a donc $\MM_A=\{0\}$, \cad $A$ est un corps,
+égal à $k$.
+
+L'égalité $d(a+a')=d(a)+d(a')$ est manifeste.
+De plus, si $\lambda\in k$, $d(\lambda a)=\lambda d(a)$ pour tout $a\in A$.
+Calculons $d(aa')$ pour
+$a,a'\in A$. Par hypothèse, $a-c(a)$ et $a'-c(a')$ appartiennent à $\MM_A$.
+Il en résulte que
+$$
+\big(a-c(a)\big)\big(a'-c(a')\big)=aa'-\big(ac(a')+a'c(a)\big)+c(a)c(a')\in \MM_A^2,
+$$
+d'où
+$$
+d\Big(aa'-\big(ac(a')+a'c(a)\big)+c(a)c(a')\Big)=0.
+$$
+Comme $d(k)=\{0\}$ et que $d$ est additive, $k$-linéaire, on en tire :
+$$
+d(aa')=d(ac(a'))+d(a'c(a))=c(a')d(a)+c(a)d(a').
+$$
+La conclusion vient alors du fait que pour tout $m\in \MM_A/\MM_A^2$ et tout $a\in A$,
+$am=c(a)m$ car le $A$-module $\MM_A/\MM_A^2$ est annulé par $\MM_A$.
+\end{proof}
+\end{proof}
+
+%(On pense donc à $A/k$ étale comme un morphisme « lisse » (\cad une submersion) de dimension
+%relative $0$.)
+Sans hypothèse sur $A/k$, on peut
+définir un $A$-module $\Omega^1_{A/k}$ et une dérivation $d_{A/k}:A \ra \Omega^1_{A/k}$
+\emph{universelle} au sens où pour chaque $A$-module $M$,
+$$
+\Hom_{A-\mathrm{mod}}(\Omega^1_{A/k},M) \ra \mathrm{D\acute{e}r}_k(A,M)
+$$
+$$ f\mapsto f\circ d_{A/k} $$
+est une bijection.
+Pour un chaque ensemble $E$, on vérifie que
+$$
+\Omega^1_{k[X_e, e\in E]/k}:=\bigoplus_e k[X_e, e\in E] dX_e
+$$
+$$
+X_e \mapsto dX_e
+$$
+répond à la question pour la $k$-algèbre $k[X_e, e\in E]$.
+Dans le cas général, en choisissant des générateurs de $A$, on écrit $A\isononcan k[X_e, e\in E]/\mc{I}$, pour un idéal $\mc{I}$.
+On vérifie sans peine que le quotient de
+$\Omega^1_{k[X_e, e\in E]/k}$ par les $di$, $i\in \mc{I}$ convient (exercice).
+
+Nous reviendrons brièvement (et toujours de façon optionnelle)
+sur ces formes différentielles en \ref{dérivations-2}.
+Une autre caractérisation des extensions séparables
+sera donnée en \ref{séparable-formellement étale}.
+
+
+\section{Clôture séparable, corps parfaits}
+
+Compte tenu de \ref{sous-quotient séparable}, pour toute extension $K/k$, il existe une sous-extension maximale
+séparable. Si l'on prend $K$ une clôture algébrique de $k$ on en déduit l'existence de
+
+\begin{dfn}
+Une clôture séparable d'un corps $k$ est une extension algébrique $k^{\sep}$ telle que tout polynôme séparable
+sur $k$ soit scindé sur $k^{\sep}$.
+\end{dfn}
+
+Une telle extension est unique à isomorphisme près : deux telles extensions sont $k$-isomorphes
+(mais, hormis dans les cas triviaux, l'isomorphisme n'est pas unique).
+
+Soit $k$ un corps, rappelons que l'\emph{exposant caractéristique}
+de $k$ est égal à $\max\{\mathrm{car}(k),1\}$. En d'autres termes, si $car(k)>0$ il coïncide avec cette
+caractéristique mais si $car(k)=0$, il vaut $1$. Introduire cette quantité, peu populaire
+chez les anglophones p. ex., a l'avantage de permettre un traitement uniforme de certains énoncés.
+En voici un.
+
+\begin{dfn}
+Soient $k$ un corps et $p\geq 1$ son exposant caractéristique.
+On dit que $k$ est \emph{parfait} si l'endomorphisme du corps $k$, $x\mapsto x^p$, est
+surjectif.
+\end{dfn}
+
+En particulier, tout corps de caractéristique nulle est parfait.
+
+\begin{prp}
+Un corps $k$ est parfait si et seulement si toute extension finie de $k$ est séparable.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Si $k$ n'est pas parfait, il existe $a\in k$ tel que $P=X^p-a$ n'ait pas de racine dans $k$ ($p>1$).
+Un tel polynôme est irréductible et $k_p\otimes_k \sur{k}=\sur{k}[X]/X^p$ n'est pas réduit.
+Réciproquement, supposons $k$ est parfait et $K/k$ une extension monogène non séparable, $K\isononcan k_P$
+avec $P$ irréductible. Par hypothèse, $(P',P)\neq 1$. Comme $P$ est irréductible, on a $P'=0$.
+Cela ne peut se produire que si $p>1$ et $P=Q(X^p)$ pour un polynôme $Q\in k[X]$. Comme $k$ est
+parfait, $Q(X^p)=\big(\tilde{Q}(X)\big)^p$, où les coefficients de $\tilde{Q}$ sont les racines
+$p$-ièmes (qui existent et sont uniques) de ceux de $P$. Finalement $P$ n'est pas irréductible ; absurde.
+La conclusion résulte de ce que toute extension de $k$ est la composée de ses sous-extensions monogènes et que la composée
+d'extensions séparables est séparable.
+\end{proof}
+
+\begin{prp}
+Tout corps fini est parfait.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Un endomorphisme d'un corps est injectif donc, par finitude du corps, surjectif.
+\end{proof}
+
+\section{Le théorème de l'élément primitif}
+
+Comme nous l'avons vu ci-dessus (ou encore lors de la démonstration de \ref{caractérisation différentielle}),
+il est parfois techniquement plus commode d'avoir à faire à des extensions monogènes.
+Nous allons voir qu'il y en a beaucoup.
+
+\begin{prp}
+Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre étale ne possède qu'un nombre fini
+de sous-$k$-algèbres.
+\end{prp}
+
+Rappelons que l'on a déjà vu que ces sous-algèbres sont également étales sur $k$.
+
+\begin{proof}Soit $A/k$ une telle algèbre.
+Commençons par remarquer que si $\sur{k}$ est une clôture algébrique de $k$,
+deux sous-$k$-algèbres $B_1,B_2\subset A$ sont égales si et seulement si ${B_1}_{\sur{k}}={B_2}_{\sur{k}}$ dans
+$A_{\sur{k}}$. (Rappelons que toute injection $B\hra A$ induit une injection $B_{\sur{k}}\hra A_{\sur{k}}$
+par tensorisation $-\otimes_k \sur{k}$ et que par abus de notation on identifie $B_{\sur{k}}$ à son image.)
+On peut donc supposer que $k$ est algébriquement clos et donc que $A$ est diagonalisable \cad
+isomorphe à $k^X$ pour un ensemble fini $X$.
+Les sous-algèbres de $k^X$ correspondent (cf. \ref{sous-algèbres diagonalisables})
+aux partitions de $X$, qui sont elles-mêmes en nombre fini.
+\end{proof}
+
+Il en résulte que si $K/k$ est une extension finie séparable (\cad étale), elle n'a qu'un nombre
+fini de sous-extensions. À l'inverse, l'algèbre locale non réduite $A=k[X,Y]/(X,Y)^2$
+a beaucoup de sous-$k$-algèbre : pour tout idéal $I\subset (X,Y)=\MM_A$,
+$k+I$ est une sous-$k$-algèbre et pour chaque $\alpha\in k$, $I_{\alpha}:=(X+\alpha Y)$
+est un idéal.
+
+\begin{thm}[Théorème de l'élément primitif]\label{primitif}
+Soit $K/k$ une extension de corps. Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item le corps $K$ est une $k$-algèbre monogène,
+\item il n'existe qu'un nombre fini de sous-extensions de $K/k$.
+\end{enumerate}
+Ces conditions sont satisfaites si $K/k$ est finie séparable et en particulier
+si $K/k$ est finie et $k$ parfait.
+\end{thm}
+
+Prendre garde que l'extension transcendante pure $k(t)/k$ est monogène
+comme extension de \emph{corps} mais pas comme extension d'\emph{algèbres} (l'algèbre
+$k[t]$ étant bien plus petite).
+
+\begin{proof}
+(2) entraîne (1).
+Remarquons que $K/k$ est nécessairement algébrique : si $t$ était un élément transcendant
+sur $k$ (\cad non algébrique), les sous-extensions $k(t^n)$, $n\in \NN$ seraient toutes distinctes.
+Si $k$ est infini, tout l'inclusion
+$$\bigcup_{K_{\alpha}\,\text{sous}-k-\text{extension}} K_{\alpha} \subset K$$
+est stricte (l'ensemble d'indexation étant fini) ; tout élément dans le gros ensemble engendre nécessairement $K$ sur $k$.
+Enfin, si $k$ est fini, $K$ est également fini sans quoi on pourrait produire une suite strictement croissante de sous-extensions.
+Dans ce cas, $K^{\times}$ est cyclique (\ref{} [À
+rédiger]) ce qui entraîne (mais est beaucoup plus fort que) le fait que $K/k$ soit monogène.
+
+(1) entraîne (2)\footnote{Nous n'utiliserons pas cette implication.}
+Soit $x\in K$ tel que $k(x)=K$ ; notons $f$ son polynôme minimal sur $k$.
+Soit $k'$ une sous-$k$-extension de $K/k$ ; on a alors automatiquement
+$k'(x)=K$. Soit $f_{k'}$ le polynôme minimal de $x$ sur $k'$ ;
+c'est un diviseur de $f$ dans $k'[X]$ donc dans $K[X]$.
+Soit $k(f_{k'})$ le sous-corps engendré par les coefficients de $f_{k'}$ ;
+on a bien entendu $k(f_{k'})\subset k'$. Comme $f_{k'}(x)=0$,
+$[K:k(f_{k'})]\leq \deg f_{k'}$ ; comme d'autre part
+$[K:k']=\deg f_{k'}$, on a $k'=k(f_{k'})$. Les polynômes unitaires
+diviseurs de $f\in K[X]$ étant en nombre fini, on a le résultat.
+\end{proof}
+
+\begin{rmr}
+Il est tentant d'essayer de donner une démonstration par « extension des scalaires »
+(\cad passage à $\sur{k}$) de (1) implique (2). Cependant, le lecteur
+constatera que la $k$-algèbre \emph{monogène} $k[X]/X^4$ possède
+de nombreuses sous-$k$-algèbres ; par exemple les $k+k(X^2+\alpha X^3)$ pour
+$\alpha\in k$.
+\end{rmr}
+
+
+\begin{rmr}\label{k infini élément primitif}
+Si $k$ est infini, on peut être plus précis : si
+$K=k(x,y)$ est une extension algébrique de $k$ satisfaisant
+à l'hypothèse (2) ci-dessus, il
+existe $\lambda\neq \mu\in k$ tels que $k(x+\lambda y)=k(x+\mu y)=:k'$.
+Il en résulte que $(\lambda-\mu)y\in k'$, donc $y$ et
+$x=(x+\lambda y)-\lambda y$ appartiennent à $k'$.
+Finalement $k'=K$ et $k'$ est monogène.
+Par récurrence on en tire que si $k$ est infini, et que
+$x_0,\dots,x_n$ engendrent $K/k$ \emph{séparable},
+il existe $\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in k$ tels que $K=k(x_0+\alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_n x_n)$.
+\end{rmr}
+
+\section{Théorie de Galois : premières définitions ; énoncé du théorème}
+
+\subsection{Extensions normales, galoisiennes}
+
+On a vu ci-dessus qu'une extension finie $K/k$ est séparable
+si et seulement si $\# \Hom_k(K,\sur{k})=\dim_k K$.
+Comme expliqué dans le paragraphe précédant \ref{def séparable}, la théorie de Galois
+s'appuie partiellement sur une hypothèse supplémentaire.
+
+\begin{dfn}
+Soit $K/k$ une extension et $\sur{K}$ une clôture algébrique de $K$.
+L'extension $K/k$ est dite \emph{normale} (ou \emph{quasi-galoisienne}) si elle est algébrique et si
+tout $k$-plongement $\iota: K\hra \sur{K}$, on a $\iota(K)\subset \sur{K}$.
+\end{dfn}
+
+De façon équivalente, on demande que pour tout $x\in K$ soit algébrique sur $k$
+et que les racines de $\mathrm{Irr}_k(x)$ dans $\sur{K}$ soient dans $K$.
+
+Sous cette hypothèse, $\Aut_k(K)\iso \Hom_k(K,\sur{K})$.
+
+
+\begin{prp}\label{transitivité normale}
+Soient $K/k$ une extension, $x\in K$ algébrique sur $k$ et
+$\sur{K}$ une clôture algébrique de $K$.
+Pour toute racine $y$ de $\mathrm{Irr}_k(x)$ dans $\sur{K}$, il existe un plongement $k$-linéaire
+$g:K\ra \sur{K}$ tel que $g(x)=y$. On dit que $y$ est conjugué à $x$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Par hypothèse, on dispose d'un $k$-isomorphisme $k(x)\iso k(y)\hra \sur{K}$ envoyant $x$ sur $y$.
+Comme $\sur{K}$ est algébriquement clos, tout morphisme $k(x)\ra \sur{K}$ se prolonge
+en un morphisme $K\ra \sur{K}$ (\ref{extension}).
+\end{proof}
+
+\begin{lmm}\label{quasi-galoisien}
+Soient $k$ un corps et $f\in k[X]$ un polynôme. Toute extension de décomposition
+$K/k$ de $f$ est normale. Réciproquement, toute extension finie normale
+s'obtient comme extension de décomposition d'un polynôme à coefficient
+dans le petit corps.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+La démonstration ne présente pas de difficulté et est laissée
+en exercice au lecteur.
+\end{proof}
+
+%N'IMPORTE QUOI ?
+%Soit $L/K$ une extension finie séparable engendrée par un élément $x\in L$
+%de polynôme minimal $f$. Si $M$ est une extension de $L$ normale sur $K$,
+%$f$ est scindé sur $M$ donc $L\otimes_K M\isononcan K[X]/f\otimes_K M\isonon
+%M^{\deg(f)}$.
+%\begin{lmm}
+%Soit $L/K$ une extension fini séparable. Une extension fini $M/K$
+%est contenue dans une clôture normale de $L/K$ si et seulement si
+%il existe un entier $n$ et une surjection de $K$-algèbres :
+%$$\underbrace{L\otimes_K \cdots \otimes_K L}_{2^n\text{ facteurs}}\surj M.$$
+%\end{lmm}
+%\begin{proof}
+%Soit $L/K$ comme plus haut engendré par un élément primitif
+%de polynôme minimal $f$. On a $L\otimes_K L=L\times L'$ où $L'$ est une $L$-algèbre
+%de degré strictement $[L:K]-1$ dans laquelle $f$ se factorise en $(X-\alpha)g$.
+%\end{proof}
+
+
+\begin{dfn}
+Une extension $K/k$ dite \emph{galoisienne} si elle est quasi-galoisienne et séparable.
+Dans ce cas, on note $\ga(K/k)$ le groupe $\Aut_k(K)$. C'est le groupe de Galois de l'extension.
+\end{dfn}
+
+Remarquons qu'on ne suppose pas $K/k$ finie. Sous l'hypothèse galoisienne,
+$\Aut_k(K)\iso \Hom_k(K,K)$ ;
+ce n'est bien entendu pas vrai en toute généralité (exercice).
+
+\begin{prp}
+Toute extension séparable est contenue dans une extension galoisienne.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Soient $K/k$ une extension séparable et $k\sep$ une clôture séparable de $K$.
+Soit $K'$ le corps composé des $g(K)$, où $g:K\hra k\sep$ est un plongement.
+L'extension $K'/k$ est séparable, normale, contient $K$ et est minimale
+pour ces propriétés. C'est donc une clôture galoisienne.
+\end{proof}
+
+Pour tester abstraitement si une extension est une clôture galoisienne,
+cf. \ref{critère-linéaire-normal}.
+
+
+Si $K/k$ est galoisienne, $K/k$ est diagonalisable sur $\sur{k}$. Plus précisément, on a en fait l'important
+
+\begin{thm}\label{auto décomposition}
+Soit $K/k$ une extension finie galoisienne, de groupe $G$.
+Alors le morphisme
+$$
+K\otimes_k K \sr{(m_g)_{g\in G}}\ra \prod_{g\in G} K,
+$$
+$$
+a\otimes b \mapsto (g(a)b)_{g\in G}
+$$
+est un isomorphisme. En particulier, $K/k$ se trivialise elle-même
+et l'on dispose d'une bijection canonique
+$$G\iso \SP(K\otimes_k K)$$
+donné par $g\mapsto \ker\big(m_g:a\otimes b\mapsto g(a)b\big)$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Pour chaque $g\in \ga(K/k)$, le produit tordu
+$$m_g:K\otimes_k K\surj K$$
+fait de $K$ un quotient de $K\otimes_k K$.
+Afin d'appliquer le théorème chinois, on utilise le lemme suivant :
+
+\begin{lmm}
+Si $g\neq g'$, les idéaux maximaux $\ker\,m_g$ et $\ker\,m_{g'}$ sont
+distincts.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+En effet, pour tout $a\in K$, on a :
+$$
+a\otimes 1 - 1\otimes g(a) \mapsto
+\left\{ \begin{array}{ll}
+0 & \text{via } m_g \\
+ g'a-ga & \text{via } m_{g'}
+\end{array} \right.
+$$
+Comme il existe $a$ tel que ces deux éléments soient distincts,
+ce noyaux sont également distincts.
+\end{proof}
+
+Il résulte de ce lemme que $$\# \SP(K\otimes_k K)\geq \#G = \dim_k K=\dim_K (K\otimes_k K).$$
+
+Que la structure de $K$-algèbre sur $K\otimes_k K$ soit donnée
+par $\lambda\mapsto \lambda \otimes 1$ ou $\lambda\mapsto
+1\otimes \lambda$ ne change pas dimension sur $K$
+de $K\otimes_k K$. Par contre, les morphismes $m_g$ sont $K$-linéaires pour
+la seconde structure seulement, que nous considérons donc ici.
+
+Ainsi, la $K$-algèbre $K\otimes_k K$ est diagonalisable, un isomorphisme
+étant donné par les $\prod_{g\in G} m_g$.
+\end{proof}
+
+\begin{rmr}
+Prendre garde que s'il est vrai que $L/K$ séparable et $K/k$ séparable entraîne
+$L/k$ séparable, il n'en est pas ainsi de la propriété d'être galoisien.
+Ce point devrait s'éclaircir considérablement avec le théorème fondamental
+de la théorie de Galois.
+\end{rmr}
+
+
+Pour $K/k$ fini galoisienne, $\Aut_k K$, souvent noté $G_{K/k}$, est de cardinal $[K:k]$.
+
+\begin{prp}
+Soit $K/k$ une extension galoisienne, de groupe de Galois $G$.
+Alors, $$k\iso K^G:=\{\lambda\in K, \text{t.q. } g\lambda=\lambda \ \forall g\in G\}.$$
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Ramenons nous au cas où l'extension est finie.
+\begin{lmm2}
+Soit $K'/k$ une sous-extension galoisienne de $K/k$. Alors,
+$G_{K/k}\surj G_{K'/k}$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+C'est une variante de \ref{extension}.
+\end{proof}
+Il résulte de ce lemme que l'on peut supposer l'extension finie.
+Soit maintenant $x\in K$, avec $K/k$ finie galoisienne de groupe $G$.
+Supposons $[k(x):k]>1$. Comme $x$ est séparable sur $k$ et $K/k$ est normale,
+le polynôme $\mathrm{Irr}_k(x)$ est scindé à racines simples sur $K$.
+Soit $y\neq x$ une telle racine ; d'après \ref{transitivité normale}, il
+existe $g:K\ra K$ tel que $g(x)=y\neq x$. Ainsi, $x$ n'est pas fixe par $G_{K/k}$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Le lemme d'Artin et « descente galoisienne » (facultatif)}\label{descente 1}
+
+Nous allons donner ici une autre démonstration
+de la proposition précédente. Cette dernière n'étant
+qu'un prétexte pour démontrer quelques lemmes d'intérêt général,
+que nous utiliserons dans la section (facultative) \ref{H^1(GL)}.
+Cette méthode, due à A.~Grothendieck, s'est avérée essentielle
+dans de nombreux développements de la théorie de Galois et de l'algèbre
+en général (cf. \cite{sga1}).
+
+
+Il s'agit de montrer que la suite
+$$\xymatrix{
+0 \ar[r] & k\ar[r] & K \ar[r]^d & \prod_{G} K \\
+& & \lambda \ar[r] & (\lambda-g\lambda)_{g\in G}
+}
+$$
+est \emph{exacte}, \cad que l'image d'un morphisme est égal
+au noyau du morphisme suivant.
+
+Compte tenu du théorème précédent, cela revient à montrer que la suite
+
+$$\xymatrix{
+0 \ar[r] & k\ar[r] & K \ar[r]^d & K\otimes_k K \\
+& & \lambda \ar[r] & \lambda\otimes 1 - 1\otimes \lambda
+}
+$$
+l'est.
+
+Or, sous cette forme, l'énoncé précédent est vrai sous des hypothèses
+bien plus générales. C'est l'objet du lemme ci-dessous, que l'on appliquera
+à $B=K$ et $A=k$.
+
+\begin{lmm2}\label{descente-libre}
+Soient $A$ un \emph{anneau} et $B$ une $A$-algèbre \emph{fidèlement plate}
+(cf. \ref{fidèlement plat}), par exemple non nul et \emph{libre} comme $A$-module.
+La suite $0\ra A \ra B \sr{d}{\ra} B\otimes_A B$ définie par $d(b)=b\otimes 1 - 1 \otimes b$
+est exacte.
+\end{lmm2}
+
+Il est toujours vrai, sans hypothèse sur $B/A$, que le composé des deux derniers
+morphismes est nul.
+Comme nous le verrons plus bas, il suffit de démontrer le :
+
+\begin{sslmm2}\label{descente-section}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Supposons que le morphisme $f:A\ra B$ possède
+une \emph{rétraction}, \cad un morphisme $r:B\ra A$ satisfaisant à
+$$
+rf=\mathrm{Id}_{A}.
+$$
+Alors, la suite $0\ra A \ra B \sr{d}{\ra} B\otimes_A B$ est exacte.
+\end{sslmm2}
+
+\begin{proof}[Démonstration de \ref{descente-section}]
+Remarquons tout d'abord que $f$ est nécessairement une injection ; nous identifierons
+donc $A$ et son image par $f$ dans $B$.
+Soit donc un élément $b\in B$ tel que $db:=b\otimes 1 - 1 \otimes b=0$ dans $B\otimes_A B$ ; il
+s'agit de montrer qu'il est dans $A$.
+Munissons $B\otimes_A B$ d'une structure de $B$-algèbre par $b\mapsto 1\otimes b$.
+La rétraction $r$ de $f$
+induit une rétraction $B$-linéaire notée $r'$ de ce morphisme $B\ra B\otimes_A B$ :
+$$b\otimes b'\sr{r'}{\mapsto} r(b)b'.$$
+Remarquons que $r'$ est bien définie car $r'(ab\otimes b')=r(ab)b'=ar(b)b'=ar'(b\otimes b')$
+(la troisième égalité résulte de ce que $r$ est une rétraction de $f$).
+
+Finalement, $b=r'(1 \otimes b)=r'(b\otimes 1)=r(b)\in A$. CQFD.
+\end{proof}
+Plus généralement,
+\begin{lmm2}\label{Cech} Si $M_0$ est un $A$-module
+et $A\ra B$ est un morphisme d'anneaux ayant une rétraction $r:B\ra A$,
+la suite de $A$-modules
+$$0\ra M_0 \ra M_0\otimes_A B\sr{d}{\ra} M_0\otimes_A B\otimes_A B$$ est exacte.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+L'injectivité résulte du fait que le composé $M_0\ra M_0\otimes_A B \sr{r_{M_0}}{\ra } M_0$
+soit l'identité ; la surjectivité se démontre comme plus haut : si
+$$
+m'=\sum_i m_i\otimes b_i \mapsto \sum_i \big(m_i\otimes b_i\otimes 1 - m_i\otimes 1\otimes
+b_i\big)=0,
+$$
+on a, en appliquant $r'_{M_0}:M_0\otimes_A B\otimes_A B\ra M_0\otimes_A B$,
+$$
+\sum_i m_i\otimes r(b_i)-\underbrace{\sum_i m_i\otimes b_i}_{m'}=0.
+$$
+Le terme de gauche appartient à l'image de $M_0$ dans $M_0\otimes_A B$.
+\end{proof}
+
+
+Montrons maintenant que le lemme précédent implique le lemme \ref{descente-libre}.
+Sous les hypothèses de ce dernier, $B/A$ n'a pas nécessairement de rétraction.
+Le point clé est qu'après application de $-\otimes_A B$, $A\ra B$
+devient $B\ra B\otimes_A B$, $b\mapsto 1\otimes b$ ; celui-ci ayant
+une rétraction $B$-linéaire, donnée par le produit. Il faut cependant vérifier que
+l'opération de tensorisation est inoffensive de ce point de vue ; c'est le cas si $B$ est libre
+sur $A$ (et plus généralement si $B/A$ est \emph{fidèlement plat}, essentiellement
+par définition de cette dernière propriété) cf. \ref{appendice 1}.
+
+
+En vertu de ce lemme, il suffit de vérifier que
+$$B=A\otimes_A B\ra B\otimes_A B \sr{d\otimes B}{\ra} (B\otimes_A B)\otimes_A B$$
+est exact. Comme $B\ra B\otimes_A B=:C$ possède une rétraction, il nous reste
+à vérifier que la suite exacte ci-dessus s'identifie à
+$$B\ra C\sr{d'}{\ra} C\otimes_B C.$$
+Rappelons que le premier morphisme $d\otimes B$ envoie $b\otimes b'$ sur
+$b\otimes 1 \otimes b' - 1 \otimes b \otimes b'$. Le second morphisme
+$d'$ envoie $c$ sur $c\otimes 1 - 1 \otimes c$.
+Ce point est l'objet du lemme suivant (où l'on note $S$ pour $B$ et $X=Y$ pour $C$).
+
+\begin{lmm}\label{un isom}
+Soient $S$ un anneau et $X,Y$ deux $S$-algèbres.
+Il existe un isomorphisme de $X$-algèbres
+$$
+\big(X\otimes_S X\big) \otimes_S Y \iso \big( X\otimes_S Y\big) \otimes_Y \big(X \otimes_S Y\big)
+$$
+qui envoie
+$$\big(d_{X/S}\otimes_S Y \big)(x\otimes y):=x\otimes 1 \otimes y - 1 \otimes x \otimes y$$
+ sur
+$$d_{X\otimes_S Y /Y}(x\otimes y):=(x\otimes y)\otimes (1\otimes 1) -
+(1\otimes 1) \otimes (x\otimes y).$$
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+On vérifie que les applications
+$$(x_1\otimes_S x_2) \otimes_S y \mapsto y\big((x_1\otimes_S 1)\otimes_Y (x_2\otimes_S 1)\big)
+= (x_1\otimes_S y)\otimes_Y (x_2\otimes_S 1) = (x_1 \otimes_S 1)\otimes_Y (x_2\otimes_S y) $$
+et
+$$
+(x_1\otimes_S y_1)\otimes_Y (x_2\otimes_S y_2) \mapsto (x_1 \otimes_S x_2) \otimes_S y_1y_2
+$$
+sont des bijections réciproques qui échangent bien les morphismes $d$.
+\end{proof}
+
+Ceci conclut la démonstration de la proposition.
+
+\begin{rmr}[Analogie]
+Il est à noter que le formalisme du produit fibré catégorique permet de rendre relativement
+transparent le lemme précédent. L'analogue ensembliste trivial de celui-ci dit
+que si $X,Y$ sont deux ensembles, $X\times X \times Y$ est canoniquement
+en bijection avec le sous-ensemble de $(X\times Y) \times (X\times Y)$
+consisté des éléments dont les deuxièmes et quatrièmes coordonnées coïncident.
+Ce dernier est habituellement noté $(X\times Y)\times_Y (X \times Y)$.
+Avec ce langage il est donc possible d'avoir un sentiment
+immédiat sur la véracité d'un énoncé tel que \ref{un isom}.
+Bien que nous ne développerons peu ou pas ce formalisme (cf. appendices),
+signalons qu'il permet de transformer l'heuristique précédente en
+une réelle démonstration.
+\end{rmr}
+
+Voyons maintenant la réciproque :
+
+\begin{thm}[Théorème d'E.~Artin]
+Soient $K$ un corps et $G$ un groupe fini.
+Alors $K/K^G$ est une extension finie galoisienne de groupe $G$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soit $k=K^G$. Par définition les $g\in G$ sont donc des automorphismes $k$-linéaires de $K$.
+Les éléments de $K$ sont séparables de degré $\leq \#G$ sur $k$ :
+si $x\in K$,
+$$
+P_x:=\prod_{g\in G/\mathrm{Fix}(x)} \big(X-g(x)\big)
+$$
+appartient à $k[X]$, est à racines distinctes dans $K$ et est de degré égal
+à l'indice du fixateur de $x$ dans $G$, inférieur à $\# G$.
+
+Cela montre également que l'extension $K/k$ est normale car les conjugués de $x$ sur $k$
+sont également dans $K$.
+
+Le lemme précédent montre que $K/k$ est finie galoisienne.
+
+\begin{lmm}
+Soit $K/k$ une extension galoisienne telle que tout élément soit de degré $\leq n$.
+Alors $K/k$ est finie, de degré $\leq n$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Soit $x\in K$ de degré maximal sur $k$. Supposons qu'il existe $y\in K-k(x)$.
+L'extension $k(x,y)/k$ étant (finie) séparable, elle est monogène (\ref{primitif})
+engendrée par un élément $z\in K$. Le fait que $k(z)$ contienne strictement $k(x)$
+contredit l'hypothèse faite sur $x$.
+Ainsi $K=k(x)$.
+\end{proof}
+
+Enfin, on a une inclusion $G\subset \Aut_k(K)$. Comme $\#\Aut_k(K)=[K:k]\leq \#G$,
+ces deux groupes sont en fait égaux.
+\end{proof}
+
+\begin{exm}\label{fonctions symétriques}
+Soient $n\in \NN$, $K=\QQ(X_1,\dots,X_n)$ et $G=\got{S}_n$ agissant par permutation.
+Notons $\sigma_1=\sum_1^n X_i$, $\sigma_2=X_1X_2+\cdots+X_{n-1}X_n$, etc.
+et $\sigma_n=X_1\cdots X_n$ les fonctions symétriques usuelles.
+Il est évident que $k:=\QQ(\sigma_1,\dots,\sigma_n)$ s'injecte dans $K^{\got{S}_n}$ :
+les fonctions $\sigma_i$ étant symétriques. Il résulte de l'égalité
+$$T^n-\sigma_1 T^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma_n=(T-X_1)\cdots (T-X_n)$$
+que $K$ est le corps de décomposition d'un polynôme de degré inférieur à
+$n$ de $k[X]$. Cela entraîne (exercice) que $[K:k]\leq n!$. Comme
+$[K:k]\geq [K:K^{\got{S}_n}]=n!$ (théorème d'Artin), on a nécessairement $k=K^{\got{S}_n}$.
+\end{exm}
+
+Le lecteur vérifiera à titre d'exercice que cela entraîne l'égalité
+$\QQ[X_1,\dots,X_n]^{\got{S}_n}=\QQ[\sigma_1,\dots,\sigma_n]$, qu'il est d'ailleurs
+utile (cf. ) de savoir démontrer à la main.
+
+
+% DÉPLACER ET DÉTAILLER : inclure Saltman ?
+%\begin{rmr}
+%Divers exemples (Swan, Lenstra) montrent que si $H\leq \got{S}_n$ est un sous-groupe
+%il n'est pas vrai en général que le corps des invariants $\QQ(X_1,\dots,X_n)^H$
+%soit une extension purement transcendante de $\QQ$ (bien que ce soit le cas pour $H=\got{S}_n$.
+%C'est en particulier déjà faux pour $H=\ZZ/8$ [agissant sur $\QQ(H)$].
+%Cela est lié à de trés intéressantes propriétés (passage du local au
+%global) discutées dans \cite{Generic Galois@Saltman}.
+%[INCLURE CES RÉSULTATS ?]
+%\end{rmr}
+
+\subsection{Correspondance de Galois}
+
+\begin{thm}[Galois]
+Soit $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$.
+L''application $\{1\} \leq H \leq G$ $\leadsto$ $k\subset K^H \subset K$
+est une bijection décroissante entre l'ensemble des sous-groupes de $G$ et celui des sous-
+$k$-extensions de $K$. L'application inverse est donnée par $k\subset k'\subset K$ $\leadsto$
+$\ga(K/k')\leq G=\ga(K/k)$.
+De plus, $K/K^H$ est galoisienne de groupe $H$ et $K^H/k$ est galoisienne
+ssi $H\triangleleft G$ est un sous-groupe distingué, auquel cas son groupe
+de Galois est le groupe quotient $G/H$.
+\end{thm}
+
+Nous verrons une formulation équivalente, due à A.~Grothendieck, plus bas.
+
+\begin{proof}
+Soit $k\subset L \subset K$ une sous-extension et posons $H=\Aut_L(K)\leq G$.
+L'extension $K/L$ est séparable (en effet, le morphisme canonique
+$K\otimes_k K\surj K\otimes_L K$ fait de cette
+dernière un quotient d'une algèbre diagonalisable) donc galoisienne car elle
+est automatiquement normale. Son groupe de Galois est par définition $H$ et l'on a donc
+$L=K^H$.
+
+Réciproquement, si $H\leq G$, l'extension $K/K^H$ est galoisienne de groupe $H$.
+
+Il ne reste donc plus qu'à vérifier la dernière assertion.
+Pour $H\leq G$, l'extension $K^H/k$ est toujours séparable. Il faut donc voir à
+quelle condition elle est normale. Soit $g\in \ga(K/k)$ ; on a $g(K^H)=K^{gHg^{-1}}$.
+Compte tenu de la correspondance entre les sous-extensions et les sous-groupes,
+$g(K^H)=K^H$ ssi $gHg^{-1}=H$. Or, $K^H/k$ est normale ssi tous les \emph{corps
+conjugués} $g(K^H)$, pour $g$ variables, sont égaux à $K^H$. En effet, si $\sur{K}/K$
+est une clôture algébrique, toute injection $K^H\hra \sur{K}$ s'étend
+en une injection $K\sr{g}{\hra}K \hra \sur{K}$, pour $g\in G_{K/k}$.
+Ainsi, l'extension $K^H/K$ est normale ssi $H\triangleleft G$.
+Vérifions que le groupe de Galois est bien isomorphe au quotient.
+On conclue en remarquant que d'une part $[K^H:k]=[K:k]/[K:K^H]$ est égal à l'indice $(G:H)$
+et que d'autre part $G/H\ra G_{K^H/k}$ est une injection,
+car si $g_{|K^H}=\mathrm{Id}_{K^H}$, $g$ appartient à $H$.
+\end{proof}
+
+\section{Fonctorialité}\label{fonctorialité}
+
+Le lecteur peut, en première lecture, omettre cette section.
+
+Commençons par un lemme trivial.
+\begin{lmm}
+Soit
+$$
+\xymatrix{
+K \ar[r] & K' \\
+k \ar[r] \ar[u] \ar@/^1pc/[u]^{G} & k' \ar[u] \ar@/_1pc/[u]_{G'}
+}
+$$
+un diagramme commutatif où $G$ et $G'$ sont les groupes de Galois des extensions
+correspondantes.
+La restriction à $K$, $\sigma'\in G'=\ga(K'/k')\mapsto \sigma'_{|K}\in \Aut(K/(k'\cap K))
+\subset \ga(K/k)$ induit un morphisme de groupes $G'=\ga(K'/k')\ra G=\ga(K/k)$.
+\end{lmm}
+
+Nous allons voir que sous certaines hypothèses,
+c'est une injection et que l'on peut reconstruire $G$ à partir de $G'$ et
+d'un autre groupe de Galois.
+
+\begin{dfn}
+Soient $G_1,G_2,H$ trois groupes et $f_i:G_i\ra H$ ($i=1,2$)
+deux morphismes. On note $G_1\times_H G_2$ (notation abusive pour
+$G_1\times_{f_1,H,f_2} G_2$) le sous-groupe de $G_1\times G_2$ constitué
+des éléments $(g_1,g_2)$ tels que $f_1(g_1)=f_2(g_2)$. C'est le \emph{produit
+fibré} de $G_1$ et $G_2$ au-dessus de $H$.
+\end{dfn}
+
+\begin{prp}\label{prop fonctorialité}
+Soit
+$$
+\xymatrix{
+K \ar[rr] & & K'=Kk' \\
+& K\cap k' \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\
+k \ar[rr] \ar[uu] \ar@/^1pc/[uu]^{G} \ar[ur] & & k' \ar@/_1pc/[uu]_{G'} \ar[uu]
+}
+$$
+un diagramme commutatif de corps, avec $K/k$ galoisienne finie de groupe $G$.
+Alors :
+\begin{itemize}
+\item L'extension $K'/k'$ est galoisienne, de groupe noté $G'$. Ce dernier
+s'injecte canoniquement dans $G$ et son image est égale
+à $\ga(K/K\cap k')$ ;
+\item si $k'/k$ est galoisienne, $K\cap k'/k$ et $K'/k$ le sont également ;
+et l'on a un isomorphisme canonique $$G_{Kk'/k}\iso G_{K/k}\times_{G_{K\cap k'/k}} G_{k'/k}.$$
+\end{itemize}
+En particulier, si $k'/k$ est galoisienne et que $K\cap k'=k$,
+le groupe de Galois $G_{K'/k}$ s'identifie canoniquement à $G_{K/k}\times G_{k'/k}$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+L'extension $Kk'=K'/k'$ est galoisienne : elle est séparable.
+Par exemple car $K'$ est un quotient de $K\otimes_k k'$ donc
+$K'\otimes_{k'} \sur{k'}$ est un quotient de $K\otimes_k \sur{k}$, qui est une algèbre
+diagonalisable. Elle est aussi normale car si $K$ est le corps de décomposition
+d'un polynôme $f\in k[X]$, $K'$ est un corps de décomposition de $f$, vu
+dans $k'[X]$ (cf. \ref{quasi-galoisien}).
+
+Le morphisme $G'\ra G$ est une injection car si $g'\in G'$
+agit trivialement en restriction à $K$, agissant déjà trivialement sur $k'$,
+il en est de même sur $Kk'=K'$.
+
+Il est bien évident que l'image de $G'$ est incluse dans $\ga(K/K\cap k')$.
+Il suffit de montrer que si
+$K\cap k'=k$, $G'\iso G$ (remplacer $k$ par $K\cap k'$). Seule la surjectivité
+est à vérifier. Soit $x\in K$ un élément invariant sous l'image : il appartient
+à $k'$ (étant fixe sous $G'$) et à $K$ (par hypothèse) donc à $k$. Ainsi
+$K^{G'}=k$ et par la correspondance de Galois, $G'=G$ (avec un léger
+abus de notation).
+
+
+Vérifions que si $k'/k$ est galoisienne, il en est de même de $K\cap k'/k$.
+Comme sous-extension d'une extension séparable, elle est séparable. Soit $x'$
+un conjugué de $x\in K\cap k'$. Il appartient à $K$ (car $K/k$ est normale),
+ainsi qu'à $k'$ pour la même raison. Finalement $x'\in K\cap k'$ et l'extension
+est quasi-galoisienne.
+
+Sous les hypothèses précédentes, on dispose de deux surjections
+$G_{K/k}\surj G_{K\cap k'/k}$ et $G_{k'/k}\surj G_{K\cap k'/k}$.
+De façon évidente, le morphisme $G_{Kk'/k}\ra G_{K/k}\times G_{k'/k}$,
+donné sur chaque composante par le morphisme évident, se factorise par
+le sous-groupe $G_{K/k}\times_{G_{K\cap k'/k}} G_{k'/k}$. C'est un isomorphisme.
+Ce morphisme est de façon évidente une injection ; il suffit alors de vérifier
+que les deux groupes ont même cardinaux.
+Montrons que le terme de droite a pour cardinal $\# G_{k'/k} \# G_{K'/k'}$,
+qui vaut trivialement $[k':k][K':k']=\#G_{K'/k}$.
+Cela revient à montrer que le cardinal des fibres de
+$G_{K/k}\surj G_{K\cap k'/k}$ est $\# G_{K'/k'}$. Ce dernier point
+résulte de la suite exacte
+$$
+G_{K'/k'}\iso G_{K/K\cap k'}\hra G_{K/k} \surj G_{K\cap k'/k}.
+$$
+\end{proof}
+
+
+
+\subsection{Théorie de Galois d'après A.~Grothendieck (facultatif)}
+
+\begin{thm}
+Soient $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$ et $\sur{k}$ une
+clôture algébrique de $k$.
+Les foncteurs
+$$
+k-\text{algèbres diagonalisables sur } K \leftrightarrows G-\text{ensembles finis},
+$$
+$$
+A \mapsto \Hom_k(A,\sur{k})
+$$
+
+$$
+\Hom_G(X,K) \mapsfrom X
+$$
+sont des équivalences de catégories inverses l'une de l'autre.
+\end{thm}
+
+\begin{rmr}[Exercice]
+Vérifiez que le groupe des automorphismes du foncteur d'oubli $G-\Ens \ra \Ens$
+s'identifie canoniquement à $G$.
+\end{rmr}
+
+%% À FAIRE !
+%%%%%%%%%%%%
+
+
+
diff --git a/2-chap-Galois.tex b/2-chap-Galois.tex
new file mode 100644
index 0000000..ef873cc
--- /dev/null
+++ b/2-chap-Galois.tex
@@ -0,0 +1,616 @@
+
+\chapter{Exemples, calculs et premières applications}
+
+\section{Premières applications}
+
+\subsection{Le corps des nombres complexes est algébriquement
+clos}\label{d'Alembert-Gauss}
+\begin{enumerate}
+\item Il n'existe pas d'extension de degré impair de $\RR$ non triviale. \\
+C'est évident car tout polynôme de degré impair à coefficients réels à une racine
+réelle. On en déduit, par théorie de Galois que
+\item Toute extension finie $K/\RR$ est de degré une puissance de $2$.\\
+Le corps des nombres réels étant de caractéristique nulle, tout extension
+est séparable ; il suffit de démontrer cet énoncé dans le cas particulier
+où $K/\RR$ est une extension
+galoisienne de groupe $G$, ce que nous supposons donc.
+Soit $d=2^r m$ son degré, avec $r\geq 0$ et $m$ impair et $G_2$ un $2$-Sylow de $G$.
+L'extension $K/K^{G_2}$ est galoisienne de groupe $G_2\leq G$, avec $\# G_2=2^r$, si bien
+que $K^{G_2}/\RR$ est nécessairement de degré impair $m$. Finalement $m=1$ d'après le
+point précédent.
+\item Il n'existe pas d'extension de $K/\RR$ de degré $2^r$, $r>1$.\\
+On peut supposer l'extension galoisienne, de groupe noté $G$, car en vertu de ce qui précède,
+sa clôture galoisienne est également de degré une puissance de $2$.
+Soit $M\leq G$ un sous-groupe d'indice $2$ de $G$ (nécessairement distingué).
+(L'existence d'un tel sous-groupe est bien connue et laissée en exercice.)
+Ainsi, l'extension $K^M/\RR$ est galoisienne de groupe $\ZZ/2$, nécessairement
+obtenue par l'extraction d'une racine carrée\footnote{
+En effet, si $x\in K^M-\RR$, $[\RR(x):\RR]=2$ donc il existe
+des nombres réels $a,b$ tels que $x^2+ax+b=0$. Si $\Delta=a^2-4b$, il est évident
+que $\RR(x)=\RR(\sqrt{\Delta})=\RR(\sqrt{\mathrm{sgn}(\Delta)})$.}
+d'un nombre négatif donc isomorphe à $\CC/\RR$,
+auquel nous l'identifierons.
+Par hypothèse $r>1$ donc $\CC\subsetneq K$. L'extension $K/\CC$ étant de degré une puissance
+non triviale de $2$, on voit comme précédemment que $\CC$ possède alors une
+extension de degré $2$, obtenue par extraction d'une racine. Or, on vérifie
+facilement explicitement que tout nombre complexe à une racine carrée dans $\CC$.
+Contradiction.
+\end{enumerate}
+
+
+\subsection{Longueur maximale d'une chaîne de sous-extensions}\label{chaines}\ \\
+Soit $f\in \QQ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d$, et soit
+$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ l'ensemble de ses racines dans une
+clôture algébrique $\sur{\QQ}$ de $\QQ$.
+Notons $G_f$ le groupe de Galois de $\QQ(\alpha_1,\dots,\alpha_d)/\QQ$.
+Ce groupe agit par permutation sur les racines, d'où un morphisme
+canonique $G_f\ra \got{S}_{X_f}$. \emph{Supposons que c'est un isomorphisme.}
+(Nous verrons plus tard que c'est \emph{en général} le cas ;
+cf. \ref{groupe galois générique} [À rédiger :
+Bourbaki, Algèbre, exercice chap. V, §12, №13].)
+
+\begin{itemize}
+\item Quel est le nombre de sous-corps distincts de $\QQ(X_f)$ ?\\
+Il résulte de la théorie de Galois que ce nombre coïncide avec
+le nombre de sous-groupes de $\got{S}_X$.
+Ses valeurs sont, pour $d=1,\dots,7$ égales à
+$$
+1,2,6,30,156,1455,11300,\dots
+$$
+Ainsi, si l'on prend par exemple un polynôme de degré $5$ de groupe de Galois $\got{S}_5$,
+le graphe des sous-corps de son corps de décomposition comporte $156$ sommets. Les arêtes
+de ce graphe correspondent par définition aux inclusions de corps.
+Les valeurs pour $d=\{8,9,10\}$ sont disponibles par exemple sur l'encyclopédie
+les suites entières\footnote{En ce début de \textsc{xxi}-ième siècle,
+on peut la trouver à l'adresse
+\texttt{http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexfrench.html}.}
+(entrée \texttt{A005432}, anciennement \texttt{M1690}).
+
+\item Quelle est la longueur maximale d'une chaîne de sous-corps ? \\
+Il s'agit donc ici de trouver la longueur maximale d'une chaîne de sous-groupes
+de $\got{S}_n$. Les premières valeurs de cette suite sont :
+
+$$
+1,2,3,5,6,7,8,11,12,13,14,16,17.
+$$
+C'est la suite \texttt{A007238} (anciennement \texttt{M0945}) de \textit{loc. cit.}
+
+\item Quel est le nombre de sous-extensions de $\QQ(\alpha)$ pour
+$\alpha$ une racine quelconque de $f$ ?
+Comme le sous-corps $\QQ(\alpha)$ de $\QQ(X_f)$ correspond au fixateur
+de $\alpha$ dans $G_f=\got{S}_{X_f}$, il s'agit de compter les sous-groupes
+de $\got{S}_{X_f}$ qui contiennent $\mathrm{Stab}(\alpha)\iso \got{S}_{X_f-\alpha}$.
+Seulement deux possibilités se présentent : un tel groupe est soit le plus
+grand possible soit le plus petit possible. Ainsi, pour $\alpha$ comme plus haut
+(ce qui est \emph{généralement} le cas), $\QQ(\alpha)$ ne possède pas de sous-extension
+non triviale. (C'est bien entendu évident, sans hypothèse sur le groupe
+de Galois si $f$ est de degré premier.)
+\end{itemize}
+
+
+\section{Quelques exemples}
+
+\subsection{Équations de degré $2$}
+Une équation $K/k$ de degré $2$ est nécessairement monogène, même si elle n'est pas
+séparable. Elle est donc isomorphe à $k[X]/\big(X^2+a'X+b'\big)$ où $X^2+a'X+b'$ est
+un polynôme irréductible (et en particulier $b'\neq 0$).
+Si $\mathrm{car.}k\neq 2$, on obtient en écrivant $a'=2a$,
+$$K\isononcan k[X]/\big(X^2-c\big),$$ où $c\in k-k^2$. Dans le cas général, la substitution
+$\alpha\mapsto -\frac{a'}{b'}\alpha+1$ montre que
+$$K\isononcan k[X]/\big(X^2-aX+1\big)$$ pour un $a\in k$.
+
+\subsection{Équations de groupe $\ZZ/3\ZZ$}\label{groupe Z/3}
+On va voir que comme précédemment, ces équations sont, sans hypothèse
+sur la caractéristique du corps, donnée par une équation universelle à un paramètre.
+Comment trouver cette équation ?
+(La réponse à cette question, donnée par la théorie de \emph{Kummer} (exposée plus bas,
+\ref{Kummer}),
+est plus simple mais fait des hypothèses essentielles sur le corps de base.)
+Voici comment construire cette équation universelle.
+Il est bien connu que le groupe cyclique $\ZZ/3$ se plonge dans $\mathrm{PGL}_2(\QQ)\iso
+\Aut_{\QQ}(\QQ(t))$ (qui coïncident également avec le groupe des aux automorphismes
+de la droite projective $\PP^1_{\QQ}$) :
+$$
+1\in \ZZ/3 \leadsto \sigma:=\Big( t \mapsto \frac{1}{1-t} \Big).
+$$
+On veut décrire l'extension $\QQ(t)/\QQ(t)^{\ZZ/3}$, galoisienne de groupe $\ZZ/3$.
+Soit $a:=t+\sigma(t)+\sigma^2(t)\in \QQ(t)^{\ZZ/3}$. On calcule :
+$$
+a=\frac{t^3-3t+1}{t^2-t}
+$$
+donc $\QQ(a)=\QQ(t)^{\ZZ/3}$ (l'inclusion du terme de gauche étant évident \emph{a priori}).
+On vérifie par le calcul que $t\sigma(t)\sigma^2(t)=-1$ et
+$t\sigma(t)+t\sigma^2(t)+\sigma(t)\sigma^2(t)=a-3$ donc
+$$
+\mathrm{Irr}_{\QQ(a)}(t)=X^3-ax^2+(a-3)X+1.
+$$
+
+Remarquons que si $\mathrm{car.}k=3$, cette équation
+devient $Y^3-Y=-\frac{1}{a}$ via le changement de variable $Y=\frac{1}{1+X}$.
+C'est une équation d'\emph{Artin-Schreier} (cf. \ref{Artin-Schreier}).
+
+\begin{prp2} Soient $k$ un corps et $K/k$ une extension galoisienne de groupe $\ZZ/3$.
+Alors, il existe $a_K\in k$ tel que $$K\isononcan k[X]/\big(X^3-a_Kx^2+(a_K-3)X+1\big).$$
+\end{prp2}
+
+
+\begin{proof}
+Soient $K/k$ comme dans l'énoncé et $\sigma\in \ga(K/k)$ un générateur.
+Choisissons $x_1\in K-k$ ; posons $x_2=\sigma(x_1)$ et $x_3=\sigma(x_2)=\sigma^2(x_1)$.
+On cherche $y$, fonction rationnelle en les $x_i$ ($1\leq i \leq 3$) telle
+que $\sigma(y)=\frac{1}{1-y}$. On vérifie immédiatement que
+$y:=\frac{x_1-x_3}{x_1-x_2}$ répond à la question (bien entendu $x_1\neq x_2$).
+Il résulte des calculs effectués plus haut que $y$ est racine d'une équation
+du type attendu. Il nous faut cependant vérifier que $y\notin k$.
+Si c'est le cas alors $y(1-y)=1$, équation qui n'a au plus que deux solutions.
+Soit $1,\alpha,\beta$ une base de $K$ sur $k$ ; les quantités
+$y(\alpha),y(\beta),y(\alpha+\beta)$ ne peuvent prendre deux fois la même valeur.
+En effet, si par exemple
+$$
+\frac{\alpha-\sigma^2(\alpha)}{\alpha-\sigma(\alpha)}=\mu\in k=
+\frac{\beta-\sigma^2(\beta)}{\beta-\sigma(\beta)}
+$$
+on en déduit immédiatement que les fonctions $\mathrm{Id},\sigma$ et $\sigma^2$
+sont linéairement dépendantes sur $k$. Ce n'est pas le cas (exercice ou
+\ref{indépendance linéraire caractères} ci-dessous).
+Cette démonstration a été communiquée à l'auteur par Hugues Randriambololona.
+\end{proof}
+
+\begin{prp2}\label{indépendance linéraire caractères}\label{indep lineaire}
+Soit $K/k$ une extension finie de groupe de Galois $G$.
+Alors, les $g\in G$, vus comme éléments du $K$-espace vectoriel
+$\End_k(K)$ sont $K$-linéairement indépendants.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+Il suffit de démontrer ce résultat après extension des scalaires
+de $k$ à $K$. Pour chaque $g'\in G$, l'élément $g'\otimes_k K$ de $\End_K(K\otimes_k K)\iso
+\End_K(\Hom_{\Ens}(G,K))$
+correspond, en vertu de \ref{auto décomposition}, aux translations
+$$T_{g'} :(x_g)_{g\in G}\mapsto (x_{gg'})_{g\in G}.$$
+Celles-ci sont visiblement linéairement indépendantes : si $\sum \lambda_g T_g=0$,
+alors $\sum \lambda_g T_g(e_1)=(\lambda_g)_{g\in G}=0$,
+où $e_1$ est le Dirac en l'unité.
+\end{proof}
+
+Plus généralement, si $H$ est un groupe et $K$ un corps,
+les morphismes de groupes $H\ra K^{\times}$ sont $K$-linéairement indépendants
+(exercice ou \ref{} [À rédiger]) : c'est l'« indépendance linéaire des caractères ».
+On retrouve la proposition précédente en prenant $H=K^{\times}$.
+
+\subsection{Digression : discriminant}\label{discriminant}
+
+Soient $n\in \NN$ et
+$\displaystyle \delta:=\prod_{1\leq i<j\leq n} \big(x_i-x_j\big)\in \ZZ[x_1,\dots,x_n]$.
+On fait agir $\got{S}_n$ sur $\ZZ[x_1,\dots,x_n]$ par permutation des variables (cf.
+\ref{fonctions symétriques}).
+Pour chaque $\sigma\in \got{S}_n$, $\sigma\delta=\varepsilon(\sigma)\delta$, où
+$\varepsilon(\sigma)\in \{\pm 1\}$. Ainsi, $\sigma\delta^2=\delta^2=:\Delta$, pour
+tout $\sigma\in \got{S}_n$. Il en résulte que $\Delta$ est un polynôme
+en les fonctions symétriques élémentaires $\sigma_1=\sum_1^n x_i,\dots,\sigma_n=\prod_1^n x_i$ ;
+il est homogène de degré $n(n-1)$ en les variables.
+
+Pour $n=2$, $\Delta=(x_1-x_2)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
+donc $$\Delta=\sigma_1^2-4\sigma_2;$$ c'est le discriminant de l'équation
+$T^2-\sigma_1T+\sigma_2$. \\
+
+Pour $n=3$, on vérifie que
+$$\Delta=
+-27{\sigma_3}^{2}+18\sigma_1\sigma_2\sigma_3+
+{\sigma_1}^{2}{\sigma_2}^{2}-4{\sigma_1}^{3}\sigma_3-4{\sigma_2}^{3},
+$$
+qui se réduit à $-27{\sigma_3}^{2}-4{\sigma_2}^{3}$ si $\sigma_1=0$.\\
+
+
+
+Enfin, pour $n=4$, si l'on en croit l'ordinateur,
+
+$$\begin{array}{l}
+\Delta=-192{\sigma_3}{\sigma_1}{{\sigma_4}}^{2}+
+144{\sigma_2}{{\sigma_1}}^{2}{{\sigma_4}}^{2}
+-4{{\sigma_2}}^{3}{{\sigma_1}}^{2}{\sigma_4}
+-6{{\sigma_3}}^{2}{{\sigma_1}}^{2}{\sigma_4}
+-80{\sigma_3}{\sigma_1}{{\sigma_2}}^{2}{\sigma_4}
++18{{\sigma_3}}^{3}{\sigma_1}{\sigma_2}
+-27{{\sigma_1}}^{4}{{\sigma_4}}^{2}
++18{\sigma_3}{{\sigma_1}}^{3}{\sigma_2}{\sigma_4}\\
++{{\sigma_2}}^{2}{{\sigma_3}}^{2}{{\sigma_1}}^{2}
+-4{{\sigma_3}}^{3}{{\sigma_1}}^{3}
++16{{\sigma_2}}^{4}{\sigma_4}
+-4{{\sigma_2}}^{3}{{\sigma_3}}^{2}
+-128{{\sigma_2}}^{2}{{\sigma_4}}^{2}
++144{\sigma_4}{{\sigma_3}}^{2}{\sigma_2}
+-27{{\sigma_3}}^{4}
++256{{\sigma_4}}^{3}.
+\end{array}
+$$
+
+Pour $X^4+pX^2+qX+r$, on trouve $16p^4r-4p^3q^2-128p^2r^2+144pq^2r - 27q^4+256r^3$.
+
+Soient $k$ un corps et $f\in k[X]$ un polynôme de degré $n$. Soient $x_1,\dots,x_n$
+les racines de $f$ dans une clôture algébrique de $k$. Alors, il résulte
+immédiatement de la définition que les racines de $f$ sont simples si et
+seulement si
+$\Delta(x_1,\dots,x_n)\neq 0$ ; cette dernière quantité s'exprime à l'aide des formules
+ci-dessus en remplaçant les $\sigma_i$ ($1\leq i \leq n$) par
+les coefficients $(a_i)_{1\leq i \leq n}$ dans $f=X^n-a_1X^{n-1}+\cdots+(-1)^n a_n$.
+
+\begin{prp2}
+Soient $k$ un corps de caractéristique différente de $2$ et $f\in k[X]$ un
+polynôme séparable irréductible de degré $d$. On suppose choisie un corps
+de décomposition $K$ de $f$. Alors, le sous-groupe
+$G_f$ de $\got{S}_{X_f}$ est contenu dans le groupe alterné $\got{A}_{X_f}$
+si et seulement si $\Delta_f$ est un carré dans $k$.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+Compte tenu de l'égalité $\sigma \delta = \varepsilon(\sigma)\delta$,
+$\delta\in K$ est fixe sous l'action de $G_f$ si et seulement si $\varepsilon(\sigma)=1$
+pour tout $\sigma\in G_f$ (rappelons que par hypothèse, $1\neq -1$ dans $K$).
+Donc $\delta\in k$ si et seulement si $G_f\subset \got{A}_{X_f}$. La conclusion
+résulte de ce que par définition $\delta^2=\Delta$.
+\end{proof}
+
+Par exemple, le discriminant de l'équation universelle de groupe $\ZZ/3\isononcan
+\got{A}_3$ (\ref{groupe Z/3}) est $(a^2-3a+9)^2$.
+
+En caractéristique $2$, le même argument montre que $\Delta$ est toujours un carré.
+
+
+\subsection{Équations de degré $3$ et $4$}
+
+\begin{dfn}
+Soit $f$ un polynôme séparable (non nécessairement irréductible) à coefficient
+dans un corps $k$. Notons $G_f$ le groupe de Galois d'un corps de décomposition de $f$ sur $k$
+et $X_f$ l'ensemble des racines de $f$ dans ce sur-corps.
+\end{dfn}
+
+Remarquons que l'extension considérée est bien galoisienne.
+
+Avec ces notations, on a :
+
+\begin{prp}\label{transitif}
+Si $f$ est irréductible, de degré $d$, alors $d$ divise le cardinal
+du groupe $G_f$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Comme $f$ est irréductible, $G_f\hra \got{S}_{X_f}$ agit transitivement (cf.
+\ref{transitivité normale}). La conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+Cela explique le rôle crucial tenu par les sous-groupes transitifs des groupes
+des permutations. Nous verrons un exemple non trivial, utile à des fins calculatoires
+plus bas (\ref{degré 5}).
+
+\begin{exms}
+\begin{itemize}
+\item Soit $P=X^3-3X+1\in \QQ[X]$. Ce polynôme est irréductible : il n'a pas de racine
+rationnelle. Son discriminant vaut $81=9^2$ donc si $\alpha$
+est une racine de $P$ dans $\CC$, $\QQ(\alpha)/\QQ$ est galoisienne,
+de groupe $\ZZ/3$. (Remarquons que cette équation s'obtient en substituant
+$0$ à $a$ dans l'équation universelle ci-dessus.
+\item Soit $\FF_2$ le corps fini à deux éléments. Toute extension finie
+de ce corps est séparable (un corps fini est parfait) et normale donc galoisienne.
+Par exemple, si $P=X^3+X+1\in \FF_2[X]$, $K=\FF_2[X]/P$ est un corps,
+galoisien sur $\FF_2$.
+
+\item Soient $k$ un corps de caractéristique deux et $P=X^3+aX+b$ un polynôme irréductible
+séparable sur $k$. Montrons que $G_P=\got{A}_3$ ssi l'équation
+$$y^2+by+(a^3+b^2)$$ a une racine dans $k$. \\
+
+Soient $x_1,x_2,x_3$ les racines de $P$ dans une clôture algébrique de $k$
+et introduisons
+$$\alpha:=x_1 x_2^2+x_2 x_3^2+x_3 x_1^2$$
+(resp. $\beta=(12)\alpha=x_2 x_1^2 + x_1 x_3^2 + x_3 x_2^2$)
+le $\got{A}_3$-symétrisé de l'expression $x_1 x_2^2$. Remarquons que le polynôme
+définissant $\alpha$ n'est \emph{pas} $\got{S}_3$ invariant.
+
+Après quelques calculs (simplifiés par l'hypothèse sur la caractéristique de $k$)
+on trouve que
+
+$$(Y-\alpha)(Y-\beta)=Y^2-x_1x_2(x_1+x_2)Y + (...) = Y^2-bY+(a^3+b^2).$$
+
+Il est immédiat que si $G_P\subset \got{A}_3$, $\alpha\in k$ : l'expression
+le définissant est $\got{A}_3$-invariante. Réciproquement, cette équation
+en $Y$ a pour discriminant $b^2$, nécessairement non nul (car $P$ est irréductible
+donc $b\neq 0$) ; il s'en suit que $\alpha\neq \beta$. Si $G_P\subsetneq \got{A}_3$,
+il existe $g\leftrightarrow (12)$ dans le groupe de Galois tel que $g(\alpha)=\beta$. Cela entraîne
+que $g\alpha\neq \alpha$ et $\alpha\notin k$. CQFD.
+\end{itemize}
+\end{exms}
+
+%SECTION FACULTATIVE PAGE 10 ZAPPÉE
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\section{Équations de degré $4$}\label{degré 4}
+
+Nous discuterons plus loin les méthodes de calculs de racines. Notre propos
+est ici de comprendre pour quelles valeurs de paramètres
+$\mathbf{T}=(T_1,\dots,T_4)$ une équation $f=X^4-T_1X^3+T_2X^2-T_3X+T_4\in k[X]$,
+pour un corps $k$ de caractéristique différente de deux, a pour groupe de galois
+$\got{S}_4$.
+
+Pour des valeurs des paramètres telles que l'équation soit séparable,
+le groupe de Galois est bien défini et est égal à $\got{S}_4$ ssi
+(tautologiquement) il n'est contenu dans aucun sous-groupe maximal strict de
+$\got{S}_4$. La proposition suivant en donne la courte liste.
+
+En plus grand degré $n>4$, il est d'ordinaire utile de remarquer que si
+l'équation est séparable et irréductible, son groupe de Galois agit transitivement
+sur les racines ; on peut donc se contenter de rechercher les sous-groupes
+maximaux \emph{transitifs}\footnote{
+À conjugaison près, le nombre de sous-groupes
+transitifs de $\got{S}_n$ est, pour $n\in [1,20]$ (d'après
+l'ordinateur pour $n\geq 16$)
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|*{21}{c|}}
+\hline
+$n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20 \\
+\hline
+nb. sous-groupes transitifs & 1&1&2&5&5&16&7&50&34&45&8&301&9&63&104&1954&10&983
+&8&1117\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}}
+%$$
+%\begin{array}{*{31}{l}}
+%1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27&28&29&30&31 \\
+%1&1&2&5&5&16&7&50&34&45&8&301&9&63&104&1954&10&983
+%&8&1117&164&59&7&25000&211&96&2392&1854&8&5712&12
+%\end{array}
+%$$}}.
+
+\begin{prp}
+Les sous-groupes maximaux de $\got{S}_4$ sont $\got{A}_4$, $\got{S}_3\isononcan
+\mathrm{Stab}_x$ ($1\leq x \leq 4$) et les $2$-Sylow de $\got{S}_4$,
+isomorphes au groupe diédral $D_4$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Soit $G$ un sous-groupe maximal de $\got{S}_4$, d'ordre $d\in \{12,8,6,4,3,2,1\}$.
+Traitons les cas un par un.\\
+$d=12$. Il s'agit d'un sous-groupe d'indice $2$ donc distingué ; c'est nécessairement
+$\got{A}_4$, qui est maximal.\\
+$d=8$. C'est un $2$-Sylow ; ils sont tous conjugués et l'on remarque que pour chaque
+numérotation des côtés d'un carré, le groupe $D_4$ des isométries du carré
+est un sous-groupe de $\got{S}_4$, d'ordre $8$. Il est maximal car non
+contenu dans $\got{A}_4$.\\
+$d=6$. Comme $4$ ne divise pas $d$, $G$ n'agit pas transitivement. Comme
+$G\subsetneq \mathrm{Fix}_{x_1,x_2}\times \mathrm{Fix}_{x_3,x_4}\subset \got{S}_4$
+pour $\{x_1,x_2,x_3,x_4\}=[1,4]$ (sans quoi son cardinal diviserait $4$),
+il est contenu dans, et même égal à, un fixateur $\mathrm{Fix}_x$ pour un $x\in [1,4]$.\\
+Un sous-groupe d'ordre $2$ ou $4$ est contenu dans un $2$-Sylow donc non maximal
+et un sous-groupe d'ordre $3$, nécessairement engendré par un $3$-cycle
+est contenu dans $\got{A}_4$ donc non maximal également.
+\end{proof}
+
+Pour simplifier les notations du théorème suivant, on identifiera $\got{S}_{X_f}$ à $\got{S}_4$
+(par le choix d'une numérotation des racines) et l'on écrira $G_f\subset \got{S}_3$
+(resp. $G_f\subset D_4$) pour signifier que $G_f$ est contenu
+dans un sous-groupe de $\got{S}_4$ isomorphe au terme de droite.
+
+\begin{thm}\label{S_4?} Soient $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ et
+$f=X^4-t_1X^3+t_2X^2-t_3X+t_4\in k[X]$
+un polynôme séparable (non nécessairement irréductible) de degré $4$.
+\begin{itemize}
+
+\item $G_f\subset \got{A}_4$ ssi $\Delta$ est un carré.
+\item $G_f\subset \got{S}_3$ ssi $f$ a une racine dans $k$.
+\item $G_f \subset D_4$ ssi l'un des éléments $x_1x_3+x_2 x_4$, $x_1 x_2 + x_3 x_4$ ou
+$x_1 x_4 + x_2 x_3$ appartient à $k$. \\
+De façon équivalente, $G_f\subset D_4$ ssi le polynôme de $k[X]$
+{\small
+$$
+\big(X-(x_1x_3+x_2 x_4)\big)\big(X-(x_1 x_2 + x_3 x_4)\big))\big(X-(x_1 x_4 + x_2 x_3)\big)
+=X^3-t_2X^2+(t_1t_3-4t_4)X+(4t_2t_4-t_1^2t_4-t_3^2)$$}
+a une racine dans $k$.\\
+De plus le discriminant de cette cubique est égal au discriminant de $f$, non nul.
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+La cubique précédente est appelée une \emph{résolvante}.
+
+
+\begin{proof}
+Le premier point n'est mis que pour mémoire. Le second est évident.
+Passons au troisième point.
+L'expansion de la cubique est un simple calcul ; l'égalité
+des discriminants résulte de ce que
+$$
+(x_1 x_2 + x_3 x_4)-(x_1x_3+x_2 x_4)=(x_1-x_4)(x_2-x_3).
+$$
+%La nécessité de la condition est évidente : le polynôme $X_1X_3+X_2X_4$
+%est invariant par $D_4\isononcan\langle (1234),(12)(34)\rangle\subset \got{S}_4$.
+Les expressions $\{ X_1X_3+X_2 X_4, X_1 X_2 + X_3 X_4,X_1 X_4 + X_2 X_3\}$
+forment une orbite sous l'action de $\got{S}_4$ sur $\ZZ[X_1,\dots,X_4]$,
+les stabilisateurs des éléments étant précisément les groupes diédraux.
+Plus précisément, par exemple pour des raisons de degrés,
+$\QQ(X_1,\dots,X_4)^{D_4}=\QQ(X_1X_3+X_2X_4)$. Il en résulte que si $G_f$ n'est
+pas contenu dans un $D_4$, il agit sans point fixe sur les racines
+de la cubique.
+\end{proof}
+
+Voyons une application immédiate :
+
+\subsection{Exemple : détermination du groupe de
+Galois de $X^4-X+1\in \QQ[X]$}
+
+Il résulte des formules \ref{discriminant} que le discriminant de cette équation
+est $256-27=229\neq 0$. Le polynôme est donc séparable (on ne sait
+pas encore s'il est irréductible). Comme $229$ n'est pas un carré (c'est même un nombre
+premier), le groupe de Galois $G$ de l'équation n'est pas contenu dans $\got{A}_4$.
+Cette équation n'ayant pas de racine dans $\QQ$ (si c'était le cas, elle serait
+entière mais $n(x^3-1)\neq -1$ pour tout entier $n\in \ZZ$), $G$ n'est pas contenu
+dans un groupe $\got{S}_3$, stabilisateur d'une racine. Enfin, la cubique
+du théorème se spécialise ici en $X^3-4X-1$ qui n'a pas non plus de racine.
+Ainsi, d'après les deux résultats précédents, $X^4-X+1$ est irréductible
+sur $\QQ$, de groupe de Galois $\got{S}_4$.
+
+
+Nous encourageons le lecteur à choisir un polynôme
+« au hasard » et à faire de même avec son polynôme.
+
+
+
+\subsection{Exercice (N. Bourbaki)}
+Montrez qu'il existe une infinité de $a\in \ZZ$ tel que si $\alpha$
+est une racine de $f_a:=X^4-aX-1$, l'extension $\QQ(\alpha)/\QQ$ ne possède pas
+de sous-extension non triviale. Comme remarqué en fin de \ref{chaines},
+il suffit de trouver de tels $a\in \ZZ$ tels que $G_{f_a}\isononcan\got{S}_4$.
+%Indication : calculez la cubique résolvante.
+
+\section{Équations de degré $5$}\label{degré 5}
+
+On se propose de démontrer un analogue du théorème \ref{S_4?} pour de telles
+équations. On procède de façon semblable.
+
+\begin{prp}
+Les sous-groupes maximaux de $\got{S}_5$ sont $\got{A}_5$,
+les stabilisateurs d'un point $\mathrm{Fix}_{x}\isononcan \got{S}_4$
+les produits de fixateurs $\mathrm{Fix}_{x_1,x_2,x_3}\times \mathrm{Fix}_{x_4,x_5}
+\isononcan \got{S}_2\times \got{S}_3$ et les normalisateurs
+d'un $5$-Sylow (d'indice $6$) de $\got{S}_5$. Ces derniers groupes sont
+isomorphes au groupe des automorphismes de la droite affine sur $\FF_5$,
+$\{x\mapsto ax+b\ (a,b)\in \FF_5^{\times}\times \FF_5\ :
+\FF_5\ra \FF_5 \}\isononcan \FF_5 \rtimes \FF_5^{\times}$. Ils sont
+d'indice $6$ dans $\got{S}_5$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Soit $G$ un sous-groupe non trivial de $\got{S}_5$. Si l'action de $G$ n'est pas transitive,
+soit il existe une orbite de cardinal $1$ et $G$ est contenu dans un $\got{S}_4$
+soit il existe une orbite de cardinal $2$ et $G$ est contenu dans un $\got{S}_2\times\got{S}_3$.
+Ces deux groupes sont maximaux.
+
+Supposons donc l'action de $G$ transitive ; le cardinal du groupe est donc
+divisible par $5$. Soit $n_5$ le nombre de $5$-Sylow (nécessairement
+cycliques d'ordre $5$) de $G$.
+
+\begin{itemize}
+\item Cas $n_5=1$. Comme $G$ normalise un $5$-Sylow de $\got{S}_5$, il contient
+un normalisateur, noté $\mathrm{H}_{20}$.
+Il reste à montrer qu'un tel groupe est maximal et isomorphe
+au groupe affine sur $\FF_5$. Commençons par le premier point. Soit $\mathrm{H}_{20}\subsetneq
+K \subsetneq \got{S}_5$ un sous-groupe. Comme $\mathrm{H}_{20}$ est d'indice $6$\footnote{
+Le nombre d'éléments d'ordre $5$ dans $\got{S}_5$ est $4!$ donc le nombre de $5$-Sylow
+est $4!/4=6$.}, $K$ est d'indice $2$ ou $3$. S'il est d'indice $2$ c'est $\got{A}_5$
+mais $\mathrm{H}_{20}$ n'est pas contenu dans $\got{A}_5$ : $(1243)\notin \got{A}_5$
+et stabilise le $5$-Sylow $\langle (12345) \rangle$. Ainsi, $K$ est d'indice $3$.
+Cela entraîne l'existence d'une action transitive $\got{S}_5\ra \got{S}_3$,
+ce qui est impossible. En effet, l'identité
+$(123)=(32145)(13254)$ montre que $\got{A}_5$,
+engendré par les $3$-cycles, l'est également par les $5$-cycles. Le morphisme
+précédent se factoriserait alors par $\got{S}_5/\got{A}_5\iso \ZZ/2$,
+car l'image d'un $5$-cycle dans $\got{S}_3$ est nécessairement triviale, ce qui est absurde.
+
+Ainsi, les groupes $\mathrm{H}_{20}$ sont maximaux. Identifiant $\got{S}_5$
+à l'ensemble des permutations de $\FF_5$, on peut envoyer $\{x\mapsto ax+b : \FF_5\ra \FF_5\}$
+dans $\got{S}_5$. On vérifie immédiatement qu'il normalise le $5$-Sylow
+$\langle (12345) \rangle$.
+
+\item Cas $n_5=6$. Sous cette hypothèse, $G$ contient tous les $5$-cycles
+de $\got{S}_5$. On a vu plus haut que ceux-ci engendrent $\got{A}_5$.
+Ainsi, $G$ contient $\got{A}_5$, qui est bien maximal dans $\got{S}_5$.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+Un $5$-Sylow de $\got{S}_{\FF_5}$ étant donné, par exemple
+$\langle (01234) \rangle$, notons $\mathrm{H}_{20}$ son normalisateur.
+Il s'agit de l'ensemble des permutations $g\in \got{S}_{\FF_5}$
+tels que $g(01234)g^{-1}=(01234)^{i}$, $i\in \{1,2,3,4\}$. Géométriquement,
+c'est l'ensemble des éléments de $\FF_5$ qui envoient le premier pentagone
+ci-dessous sur un des quatre pentagones ci-dessous, éventuellement
+tourné.
+\begin{center}
+\input{pentagones.pstex_t}
+\end{center}
+Le fait que $H_{20}$ soit isomorphe au groupe affine de la droite affine
+sur $\FF_5$ est alors apparent.
+
+Soit
+$$u=(x_0x_1+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_0)-
+(x_0x_2+x_2x_4+x_4x_1+x_1x_3+x_3x_0),$$
+obtenu en sommant les produits correspondants aux arêtes du premier pentagone (traits
+pleins) et en soustrayant les produits correspondants aux diagonales (traits
+en pointillés).
+Au signe près, on obtiendrait le même élément en considérant le deuxième pentagone.
+Il en résulte que
+cet élément de $\ZZ[x_1,\dots,x_5]$ est antisymétrique sous $\HH_{20}$, au sens
+où $\sigma(u)=\varepsilon(\sigma)u$ pour tout $\sigma\in \HH_{20}$.
+En effet, les translations de $\HH_{20}$ (vu comme groupe affine) agissent trivialement
+et le générateur $2\in \FF_5^{\times}$ (correspondant à
+$(1243)$ dans $\got{S}_{\FF_5}$) induit un changement de signe.
+Ainsi
+$$\alpha_1:=\frac{u}{\delta}$$
+($\delta=\prod_{i<j} (x_i-x_j)$) est invariant sous l'action de $\HH_{20}$
+et c'est même son stabilisateur.
+
+On est donc naturellement amené à considérer le polynôme
+$$
+(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_6)\in \ZZ[x_1,\dots,x_5][\delta^{-1}][X]
+$$
+où les $\alpha_i$ ($1\leq i \leq 6$) forment l'orbite de $\alpha_1$ sous
+$\got{S}_{\FF_5}$. Le groupe $\got{A}_{\FF_5}$ agit également transitivement sur ses racines,
+par exemple parce que $\langle\got{A}_{\FF_5},H_{20}\rangle=\got{S}_{\FF_5}$.
+Ce polynôme joue un rôle analogue à celui joué par la résolvante cubique (\ref{S_4?}).
+
+\begin{thm}\label{S_5?} Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$,
+$f$ un polynôme unitaire irréductible séparable de $k[X]$.
+Alors $G_f$ n'est ni contenu ni dans
+un $\got{S}_4$ ni dans un $\got{S}_2\times \got{S}_3$,
+et le groupe $G_f$ est contenu dans un $\mathrm{H}_{20}$ ssi
+le polynôme précédent a une racine dans $k$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Le premier point est évident, de même que le fait que
+si $G\subset \HH_{20}$ (\cad \emph{un} tel groupe), alors la résolvante a
+une racine (correspondant à $\alpha_1$ avec les notations ci-dessus).
+Voyons la réciproque. Supposons l'une des racines $\alpha_1$ de la sextique dans $k$ et
+$G_f$ contenu dans aucun $\HH_{20}$. Puisque $G_f$ agit transitivement
+sur $X_f$, $5|\#G_f$. Si $n_5=1$, d'après la démonstration de la proposition
+précédente, $G$ contient un $\HH_{20}$ (maximal) et est donc, puisqu'il ne lui
+est pas égal, le groupe $\got{S}_5$ tout entier.
+Si par contre $n_5=6$, $G$ contient $\got{A}_5$. Dans ces deux cas,
+$\got{A}_5$ est contenu dans $G_f$. Comme le groupe $\got{A}_5$
+permute transitivement les racines $\alpha$, et qu'il est contenu
+dans le groupe de Galois, les racines $\alpha$ sont tous égales (car $\alpha_1\in k$).
+Nous allons voir que c'est impossible.
+Comme $$\alpha_1=\delta^{-1}\big((x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_5+x_5x_1)-
+(x_1x_3+x_3x_5+x_5x_2+x_2x_4+x_4x_1)\big),$$ on a :
+$$
+(12)\alpha_1=:\alpha_2=\delta^{-1}\big( (x_2x_3+x_3x_5+x_5x_1+x_1x_4+x_4x_2)-
+(x_2x_1+x_1x_3+x_3x_4+x_4x_5+x_5x_2)\big).
+$$
+
+
+L'égalité présumée $\alpha_1=\alpha_2$ se réécrit :
+
+$$
+x_1x_2+x_3x_4+x_4x_5=x_1x_4+x_2x_4+x_3x_5,
+$$
+
+et de même, en appliquant la transposition $(23)$ :
+
+$$
+x_1x_3+x_2x_4+x_4x_5=x_2x_5+x_4x_1+x_4x_3.
+$$
+
+En soustrayant ces deux égalités on obtient,
+après avoir factorisé par le facteur évident $x_2-x_3$ (qui annule l'opération
+$\mathrm{Id}-(23)$),
+
+$$
+(2x_4-x_1-x_5)(x_2-x_3)=0.
+$$
+
+Comme $f$ est supposé séparable, $2x_4=x_1+x_5$ ; par permutation
+on a également $2x_3=x_1+x_5$ et finalement, comme la caractéristique
+de $k$ est différente de $2$, $x_3=x_4$ : absurde !
+
+\end{proof}
+
+Nous allons maintenant étudier les extensions cycliques d'ordre premier à la
+caractéristique du corps.
+
diff --git a/3-chap-Galois.tex b/3-chap-Galois.tex
new file mode 100644
index 0000000..ded85cc
--- /dev/null
+++ b/3-chap-Galois.tex
@@ -0,0 +1,1764 @@
+\chapter{Résolubilité par radicaux. Extensions cyclotomiques}
+
+\section{Traces et normes}\label{Traces et normes}
+
+\begin{dfn}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre \emph{finie} et \emph{libre}.
+On définit la \emph{trace}, comme étant la forme $A$-linéaire
+$$
+\begin{array}{l}
+\mathrm{Tr}_{B/A}:B\ra A\\
+b\mapsto \mathrm{Trace}\big(x\mapsto bx\big)\in A
+\end{array}
+$$
+\end{dfn}
+
+Rappelons que la
+trace d'une application linéaire $u:M\ra M$, où
+$M$ est un $A$-module libre de type fini, est définie
+par $u\in \Hom_A(M,M)\giso M\otimes_A M^{\vee} \sr{\mathrm{ev}}{\ra} A$,
+où $M^{\vee}:=\Hom_A(M,A)$.
+L'isomorphisme $M\otimes_A M^{\vee}\iso \Hom_A(M,M)$ est caractérisé par
+$m\otimes \varphi\mapsto \big(m'\mapsto \varphi(m')m\big)$ et
+$\mathrm{ev}:M\otimes M^{\vee}\ra A$ n'est autre que l'évaluation $m\otimes\varphi\mapsto
+\varphi(m)$.
+
+Remarquons que si $a\in A$, $\mathrm{Tr}_{B/A}(a)=\dim_A B\cdot a$.
+
+Pour $C/B$ libre de type fini et $B/A$ libre de type fini, on a la formule de transitivité :
+$$
+\mathrm{Tr}_{B/A}\circ \mathrm{Tr}_{C/B}=\TR_{C/A}.
+$$
+De plus, pour $B/A$ libre de type fini, et $A'/A$ quelconque,
+on a
+$$
+\TR_{B/A}\otimes_A A'=\TR_{B\otimes_A A'/A'}: B\otimes_A A'\ra A'.
+$$
+
+\begin{prp}
+Soient $L/K$ une extension finie séparable, $\alpha\in L$ et $L\sep$
+une clôture séparable de $L$.
+Alors,
+$$\mathrm{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{\iota\in \Hom_K(L,L\sep)}\iota(a).$$
+En particulier, si $L/K$ est finie galoisienne,
+$$\mathrm{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{g\in \ga(L/K)} g(a).$$
+\end{prp}
+
+En d'autres termes, la trace d'un élément de $L$ est la somme de ses conjugués
+(avec multiplicités) dans une clôture séparable.
+
+\begin{proof}
+Calculons tout d'abord $\TR_{K(x)/K}(x)$. Le polynôme minimal de l'application $K$-linéaire
+multiplication par $x$ : $K(x)\ra K(x)$ est $\mathrm{Irr}_{K}(x)$. Il en résulte
+que $\TR_{K(x)/K}(x)$ est la somme des racines de ce polynôme, \cad
+$\sum_{\iota:K(x)\hra L\sep} \iota(x)$. La formule générale résulte des égalités :
+$$\begin{array}{ll}
+\TR_{L/K}(x)& =\TR_{K(x)/K}\big(\TR_{L/K(x)}(x)\big)\\
+&=\TR_{K(x)/K}([L:K(x)]x)=[L:K(x)]\sum_{\iota:K(x)\hra L\sep} \iota(x)\\
+& =\sum_{\iota:L\hra L\sep} \iota(x).
+\end{array}
+$$
+\end{proof}
+
+De même :
+
+\begin{dfn}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre \emph{finie} et \emph{libre}.
+On définit la \emph{norme}, comme étant l'application
+multiplicative $B\ra A$ :
+$$
+\begin{array}{l}
+\mathrm{N}_{B/A}:B\ra A\\
+b\mapsto \mathrm{d\acute{e}t}\big(x\mapsto bx\big)\in A
+\end{array}
+$$
+\end{dfn}
+
+Si $a\in A$, $\mathrm{N}_{B/A}(a)=a^{\dim_A B}$. Les formules de transitivité
+et changement de base analogues à celles ci-dessus sont également valables.
+De même pour l'analogue de la proposition
+précédente : la norme est (pour une extension séparable finie) le produit est conjugués.
+
+\section{Théorie de Kummer}\label{Kummer}
+
+Soit $k$ un corps, $n$ un entier inversible sur $k$, et $K/k$ une extension galoisienne
+de groupe de Galois $\ZZ/n$. \emph{Supposons
+$\mu_n(\sur{k})=\{x\in \sur{k}, x^n=1\}\subset k$.}
+
+\begin{thm}
+Il existe $a\in k^\times/k^{\times n}$ tel que $K=k(\sqrt[n]{a})$. De plus
+$\langle a \rangle$ est bien défini dans $k^\times/k^{\times n}$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soit $c$ un générateur de $G=\ga(K/k)$. Si $K=k(\alpha)$ avec $\alpha^n\in k$,
+nécessairement $c\alpha=\zeta \alpha$ où $\zeta$ est une racine primitive
+$n$-ième de l'unité \cad $\frac{c\alpha}{\alpha}=\zeta$. Et réciproquement.
+Comme la norme de $\zeta$, $\mathrm{N}_{K/k}(\zeta)=\zeta^n=1$ (rappelons
+que $\zeta\in k$), le théorème (du moins l'existence de $a$) résulte
+de la proposition qui suit. Discutons l'ambiguïté de $a$. Supposons que
+$k(\sqrt[n]{a})=k(\sqrt[n]{b})\subset \sur{k}$ et montrons que les
+sous-groupes de $k^{\times}/k^{\times n}$, $\langle a \rangle $ et $\langle b \rangle$
+coïncident. En effet, $c(\sqrt[n]{a})=\zeta \sqrt[n]{a}$ et $c(\sqrt[n]{b})=\zeta' \sqrt[n]{b}$
+pour deux racines primitives $n$-ièmes de l'unité $\zeta$ et $\zeta'$. Comme
+il existe $r$ premier à $n$ tel que $\zeta^r=\zeta'$, on en déduit immédiatement
+que $\frac{\sqrt[n]{b}^r}{\sqrt[n]{a}}$, fixe par $c$, appartient à $k$.
+Cela signifie que $b^r=a$ dans $k^{\times}/k^{\times n}$.
+\end{proof}
+
+\begin{prop}
+Soient $K/k$ une extension cyclique de groupe $\ZZ/n\ni \langle c \rangle$
+et $x\in K$ tel que $\mathrm{N}_{K/k}(x)=1$. Alors, il existe $\alpha\in K^{\times}$ tel que
+$x=\frac{c\alpha}{\alpha}$.
+\end{prop}
+
+\begin{proof}
+Étant donné un tel $x$, on définit $\varphi:G\ra K^{\times}$ par $c^i\mapsto
+xc(x)\cdots c^{i-1}(x)$, pour $0\leq i \leq n-1$, étendue à $i\in \NN$
+en remarquant que $xc(x)\cdots c^{n-1}(x)= N(x)=1$.
+On vérifie immédiatement qu'elle satisfait à la condition :
+$$
+\varphi(g' g)=\varphi(g') g'(\varphi(g)),
+$$
+pour tous $g,g'\in G$.
+C'est ce qu'on appelle un $1$-\emph{cocycle} à valeurs dans $K^{\times}$.
+Il suffit de démontrer qu'il existe $\alpha\in K^{\times}$
+tel que pour tout $g\in G$, $\varphi(g)=\alpha g(\alpha^{-1})$ ; dans
+ce cas $x=\varphi(c)=\alpha c(\alpha)^{-1}$.
+Pour chaque $\alpha\in K^{\times}$, la fonction $g\mapsto \alpha g(\alpha^{-1})$ est
+un $1$-cocycle. Ceux de ce type sont appelés \emph{cobords}.
+Tout revient donc à démontrer le théorème suivant, qui ne fait plus
+d'hypothèse sur le groupe.
+\end{proof}
+
+\begin{thm}[Hilbert's 90 Satz]\label{90}
+Soit $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$. Tout $1$-cocycle
+$G\ra K^{\times}$, \cad toute fonction $f:G\ra K^{\times}$ satisfaisant à
+$f(g'g)=f(g')\cdot g'(f(g))$, est un cobord, \cad de la forme
+$g\mapsto \alpha g(\alpha^{-1})$ pour un $\alpha\in K^{\times}$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soit $x\in K$. Considérons la série de Poincaré
+$$
+b:=\sum_{g\in G}\varphi(g)g(x).
+$$
+Un simple calcul montre que pour tout $g\in G$, $\varphi(g)g(b)=b$.
+Compte tenu de l'indépendance linéaire des automorphismes
+\ref{indépendance linéraire caractères}, il existe un
+$x$ pour lequel $b\neq 0$. La conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Plus généralement, on a montré que $k^{\times}/k^{\times n}\iso \Hom(G_{k},\ZZ/n)$,
+où $G_{k}$ désigne le groupe de Galois \emph{absolu} de $k$ : $\ga(\sur{k}/k)$.
+On en déduit que pour tout $n$ inversible sur $k$ tel que $\mu_n(\sur{k})\subset
+ k^{\times}$, si $k_n$ est l'extension composée des extensions abéliennes tuées par $n$,
+$$
+\ga(k_n/k)\iso \mu_n(k)\otimes (k^{\times}/k^{\times n})^{\vee}.
+$$
+
+Cela entraîne en particulier que l'extension $\QQ(\sqrt{2},\dots,\sqrt{p_r})/\QQ$
+($r$ nombres premiers distincts) est galoisienne de groupe $\FF_2^r$ :
+en effet, $\QQ^{\times}/\QQ^{\times 2}$ est un $\FF_2$-espace vectoriel
+libre de base $-1,2,3,5,7,\dots$.
+Les détails sont laissés au lecteur qui pourra consulter avec profit \cite{Algebre@Bourbaki}.
+\end{crl}
+
+\section{Théorème 90 de Hilbert, d'après A.~Grothendieck (facultatif)}\label{H^1(GL)}
+Dans toute cette section $K/k$ est une extension finie galoisienne de groupe $G$.
+Notre but est double : d'une part démontrer une généralisation
+du théorème \ref{90} (en remplaçant $K^{\times}=\mathrm{GL}_1(K)$ par $\mathrm{GL}_r(K)$)
+mais surtout de donner une démonstration conceptuelle mais plus tangible de cette dernière.
+Cela permet d'approfondir la méthode de la descente initiée en \ref{descente 1}.
+Précisons qu'il est possible de donner une démonstration assez semblable
+à celle donnée ci-dessus de la généralisation à $\mathrm{GL}_r$ (cf. p. ex.
+\cite{CL@Serre}, ?). Quelques uns des avantages de la méthode de A.~Grothendieck sont
+d'une part l'étendue de son champs d'application et d'autre part qu'il
+est possible de s'en faire une image mentale relativement simple.
+
+\begin{thm}\label{90'}
+Soient $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$ et
+$r$ un entier. Pour toute fonction
+$$
+\varphi:G\mapsto \mathrm{GL}_r(K)
+$$
+satisfaisant :
+$$\varphi(g'g)=\varphi(g') g'(\varphi(g))\ \text{pour tout}\ (g,g')\in G^2$$
+\cad --- par définition --- un $1$-\emph{cocycle} à valeur dans $\mathrm{GL}_r(K)$,
+il existe un élément $A\in \mathrm{GL}_r(K)$ tel que pour
+tout $g\in G$,
+$$
+\varphi(g)=A g(A^{-1}),
+$$
+\cad --- par définition --- que $\varphi$ est un \emph{cobord}.
+\end{thm}
+
+Ici, $g(A)$ désigne la matrice obtenue à partir de $A$ en appliquant $g$ à tous ses
+coefficients.
+Remarquons que l'on ne suppose pas $G$ cyclique.
+
+De nos jours on écrit plus savamment la conclusion du théorème sous
+une forme plus compacte :
+
+\begin{dfn}
+Soient $G$ un groupe fini et $(M,\cdot)$ un groupe muni d'un morphisme $G\ra \Aut(M)$ noté
+$g\mapsto (m\mapsto g(m))$.
+On note $$\HH^1(G,M)=\{\star\}$$ si pour toute application
+$\varphi:G\ra M$ satisfaisant à $\varphi(g'g)=\varphi(g')\cdot g'(\varphi(g))$ pour chaque
+$(g',g)\in G^2$, il existe $m\in M$ tel que $\varphi(g)=m\cdot g(m)^{-1}$, pour
+tout $g\in G$.
+\end{dfn}
+
+Ainsi, on écrira \ref{90'} sous la forme
+$$
+\HH^1(G_{K/k},\mathrm{GL}_r)=\{\star\}.
+$$
+
+
+\begin{rmr}
+Insistons sur le fait que si l'on remplace $\mathrm{GL}_r$
+par, par exemple, le groupe projectif linéaire $\mathrm{PGL}_r$, le résultat est faux :
+$$
+\HH^1(G_{K/k},\mathrm{PGL}_r)\neq \{\star\}
+$$
+en général (\cad certains cocycles ne sont pas des cobords). Cet ensemble
+est d'ailleurs lié au \emph{groupe de Brauer} du corps $k$. Plus de détails nous
+entraîneraient trop loin, mais nous renvoyons le lecteur curieux
+aux livres de Jean-Pierre Serre, \cite{CL@Serre}
+et \cite{CG@Serre}. Signalons tout de même, comme la notation
+le suggère, que --- du moins si $M$ est un groupe abélien --- l'on peut
+définir des groupes $\HH^i(G,M)$ pour chaque $i\in \NN$. Par exemple,
+pour $M=\ZZ/n$, muni de l'action \emph{triviale} de $G$, ces groupes
+s'identifient aux groupes de \emph{cohomologie} de l'espace topologique
+classifiant $BG$ (aussi noté $K(G,1)$), étudiés également par
+les topologues. Remarquons que si l'action de $G$ sur $M$ est triviale,
+un cocycle est un morphisme et tout cobord est trivial. Dans ce cas, on pose
+$\HH^1(G,M)=\Hom(G,M)$. En général, $\HH^1(G,M)$ est l'ensemble
+des « cocycles modulo cobord ». Comme nous n'utiliserons pas ce fait, nous ne
+donnons pas la définition de la relation d'équivalence par laquelle on quotiente.
+\end{rmr}
+
+Revenons à la démonstration.
+Rappelons que si $K/k$ est galoisienne de groupe fini $G$,
+on a un isomorphisme canonique $\mathrm{can}_1:K\otimes_k K\iso \prod_{g\in G} K$.
+Nous utiliserons souvent la notation $K_g$ pour désigner spécifiquement le $g$-ième facteur,
+correspondant au quotient $K\otimes_k K\surj K$, $a\otimes b\mapsto
+g(a)b$.
+
+\subsection{}\label{Spec(prod)}
+Nous aurons à étudier des modules sur différentes algèbres et en particulier
+sur $K\otimes_k K$ qui est diagonalisable ;
+il est donc utile de rappeler que si $A=\prod_{i\in I} A_i$
+($I$ fini) est un anneau produit, un $A$-module correspond à la donnée, pour
+chaque $i\in I$, d'un $A_i$-module $M_i$. On passe de $M$ à $M_i$
+en posant $M_i:=e_iM$, où $e_i$ est l'idempotent de $A$ correspondant au $i$-ième facteur.
+En particulier, un $K\otimes_k K$-module $V$ correspond à la donnée
+d'un $K$-espace vectoriel $V_g$ pour chaque $g\in G$.
+
+Enfin, si $p:A\ra B$ est un morphisme d'anneaux, on note
+$$
+p^*M\sr{\mathrm{d\acute{e}f}}{=} M\otimes_{A,p} B.
+$$
+Ceci pour mettre en évidence la dépendance en $p$. L'utilité d'une telle notation
+est évidente dans le lemme suivant.
+
+\begin{lmm}\label{desc:lmm1}
+Soient $$p_1:K\ra K\otimes_k K,\ \lambda\mapsto \lambda \otimes 1$$
+et $$p_2:K\ra K\otimes_k K,\ \lambda\mapsto 1 \otimes \lambda.$$
+Pour tout $K$-espace vectoriel $V$,
+la donnée d'un isomorphisme $K\otimes_k K$-linéaire
+$$\psi:p_1^*V \iso p_2^*V$$
+est équivalente à la donnée, pour chaque $g\in G$
+d'un isomorphisme $k$-linéaire $\Psi_g:V\ra V$ tel
+que $$\Psi_g(\lambda v)=g(\lambda)\Psi_g(v)$$ pour tout $(\lambda,v)\in K\times V$.
+\end{lmm}
+
+Une application \emph{additive} $\Psi_g$ comme ci-dessus est dite $g$-\emph{semi-linéaire}.
+
+
+\begin{proof}
+Dans notre cas, les morphismes $p_1$ et $p_2$ correspondent,
+via l'isomorphisme \ref{auto décomposition} aux deux morphismes
+
+$$\xymatrix{
+(g(\lambda))_{g} & \prod_{g\in G} K & (\lambda)_{g} \\
+\lambda \ar[u] & K \ar@<2ex>[u]^{q_1} \ar@<-2ex>[u]_{q_2} & \lambda \ar[u]}
+$$
+Ainsi, se donner un isomorphisme $\psi$ revient à
+se donner un isomorphisme $K$-linéaire
+$$\oplus_{g\in G} g^*V \iso \oplus_{g\in G} V,$$
+\cad, pour chaque $g\in G$, un isomorphisme
+$$
+\psi_g:g^*V:=V\otimes_{K,g} K\iso V.
+$$
+%[DESSIN : points pour chaque g etc.]
+Dans $g^*V$, on a $g(\lambda)\cdot(v\otimes 1)=v\otimes g(\lambda)=(\lambda v)\otimes 1$,
+pour tout
+$v\in V$ et $\lambda\in K$. Il existe une unique application additive
+$\Psi_g:V\ra V$ telle que $\psi_g(v\otimes 1)=\Psi_g(v)$.
+Par linéarité de $\psi_g$,
+on a :
+$$\Psi_g(\lambda v)=\psi_g((\lambda v)\otimes 1)=g(\lambda)\psi_g(v\otimes 1)=
+g(\lambda)\Psi_g(v).$$
+Ainsi, $\Psi_g(\lambda v)=g(\lambda)\Psi_g(v)$ ; c'est une application
+$g$-semi-linéaire.
+\end{proof}
+
+Le lemme combinatoire suivant, analogue à \ref{auto décomposition},
+permettra de traduire l'énoncé groupique de Hilbert en un énoncé bien plus
+général (\ref{descente fpqc}), ne faisant plus intervenir de groupes.
+La condition de cocycle
+$\varphi(g'g)=\varphi(g')g'(\varphi(g))$ fait intervenir les couples
+$(g,g')\in G^2$. On ne sera donc pas surpris de voir apparaître
+$K\otimes_k K \otimes_k K$ dans le lemme ci-dessous :
+$G^2$ est canoniquement isomorphe au spectre de cet anneau.
+
+\begin{lmm}\label{desc:lmm2}
+\begin{enumerate}
+\item Le morphisme
+$$\mathrm{can_2}:K\otimes_k K \otimes_k K\iso \prod_{(g,g')\in G^2} K$$
+défini par $$a\otimes b \otimes c\mapsto \Big((gg')a\cdot g(b)\cdot c\Big)_{(g,g')}$$
+est un isomorphisme.
+En particulier, $$G^2\ni (g,g')\mapsto \ker\Big(a\otimes b \otimes c\mapsto
+(gg')a\cdot g(b)\cdot c\Big)
+\in \SP(K\otimes_k K \otimes_k K)$$
+est un isomorphisme.
+\item
+Considérons les trois morphismes $K\otimes_k K\ra K\otimes_k K \otimes_k K$
+définis par $$p_{21}=p_{12}:a\otimes b\mapsto a\otimes b \otimes 1,$$
+$$p_{31}=p_{13}:a\otimes b\mapsto a\otimes 1 \otimes b$$ et
+$$p_{32}=p_{23}:a\otimes b\mapsto 1\otimes a \otimes b.$$
+Alors, on a un diagramme commutatif :
+$$\xymatrix{
+K\otimes_k K \otimes_k K \ar[r]^{\mathrm{can}_2} & \prod_{(g,g')\in G^2} K \\
+K\otimes_k K \ar@<5ex>[u]^{p_{12}} \ar[u]^{p_{13}} \ar@<-5ex>[u]^{p_{23}} \ar[r]^{\mathrm{can}_1} &
+\prod_{g\in G} K \ar@<5ex>[u]^{q_{12}} \ar[u]^{q_{13}} \ar@<-5ex>[u]^{q_{23}} \\
+K \ar@<2ex>[u]^{p_1} \ar@<-2ex>[u]^{p_2} \ar[r]^{=} & K \ar@<2ex>[u]^{q_1} \ar@<-2ex>[u]^{q_2}
+}$$
+où les morphismes en haut à droite sont (au niveau des spectres
+puis sur les facteurs se correspondant) :
+$$
+q_{12}\left\{
+\begin{array}{l}
+\SP(q_{12}): G^2\ni (g,g') \sr{\mathrm{pr}_2}{\mapsto} g'\in G \\
+ K_g\sr{g}{\ra} K_{g,g'}
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+$$
+q_{23}\left\{
+\begin{array}{l}
+\SP(q_{23}): G^2\ni (g,g') \sr{\mathrm{pr}_1}{\mapsto} g\in G \\
+ K_{g'}\sr{\mathrm{Id}}{\ra} K_{g,g'}
+\end{array}
+\right.
+$$
+et
+$$
+q_{13}\left\{
+\begin{array}{l}
+\SP(q_{13}): G^2\ni (g,g') \sr{\mathrm{prod}}{\mapsto} gg'\in G \\
+ K_{gg'}\sr{\mathrm{Id}}{\ra} K_{g,g'}
+\end{array}
+\right.
+$$
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Cela résulte des trois diagrammes commutatifs :
+$$\xymatrix{
+a\otimes b \ar[r]^{p_{12}} \ar[d]_{\mathrm{can}_1} & a\otimes b \otimes 1 \ar[d]^{\mathrm{can}_2} \\
+(g(a)b)_g \ar@{.>}[r]^{q_{12}} & \Big(g\big(g'(a)b\big)\Big)_{g,g'}
+}$$
+
+$$\xymatrix{
+a\otimes b \ar[r]^{p_{13}} \ar[d]_{\mathrm{can}_1} & a\otimes 1 \otimes b \ar[d]^{\mathrm{can}_2} \\
+(g(a)b)_g \ar@{.>}[r]^{q_{13}} & \big((gg')(a)b\big)_{g,g'}
+}$$
+et
+$$\xymatrix{
+a\otimes b \ar[r]^{p_{23}} \ar[d]_{\mathrm{can}_1} & 1\otimes a \otimes b \ar[d]^{\mathrm{can}_2} \\
+(g(a)b)_g \ar@{.>}[r]^{q_{23}} & (g(a)b)_{g,g'}
+}$$
+\end{proof}
+
+Avant d'énoncer le lemme suivant, une observation s'impose. Nous avons défini
+plus haut la notation $p^*M:=M\otimes_{A,p} B$ pour
+$M$ un $A$-module et $p:A\ra B$ un morphisme d'anneaux. Nous aurons besoin
+d'étendre cette notation aux morphismes : si $f:M\ra M'$ est un morphisme
+de $A$-modules, on notera $p^*f$ le morphisme $f\otimes_{A} B :M \otimes_{A} B
+\sr{f\otimes_A \mathrm{Id}}{\ra} M'\otimes_A B$.
+% ; compte tenu de la multiplicité des morphismes
+%entre les anneaux $A$ et $B$ que nous considérons (cf. par exemple
+%$A=K$ et $B=K\otimes_k K$ et les morphismes considérés plus haut !), il importe
+%d'incorporer le morphisme dans la notation.
+En d'autres termes, nous
+avons défini un \emph{foncteur} $p^*$ de la catégorie des $A$-modules
+vers la catégorie des $B$-modules.
+
+Enfin, la transitivité du produit tensoriel entraîne que
+si l'on se donne $g:B\ra C$, $f:A\ra B$ et $M$ un $A$-module,
+les $C$-modules $g^*f^*M$ et $(gf)^*M$ sont naturellement isomorphes.
+
+\begin{rmr}[Analogie]\label{heuristique descente}
+La signification tangible du théorème 90 de Hilbert, revu par A.~Grothendieck
+est d'étudier ce que l'on perd en passant de $A$ à $B$ : certains $B$-modules
+ne s'obtiennent pas par cette construction. (Par exemple, si $A$ est un corps $k$ et $B$
+est une $k$-algèbre quelconque les $B$-modules obtenus comme ceci sont nécessairement libres
+sur $B$.) Une idée essentielle d'A.~Grothendieck est d'avoir rapproché\footnote{Au meilleur
+sens possible : il existe une théorie générale (dite des topos) qui
+contient comme cas particulier les deux problèmes.}
+ ce problème à la question plus classique suivante :
+soient $A$ un espace topologique et $(U_i)$ un recouvrement ouvert de $A$.
+Toute fonction (disons réelle pour fixer les idées)
+continue $f$ sur $A$ induit, par restriction à chaque $U_i$,
+une fonction $f_{|B}$ sur l'espace topologique « union disjointe » $B=\coprod_i U_i$.
+Parmi les fonctions continues sur $B$, celles obtenues par restriction de $A$ à $B$
+ont la propriété caractéristique de coïncider sur les intersections $U_i\cap U_j$.
+On considérera donc avec profit ici $K\otimes_k K$ en pensant si possible
+aux $U_i\cap U_j$ ; de même on pense aux intersections triples
+$U_i\cap U_j \cap U_k$ quand on considère
+$K\otimes_k K \otimes_k K$. La nécessité de considérer des intersections triples
+apparaît en topologie quand on veut recoller non pas des fonctions mais des objets
+(fibrés vectoriels, espaces topologiques etc.).
+Nous renvoyons le lecteur à \sga{1}{}{} pour des définitions précises
+et des détails sur cette analogie,
+qui nous emmèneraient un peu plus loin que nous ne le souhaitons ici.
+\end{rmr}
+
+\begin{lmm}\label{desc:lmm3}
+Soient $V$ et $\psi$ comme dans le lemme \ref{desc:lmm1}.
+Pour chaque choix d'indices $(i,j,k)\in \[1,3\]^2\times \[1,2\]$,
+les $K\otimes_k K \otimes_k K$-modules
+$p_{ij}^*p_k^*V$ correspondent via \ref{desc:lmm2} et \ref{Spec(prod)} à la donnée d'un
+$K$-espace vectoriel $V_{g,g'}$ pour chaque $(g,g')\in G^2$. Notons,
+comme en \ref{desc:lmm1}, $\Psi_g:V\ra V$ le morphisme déduit
+de $\psi$ sur le $g$-ième facteur.
+Au moyen de cette identification et avec ces notations, on a une correspondance,
+sur le facteur $(g,g')$ :
+$$p_{12}^*\psi \longleftrightarrow \Psi_{g'}$$
+$$p_{23}^*\psi \longleftrightarrow \Psi_{g}$$
+$$p_{13}^*\psi\longleftrightarrow \Psi_{gg'}.$$
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Ce n'est qu'une traduction des lemmes précédents :
+compte tenu du \ref{desc:lmm2}, la $(g,g')$-composante de
+$p_{12}^*\psi$ correspond $\Psi_{q_{12}(g,g')=g'}$. (Ici, on identifie
+$G\times G$ à $\SP(K\otimes_k K \otimes_k K)$ et l'on note $q_{12}$ pour
+$\SP(q_{12})$. De même, comme $q_{23}(g,g')=g$ et $q_{13}(g,g')=gg'$, on a le résultat souhaité.
+\end{proof}
+
+Avant d'exploiter le lemme précédent, remarquons les égalités suivantes :
+$$
+\begin{array}{l}
+p_{13}p_1=p_{12}p_1=:P_1\\
+p_{12}p_2=p_{23}p_1=:P_2\\
+p_{13}p_2=p_{23}p_2=:P_3
+\end{array}
+$$
+où $P_1(a)=a\otimes 1 \otimes 1$, $P_2(a)=1\otimes a \otimes 1$ et
+$P_3(a)=1\otimes 1 \otimes a$.
+
+Ainsi, compte tenu des isomorphismes canoniques $(fg)^*\isononcan f^*g^*$, on a que, pour
+$\psi$ comme plus haut,
+$$p_{12}^*\psi:p_{12}^*p_1^*V\iso p_{12}^*p_2^*V$$
+correspond à un isomorphisme :
+$$\sous{p_{12}}^*\psi:P_1^*V\iso P_{2}^*V.$$
+De même, on note $$\sous{p_{23}}^*\psi:P_2^*V\iso P_3^*V$$
+et $$\sous{p_{13}}^*\psi:P_1^*V \iso P_{3}^*V$$
+les deux autres isomorphismes déduits de ces identifications.
+
+L'avantage de ces identifications est qu'elles nous permettent
+de composer deux de ces isomorphismes.
+
+\begin{crl}[Condition de cocycle]\label{cocycle galoisien}
+La condition sur un isomorphisme $\psi$ comme plus haut :
+$$\sous{p_{23}}^*(\psi) \circ \sous{p_{12}}^* (\psi)=\sous{p_{13}}^*\psi:P_1^*V\iso P_3^*V$$
+est équivalente à la condition
+$$
+\Psi_{g}\Psi_{g'}=\Psi_{gg'},
+$$
+où l'application $g$-semi-linéaire $\Psi_g$ déduite de la $g$-composante $\psi_g$
+de l'isomorphisme $\psi$ (cf. \ref{desc:lmm1}).
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+En effet, sur le facteur $(g,g')$, le composé de gauche correspond d'après le lemme
+précédent à
+$\Psi_{g}\circ \Psi_{g'}$ tandis que le terme de droite correspond à
+$\Psi_{gg'}$.
+On remarquera que $\Psi_{gg'}$ est $gg'$-semi-linéaire, comme
+le composé $\Psi_g\circ \Psi_{g'}$.
+\end{proof}
+
+Nous allons voir que ces lemmes permettent d'interpréter le théorème 90 de Hilbert
+comme un cas particulier du théorème suivant d'A.~Grothendieck, dont la démonstration
+sera donnée dans la section suivante.
+
+\begin{thm}[Descente fidèlement plate]\label{descente fpqc}
+Soient $k$ un anneau et $p:k\ra A$ une $k$-algèbre fidèlement plate, par exemple
+$k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre quelconque. Soient
+$M$ un $A$-module et $\psi:p_1^*M\iso p_2^*M$ un isomorphisme $A\otimes_k A$-linéaire
+tel que $\sous{p_{23}}^*\psi \circ \sous{p_{12}}^*\psi=\sous{p_{13}}^*\psi$.
+Alors, il existe un $k$-module $M_0$ et un isomorphisme
+$f:p^*M_0:=M_0\otimes_k A\iso M$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
+$$
+\xymatrix{
+p_1^*p^*M_0 \ar[r]^{p_1^*f} \ar[d]_{\mathrm{iso.can.}} & p_1^*M\ar[d]^{\psi} \\
+p_2^*p^*M_0 \ar[r]^{p_2^*f} & p_2^*M
+}
+$$
+Ce que l'on écrira plus suggestivement, modulo identification des deux termes de gauche :
+$$
+\psi \circ p_1^*(f)=p_2^*f.
+$$
+\end{thm}
+
+On dit dans ce cas que le $A$-module $M$ se \emph{descend} en un $k$-module $M_0$.
+Le théorème précédent est donc une condition \emph{suffisante} pour qu'un $A$-module
+se descende. La \emph{nécessité} de l'existence d'un isomorphisme
+$\psi$ satisfaisant la condition de cocycle résulte formellement de l'égalité $p_1p=p_2p$.
+Plus précisément :
+
+\begin{lmm}\label{psi-can}
+Soient $M_0$ un $k$-module, $p:k\ra A$ un morphisme d'anneaux et $M:=p^*M_0$.
+Il existe un isomorphisme canonique $\psi_{\mathrm{can.}}:p_1^*M\iso p_2^*M$.
+\end{lmm}
+
+Remarquons également que la commutativité du diagramme est ici essentielle :
+si $A\ra B$ est une extension de corps, tout $B$-module, étant libre, est isomorphe
+à l'image inverse d'un $A$-module. Dans ce contexte, le contenu non trivial de l'énoncé
+vient donc du second point, \cad la commutativité du diagramme.
+
+
+\subsection{La descente fidèlement plate entraîne Hilbert's satz 90}
+
+Soient $V=K^r$ et $\varphi:G\mapsto \mathrm{GL}_r(K)$ un $1$-cocycle.
+Soit $\Psi_g$ l'application $g$-semi-linéaire $V\ra V$ dont la matrice dans la base
+canonique est $\varphi(g)$. En d'autre termes,
+$\Psi_g(\sum_{1}^r \lambda_i e_i)=\sum_1^r g(\lambda)\Psi_g(e_i)=
+\sum_i g(\lambda)\varphi(g)(e_i)$.
+Il résulte de la condition de cocycle sur $\varphi$,
+\ref{desc:lmm1} et \ref{cocycle galoisien},
+que $\varphi$ et le $\Psi_g$ correspondent
+à un isomorphisme $\psi:p_1^*V\iso p_2^*V$ satisfaisant
+à la condition de cocycle \ref{cocycle galoisien}. D'après \ref{descente fpqc},
+il existe un $k$-espace vectoriel $V_0$ et un isomorphisme $f:p^*V_0\iso V$ ($K$-linéaire)
+tel que $\psi \circ p_1^*(f) = p_2^*(f)$. Choisissons une base de $V_0$ sur $k$,
+une base de $V$ sur $K$ et considérons la matrice $F\in \mathrm{GL}_r(K)$ induite par $f$.
+Plus précisément, soient $(e_i)_{1\leq i \leq r}$ une base de $V_0$ sur $k$ et $(e'_i)$
+une base de $V$ sur $K$.
+L'isomorphisme $$f:(\oplus k e_i)\otimes_k K\iso \oplus K e'_i$$ envoie
+$e_i\otimes 1$ sur $\sum_{j} f_{ji}e'_j$. On note $F$ la matrice $(f_{ij})\in K^{r\times r}$.
+Pour chaque $g\in G$, l'égalité $\psi \circ p_1^*(f) = p_2^*(f)$, entraîne, sur le
+$g$-ième facteur la commutativité du diagramme :
+$$
+\xymatrix{
+g^*V \ar[r]^{\psi_g} & V \\
+g^*p^*V_0 \ar[u]^{g^*f} \ar[r]^{\mathrm{iso.can.}} & p^*V_0 \ar[u]_{f}
+}
+$$
+Il reste à comprendre que la matrice de $g^*f$, dans les bases choisies plus haut,
+est $g(F)$. On aura alors $g(F)\Psi_g =F$ \cad $\Psi_g=F g(F^{-1})$, ce que l'on voulait
+démontrer.
+L'application $g^*f$ est déterminée par :
+$$
+\begin{array}{l}
+(V_0\otimes_k K)\otimes_{K,g} K \sr{g^*F}{\ra} V\otimes_{K,g} K\\
+(e_i\otimes_k 1)\otimes_{K,g} 1 \mapsto (\sum_j f_{ji}e'_j)\otimes_{K,g} 1 =
+\sum_j \big(e'_j \otimes_{K,g} g(f_{ji})\big)=\sum_j g(f_{ji})(e'_j\otimes_{K,g} 1)
+\end{array};
+$$
+sa matrice est bien $g(F)$.
+
+
+
+\subsection{Démonstration de \ref{descente fpqc}}
+
+Soit $(M,\psi)$ comme dans l'énoncé et supposons que $(M_0,f)$
+soit une solution au problème.
+Par définition, on a un diagramme
+$$
+\xymatrix{
+& p^*M_0 \ar[dl] \ar[d] \ar[rr]^f & & M \ar[dl] \ar[d] \\
+p_1^*p^*M_0 \ar[r]^{\mathrm{can}.} \ar@/_1pc/[rr]_{p_1^*f}
+ & p_2^*p^*M_0 \ar@/_1pc/[rr]_{p_2^*f} & p_1^*M \ar[r]^{\psi} & p_2^*M }
+$$
+dont la partie inférieure est commutative, et dont les flèches horizontales
+sont des isomorphismes.
+
+On en déduit un isomorphisme $k$-linéaire
+$$
+K(p^*M_0,\psi_{\mathrm{can}.})\sr{K(f)}{\iso} K(M,\psi),
+$$
+où
+$$
+K(M,\psi):=\lim_{k-\mathrm{mod}}\left(
+\xymatrix{M \ar[r]^{p_1} \ar[dr]^{p_2} & p_1^*M \ar[d]^{\psi} \\ &
+p_2^*M}\right).$$
+Par définition, le terme de droite est le $k$-module constitué des éléments
+de $M$ dont les deux images dans $p_2^*M$ coïncident.
+De façon tautologique, pour tout $(M,\psi)$ on a une injection de $k$-modules :
+$K(M,\psi)\hra M$.
+D'autre part, comme $p$ est fidèlement plat,
+on a d'après \ref{Cech} un isomorphisme canonique $M_0\iso K(p^*M_0,\psi_{\mathrm{can}.})$.
+En résumé, on a \emph{nécessairement},
+$$
+M_0\iso K(p^*M_0,\psi_{\mathrm{can}.}) \iso K(M,\psi)\hra M.
+$$
+Ainsi, sans même supposer l'existence de $M_0$, on dispose d'un candidat
+naturel : $K(M,\psi)$.
+
+Ceci étant, commençons par démontrer le théorème dans un cas particulier :
+
+\begin{thm}[Descente avec une section]
+Pour que les conclusions du théorème \ref{descente fpqc} soient satisfaites,
+il suffit que $k\ra A$ ait une \emph{rétraction}.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soient donc $p:k\ra A$ un morphisme d'anneaux et $r_0:A\ra k$ tel que $r_0 p=\mathrm{Id}_k$.
+Posons $M_0:=r_0^*M$.
+En particulier, on dispose d'un endomorphisme $\iota=p r_0:A\ra A$
+tel que $r_0\iota=r_0$.
+Pour $M$ et $\psi$ comme dans \emph{loc. cit.}, posons $M_0:=r_0^*M$.
+On va montrer que $p^*M_0$ est isomorphe à $M$, avec un isomorphisme
+satisfaisant aux conditions requises.
+Définissons $r_1:A\otimes_k A\ra A$ par $a\otimes b\mapsto \iota(a)\cdot b$ ;
+on a $r_1\circ p_1=\iota$ et $r_1\circ p_2=\mathrm{Id}_A$.
+En particulier, $({r_1}\circ p_1)^* M\isononcan p^*r_0^* M$.
+Appliquons $r_1^*$ à l'isomorphisme $\psi:p_1^*M\iso p_2^*M$ ;
+on en déduit un isomorphisme $f:p^* M_0 \iso M$. Il nous reste donc à vérifier
+la commutativité du diagramme du \ref{descente fpqc} ;
+cela va résulter de la condition de cocycle.
+À cette fin, on construit ${r_2}:A^{\otimes 3}\ra A^{\otimes 2}$
+de telle sorte que $r_2^*$, appliqué à $p_{23}^*\psi \circ p_{12}^*\psi$,
+donne $\psi\circ p_1^*f$, tandis qu'appliqué à $p_{13}^*\psi$ on obtienne $p_2^*f$.
+On veut donc :
+$$
+\left\{
+\begin{array}{lll}
+r_2 p_{23}=\mathrm{Id} & \Longleftrightarrow &
+1\otimes a \otimes b \sr{r_2}{\mapsto} a\otimes b \\
+r_2 p_{12}=p_1 r_1 & \Longleftrightarrow & a\otimes b \otimes 1 \sr{r_2}{\mapsto} \iota(a)b\otimes 1 =
+\iota(a)(b\otimes 1) \\
+r_2 p_{13}=p_2 r_1 & \Longleftrightarrow & a\otimes 1 \otimes b \sr{r_2}{\mapsto} 1\otimes \iota(a)b=
+\iota(a)(1\otimes b) \\
+\end{array} \right.
+$$
+On n'a guère le choix que de poser ${r_2}:a\otimes b \otimes c\mapsto \iota(a)(b \otimes c)$ ;
+ce dernier répond à la question.
+\end{proof}
+
+
+
+
+Montrons que le cas où $A/k$ a une rétraction entraîne le cas général, ceci dans
+le même esprit que la démonstration de \ref{descente 1}.
+
+Soient $M,A/k,\psi$ comme dans le théorème.
+L'application $k$-linéaire $K(M,\psi)\ra M$ correspond naturellement
+à une application $A$-linéaire
+$$
+f:p^*K(M,\psi)\ra M.
+$$
+On va montrer que c'est un isomorphisme et que cet isomorphisme
+satisfait bien, modulo l'identification habituelle, $p_2^*f=\psi\circ p_1^*f$.
+
+Soient $B/k$ une $k$-algèbre et notons $B':=A\otimes_k B$,
+$M':=M\otimes_k B\isononcan M\otimes_A B'$.
+
+\begin{lmm}
+Le diagramme
+$$\xymatrix{
+A\otimes_k A \ar[r] & B'\otimes_B B'\\
+A \ar@<2ex>[u]^{p_{1}} \ar@<-2ex>[u]_{p_{2}} \ar[r] & A\otimes_k B=B'
+\ar@<2ex>[u]^{p_{1B}} \ar@<-2ex>[u]_{p_{2B}} \\
+k \ar[u]^p \ar[r] & B \ar[u]^{p_B}
+}$$
+est commutatif et
+$B'\otimes_k B'$ s'identifie canoniquement à $(A\otimes_k A)\otimes_k B$.
+\end{lmm}
+C'est évident.
+
+Il en résulte que si l'on applique le foncteur $-\otimes_k B$
+au diagramme définissant $K(M,\psi)$, on obtient le diagramme
+définissant $K(M',\psi_B)$, où $\psi_B$ est déduit de $\psi$ par
+extension des scalaires à $B$.
+Finalement, on a un morphisme
+$$
+K(M,\psi)\otimes_k B\ra K(M',\psi_B).
+$$
+
+\begin{lmm}
+Si $B/k$ est \emph{plat}, c'est un isomorphisme.
+\end{lmm}
+En effet, les $K(?,?)$ sont des noyaux ; leur formation
+commute donc aux extensions des scalaires qui sont plates.
+
+
+Ainsi, pour tout $B/k$ plat, on a un diagramme commutatif
+$$\xymatrix{
+p^*K(M,\psi)\ar[r]^f \ar[d] & M \ar[d]\\
+p_B^*K(M',\psi_B) \ar[r]^{f_B} & M'}
+$$
+où la ligne inférieure est déduite de la précédente par tensorisation avec $B$ sur $k$.
+Enfin, si $B/k$ est \emph{fidèlement} plat, $f$ est un isomorphisme
+si et seulement si $f_B$ l'est.
+On a vu précédemment que si $(B'=A\otimes_k B)/B$ a une \emph{rétraction},
+$f_B$ est un isomorphisme. Comme c'est le cas pour $B=A$, $f$ est bien
+un isomorphisme.
+De même, l'égalité $\psi_B\circ p_{2B}^*f_B=p_{1B}^*f_B$ entraîne l'égalité
+analogue pour $f$ et $\psi$. Ceci achève la démonstration du théorème.
+
+\section{Théorie d'Artin-Schreier}\label{Artin-Schreier}
+
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$. Ici, $\mu_p(k)=\{x\in k, x^p=1\}$
+est réduit à un unique élément, $1\in k$. Malgré tout, il existe une théorie semblable
+à la théorie de Kummer pour les extensions de degré $p$ ; cette dernière a d'ailleurs
+l'avantage de ne pas faire d'hypothèse supplémentaire sur le corps (cf. l'hypothèse
+$\#\mu_n(k)=n$
+en théorie de Kummer).
+%Commençons par un exemple : $P=X^p-X-t^{-1}\in \FF_p(t)[X]$. C'est un polynôme irréductible
+%(cf. plus bas) et séparable (car $P'=-1$) qui définit une extension
+
+\begin{dfn}[Notation]
+Soit $A$ un anneau de caractéristique $p$. On notera $\wp$
+l'endomorphisme $\FF_p$-linéaire de $A$ défini par $\wp(x)=x^p-x$.
+\end{dfn}
+
+\begin{thm}
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$.
+\begin{itemize}
+\item Si $a\in k-\wp(k)$, le polynôme $P_a=X^p-X-a$ est irréductible, séparable ;
+son corps de rupture
+est galoisien sur $k$, de groupe cyclique $\ZZ/p$. Plus précisément,
+si $\alpha:=\sqrt[\wp]{a}$ est une racine de $P$ dans une extension de $k$,
+la sous-extension $k(\alpha)/k$ est galoisienne, de groupe de Galois engendré
+par l'élément d'ordre $p$, $c:\alpha\mapsto \alpha+1$.
+Toute extension de décomposition de $P$ est notée $k(\sqrt[\wp]{a})/k$.
+\item Réciproquement, toute extension de $k$ de groupe de Galois
+$\ZZ/p$ s'obtient ainsi. De plus, la classe de $a$ est bien définie
+dans $k/\wp(k)$.
+\item Le morphisme
+$$
+\begin{array}{l}
+k/\wp(k)\iso \Hom_{\mathrm{cont.}}(G_k,\ZZ/p) \\
+a \mapsto \big(\varphi_a:s\mapsto s(x)-x\big)
+\end{array}
+$$
+où $x$ est une racine de $x^p-x=a$,
+est un isomorphisme.
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+
+
+\begin{rmrs}
+\begin{itemize}
+\item Il existe une variante de cette construction qui décrit les extensions
+de groupe $\ZZ/p^n$ pour $n\geq 1$. Elle s'appuie sur les vecteurs de Witt tronqués
+$\mathsf{W}_n(k)$. (Cf. \cite{Algebre@Lang}, p330 [version anglaise] et \cite{CL@Serre})
+
+\item On déduit du dernier énoncé que $\ga(k_p/k)\iso (k/\wp(k))^{\vee}$
+où $k_p$ est le composé des extensions abéliennes de $k$ de groupe de type
+$(p,\dots,p)$ et où l'on note $G^{\vee}$ le dual (compact)
+de Pontryagin $\Hom(G,S^{1})$ d'un groupe (discret) $G$, muni de la topologie
+compacte-ouverte\footnote{C'est-à-dire de la convergence uniforme sur les compacts.}.
+\end{itemize}
+\end{rmrs}
+
+\begin{proof}
+Soient $a$ comme dans l'énoncé, $R\in k[X]$ un facteur irréductible de $P_a$
+et $\alpha$ une racine de $P_a$ dans une clôture séparable $k\sep$ de $k$.
+Comme $\FF_p\subset k$ est le noyau de $\wp$, les $\alpha+\lambda$, $\lambda\in \FF_p$
+sont également des racines de $P_a$. Elles sont distinctes donc ce dernier
+se factorise sur $k\sep$ est $\prod_{\lambda\in \FF_p}(X-(\alpha+\lambda))$.
+Ainsi, $R=\prod_{\lambda\in X\subset \FF_p} (X-(\alpha+\lambda))$, pour une partie $X$
+de cardinal $\deg(R)=r$. Par expansion, le coefficient de $X^{r-1}$ dans $R$ est
+égal à $-r\cdot\alpha+(\text{élément}\in \FF_p)$. Cela force $r\alpha$ à appartenir
+à $k$ ; ce n'est possible que si $r=p$ (auquel cas $r\cdot\alpha=0$).
+Le polynôme $P_a$ est donc irréductible et séparable. (Remarquons à ce propos
+que la dérivée $P_a'=-1$, ce qui démontre alternativement la séparabilité de $P_a$.)
+Enfin, l'extension $k(\alpha)$, étant normale, est galoisienne : les conjugués
+de $\alpha$ sont les $\alpha+\lambda$, $\lambda\in \FF_p$. Cela force le groupe
+de Galois à être comme indiqué.
+
+Réciproquement, soit $K/k$ une extension de groupe de Galois $G$
+cyclique d'ordre $p$.
+Soit $f:G\iso \ZZ/p\subset K$ un isomorphisme (correspondant au choix
+d'un générateur $c$ du groupe) ; tautologiquement, on a
+$$f(gg')=f(g)+g(f(g'))=f(g)+f(g')$$ \cad : $f$ est un \emph{cocycle}
+(pour la structure additive de $K$ cette fois).
+S'il existe $\alpha\in K$ tel que $f(g)=g(\alpha)-\alpha$ (\cad
+$f$ est un \emph{cobord}) pour
+tout $g\in G$, on aura en particulier $c(\alpha)=\alpha+1$
+si bien que $k(\alpha)=K$ ($\alpha$ n'est pas invariant).
+Comme $c\big(\alpha^p-\alpha\big)=(\alpha^p+1^p)-(\alpha+1)=\alpha^p-\alpha=:a$,
+ce dernier appartient à $k$ et $\alpha$ est donc une racine
+du polynôme $X^p-X-a$.
+
+Il reste donc a montrer que tout cocycle comme plus haut est un cobord
+(\cad « $\HH^1(G_{K/k},K)=\{\star\}$ »), ceci en supposant seulement que
+$K/k$ est une extension fini galoisienne (\cad non nécessairement cyclique).
+Une façon de procéder
+consiste à adapter la démonstration élémentaire de la trivialité
+de $\HH^1(G_{K/k},K^{\times})$ donnée plus haut (\ref{90}, voir \cite{Algebre@Lang}, chap. VI, §6 pour une démonstration) ou bien utiliser le résultat de la section
+suivante. %(cf. \emph{loc. cit.},).
+On peut également utiliser
+le fait que $\HH^1(G_{K/k},\mathrm{GL}_2(K))=\{*\}$ ; c'est ce que nous allons faire.
+Soit $f:G\ra K$ un cocycle à valeur dans $K$. Soit
+$\varphi:G\ra \mathrm{GL}_2(K)$ l'application
+$$
+g\mapsto \left(
+\begin{array}{ll}
+1 & f(g)\\
+0 & 1
+\end{array}
+\right)
+$$
+Un petit calcul montre que c'est un $1$-cocycle. Il existe donc une matrice
+$A\in \mathrm{GL}_2(K)$ telle que $g(A)\varphi(g)=A$ pour tout $g\in G$.
+Si
+$$
+A=\left(
+\begin{array}{ll}
+a & b\\
+c & d
+\end{array}
+\right)\in \mathrm{GL}_2(K)
+$$
+on a donc, pour tout $g\in G$ :
+$$
+\left( \begin{array}{ll}
+g(a) & g(b) \\
+g(c) & g(d)
+\end{array}
+\right)
+=
+\left(
+\begin{array}{ll}
+a & af(g)+b\\
+c & cf(g)+d
+\end{array}
+\right)
+$$
+Il est résulte immédiatement que $a,c\in k$
+et que $g(b)=af(g)+b$ pour tout $g\in G$. Si $a\neq 0$,
+on a donc $f(g)=g(ba^{-1})-ba^{-1}$. De même, si $c\neq 0$,
+$f$ est un $1$-cobord. Comme $\mathrm{d\acute{e}t}(A)\neq 0$,
+$a$ et $c$ ne peuvent être simultanément nuls. CQFD.
+\end{proof}
+
+\begin{rmr}
+À défaut de prétendre, à tort, que cette démonstration du fait
+que $\HH^1(G_{K/k},K)=\{\star\}$ est la plus courte possible, nous avons vu
+ici comment exploiter une information pour un groupe $\mathrm{GL}_2$
+pour en déduire une propriété d'un autre groupe (ici un sous-groupe).
+Dans le même genre d'idée, nous proposons au lecteur de démontrer
+que $\HH^1(G_{K/k},\mathrm{SL}_2(K))$ est trivial
+en utilisant le fait que $\HH^1(G_{K/k},\mathrm{GL}_2(K))$ l'est.
+Pour une vue d'ensemble de ces résultats, ainsi que beaucoup d'autres,
+on renvoie le lecteur à \cite{CG@Serre}.
+\end{rmr}
+
+\section{Le théorème de la base normale, d'après N.~Bourbaki}\label{base-normale}
+
+Soient $k$ un anneau et $G$ un groupe. Rappelons que l'on note $k[G]$ l'algèbre
+de groupe $G$. Par définition, c'est le $k$-module libre $k^{(G)}$,
+de base $[g]$, $g\in G$, dont le produit est défini par $[g][g']=[gg']$,
+étendu par $k$-linéarité. Soit $M$ un $k$-module. Rappelons également
+que la donnée d'une action $k$-linéaire du groupe $G$ sur $M$ (\cad
+un morphisme $G\ra \Aut_k(M)$)
+est équivalente à la donnée d'une structure de $k[G]$-module sur $M$.
+
+\begin{thm}
+Soit $K/k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$. Il existe $x\in K$ tel que
+les $g(x)$, pour $g\in G$, forment une base de $K$ sur $k$. En d'autres termes,
+le $k[G]$-module $K$ est libre de rang $1$.
+\end{thm}
+
+La démonstration procède en
+deux étapes : on « monte », par tensorisation $-\otimes_k K$,
+de $k$ à $K$ ---
+où le théorème est relativement transparent --- puis on « redescend » l'énoncé obtenu
+sur $K$, à $k$.
+
+Commençons par la deuxième étape, qui présente un intérêt indépendant du théorème.
+
+\begin{prp}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre, \emph{non nécessairement commutative}.
+Soient $M_1$, $M_2$ deux $A$-module à gauche de dimensions finies sur $k$.
+Alors $M_1\isononcan_A M_2$ si et seulement si il existe une extension
+$K/k$ telle que $M_1\otimes_k K \isononcan_{A\otimes_k K} M_2\otimes_k K$.
+\end{prp}
+($M_i\otimes_k K$ est muni d'une structure de $A\otimes_k K$-module à gauche
+via $(a\otimes \lambda)\cdot (m\otimes \lambda')=(am\otimes \lambda \lambda')$.)
+
+Appliquons cette proposition à $A=k[G]$, $M_1=A$ et $M_2=K$. (Rappelons que l'on veut
+montrer que $K$ est isomorphe comme $A$-module à $A$.)
+Cela revient donc à vérifier que le $\big(K[G]=k[G]\otimes_k K\big)$-module
+$K\otimes_k K$ est libre de rang $1$. Ici, $\lambda g\in K[G]$ agit par
+$\lambda g\cdot a\otimes b=g(a)\otimes \lambda b$. Cela résulte
+de \ref{auto décomposition}.
+
+
+\begin{proof}[Démonstration de la proposition dans le cas où $k$ est infini]
+(Le cas où $k$ est fini est traité dans \ref{Lam} [un livre de Lam],\P 19.5
+mais nous ne nous en servirons pas.)
+Soient $M_1,M_2$ comme plus haut, que l'on suppose de même dimension sur $k$, sans
+quoi ils ne peuvent être isomorphes sur $A$ ou $A_K:=A\otimes_k K$.
+On cherche donc $\phi\in \Hom_A(M_1,M_2)$
+qui soit inversible, \cad de déterminant sur $k$ non nul. Le $k$-espace vectoriel
+$\Hom_A(M_1,M_2)$ est un sous-espace vectoriel de $\Hom_k(M_1,M_2)$ ; il est donc de
+dimension finie et possède en conséquence une base $\phi_1,\dots,\phi_r$.
+Il existe donc un morphisme $\phi$ comme plus haut si et seulement si on peut trouver
+$\lambda_1,\dots,\lambda_r\in k$ tels que
+$$\det(\lambda_1\phi_1+\cdots+\lambda_r\phi_r)\neq 0.$$
+\begin{lmm2}
+Pour toute extension $K/k$, $\Hom_A(M_1,M_2)\otimes_k K\iso \Hom_{A_K}(M_{1K},M_{2K})$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}[Démonstration du lemme](Rappelons que l'on suppose
+$M_1$ et $M_2$ de dimensions finies sur $k$.)
+Soit $X\subset A$ un sous-ensemble \emph{fini} tel que l'image de $X$ dans $\mathrm{End}_k(M_1)$
+engendre l'image de $A$, comme $k$-espace vectoriel.
+Sous cette hypothèse, la suite
+$$
+\xymatrix{
+0 \ar[r]& \Hom_A(M_1,M_2) \ar@{^(->}[r] & \Hom_k(M_1,M_2) \ar[r] & \Hom_k(M_1,M_2)^{(X)} \\
+& & f \ar[r] & \big(f(a\cdot)-af(\cdot)\big)_{a\in X}
+}
+$$
+est exacte. De plus, $\Hom_k(M_1,M_2)\otimes_k K\iso \Hom_K(M_{1K},M_{2K})$
+(cf. \ref{localisation-changement de base plat et pf}
+[À écrire : sorites pour l'appendice])
+et $X\subset A_K$ engendre également $A_K$ dans $\End_K(M_{1K})$.
+Ainsi, on a un diagramme commutatif de suites exactes :
+$$
+\xymatrix{
+0 \ar[r]& K\otimes_k\Hom_A(M_1,M_2) \ar[d] \ar@{^(->}[r] & K\otimes_k\Hom_k(M_1,M_2) \ar[d]
+\ar[r] &
+K\otimes_k \Hom_k(M_1,M_2)^{(X)} \ar[d]\\
+0 \ar[r]& \Hom_{A_K}(M_{1K},M_{2K}) \ar@{^(->}[r] & \Hom_K(M_{1K},M_{2K}) \ar[r] &
+\Hom_K(M_{1K},M_{2K})^{(X)}
+}
+$$
+où les deux dernières flèches verticales sont des isomorphismes.
+La première flèche verticale est donc également un isomorphisme.
+\end{proof}
+
+Ainsi, les $\phi_i\otimes_k K$ forment une base de $\Hom_{A_K}(M_{1K},M_{2K})$
+sur $K$. Supposons qu'il existe une famille $(\Lambda_i)\in K^r$
+telle que le déterminant ci-dessus soit non nul. Ce dernier, vu comme polynôme
+à coefficient dans $k$ est donc non identiquement nul ; puisque $k$ est infini,
+il prend une valeur non nul en un point $(\lambda_i)\in k^r$.
+
+
+Il nous reste donc à démontrer le théorème dans le cas particulier où $k$ est fini.
+Supposons donc maintenant $k$ fini, de cardinal $q$, et $K/k$ (galoisienne) de degré $r$.
+%Un $x\in K$ tel que les $x,\FR_{k}(x)=x^q,\dots,\FR^{r-1}_{k}(x)=x^{q^{r-1}}$
+%soient linéairement indépendants sur $k$ est nécessairement une
+%racine primitive $(q^r-1)$-ième de l'unité :
+%dans le cas contraire, il existerait $i<r$ tel que $x^{q^i}$ soit égal égal $x$.
+%Voyons que réciproquement, une telle racine primitive de l'unité
+%(également générateur multiplicatif du groupe $K^{\times}$) convient.
+Exploitant le fait que $\ga(K/k)$ est ici cyclique (d'ordre $r$), voyons
+$K$ comme un $k[X]$-module, où $X$ agit via $\FR_{k}$. Montrons que l'annulateur $\got{a}\subset
+k[X]$ de $K$ est l'idéal $(X^r-1)$. Soit $a\in \got{a}$ ; par
+division euclidienne, $$a=\lambda_0+\lambda_1 X+\cdots \lambda_{r-1} X^{r-1}+(X^r-1)b,$$
+où $b$ est un polynôme et les $\lambda_i$, $0\leq i \leq r-1$ sont dans $k$.
+Finalement l'application $k$-linéaire $\lambda_0+\lambda_1 \FR_k+\cdots+\lambda_{r-1} \FR_k$
+est nulle. D'après \ref{indep linéaire}, cela entraîne les égalités
+$\lambda_0=\cdots=\lambda_{r-1}=0$, \cad $a\in (X^r-1)$ ou encore $\got{a}=(X^r-1)$.
+Le polynôme $X^r-1$ est le ppcm des annulateurs des éléments de $K$, et donc d'un
+nombre fini d'éléments $x_1,\dots,x_n$ de
+$K$\footnote{Ici $K$ est fini mais cela est vrai plus généralement
+car $\dim_k K$ est finie.}. Pour chaque $i\in [1,n]$, soit $p_i$ l'annulateur de $x_i$.
+Par hypothèse $X^r-1=\mathrm{ppcm}_i\,p_i$. Si $p_i=r_i q_i$, l'annulateur
+de $q_i(x_i)$ est $r_i$. On peut donc supposer les $p_i$ premiers entre eux.
+Dans ce cas, $y:=p_1(x_1)+\cdots+p_n(x_n)$
+a pour annulateur $\mathrm{ppcm}_i\,p_i$. Ainsi les
+$y,X\cdot y=\FR_k(y),X^2\cdot y=\FR_k(y),\dots,X^{r-1}\cdot y=\FR_k(y)$ sont linéairement
+indépendants sur $k$, CQFD.
+%[DÉMO À LA MAIN ?]
+\end{proof}
+
+\begin{rmr2}
+Bien entendu, on ne prétend pas que $K$, en tant que $k$-algèbre
+soit isomorphe à $k[G]$. Cette dernière n'est d'ailleurs pas intègre pour $G$ fini non
+trivial. Sa structure est d'ailleurs intimement liée aux représentations irréductibles
+du groupe $G$.
+\end{rmr2}
+
+\section{Résolubilité par radicaux}
+
+Dans cette section, nous allons démontrer un théorème, dû à É.~Galois, qui fut sa
+principale motivation pour établir sa théorie.
+
+\begin{dfn}
+Soient $k$ un corps et $k\sep$ une clôture séparable. On note
+$k^{\mathrm{rad}}$ le plus petit sous-corps de $k\sep$ qui soit stable
+par les opérations $\sqrt[n]{\ }$, $(n,\mathrm{car}.k)=1$ et également $\sqrt[\wp]{\ }$ si
+$\mathrm{car}.k>0$. C'est une clôture \emph{radicale} de $k$.
+\end{dfn}
+
+\begin{thm}\label{extension radicale}
+Soit $K/k$ une extension galoisienne finie contenue dans $k\sep$. Alors
+$K\subset k^{\mathrm{rad}}$ si et seulement si le groupe $G_{K/k}$ est \emph{résoluble}.
+\end{thm}
+
+Rappelons qu'un groupe est dit résoluble (\cite{Bourbaki})
+s'il existe une filtration finie croissante
+$(G_i)$ de $G$ telle que, pour les indices adéquats,
+$G_i\triangleleft G_{i+1}$ et $G_{i+1}/G_i$ soit abélien. Cela entraîne en particulier
+que les sous-groupes sont en fait distingués dans $G$. Si $G$ est fini, on peut
+supposer les quotients cycliques d'ordre premier.
+
+\begin{proof}
+Supposons $K/k$ galoisienne finie de groupe de Galois $G$ résoluble et écrivons
+$\#G=p^{\alpha}n$ où $p=\mathrm{exp.car.}k$ est premier à $n$. Soit $k_n=k(\zeta_n)$
+l'extension (Galoisienne) de $k$ engendrée par une racine primitive $n$-ième de l'unité.
+Soit $\tilde{G}$ le groupe de Galois de l'extension $K_n=K k_n/k_n$. On a vu
+en \ref{fonctorialité} que $\tilde{G}$ s'injecte canoniquement dans $G$ ; il est
+en particulier résoluble. Il suffit donc de montrer que $K_n\subset k^{\mathrm{rad}}$.
+Ainsi, il suffit de démontrer le théorème dans le cas particulier où $k$ contient
+les racines de l'unité d'ordre divisant l'ordre de $G$. (Ceci afin d'utiliser la théorie
+de Kummer.) Nous ferons donc cette hypothèse supplémentaire.
+Dans ce cas, la filtration de $G$ par des sous-groupes $\{1\}=G_0\leq
+G_1\leq \cdots G_r=G$ induit une filtration de $K/k$ en
+$$k=K_r\subset \cdots K_i=K^{G_i} \cdots \subset K_{r-1} \subset
+K_1 \subset K_0=K.$$ Le groupe de Galois de $K/K^{G_i}$ est $G_i$ donc
+et celui de $K^{G_i}/K^{G_{i+1}}$ est $G_{i+1}/G_i$, que l'on peut supposer cyclique
+d'ordre premier $\ell$. Il résulte des théories de Kummer et d'Artin-Schreier
+que $K_i=K_{i-1}(\sqrt[\ell]{a})$, $a\in K_{i-1}$, où soit $\ell\neq p$ est un nombre premier
+soit $\ell=\wp$.
+
+
+Réciproquement, si $K\subset k^{\mathrm{rad}}$. Il existe une suite d'extensions
+$k\subset k_1 \subset \cdots \subset k_r$ du type précédent telle que $K\subset k_r$.
+Par la correspondance de Galois encore, le groupe de Galois de l'extension $k_r/k$ est
+résoluble et se surjecte sur celui de $K/k$. Ce dernier est donc résoluble.
+\end{proof}
+
+Que $K/k$ soit galoisienne n'est pas essentiel : il importe seulement
+qu'elle soit séparable et que le groupe de Galois de sa
+clôture galoisienne soit résoluble. Cela résulte du théorème précédent
+et du lemme suivant :
+
+\begin{lmm}
+Soit $K/k$ séparable finie. Alors, $K\subset k^{\mathrm{rad}}$ si et seulement si il
+en est ainsi de la clôture galoisienne de $K$ dans $k\sep$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Supposons $K\subset k^{\mathrm{rad}}$. Il est donc contenu dans
+l'aboutissement $k_r$ d'une tour d'extensions $k_{i+1}=k_i(\sqrt[n_i]{a})$ où
+$n_i\in \NN$, que l'on peut supposer premier à $p$, ou $n_i=\wp$.
+Dans le dernier cas, l'extension correspondante est galoisienne. Dans le premier
+cas elle ne l'est pas nécessairement mais si l'on introduit $k'=k(\mu_{\prod n_i}(k\sep))$,
+on voit immédiatement que $k'/k$ est galoisienne et que $k'k_{i+1}/k'k_{i}$ l'est
+également. Ainsi, $K$ est contenu dans $k'k_r$ qui est bien galoisienne
+sur $k$ et contenue dans $k^{\mathrm{rad}}$. La conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+Étant donné un corps $k$, on dira qu'une « équation » $f\in k[X]$
+est résoluble par radicaux si les racines de $f$ sont contenues
+dans $k^{\mathrm{rad}}$. (En particulier, $f$ est séparable.)
+Cela signifie que l'on peut écrire les racines
+à partir des coefficients en s'autorisant à extraire des racines, éventuellement
+$\wp$-ièmes, ainsi que les autres opérations algébriques classiques.
+
+\begin{crl}[N.~Abel]
+L'équation générale de degré $n\geq 5$ sur un corps quelconque n'est pas résoluble
+par radicaux.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+Le groupe de Galois de l'extension générale :
+$$
+X^n-\sigma_1X^{n-1}+\cdots+(-1)^n \sigma_n\in k(\sigma_1,\dots,\sigma_n)[X]
+$$
+est le groupe symétrique $\got{S}_n$. Celui-ci n'est pas résoluble pour $n\geq 5$.
+(En effet, le groupe alterné correspondant est simple.)
+Cf. \cite{}.
+\end{proof}
+%[PAGE 14' zappée !]
+Remarquons qu'il n'est \emph{a priori} pas évident que le théorème d'Abel
+entraîne qu'il existe ne serait-ce qu'une équation à coefficients rationnels
+qui ne soit pas résoluble : on pourrait penser qu'il n'existe pas de formule
+valable pour toutes les équations mais que pour chaque polynôme, il existe une
+formule adaptée. Il n'en est rien.
+
+\begin{thm}\label{S_n}
+Soit $n\geq 1$ un entier. Il existe un polynôme unitaire $f_n$ de degré $n$ à coefficients
+rationnels de Galois groupe $S_n$.
+\end{thm}
+
+D'une certaine façon, la majeure partie du reste de l'ouvrage consiste
+à présenter les idées qui nous permettrons
+de donner trois démonstrations totalement différentes
+de ce théorème : une par « réduction modulo $p$ » \ref{S_n-1} (\cad via
+$\QQ\supset \ZZ\surj \FF_p$), une par « spécialisation » \ref{S_n-3} (\cad via $\QQ[t]\surj \QQ$)
+et enfin une démonstration $p$-adique \ref{S_n-2} (\cad via $\QQ\hra \QQ_p$), avec l'hypothèse
+supplémentaire que $4$ ne divise pas $n$ mais l'avantage d'écrire explicitement le polynôme.
+
+\section{Comportement par spécialisation}\label{spécialisation}
+Cette section peut-être omise en première lecture.
+Soient $A$ un anneau intègre, intégralement clos\footnote{Par
+exemple $A=\ZZ$ ou $A=\QQ[T]$.} (cf. \ref{normal}), $K$ son corps des fractions.
+Soient $$f=X^d+\cdots+a_0\in A[X]$$ un polynôme séparable
+sur $K$, et $L=K(X_f)$ un corps de décomposition de $f$, où $X_f$ est
+l'ensemble des racines de $f$ dans $L$. Notons $G_f$ le groupe
+de Galois de l'extension $L/K$.
+Soit $\MM_A$ un idéal maximal de $A$, de corps résiduel $\kappa:=A/\MM_A$.
+Soit $\lambda=\kappa(X_{\sur{f}})$ un corps de
+décomposition de $\sur{f}:=f\ \mathrm{mod}\ \MM_A\in \kappa[X]$
+sur $\kappa$. \emph{Supposons l'extension finie $\lambda/\kappa$
+séparable} ; notons $G_{\sur{f}}$
+son groupe de Galois.
+
+\begin{prp}Sous les hypothèses précédentes,
+il existe un sous-groupe (non canonique) $D\leq G_{f}$,
+appelé \emph{sous-groupe de décomposition} et une \emph{surjection}
+naturelle $D\surj G_{\sur{f}}$.
+Si l'on suppose $\sur{f}$ \emph{séparable}, c'est un \emph{isomorphisme}.
+Autrement dit, dans ce cas, \emph{le groupe de Galois de l'équation réduite $\sur{f}$
+s'identifie (non canoniquement) à un sous-groupe du groupe de Galois de l'équation $f$}.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Soit $B:=A[X_f]$ la $A$-sous-algèbre de $L$ engendrée par les racines de $f$.
+On veut exprimer $\lambda$ comme un quotient de cette algèbre. Supposons qu'il existe
+un idéal maximal $\MM_B$ de $B$ au-dessus (via l'application $\SP(B)\ra \SP(A)$)
+de $\MM_A$. Soit $\lambda'$ le quotient $B/\MM_B$ ; c'est une extension de $\kappa=A/\MM_A$ et
+le polynôme $\sur{f}$ est scindé sur $\lambda'$ : l'image $X'_f$ de $X_f$ dans $\lambda'$
+est l'ensemble
+des racines. De plus, $\lambda'$ est engendré par $X'_f$ sur $\kappa$. C'est donc un corps
+de décomposition, $\kappa$-isomorphe à $\lambda$.
+Ainsi, moyennant l'existence de $\MM_B$, on a montré qu'on a un diagramme commutatif :
+$$
+\xymatrix{
+L \supset B = A[X_f] \ar@{.>>}[r] \ar@<4ex>[d]^{G_f} & \lambda=\kappa[X_{\sur{f}}] \\
+K \supset A \ar@{-}[u] \ar@{->>}[r] & \kappa \ar@{-}[u]
+}
+$$
+L'existence de $\MM_B$ est équivalente au fait que l'anneau quotient $B/\MM_A B$ soit
+non nul. Ce dernier est nul si et seulement si $B=\MM_A B$, \cad si l'on peut
+écrire $1_B=m_A b$ où $m_A\in \MM_A$ et $b\in B$. En prenant la norme $N_{L/K}$
+on obtient $1_A=m_A^n N_{L/K}(b)$ où $n=[L:K]$ et $N_{L/K}(b)$, entier sur $A$
+(comme produit d'éléments entiers) et dans $K$ (c'est une norme), est nécessairement
+un élément de l'anneau $A$, intégralement clos par hypothèse. On aurait donc $1_A\in
+\MM_A$, ce qui est absurde.
+
+Dans la situation du diagramme précédent, considérons
+$$
+D:=\{g\in G_{f}, g\MM_B\subset \MM_B\}\leq G_{f}.$$
+On définit alors :
+
+$$
+\begin{array}{l}
+D\ra \ga(\lambda/\kappa)\\
+\sigma \mapsto \sur{\sigma}:\big(b \mod \MM_B \mapsto \sigma(b) \mod \MM_B\big).
+\end{array}
+$$
+(Le morphisme $\sur{\sigma}$ est bien défini.)
+
+On va montrer que ce morphisme est une surjection.
+\begin{lmm}
+Pour tout $\beta\in \lambda$, il existe $b\in B$ tel que $b\mod \MM_B=\beta$
+et $b\in \sigma(\MM_{B})$ pour tout $\sigma\in G_{f}-D$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Soient $\MM_1,\dots,\MM_r$ les différentes images $\sigma(\MM_B)$ pour $\sigma\notin D$.
+Il s'agit d'idéaux maximaux de $B$ car tout automorphisme
+$\sigma$ de $B$ induit un isomorphisme $B/\MM_B\ra \sigma(B)/\sigma(\MM_B)=B/\sigma(\MM_B)$
+; par le théorème chinois, l'application
+$$
+B\ra B/\MM_B\times B_{\MM_1}\times\cdots\times B_{\MM_r}
+$$
+est donc surjective.
+Un $b\in B$ relevant $(\beta,0,\dots,0)$ répond à la question.
+\end{proof}
+
+Soient maintenant $\beta\in \lambda$ un élément primitif de l'extension séparable
+$\lambda/\kappa$,
+et un $b\in B$ comme plus haut.
+Soit $P=\prod_{g\in G_{f}} (X-g(b))\in K[X]\cap B[X]=A[X]$. La réduction $\sur{P}\in \kappa[X]$
+de $P$ modulo $\MM_A$ s'annule en $\beta$ ; par hypothèse sur $b$, les racines non
+nulles de $\sur{P}$ sont les $\sur{\sigma}(\beta)$ pour $\sigma\in D$. Ainsi, tout
+conjugué de $\beta$ est de cette forme. La morphisme $D\ra G_{\sur{f}}$ est donc surjectif.
+
+Supposons maintenant $\sur{f}$ séparable.
+Le morphisme précédent est alors
+injectif car si $\sigma(x)\equiv x \mod \MM_B$ pour tout $x\in X_f$,
+les racines de $\sur{f}$ étant simples (donc $X_{f}\iso X_{\sur{f}}$),
+on a alors $\sigma(x)=x$ pour tout $x\in X_{f}$. Comme $X_f$ engendre $L$ sur $K$,
+l'automorphisme $\sigma$ est l'identité.
+\end{proof}
+
+Le morphisme est en fait surjectif sans l'hypothèse de séparabilité sur $\lambda/\kappa$,
+cf. \cite{CL@Serre}, \textsc{i}, prop.~20.
+
+Si l'on part de l'équation générique $f_{g\acute{e}n,n,k}\k(\{\sigma_i\}_{i\leq n}[X]$
+de degré $n$, de groupe $S_n$,
+la question de savoir pour quelles spécialisations des coefficients $\sigma_i\mapsto
+s_i\in k$ le groupe de Galois de $\sur{f}$ (supposée séparable) est encore le groupe symétrique
+entier est délicate.
+En \ref{degré 4} et \ref{degré 5}, nous avons vu que cela se traduit par
+l'absence de racines à des équations
+associées (les résolvantes introduites dans \emph{loc. cit.}),
+dont les coefficients sont des polynômes en les coefficients de l'équation
+originale.
+
+\section{Un critère pour $G_f=\got{S}_p$, $p$ premier, et $f$ de degré $p$}
+
+\begin{lmm}
+Soit $G\leq \got{S}_p$ un sous-groupe transitif\footnote{C'est-à-dire agissant
+transitivement sur $[1,p]$.}. Si $G$ contient une transposition, alors $G=\got{S}_p$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Comme $G$ est transitif, $p|\# G$. D'après un théorème de Cauchy, il contient
+donc un élément d'ordre $p$ ; c'est nécessairement un $p$-cycle que l'on peut
+supposer être $c=(1,2,3,\dots,p)$, quitte à renuméroter.
+Comme pour tout $i\neq 1$, on a $\langle c,(1i) \rangle=\got{S}_p$,
+la conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+On en déduit la proposition suivante.
+
+\begin{prp}
+Soit $f\in \QQ[X]$ un polynôme irréductible de degré $p$ ayant exactement deux
+racines non réelles dans $\CC$. Alors, $G_f=\got{S}_p$.
+\end{prp}
+
+En effet, l'automorphisme induit par la conjugaison complexe permute
+les deux racines non réelles et laisse invariantes les autres.
+
+\begin{exm}
+Soit $f=X^5-6X+3\in \QQ[X]$. C'est un polynôme irréductible par exemple d'après
+\ref{Eisenstein} ou bien l'irréductibilité sur $\FF_5$ (que l'on peut vérifier
+à l'aide de \ref{Berlerkamp}).
+Soit $\alpha\in \{\pm \sqrt[4]{\frac{6}{5}}\}$
+une racine réelle de $f'$. On a $5f(\alpha)=-24\alpha+15$. Comme $|\alpha|>1$,
+$\mathrm{sgn}(f(\alpha))=-\mathrm{sgn}(\alpha)$. Ainsi, les deux extréma locaux
+de $f$ sont de signes opposés et $f$ a trois racines réelles.
+Finalement
+$$
+\ga(X^5-6X+3/\QQ)=\got{S}_5.
+$$
+En particulier, cette équation n'est pas résoluble par radicaux.
+\end{exm}
+
+\section{Calculs explicites des racines}
+
+\subsection{Équations de degré $3$, en caractéristique $>3$}\label{racines équation degré 3}
+
+Soient $k$ un corps de caractéristique différente de $2$ ou $3$
+et $g$ un polynôme unitaire séparable de degré $3$ à coefficients dans $k$.
+Choisissons une clôture séparable $k\sep$ de $k$ et notons $X_g$ l'ensemble
+$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ des racines de $g$ dans $k\sep$.
+
+Supposons $g$ irréductible ; si $\Delta\in k$ est le discriminant
+de $g$, l'extension $k(X_g)/k(\sqrt{\Delta})$ est une donc une extension de degré $3$ et
+notons $c$ un générateur du groupe de Galois.
+Soit $j\in k\sep$ une racine primitive cubique de l'unité. Il résulte de la théorie de Kummer
+que $k(X_g,j)=k(\sqrt{\Delta},j)(\sqrt[3]{x})$ pour un $x\in k(\sqrt{\Delta},j)$ à trouver.
+Un tel $x\neq 0$ est caractérisé par le fait que $c(x)=jx$ ou $c(x)=j^2x$ ; cet $x$ sera
+automatiquement un élément primitif, de cube dans le corps de base $k(\sqrt{\Delta},j)=:k_0$.
+
+Afin de simplifier les calculs, on supposera que la somme $\sigma_1$ des
+racines de $g$ est nulle. On ramène le cas général à ce cas particulier
+en changeant $g(T)$ en $g(T+\frac{\sigma_1}{3})$ ; c'est possible
+$3$ est inversible dans $k$. Ainsi on écrira classiquement
+$$
+g(X)=X^3+pX+q
+$$
+
+Les racines $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ ne sont pas linéairement indépendantes sur
+$k_0$ (la preuve en est que leur somme est nulle) mais il existe
+$\lambda,\mu\in k_0$ tels que $\alpha_1+\lambda\alpha_2+\mu \alpha_3$
+soit un élément primitif de $k(X_g)$ (cf. \ref{k infini élément primitif}
+ou bien la démonstration qui suit).
+
+Il est donc naturel de chercher $x$ de la forme $\alpha_1+\lambda \alpha_2 +
+\mu \alpha_3$. Comme l'automorphisme $c$ permute les racines, l'élément
+$$
+u:=\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3
+$$
+satisfait $c(u)\in \{ju,j^2u\}$. Si $u$ est non nul (ce qui se révélera être vrai),
+$k_0(\sqrt[3]{u})=k_0(X_g)$. Il reste à calculer $u$ et exprimer
+les racines en fonctions de $u$.
+Remplaçant $j$ par son conjugué $j^2$, on introduit :
+$$
+v:=\alpha_1+j^2\alpha_2+j\alpha_3
+$$
+Il résulte immédiatement de ces deux définitions et du fait que
+$$
+0=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3
+$$
+que $$u+v=3\alpha_1$$ et, plus généralement, par l'inversibilité de la matrice
+de Vandermonde construite sur $1,j,j^2$ (ou bien d'un rapide calcul explicite),
+que les $\alpha_i$ ($1\leq i \leq 3$)
+s'expriment linéairement en $u$ et $v$ (avec des coefficients dans $k(j)$).
+Remarquons en passant que
+$$uv=-3p ;$$
+en particulier $v,u\neq 0$.
+Calculons $u^3$, qui appartient à $k_0$. Introduisons, pour le meilleur
+ou pour le pire, une notation. Si $H\leq \got{S}_3$ est un sous-groupe,
+celui-ci agit sur $k_0[X_1,X_2,X_3]$ par permutation
+des variables. Pour $f\in k_0[X_1,X_2,X_3]$, notons
+$$\mathrm{Sym}^+_H(f(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3))=
+\sum_{g\in H\cdot f} g(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$$
+la somme sur les $H$-orbites de $f$ ; de même pour $\mathrm{Sym}^\times$ pour
+le produit.
+Avec cette convention,
+$$
+u^3=\mathrm{Sym}^+_{\got{A}_3}(\alpha_1^3+3j \alpha_1^2 \alpha_2+3j^2 \alpha_1 \alpha_2^2)+6
+\mathrm{Sym}^{\times}_{\got{A}_3}(\alpha_1).
+$$
+Comme $$\sqrt{D}:=\delta:=-\mathrm{Sym}^{\times}_{\got{A}_3}(\alpha_1-\alpha_2)=
+\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1^2 \alpha_2) -
+\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1\alpha_2^2),$$
+on en tire $\mathrm{Sym}^+_{\got{A}_3}\alpha_1^2 \alpha_2=
+\frac{1}{2}(\mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)+\delta)$, et
+$\mathrm{Sym}^+_{\got{A}_3}\alpha_1 \alpha_2^2=
+\frac{1}{2}(\mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)-\delta).$
+Finalement, comme $j+j^2=-1$ et $j-j^2=\frac{\sqrt{-3}}{2}$\footnote{Ce par quoi
+on entend que $2(j-j^2)$ est une racine carrée de $-3$, dénotée $\sqrt{-3}$.},
+$$u^3=\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1^3)-
+\frac{3}{2}\cdot \mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)+
+6\cdot \mathrm{Sym}^{\times}_{\got{A}_3}(\alpha_1)+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta.$$
+Il reste à calculer les expressions
+$\mathrm{Sym}_{\got{A}_3}^+(\alpha_1^3)$ et
+$\mathrm{Sym}^+_{\got{S}_3}(\alpha_1^2\alpha_2)$
+en fonction des fonctions symétriques élémentaires. Se rappelant que
+$$(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)(X-\alpha_3)=X^3+pX+q,$$
+on trouve après un court calcul (exercice)\footnote{L'absence de terme en $p$
+dans la formule ci-dessous résulte \emph{a priori} de considérations de degrés
+($u^3$ est de degré $3$ en les racines) et du fait que $p\sigma_1$, de degré $3$
+également, est nul.}
+$$u^3=-\frac{27}{2}q+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta ; $$
+changeant $j$ en $j^2$, on change la racine carrée $\sqrt{-3}$ en sa conjuguée
+$-\sqrt{-3}$ et ainsi,
+$$v^3=-\frac{27}{2}q-\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta.$$
+On remarquera que ces quantités appartiennent bien à $k_0$.
+Enfin on rappelle (\ref{discriminant}), que $\delta^2=-4p^3-27q^2$.
+(Changer un choix de $\delta$ en un autre, échange $u^3$ et $v^3$.)
+
+Résumons. Soit $X^3+pX+q$ une équation de discriminant $D=-4p^3-27q^2\neq 0$
+sur un corps de caractéristique $\neq 2,3$. Soient $\delta$ une racine carrée de $D$
+dans $k\sep$ et $j$ une racine cubique primitive de l'unité dans $k$.
+Soit $u_1,u_2,u_3$ (resp. $v_1,v_2,v_3$) les racines cubiques de
+$-\frac{27}{2}q+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta$ (resp.
+$-\frac{27}{2}q-\frac{3}{2}\sqrt{-3}\cdot \delta$).
+
+Choisissons $u_1,v_1$ de telle sorte que $u_1v_1=-3p$ : on peut faire un tel choix
+de trois façons différentes ; chacun correspond à la détermination de la
+numérotation des éléments sur $X_g$ (multiplier $u$ plus haut par $j$ revient
+à permuter les racines $\alpha_i$).
+
+Alors, $\alpha:=\frac{1}{3}(u_1+v_1)$ est une racine de l'équation.
+On aime parfois écrire cette formule :
+$$
+\alpha=\frac{1}{3}\big( \sqrt[3]{-\frac{27}{2}q+
+\frac{3}{2}\sqrt{-3}\sqrt{-4p^3-27q^2}}
++ \sqrt[3]{-\frac{27}{2}q - \frac{3}{2}\sqrt{-3}\sqrt{-4p^3-27q^2}}\big).
+$$
+
+Les autres racines de $X^3+pX+q$ s'obtiennent en remplaçant $u_1$ par
+$j^ru_1$ et $v_1$ par $j^{-r}v_1$.
+
+%[EXPLIQUER COMMENT DEVINER QU'IL Y A UNE RELATION SUPPLÉMENTAIRE $UV=-3p$
+%D'OÙ ÇA SORT !? ]
+
+\subsection{Équations de degré $4$, en caractéristique $>4$}
+
+Nous allons procéder comme dans la section précédente pour calculer
+les racines d'une équation de degré $4$ sur un corps $k$ de caractéristique différente
+de $2$ ou $3$.
+Ici encore, il est commode de supposer
+que cette équation est de la forme : $f=X^4+pX^2+qX+r$. (On utilise
+le fait que $4$ est inversible dans $k$.)
+
+La théorie de Galois, et spécialement le théorème \ref{extension radicale},
+montre que cette question est intimement liée aux filtrations de Jordan-Hölder
+du groupe $\got{S}_4$.
+
+Dans le cas universel $G_{f}\iso \got{S}_{X_f}$,
+on a la correspondance suivante, où les degrés des extensions
+sont notés à droite :
+$$
+\xymatrix{
+\{1\} \ar@{-}[d] & K \\
+\ZZ/2 \ar@{-}[d] & K^{\ZZ/2} \ar@{-}[u]^2\\
+V_4=\{(12)(34),(13)(24),(14)(23),1\} \ar@{-}[d] & K^{V_4} \ar@{-}[u]^2\\
+\got{A}_4 \ar@{-}[d] & K^{\got{A}_4}=k(\sqrt{D}) \ar@{-}[u]^3 \\
+\got{S}_4 & k \ar@{-}[u]^2
+}$$
+où $V_4$ est \emph{un} sous-groupe « de Klein » de $\got{S}_4$. De façon générale,
+on notera, pour $\got{H}\leq \got{S}_{4}$, $K^{\got{H}}:=K^{\got{H}\cap G_{f}}$ ; avec
+cette convention, le diagramme ci-dessus vaut encore mais les degrés des extensions
+peut-être des diviseurs des degrés indiqués.
+
+On doit procéder de bas en haut. Notons $\sous{x}:=(x_1,\dots,x_4)$ les racines (ordonnées)
+de $f$ dans une clôture séparable de $k$.
+L'extension galoisienne de degré divisant $3$,
+$K^{V_4}/K^{\got{A}_4}$ est engendrée par n'importe quel élément de $k(X_f)$
+qui est l'évaluation en $\sous{x}$ d'un polynôme de $k(X_1,X_2,X_3,X_4)$
+qui est invariant sous $V_4$ mais pas sous $\got{A}_4$.
+Un tel polynôme est
+$$(X_1+X_2)(X_3+X_4).$$
+\begin{rmr} Ce polynôme n'est pas un générateur de $k(X_1,X_2,X_3,X_4)^{\got{A_4}}$ ;
+cela est dû à l'existence d'un groupe non contenu dans $\got{A}_4$,
+$V_4\leq D_4\leq \got{S}_4$, ici $D_4=V_4\cup \{(12),(34),(1324),(1432)\}$,
+laissant invariant cette expression.
+\end{rmr}
+
+Soient
+$$
+\begin{array}{l}
+\theta_1=(x_1+x_2)(x_3+x_4)\\
+\theta_2=(x_1+x_3)(x_2+x_4)\\
+\theta_3=(x_1+x_4)(x_2+x_3)
+\end{array}
+$$
+les évaluations en $\sous{x}$ des trois orbites de $(X_1+X_2)(X_3+X_4)$ sous
+l'action de $\got{A}_4$. Un calcul (cf. par exemple \cite{Algebra@VdW} donne
+$$
+(\Theta-\theta_1)(\Theta-\theta_2)(\Theta-\theta_3)=\Theta^3-2p\Theta^2+(p^2-4r)\Theta+q^2.
+$$
+Que $\sqrt{D}$ n'apparaisse pas dans les coefficients, résulte du fait que les $\theta_i$
+forment aussi une orbite sous l'action de $\got{S}_4$ tout entier (cf. remarque).
+D'après la section précédente, on sait résoudre cette équation.
+On cherche maintenant une expression $\ZZ/2$-invariante mais non $V_4$ invariante, pour
+un $\ZZ/2\leq V_4$. Le polynôme $X_1+X_2$ en est un, pour le groupe
+$\{(12)(34),1\}\leq V_4$.
+Comme
+$$
+(Y-(x_1+x_2))(Y-(x_3+x_4))=Y^2-(x_1+x_2+x_3+x_4)Y+(x_1+x_2)(x_3+x_4),
+$$
+on a $x_1+x_2=\sqrt{-\theta_1}$ (cf. $\sigma_1=0$), pour un choix d'une telle racine, et
+$x_3+x_4$ est son opposé $-\sqrt{-\theta_1}$.
+De même façon, pour les deux autres choix de groupes cycliques d'ordre $2$ dans $V_4$,
+on a
+$$
+\begin{array}{l}
+x_1+x_3=\sqrt{-\theta_2}\\
+x_1+x_4=\sqrt{-\theta_3}
+\end{array}
+$$
+Le choix des racines carrées doit être fait de telle sorte que le produit
+$$\prod_{i=1}^3 \sqrt{-\theta_i}=(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)\sr{\text{calcul}}{=}
+-q.$$
+Enfin, comme $2x_1=(x_1+x_2)+(x_1+x_3)+(x_1+x_4)=\sum_{i=1}^3 \sqrt{-\theta_i}$,
+on obtient $x_1$.
+
+\section{Extension cyclotomiques}
+
+Dans cette section, nous supposons choisie une fois pour toute une clôture
+séparable $\sur{\QQ}$ de $\QQ$.
+
+\subsection{Rappels}
+Nous renvoyons le lecteur par exemple à \cite{Algebre@Bourbaki}, \cite{Algebre@Lang}.
+pour les détails.
+Sur $\ZZ$, le polynôme $X^n-1$ se factorise en
+$$X^n-1=\prod_{d|n}\Phi_d(X),$$
+où
+$$
+\Phi_d(X)=\prod_{\begin{array}{l} \zeta^d=1 \\ \text{primitive} \end{array}} (X-\zeta)\in \ZZ[X],
+$$
+de degré la valeur en $d$, notée $\varphi(d)$, de l'indicatrice d'Euler.
+
+\begin{thm}[K.F. Gau\ss]
+Les polynômes $\Phi_d$ sont irréductibles.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+La démonstration procède par réduction modulo $p$, alors que les polynômes
+$\Phi_{d,\FF_p}=\Phi_{d} \mod p$ ne sont pas en général irréductibles.
+Cf. \emph{op. cit.}.
+\end{proof}
+% À FAIRE !?
+\begin{crl}
+Soit $n\geq 1$ un entier.
+L'extension $\QQ(\mu_{n}(\sur{\QQ}))/\QQ$ est galoisienne,
+et le morphisme
+$$
+\begin{array}{l}
+\Aut(\mu_n(\sur{\QQ}))\ra \ga(\QQ(\mu_{n}(\sur{\QQ}))/\QQ)\\
+s \mapsto \sigma=\big(\zeta\mapsto s(\zeta)\big)
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme. En particulier, $$[\QQ(\mu_{n}(\sur{\QQ})):\QQ]=\varphi(n).$$
+\end{crl}
+
+On réécrit souvent cet isomorphisme sous la forme, moins canonique mais peut-être
+plus parlante :
+
+$$
+\begin{array}{l}
+(\ZZ/n)^{\times}\iso \ga(\QQ(\zeta_n)/\QQ)\\
+(a \mod n) \mapsto \sigma_a=\big(\zeta_n \mapsto \zeta_n^a\big),
+\end{array}
+$$
+où $\zeta_n$ est une racine primitive $n$-ième quelconque de l'unité.
+
+Voyons quelques applications de ce fait.
+
+\begin{crl}[3,5,17,257,65537,?]
+Soient $n\geq 1$ un entier et $\zeta_n$ une racine primitive $n$-ième
+de l'unité. Alors, $[\QQ(\zeta_n):\QQ]\in 2^{\NN}$
+si et seulement si $n$ est une puissance de $2$ multipliée par un produit de
+nombres premiers de Fermat distincts.
+\end{crl}
+
+La condition que le degré de l'extension soit une puissance de $2$ signifie
+exactement que $\zeta_n$ est \emph{constructible (à la règle et) au compas}
+(cf. \emph{loc. cit.} et \cite{Lecons@Lebesgue}). Pour les constructions
+avec 折紙 (origami), cf. \cite{Galois@Cox}.
+
+
+Rappelons qu'un nombre premier de Fermat est un nombre premier de la forme
+$2^{r}+1$ ($r$ est alors nécessairement une puissance de $2$).
+
+Au début du \textsc{xxi}-ième siècle, seuls les nombres de Fermat premiers connus
+du grand public sont ceux indiqués plus haut.
+
+\begin{crl}
+Tout groupe fini abélien est isomorphe au groupe de Galois d'une extension
+de $\QQ$.
+\end{crl}
+
+On conjecture même que \emph{tout groupe fini est groupe de galois sur $\QQ$}
+(cf. \cite{Topics@Serre}).
+
+\begin{proof}
+Nous aurons besoin du lemme suivant :
+\begin{lmm2}
+Soit $n$ un entier, il existe une infinité de nombres premiers congrus à $1$ modulo $n$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Si l'entier $r$ tend vers $+\infty$, l'entier $\Phi_n(nr)$ tend vers $+\infty$
+également ; en particulier il est $>1$ pour $r$ grand.
+Soit $p$ un diviseur d'une telle valeur. En particulier,
+$p$ divise $(nr)^n-1$. Cela entraîne que $p$ et $n$ sont premiers entre eux.
+Ainsi, pour chaque diviseur strict $d$ de $n$,
+$p$ ne divise pas $(nr)^d-1$ ; s'il en était ainsi,
+$X^n-1$, qui est divisible par $\Phi_n(X)\cdot \Phi_d(X)$ aurait
+une racine double modulo $p$, ce qui est absurde compte tenu du fait qu'il
+est séparable. Ainsi $n$ est l'ordre de $nr$ modulo $p$ et $n$ divise
+donc $p-1=\#\FF_p^{\times}$.
+En remplaçant par exemple $n$ par un multiple, on voit qu'il existe
+une infinité de tels nombre premiers.
+\end{proof}
+Ainsi, pour $n$ fixé et $p=1+an$ comme plus haut,
+$$
+(\ZZ/p)^{\times}\isononcan \ZZ/(p-1)=\ZZ/an,
+$$
+donc
+$\ZZ/n$ est un quotient de $(\ZZ/p)^{\times}\isononcan
+\ga(\QQ(\zeta_p)/\QQ)$, où $\zeta_p$ est une racine $p$-ième non triviale
+de l'unité.
+D'après la théorie de Galois, il existe donc une sous-extension $K_{n,p}$
+$$
+\xymatrix{
+\QQ(\zeta_p) \ar@{-}[dd] & \\
+& K_{n,p} \ar@{-}[lu] \ar@{-}[dl]\\
+\QQ \ar@/^1pc/[uu]^{(\ZZ/p)^{\times}} \ar@/_1pc/[ur]_{\ZZ/n}}
+$$
+
+\begin{lmm2}\label{Linéairement disjointes}
+Soient $p_1,\dots,p_r$ des nombres premiers \emph{distincts} et
+$\zeta_{p_i}$ des racines primitives de l'unité d'ordre $p_i$
+dans une clôture algébrique $\sur{\QQ}$ de $\QQ$. Alors,
+le morphisme de multiplication
+$$\QQ(\zeta_{p_1})\otimes_{\QQ}\cdots \otimes_{\QQ} \QQ(\zeta_r)\ra \QQ(\zeta_{p_1\cdots p_r})=
+\QQ(\zeta_{p_1})\QQ(\zeta_{p_2})\cdots \QQ(\zeta_r)
+$$
+est un isomorphisme.
+%On a $\QQ(\zeta_{p_i})\cap \QQ(\zeta_{p_j})=\QQ$ pour tout $i \neq j$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Le degré sur $\QQ$ de la $\QQ$-algèbre de gauche est $\prod_i \varphi(p_i)$ ;
+celui de celle de droite est $\varphi(\prod_i p_i)$. La conclusion en résulte
+par « multiplicativité » de $\varphi$.
+\end{proof}
+
+De façon générale, on fait la définition suivante (ou le lecteur pourra
+supposer $I$ fini s'il le souhaite) :
+\begin{dfn2}
+Soient $(K_i)_{i\in I}$ une famille d'extension d'un corps $k$ et
+$K$ une extension composée de $(K_i)_{i\in I}$. On dit que ces extensions
+sont \emph{linéairement disjointes} si le morphisme
+$\bigotimes_{i\in I} K_i \ra K$ est un isomorphisme.
+(Le produit tensoriel est pris sur $k$.)
+\end{dfn2}
+
+Cela revient à supposer que le produit tensoriel est intègre \cad ici un corps.
+Il résulte immédiatement de la définition que pour tout $J\subset I$,
+les $(K_j)_{j\in J}$ sont également linéairement disjoints.
+
+\begin{lmm2}
+Sous les hypothèses de la définition, pour tout $i\neq j \in I$,
+$K_i\cap K_j=k$, l'intersection étant prise dans $K$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Soit en effet $a\in K_i\cap K_j$.
+L'élément $a\otimes 1-1\otimes a$ s'envoie sur $0$ dans l'extension
+composée $K_iK_j$ ; il est donc nul
+dans $K_i\otimes_{k} K_j$.
+S'il en est ainsi, il est également nul dans $K_iK_j\otimes_{k} K_iK_j$.
+Or on a vu en \ref{descente-libre}
+que si $d(a)=a\otimes 1 - 1\otimes a=0$, $a\in k$.
+\end{proof}
+
+Soit $C=\prod_{i=1}^r \ZZ/n_i$ un groupe abélien fini. On a vu qu'il existe
+$r$ nombres premiers distincts $p_1,\dots,p_r$ et $r$ sous-extensions
+de $\QQ(\zeta_{p_i})/\QQ$, notées $K_{n_i,p_i}$, de groupes de galois $\ZZ/n_i$.
+Considérons $K$ l'extension composée des $K_{n_i,p_i}$, $1\leq i \leq r$.
+Comme les extensions $K_{n_i,p_i}$ sont également linéairement disjointes
+il résulte par applications successives de \ref{prop fonctorialité}
+que $\ga(K/\QQ)\isononcan C$. (On utilise implicitement
+le fait que $\QQ(\zeta_{p_1,\dots,p_i})$ et $\QQ(\zeta_{p_{i+1}})$ soient
+linéairement disjointes.
+\end{proof}
+
+\begin{rmr}[Kronecker-Weber]
+Réciproquement, il est vrai, et difficile à démontrer, que
+\quote{Toute extension finie abélienne de $\QQ$ est contenue dans une extension cyclotomique.}
+\end{rmr}
+
+\subsection{Démonstration explicite et élémentaire de la constructibilité de $\zeta_{3,5,17,257,65537,?}$ : sommes de Gauß et de Jacobi}
+
+Soient $p$ un nombre premier, $\zeta_p$ une racine primitive $p$-ième de l'unité et
+$\chi:\FF_{p}^{\times}\ra \CC^{\times}$ un morphisme de groupes (un « caractère
+multiplicatif de $\FF_p$ »). Par commodité, on pose $\chi(0)=0$.
+Notons $\mathbf{1}$ le caractère trivial \cad
+constant de valeur $1$. Suivant, au signe près, Gauß et Jacobi, posons :
+$$
+g(\chi):=-\sum_{x\in \FF_p}\chi(x)\zeta_p^x
+$$
+et
+$$
+J(\chi,\chi'):=-\sum_{x+y=1} \chi(x)\chi'(y).
+$$
+
+La somme des racines $p$-ièmes de l'unité étant nulle, on a
+$g(\mathbf{1})=1$. Dualement\footnote{La formule précédente
+se réécrirait $g(\mathbf{1})=0$ si l'on avait pris la convention
+que $\mathbf{1}(0)=1$.}, si $x\in \FF_{p}^{\times}$ n'est pas l'unité,
+$$
+\sum_{\chi} \chi(x)=0,
+$$
+où $\chi$ parcourt l'ensemble des caractères de $\FF_{p}^{\times}$
+\footnote{Rappelons que le groupe des caractères
+$\widehat{\FF_p^{\times}}:=\Hom(\FF_p^{\times},\CC^{\times})$ est cyclique
+d'ordre $p-1$. Plus généralement si $G$ est un groupe fini,
+$\# G = \# \widehat{G}$ et $G\iso \widehat{\widehat{G}}$ canoniquement.}
+
+\begin{lmm2}
+\begin{enumerate}
+\item Si $\chi\neq \mathbf{1}$, $g(\chi)g(\sur{\chi})=p$. En particulier,
+$|g(\chi)|=\sqrt{p}$,
+\item $g(\chi)g(\chi')=g(\chi\chi')J(\chi,\chi')$.
+\end{enumerate}
+\end{lmm2}
+
+La démonstration est laissée en exercice au lecteur
+(cf. \cite{Ireland-Rosen}). [Cf. notes cours à Hyères, à
+inclure partiellement ?.]
+
+Supposons maintenant que $p=2^n-1$ soit un nombre premier de Fermat.
+La constructibilité de $\zeta_p$ s'explique simplement : d'une part
+par construction $J(\chi,\chi')\in \ZZ[\zeta_{p-1=2^n}]$ (chaque $\chi(x)$ isolément
+est une racine $p-1$-ième de l'unité) et
+$\zeta_p$ est une combinaison linéaire à coefficient $\QQ$ en les sommes de Gauß ;
+ces dernières sont dans $\ZZ[\zeta_{p-1=2^n}]$ en vertu du lemme précédent. Voici les
+détails.
+
+\begin{lmm2}
+$$
+\zeta_{p}=-\frac{1}{p-1}\sum_{\chi\in \widehat{\FF_p^{\times}}} g(\chi).
+$$
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Calculons :
+$$
+\begin{array}{ll}
+\sum_{\chi} -g(\chi)&=\sum_{x\in \FF_p^{\times}} \zeta_p^{x}\big(\sum_{\chi}\chi(x)\big) \\
+& =\zeta_{p}(p-1)
+\end{array}
+$$
+la contribution des facteurs pour $x\neq 1$ étant nulle.
+\end{proof}
+
+Il reste donc à montrer que chaque $g(\chi)$ est constructible (\cad
+de degré sur $\QQ$ une puissance de $2$) ; comme $g(\mathbf{1})=1$,
+supposons $\chi$ non trivial et d'ordre $2^r$, $r>1$.
+Calculons :
+$$\begin{array}{ll}
+g(\chi)^{2^r}=g(\chi)\cdots g(\chi)&=\big(g(\chi)g(\chi)\big)g(\chi)^{2^r-2}\\
+&=J(\chi,\chi)\big(g(\chi^2)g(\chi)\big)g(\chi)^{2^r-4}\\
+&=J(\chi,\chi)J(\chi^2,\chi)\big(g(\chi^3)g(\chi)\big)g(\chi)^{2^r-6}\\
+&= \cdots \\
+&=\big(\prod J(\chi^i,\chi)\big) g(\mathbf{1})
+\end{array}
+$$
+Finalement $g(\chi)^{2^r}$ est constructible et $g(\chi)$, qui en est
+une racine $2^r$-ième, aussi.
+
+\subsection{Réduction modulo $p$ des $\Phi_n$}
+
+\begin{prp2}
+Le polynôme $\Phi_8(X)=X^4+1$ est irréductible sur $\QQ$ mais sa réduction
+modulo $p$ notée $\Phi_{8,\FF_p}$, est réductible sur $\FF_p$
+pour chaque nombre premier $p$.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+Supposons $p\geq 3$ ; $\Phi_{8,\FF_2}(X)=(X+1)^4$.
+Soit $x$ une racine de $X^4+1$ dans $\FF_p$. On a donc $x^8=1$. Comme pour $p\geq 3$,
+$8$ divise $p^2-1$, $x$ appartient à $\FF_{p^2}$ \cad $x$ est de degré $2$ sur $\FF_p$.
+\end{proof}
+
+En particulier, on remarquera que l'irréductibilité d'un polynôme à coefficients
+entiers ne se vérifie pas simplement en réduisant modulo les nombres premiers.
+Malgré tout, on montre que $X^p-X+1\in \ZZ[X]$ est irréductible, en remarquant par exemple
+que sa réduction modulo $p$ l'est dans $\FF_p[X]$.
+
+Plus précisément, on a :
+
+\begin{prp2}
+Soient $n$ un entier, $p$ un nombre premier ne divisant pas $n$ et
+$\FF_p(\zeta_n)/\FF_p$ le corps de décomposition de $\Phi_{n,p}$.
+Alors, $[\FF_p(\zeta_n):\FF_p]=f$, où $f$ est l'ordre de $p$ dans $(\ZZ/n)^{\times}$.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+En effet, $\zeta_n\in \FF_{q=p^r}$ si et seulement si $\zeta_n^{q-1}=1$.
+Cela ne se produit que si $n$ divise $q-1$ car $\zeta_n$ est exactement d'ordre
+$n$ (cf. $(p,n)=1$).
+\end{proof}
+
+Il en résulte que $\Phi_{n,\FF_p}$ est un produit de $\frac{\phi(n)}{f}$ polynômes irréductibles
+de degré $f$.
+
+Par exemple, $\Phi_{12}(X)=X^4-X^2+1$ et $\Phi_{12,\FF_5}=(X^2-2X-1)(X^2-2X-1)\in \FF_{5}[X]$ ;
+$5^2\equiv 1 \mod 12$.
+
+\begin{exo2}
+Montrer que $n$ étant donné, il existe $p$ premier à $n$
+tel que $\Phi_{n,\FF_p}$ soit irréductible si et seulement si
+$n=1,2,4,\ell^{\alpha},2\ell^{\alpha}$ pour un nombre premier $\ell$.
+On pourra utiliser le théorème de la progression arithmétique
+pour une des deux implications.\end{exo2}
+
diff --git a/4-chap-Galois.tex b/4-chap-Galois.tex
new file mode 100644
index 0000000..4e8ccb3
--- /dev/null
+++ b/4-chap-Galois.tex
@@ -0,0 +1,745 @@
+\chapter{Réduction modulo $p$ : le théorème de Frobenius}
+
+Dans toute cette section on suppose choisies une clôture séparable $\sur{\QQ}$ de $\QQ$
+et pour chaque nombre premier $p$ une clôture séparable $\sur{\FF_p}$ de $\FF_p$
+Comme dans les chapitres précédents, un polynôme $f\in \QQ[X]$ étant
+donné, on notera $X_f$ l'ensemble de ses racines dans $\sur{\QQ}$.
+
+\section{Un résultat liminaire}
+
+Soient $X$ un ensemble fini de cardinal $d$ et $\{d_1,\dots,d_r\}$ une suite
+d'entier positifs de somme égale à $d$. Nous dirons que $\sigma\in \got{S}_X$
+est \emph{de type $d_1,\dots,d_r$} si $\sigma$ se décompose en le produit
+de $r$-cycles, d'ordres $d_1,\dots,d_r$. (En d'autres termes, l'action de $\sigma$
+sur $X$ a $r$ orbites, de cardinaux ces entiers.)
+
+Commençons par un résultat sur les corps finis :
+
+\begin{lmm}\label{cycles tautologiques}
+Soit $g=g_1\cdots g_r$ un produit de polynômes irréductibles
+distincts de $\FF_p[X]$, de degrés respectifs $d_1,\dots,d_r$.
+L'extension $\FFp(X_g)/\FFp$ est de degré $e=\mathrm{ppcm}_i\, d_i$
+et $\FR_p$, vu comme élément de $\got{S}_{X_g}$ est un élément
+de type $d_1,\dots,d_r$.
+\end{lmm}
+
+\begin{prp}\label{Dedekind} Soit $f=a_d X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme séparable de degré $d\geq 2$.
+Soit $p$ un nombre premier ne divisant pas $a_d$ et supposons que
+$$
+f\mod p = f_1\cdots f_r \in \FF_p[X],
+$$
+où les $f_i$ sont irréductibles, distincts et d'ordres respectifs $d_i$.
+Alors, il existe un élément $\sigma_p\in G_f\subset \got{S}_{X_f}$
+de type $d_1,\dots,d_r$.
+\end{prp}
+
+Remarquez que l'on ne suppose pas $f$ irréductible.
+Les hypothèses de séparabilité peuvent se résumer en $(p,\mathrm{disc}(f))=1$.
+
+\begin{dfn}
+Sous les hypothèses de la proposition, nous dirons que $f \mod p$ est \emph{
+de type $d_1,d_2,\dots,d_r$}.
+\end{dfn}
+
+\begin{exm}
+Soit $f=X^4+3X^2+7X+4\in \ZZ[X]$. On a :
+$$
+\begin{array}{lll}
+f \mod 2 & = & X(X^3+X+1) \\
+f \mod 11 & = & (X^2+5X-1)(X^2-5X-4)
+\end{array}
+$$
+Il en résulte que $f$ est séparable, et qu'il existe un $3$-cycle et un
+élément de type $2,2$ dans le groupe de Galois de $f$.
+Celui-ci agit donc transitivement sur $X_f$ ce qui est équivalent à dire
+que $f$ est irréductible.
+\end{exm}
+
+\begin{proof}
+Nous avons vu en \ref{spécialisation}, du moins si $a_d=1$,
+que $G_{f\mod p}$ est (non canoniquement)
+isomorphe à un sous-groupe de $G_{f}$ ; la conclusion résulte alors
+du lemme \ref{cycles tautologiques}\footnote{Le cas général
+en résulte en multipliant $f$ par $a_d^{d-1}$ et en posant $Y=a_d X$.}.
+Pour la commodité du lecteur,
+voici une autre démonstration (les deux premiers lemmes étant parfaitement
+identiques à ceux donnés en \emph{loc. cit.}).
+Rappelons (cf. appendice ?), que l'on note $\ZZ_{(p)}$ le localisé
+de $\ZZ$ en l'idéal maximal $(p)$. C'est un anneau principal local d'idéal maximal
+$(p)$, intégralement clos (\ref{normal}),
+que l'on identifiera au sous-anneau de $\QQ$,
+$\{\frac{a}{b} \in \QQ,\, a\in \ZZ, b\in \ZZ-(p)\}$.
+Les racines de $f$ sont entières (\ref{entier}) sur $\ZZ_{(p)}$ car
+$a_d$ est une unité de cet anneau.
+Notons $A_f=\ZZ_{(p)}[X_f]$ la sous-$\ZZ_{(p)}$-algèbre de $\sur{\QQ}$
+engendrée par les racines
+de $f$. Notons $n$ le degré de l'extension galoisienne $\QQ(X_f)/\QQ$. Les deux premiers
+lemmes sont, à la localisation en $(p)$ près, des cas particuliers de \ref{spécialisation}.
+\begin{lmm2} Il existe un morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FF_p}$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Un tel morphisme se factorise canoniquement par $A\otimes_{\ZZ}\FF_p\isononcan A_f/pA_f$ qui
+est une $\FF_p$-algèbre entière de type finie
+donc de dimension finie. Si $\MM_p$ est un idéal maximal
+de cette algèbre, son corps résiduel est donc fini et s'injecte dans $\sur{\FF_p}$.
+L'existence d'un tel idéal maximal revient à montrer que le quotient est non
+nul \cad $A_f\neq pA_f$. S'il en était ainsi, on pourrait écrire $pa=1$ pour un $a\in A_f$.
+En appliquant la norme $\mathrm{N}_{\QQ(X_f)/\QQ}$ on obtiendrait
+$p^n\cdot (\mathrm{\acute{e}l\acute{e}ment}\in \ZZ_{(p)})=1$, ce qui est absurde.
+\end{proof}
+
+\begin{lmm2}
+Tout morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FFp}$ induit par
+restriction une bijection $X_f\iso X_{f,p}$,
+où $X_{f,p}$ est l'ensemble des racines de $f\mod p$ dans $\sur{\FF_p}$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Comme $f=\prod_{\alpha\in X_f} (X-\alpha)$, $\varphi_p f=f \mod p$
+se factorise en $\prod_{\alpha\in X_f} \big(X-\varphi_p(\alpha)\big)$, qui
+doit être égal à $\prod_{\beta\in X_{f,p}}(X-\beta)$. Ainsi, $\varphi_p$ induit
+une surjection $X_f\surj X_{f,p}$ ; comme $f \mod p$ est séparable, $X_{f,p}$ a
+pour cardinal $d$ donc $\varphi_p$ induit bien une bijection.
+\end{proof}
+\begin{lmm2}Soient $\varphi'_p,\varphi_p:A_f\ra \sur{\FFp}$ deux homomorphismes.
+Il existe un unique $\sigma\in G_f$ tel que $\varphi'_p=\varphi_p\circ \sigma$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Si $\sigma\in G_f$, $\sigma:A_f\ra A_f$ induit une permutation de $X_f$ et est caractérisé
+par cette dernière. Ainsi, $\varphi_p\circ \sigma\neq \varphi_p\sigma'$ si $\sigma\neq \sigma'$.
+Il ne reste donc plus qu'à montrer que
+$$\# \Hom_{\mathrm{alg}.}(A_f,\sur{\FFp})\leq [\QQ(X_f):\QQ]=\# G_f.$$
+Pour cela, nous faisons appel au sous-lemme suivant :
+\begin{sslmm2}
+Soit $f\in \ZZ_{(p)}[X]$ un polynôme à coefficient dominant inversible.
+Alors, $\ZZ_{(p)}[X_f]$
+est un $\ZZ_{(p)}$-module libre de rang $[\QQ(X_f):\QQ]$.
+\end{sslmm2}
+On sait que $\Hom_{\ZZ-\mathrm{alg}.}(A_f,\sur{\FFp})\iso
+\Hom_{\FFp-\mathrm{alg}.}(A_f/p,\sur{\FFp})$ et que ce dernier ensemble est de cardinal
+au plus $\dim_{\FF_p}A_f/p$ d'après \ref{nbre points et degré}. Le sous-lemme dit que
+$\dim_{\FF_p}A_f/p=[\QQ(X_f):\QQ]$.
+\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
+Le $\ZZ_{(p)}$-module $\ZZ_{(p)}[X_f]$ est de type fini sur $\ZZ_{(p)}$ et
+sans torsion donc libre.
+De plus, $\ZZ_{(p)}[X_f]\otimes_{\ZZ_{(p)}} \QQ\sr{\ref{}?}{\isononcan}
+\mathrm{Frac}(\ZZ_{(p)}[X_f])=\QQ(X_f)$
+d'où l'égalité des rangs.
+%[CF. PAGE 22 DES NOTES]
+\end{proof}
+\end{proof}
+Partant d'un morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FF_p}$ (et il en existe !),
+on peut en construire un autre
+par composition avec $\FR_p:x\mapsto x^p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$. D'après le lemme
+précédent, il existe un unique $\sigma_p\in G_f$ tel que
+$\FR_p\circ \varphi_p=\varphi_p \circ \sigma_p$. En d'autres termes,
+si $\wp=\ker(\varphi_p)$, $\sigma_p(a)-a^p\in \wp$ pour tout $a\in A_f$.
+L'action de $\sigma_p$ sur $X_{f}$ correspond via $X_{f}\sr{\varphi_p}{\iso} X_{f,p}$
+au Frobenius agissant sur $X_{f,p}$. La conclusion résulte alors du lemme \ref{cycles
+tautologiques}
+\end{proof}
+
+\begin{rmr2}
+La notation $\sigma_p$ est ambiguë : elle dépend d'un choix de $\varphi_p$.
+On peut vérifier que les différentes subsitutions obtenues sont conjuguées
+dans le groupe de Galois.
+En particulier, si $G_f$ est abélien, la substitution de Frobenius est bien définie.
+Par exemple, si $f$ est le polynôme cyclotomique $\Phi_n$, $\sigma_p$, pour $(p,n)=1$,
+correspond à $p\in (\ZZ/n\ZZ)^{\times}$.
+\end{rmr2}
+
+
+%[BIZARRE : EN \ref{spécialisation} on n'utilise pas l'hypothèse sur le RANG
+%DE A ?!]
+
+\subsection{Application}
+
+\begin{thm2}[$\got{S}_n$ par réduction modulo $p$]\label{S_n-1}
+Pour tout $n\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
+de degré $n$ et de groupe de Galois le groupe symétrique $\got{S}_n$.
+\end{thm2}
+
+\begin{proof}
+Considérons trois polynômes de degré $n$ :
+$f_2\in \FF_2[X]$ le produit d'un terme linéaire et d'une polynôme irréductible,
+$f_3\in \FF_3[X]$ le produit d'un facteur irréductible de degré $2$ et de facteurs
+irréductibles de degrés impairs et enfin $f_5\in \FF_5[X]$ irréductible.
+L'existence de tels polynômes résulte de \ref{Zêta A^1}. Considérons des relèvements
+unitaires arbitraires $g_2,g_3,g_5$ de ces polynômes à $\ZZ[X]$ et posons
+$$f:=15g_2+10g_3+6g_5\in \ZZ[X] ;$$
+pour $p\in \{2,3,5\}$, $f \mod p = f_p$.
+D'après la proposition précédente (\ref{Dedekind}), le groupe de Galois de $f$
+contient donc un $(n-1)$-cycle, un $n$-cycle et le produit d'une transposition
+par des cycles d'ordres impairs. Un tel groupe est nécessairement le groupe
+symétrique entier (cf. lemme ci-dessous).
+\end{proof}
+
+\begin{lmm2}
+Soient $n\geq 2$ un entier et $G\leq \got{S}_n$ contenant un $(n-1)$-cycle,
+un $n$-cycle et le produit d'une transposition par des cycles d'ordres impairs.
+Alors, $G=\got{S}_n$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Quitte à élever l'élément du troisième type à une puissance impaire, et
+renuméroter, on peut supposer que $G$ contient $(12)$. En conjuguant $(12)$ par
+le $n$-cycle, on peut obtenir une transposition dont un des deux éléments
+est fixe par le $(n-1)$-cycle. Quitte à renuméroter, on peut donc supposer que
+$G$ contient $(12)$ et $(234\cdots n)$. Il en résulte que $G$ contient
+$(1i)$ pour tout $i\in [2,n]$ et finalement, $G=\got{S}_n$.
+\end{proof}
+
+[La remarque ci-dessous devrait être un énoncé, avec
+démonstration ; cité en la première page du chapitre
+deux.]
+
+\begin{rmr2}
+Le lecteur prouvera dans l'exercice \cite{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13,
+que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois
+$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles
+$[-N,N]$ avec $N\ra +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}).
+Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité.
+\end{rmr2}
+
+\subsection{Polynômes irréductibles sur $\FF_p[X]$}
+
+\subsubsection{Fonction Zêta de $\FF_p[X]$}\label{Zêta A^1}
+Commençons par la formulation élémentaire.
+Soient $q$ une puissance d'un nombre premier $p$, et $\FF_q$ un corps fini
+à $q$ éléments. C'est un corps de décomposition sur $\FF_p$ du
+polynôme $X^{q}-X$. Comme il en est également ainsi pour toute puissance
+de $q$, on a, pour tout $n\in \NN$ :
+$$
+X^{q^n}-X=\prod_{\begin{array}{l} P \ \text{irr\'ed.unit.}\in \FF_q[X]\\
+\deg\ \text{divisant}\ n \end{array}} P.
+$$
+La formule d'inversion de Möbius nous dit que le nombre de polynômes
+irréductibles sur $\FF_q$ de degré $d$ est :
+$$
+N(q^d):=\frac{1}{d}\sum_{d'|d} \mu(d')q^{\frac{d}{d'}}.
+$$
+Il en résulte que
+$$
+N(q^d)>\frac{q^d}{d}(\frac{q-2}{q-1})
+$$
+En particulier, il existe des polynômes irréductibles de tous degrés sur $\FF_q$.
+Plus précisément,
+
+Soit $$\zeta_{\FF_q[X]}(t)=\prod_{d\geq 1}\big(\frac{1}{1-t^d}\big)^{N(q^d)}=\prod_P
+\frac{1}{1-t^{\deg(P)}}\in 1+t\ZZ\[t\]$$
+la fonction zêta de $\FF_p[X]$.
+
+\begin{lmm2}
+$$\zeta_{\FF_q[X]}(t)=\frac{1}{1-qt}.$$
+\end{lmm2}
+
+Cela résulte de la proposition bien plus générale suivante :
+
+\begin{prp2}
+Soit $A$ une $\FF_q$-algèbre de type fini.
+\begin{enumerate}
+\item Pour tout idéal \emph{maximal} $\wp\in \SP(A)$, l'extension
+résiduelle $(A/\wp) / \FF_q$ est \emph{finie} ; on note son degré $\deg(\wp)$.
+\item On a l'égalité :
+$$
+\zeta_A(t):=\prod_{\wp\in \SP\mathrm{max}.(A)} \frac{1}{1-t^{\deg(\wp)}}=
+\exp\big(\sum_{n\geq 1} \#\Hom_{\FF_q}(A,\FF_{q^n})\frac{t^n}{n}\big).
+$$
+\end{enumerate}
+\end{prp2}
+
+Pour toute extension $\FF$ de $\FF_q$, l'ensemble $\Hom_{\FF_q}(A,\FF)$
+est souvent noté $A(\FF)$ et est appelé l'ensemble des points de $A$ à valeurs
+dans $\FF$. En effet, si $A=\FF_q[X_1,\dots,X_N]/(f_1,\dots,f_e)$,
+$$\begin{array}{l}
+\Hom_{\FF_q}(A,\FF)\ra \FF^N\\
+\varphi \mapsto \big(\varphi(X_1),\dots,\varphi(X_N)\big)
+\end{array}
+$$
+induit une bijection entre $\Hom_{\FF_q}(A,\FF)$ et le sous-ensemble
+de $\FF^N$ constitué des $N$-uplets solutions des équations
+$f_1=\cdots=f_e=0$.
+
+\begin{proof}
+Le premier point est un cas particulier du \emph{Nullstellensatz} de Hilbert \ref{Nullstellen}.
+Pour démontrer le second, on calcule :
+$$-t\frac{d\log}{dt}\zeta_A(t)=
+\sum_{d\geq 1} \Big(N(d)d t^d\sum_{r\geq 0} t^{dr}\Big)=\sum_{n\geq 1}
+\big(\sum_{d|n} N(d) d\big) t^n,$$
+où $N(d)$ est le nombre (fini) d'idéaux maximaux de degré $d$ de $A$.
+D'autre part,
+$$
+-t\frac{d\log}{dt}\exp\big(\sum_{n\geq 1} \#A(\FF_{q^n})\frac{t^n}{n}\big)=
+\sum_{n\geq 1} \#A(\FF_{q^n})t^n.
+$$
+L'égalité des deux séries formelles résulte alors
+de l'égalité
+$$
+ \#A(\FF_{q^n})=\sum_{d|n} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.(A), \deg(\wp)=d\}\cdot d,
+$$
+dont la vérification est laissée en exercice au lecteur.
+\end{proof}
+
+\begin{rmr2}
+Plus généralement, un théorème de B.~Dwork (\osn{1959}) et A.~Grothendieck (\osn{1963})
+affirme que la fonction zêta de toute $\FF_{q}$-algèbre de type finie
+est une fonction rationnelle. A.~Grothendieck a également démontré qu'elle
+vérifie une équation fonctionnelle et P.~Deligne (\emph{circa} \osn{1974}) a étudié
+les zéros et les pôles de ces fonctions (« hypothèse de Riemann sur les corps finis »).
+\end{rmr2}
+
+\subsubsection{« Algorithme » de Berlerkamp}\label{Berlerkamp}
+
+\begin{propsansnum}
+Soient $f\in \FF_p[X]$ un polynôme séparable de degré $d$
+et $A=\FF_p[X]/f$.
+Alors, $f$ est irréductible si et seulement si l'application
+$\FR_p-\mathbf{1}:A\ra A$, $x\mapsto x^p-x$, est de rang $d-1$.
+\end{propsansnum}
+
+Plus généralement, la dimension du noyau donne exactement le nombre
+de facteurs irréductibles.
+
+\begin{proof}
+En effet, $A$ est un produit de corps correspondants aux facteurs
+irréductibles de $f$. Chacun de ces corps contient $\FF_p$ sur lequel
+le morphisme de Frobenius agit trivialement. Ainsi, il n'y a qu'un corps
+si et seulement si son noyau est de dimension $1$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Irréductibilité générique}
+
+Nous allons montrer que la plupart des polynômes unitaires irréductibles de degré fixé
+sont irréductibles.
+
+Fixons un entier $d\geq 1$.
+Soient $p_1,\dots,p_r$, $r$ nombres premiers distincts.
+Posons
+$$\delta_i:=\frac{\#\{\text{polynômes irréductibles unitaires de degré }
+d \text{ sur } \FF_{p_i}\}}{p_i^d}.$$
+Il résulte du théorème de Bézout que la proportion
+de polynômes $f=X^d+a_1X^{d-1}+\cdots+a_d\in \ZZ[X]$ satisfaisant
+$0\leq a_i<p_1\cdots p_r$ et \emph{réductibles} modulo $p_1,\dots,p_r$
+est :
+$$
+(1-\delta_1)\cdots (1-\delta_r).
+$$
+Si $p_i\geq 3$, $\frac{p_i-2}{p_i-1}\geq \frac{1}{2}$ donc $\delta_i\geq \frac{1}{2d}$ ;
+il en résulte que la proportion de polynômes unitaires réductibles modulo $p_1,\dots,p_r$
+et à coefficients strictement inférieurs à $p_1\cdots p_r$ est
+au plus $(1-\frac{1}{2d})^r$. On en déduit aisément la proposition suivante :
+
+\begin{prp2}
+$$\frac{\#\{\text{polynômes unitaires de degré } d \text{ de } \ZZ[X],
+\text{ à coefficients dans } [0,N]\} } {N^d} \sr{N\ra +\infty}{\ra} 1.$$
+\end{prp2}
+
+
+\section{Le théorème de Frobenius : énoncés et quelques applications}
+
+\begin{thm}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
+Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
+Soit $G_f=\ga(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
+Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad
+une partition de $d$.
+Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
+$$
+\sum_{\begin{array}{l} p\ \textrm{tel que}\,f \mod p\\ \textrm{soit de type}\ \lambda \end{array}}
+p^{-s} = \frac{g_\lambda}{g}\log(\frac{1}{s-1})+\mathsf{O}(1),
+$$
+où $g_f=\# G_f$ et $g_{\lambda}$ est le nombre d'élément de $G_f$ de type $\lambda$.
+\end{thm}
+
+Bien que nous n'en ferons que fort peu usage, voici une définition
+naturelle :
+
+\begin{dfn}
+Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
+$\delta$ si
+$$
+\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\sr{s\ra 1+}{\longrightarrow} \delta.
+$$
+\end{dfn}
+
+On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème,
+que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$,
+\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s\ra 1+$.
+Cela sera démontré plus loin \ref{} [À rédiger dans
+l'appendice ?].
+
+\begin{crl}
+Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
+Il existe une infinité de nombre premiers $p$ tel que $f$ modulo $p$ n'a pas
+de racine dans $\FFp$.
+\end{crl}
+
+On peut également montrer que cet ensemble a une densité $\geq \frac{1}{d}$,
+cf. \cite{Jordan@Serre}.
+
+\begin{proof}
+Le polynôme $f$ a une racine dans $\FFp$ si et seulement si,
+la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{\FFp}$ a un point
+fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
+sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
+La formule
+$$
+\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\
+\textrm{par transitivit\'e}
+$$
+entraîne que $\#\mathrm{Fix}(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet,
+la contribution égale à $d\geq 2$ de l'identité jointe à ces inégalités larges
+entraînerait $\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)>1$.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
+Le polynôme $f \mod p$ se décompose totalement pour une infinité de nombre premiers $p$,
+de densité $\frac{1}{\# G_f}$.
+\end{crl}
+
+Pour un énoncé plus concret, voici :
+
+\begin{crl}
+Soit $a\in \ZZ$ un nombre entier qui est un carré modulo $p$ pour tout $p$.
+Alors, $a$ est un carré.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+Si $X^2-a$ était irréductible (\cad $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
+pas un carré pour une infinité de $p$.
+\end{proof}
+
+Avant d'aborder la démonstration, voici quelques exemples.
+
+\begin{exms}
+\begin{enumerate}
+\item $f=X^2+1$. $f$ a une racine modulo $p$ si et seulement si $p\equiv 1\mod 4$.
+D'après le théorème c'est le cas pour « la moitié » des nombres premiers.
+(C'est un cas particulier du théorème de Dirichlet.)
+\item $f_d=X^d-1$. Son discriminant est $(-1)^{\binom{d}{2}}d^d$.
+Voici le type de décomposition de $f_{12}$ modulo $p$, pour $(p,12)=1$.
+On note $a^b$ pour signifier qu'il y a $b$ facteurs irréductibles
+de degré $a$.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
+\hline
+$p\mod 12$ & type de d\'ecomposition \\
+\hline
+$1$ & $1^{12}$\\
+\hline
+$5$ & $1^4\cdot 2^4$\\
+\hline
+$7$ & $1^6\cdot 2^3$\\
+\hline
+$11$ & $1^2\cdot 2^5$\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+On obtient cette table en écrivant $f_{12}=\prod_{d|12} \Phi_d$ ; on sait
+que si $o$ est l'ordre de $p$ dans $\ZZ/d^{\times}$,
+chaque $\Phi_d$ modulo $p$ est le produit de $\varphi(d)/o$ polynômes irréductibles
+sur $\FF_p$ de degré $o$.
+
+De même, pour $d=10$, la décomposition de $f_{10}=X^{10}-1$ est :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
+\hline
+$p\mod 11$ & type de d\'ecomposition \\
+\hline
+$1$ & $1^{10}$\\
+\hline
+$3$ ou $7$ & $1^2\cdot 4^2$\\
+\hline
+$9$ & $1^2\cdot 2^4$\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+En particulier, on remarque que le type de décomposition de $f_d$ modulo $p$ ne permet pas
+toujours de retrouver la classe de $p$ modulo $d$. C'est pour cette raison que
+le théorème de Frobenius ci-dessus n'entraîne pas le théorème
+de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique.
+\end{enumerate}
+\end{exms}
+
+\begin{rmr}
+Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
+de \v Cebotarev. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
+de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
+plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
+%[DÉTAILLER]
+\end{rmr}
+
+\section{Démonstration du théorème de Frobenius}
+
+\begin{prp}\label{point clé Frob}
+Soit $F\in \ZZ[X]$. Notons $n_p(F)$ le nombre de racines de $F$ modulo $p$,
+comptés avec multiplicités.
+Alors,
+$$
+\sum_p n_p(F)p^{-s}\sr{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans}
+\ \QQ[X] \big)
+\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}(1).
+$$
+\end{prp}
+Ce que l'on résume en :
+\begin{quote}
+« le nombre moyen de racines est égal au nombre de facteurs irréductibles ».
+\end{quote}
+
+%[MULTIPLICITÉ(S)?] (orthographe)
+
+\begin{proof}
+Les racines étant comptées avec multiplicités, les termes de gauche et de droite
+sont additifs vis-à-vis d'une décomposition de $F$ en produit. On peut donc
+supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et changer
+de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers,
+on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$.
+Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$.
+L'application $\SP(A_F)\ra \SP(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un
+idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est
+au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise
+$\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.
+
+
+Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
+$A_F\surj \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
+soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
+car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
+Ainsi,
+$$
+Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et }
+N(\wp)=p\}p^{-s},
+$$
+où $N\wp:=\# A_F/\wp$.
+Cette série est convergente pour $s>1$ : comme
+$n_p(F)\leq d$, elle est majorée par $d\zeta_{\ZZ}(s)$, où
+$\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$.
+De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$,
+on a
+$$
+Z_F(s)=\sum_{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
+$$
+En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur
+de $d\zeta(2s)$.
+En particulier,
+le produit
+$$
+\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \SP(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}=
+\prod_{\wp} \big( 1+(N\wp)^{-s}+(N\wp)^{-2s}+\cdots\big)
+$$
+est également convergeant pour $s>1$
+%\footnote{On rappelle
+%que si $a_i\in \RR_{+}-\{1\}$, $i\in \NN$, le produit $\prod_{i\geq 0} \frac{1}{1-a_i}$
+%converge vers un nombre réel non nul si
+%la série $\sum a_i$ est convergeante.}
+%DONNER RÉFÉRENCE !!! Watson ?
+et l'on a :
+$$
+\log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1).
+$$
+Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
+c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
+L'inclusion $A_F\ra \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
+Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près,
+$\zeta_{A_F}$ coïncide
+avec $\zeta_{\OO_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
+En particulier,
+$$
+\log \zeta_{\OO_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1).
+$$
+La conclusion résulte alors du fait que les fonctions zêta de Dedekind
+ont un pôle simple en $1$, cf. \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
+\end{proof}
+
+La démonstration procède en plusieurs étapes ; partant du polynôme $f$ qui nous
+intéresse, on construit de nombreux polynômes intermédiaires $F$ auxquels
+on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des groupes.
+
+\begin{lmm}\label{Frob_1}
+Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines :
+$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in
+\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \got{S}_d$,
+il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions
+suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item Pour $s\in \got{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$.
+\item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq
+ s' S$.
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Le premier point n'est mis que pour mémoire : d'après le théorème de l'élément
+primitif, il existe $\Psi_S$ tel que $\QQ(X_1,\dots,X_d)^{S}=
+\QQ(\sigma_1,\dots,\sigma_d)(\Psi_S)$.
+Cherchons $\Psi_S$ de la forme :
+$$
+\Psi_S(X_1,\dots,X_d)=\prod_{s\in S}(u_0+u_1X_{s(1)}+\cdots+u_d X_{s(d)}),
+$$
+où les variables $u_i$ seront choisies plus tard dans $\ZZ$.
+Un tel polynôme est bien $S$-invariant.
+Le second point entraîne donc le second.
+\begin{sslmm2}
+Si $sS\neq s'S$, le polynôme $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$,
+vu comme élément de $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$, est non nul.
+\end{sslmm2}
+\begin{proof}
+L'anneau $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$ est factoriel et le
+polynômes $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}$ sont irréductibles.
+L'égalité $s\Psi_S(\sous{\alpha})=s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ entraînerait
+$u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}=u_0+u_1\alpha_{s'\sigma(1)}+\cdots+u_d
+\alpha_{s'\sigma(d)}$ pour un $\sigma\in S$. Comme les racines sont toutes distinctes,
+cela force l'égalité $s=s'\sigma$ \cad $sS=s'S$.
+\end{proof}
+Les polynômes en $\sous{u}$ $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$ étant non nuls
+pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d+1}$,
+tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme.
+\end{proof}
+
+\subsection{}Pour chaque $S\leq \got{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
+$$
+f_S:=\prod_{\sigma\in \got{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
+$$
+C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
+défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant
+les représentants de $\got{S}_d/S$ (classes à gauche).
+Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$
+leurs discriminants respectifs.
+Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
+divisant $\Delta\Delta_S$.
+
+Soit $p\notin \Sigma_S$ ; $f\mod p$ et $\tilde{f}_S \mod p$
+sont donc à racines simples dans $\sur{\FFp}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]\ra \sur{\FFp}$
+et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$
+les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
+racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
+les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
+Le morphisme de Frobenius $\FR_p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$ agit sur les racines de
+ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à
+une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
+dans $\FFp$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\FR_p$, ce que l'on réécrit :
+$$
+\begin{array}{ll}
+(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in \FFp &\Longleftrightarrow
+\FR_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\
+& \Longleftrightarrow (F_p\sigma)\Psi_S(\sous{\alpha}_p)=\sigma\Psi_S(\sous{\alpha}_p)\\
+& \Longleftrightarrow \sigma^{-1}F_p \sigma \in S
+\end{array}
+$$
+On en tire :
+$$
+N_p(f_S)=\{\sigma\in \got{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
+$$
+Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal
+de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également
+que $f_S$ n'est pas séparable si $S\neq \{1\}$ et
+que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités.
+
+Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments
+de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans
+$\got{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
+se réécrit :
+$$
+(\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}.
+$$
+
+\subsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$.
+Pour tout $S\leq \got{S}_d$, on a un diagramme :
+$$
+\xymatrix{
+\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
+& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
+\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] &
+}
+$$
+En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si
+il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$
+est
+$$
+c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}.
+$$
+%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \got{S}_d$ peut-être stricte :
+%un élément quelconque de $\got{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
+%de corps.
+Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de
+$\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont
+des racines de $f_S$ :
+$\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$,
+pour des $\sigma_i\in \got{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1},
+pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\got{S}$.
+Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection.
+En vertu de la formule précédente,
+les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$
+sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S=
+\frac{g_f}{g_{e,S}}$.
+Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$
+Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \got{S}_d$ cette égalité,
+on obtient :
+$$
+\sum_{\sigma\in \got{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
+$$
+où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$.
+En regroupant par type :
+$$
+\sum_{\lambda}
+\underbrace{\sum_{\sigma\in\got{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
+\textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}.
+$$
+où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont
+les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$
+ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$
+et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$.
+
+Les égalités précédentes se combinent pour donner :
+$$
+(\star\star)\ m_S=\frac{d!}{g_f}\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}.
+$$
+
+On a alors les égalités, utilisant \ref{point clé Frob} (« $\zeta(1)=+\infty$ ») :
+$$
+\begin{array}{ll}
+\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \sr{(\star)}{=}
+\sum_{\lambda} s_\lambda \frac{d!}{d!_\lambda}
+\big( \sum_p p_{\lambda}^{-s}\big),\\
+\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \sr{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=}
+\frac{d!}{g_f} \big(\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}\big)
+\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}_S(1),
+\end{array}
+$$
+où $\sum_p p_{\lambda}^{-s}$ est la somme sur les $p$ tel que $f\mod p$ soit
+de type $\lambda$.
+Posons :
+$$
+\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
+$$
+On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée
+quand $s\ra 1+$.
+Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
+$$
+(\star\star\star)_S\ \sum_{\lambda} \frac{s_\lambda}{d!_{\lambda}}R_{\lambda}=\mathsf{O}_S(1).
+$$
+
+\subsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes
+variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence.
+Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\got{S}_d$ :
+$$
+\lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient
+l'inégalité opposée}.
+$$
+Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
+maximal le type d'un $d$-cycle.
+Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s \rangle$
+le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
+de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
+l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
+$$
+\frac{s_\lambda}{d!_\lambda}R_{\lambda}+\sum_{\lambda'<\lambda}(\textrm{idem})=\mathsf{O}_S(1).
+$$
+Ainsi, grâce à l'hypothèse de récurrence, $R_{\lambda}$ est une combinaison linéaire
+de fonctions bornées au voisinage de $1+$. Il ne reste plus qu'à remarquer
+que, pour $\lambda_0$ le type de l'identité, $R_{\lambda_0}=\mathsf{O}_{e}(1)$ ; la récurrence
+est donc amorcée.
+Cela achève la démonstration de \ref{thm Frobenius}, modulo la démonstration
+du pôle simple $1$ des fonctions $\zeta$ de Dedekind, donnée en \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
diff --git a/5-chap-Galois.tex b/5-chap-Galois.tex
new file mode 100644
index 0000000..f3a7d11
--- /dev/null
+++ b/5-chap-Galois.tex
@@ -0,0 +1,1837 @@
+\chapter{Méthodes adiques}
+
+%[ILLUSTRATION DE KATO ! ENFANTS ET NOMBRES $p$-adiques.]
+%[INTRO]
+
+\section{Préliminaires}
+
+Bien que nous soyons principalement intéressés par les nombres $p$-adiques, nous commençons
+par une section générale, qui nous permettra de considérer également des anneaux plus
+« géométriques » que $\ZZ$, comme $\QQ[t],\FFp[t]$. Certains détails sont laissés
+en exercice au lecteur.
+
+%[RÉFÉRENCES]
+
+\subsection{Complétion : définitions}
+
+Si $A$ est un anneau et $\MM_A$ un idéal maximal, pour tout $n\in \NN$,
+nous notons $A_n$ le quotient $A/\MM_A^{n+1}$. Pour $n=0$, c'est le \emph{corps résiduel}
+de $A$, \cad $A/\MM_A$. Pour chaque $n\in \NN$, on dispose
+d'applications surjectives naturelles :
+$\pi_{n+1,n}:A_{n+1}\surj A_n$ envoyant $x \mod \MM_A^{n+2}$ sur $x \mod \MM_A^{n+1}$ ainsi que
+de la surjection évidente $\pi_n:A\surj A_n$.
+
+Supposons que $A$ soit une $S$-algèbre et soit $f\in S[X_1,\dots,X_n]$.
+Si l'équation $f=0$ a une solution (à coefficients) dans $A$, elle en a
+nécessairement, par réduction, une dans chaque $A_n$. Considérer les $A_n$ permet
+de définir des conditions nécessaires à l'existence de solution à des équations.
+%À virer probablement.
+%\begin{exm2}
+%L'équation $y^2=tX^3+t$ n'a pas de solution dans $\QQ[t]$ car elle n'en a pas
+%dans $\QQ[t]/t^2$ (alors qu'elle en a dans $\QQ[t]/t=\QQ$).
+%De même l'équation [...] n'a pas de solution dans $\ZZ$
+%car elle n'en a pas dans $\ZZ/2^2$ (alors qu'elle en a dans $\ZZ/2$).
+%\end{exm2}
+On souhaiterait également que les $A_n$, pour $n$ croissant, forment une approximation
+de plus en plus fine de $A$. Le moins que l'on puisse demander est que
+ces approximations successives suffisent pour distinguer deux éléments de $A$,
+\cad\footnote{Puisque l'on est dans un groupe additif, on peux supposer que
+le second élément est l'élément nul.} que pour
+tout $a\neq 0$ dans $A$, il existe $n\gg 0$ tel que $\pi_n(a)\neq 0$.
+Cela revient à supposer que $$\cap_{n\geq 0} \MM_A^n=(0).$$
+On définit une topologie sur $A$ de la façon suivante :
+les ouverts sont les sous-ensembles $U$ de $A$ tels que pour tout $u\in U$,
+il existe $n\geq 0$ tel que $u+\MM_A^{n+1}\subset U$. On peut donc mesurer
+la petitesse d'un élément par la fonction
+$$\begin{array}{l}
+v_{\MM_A}:A\ra \NN\cup \{+\infty\}\\
+a\mapsto \max\{n\in \NN,\ a\in \MM_A^{n}\}
+\end{array}
+$$
+Pour $a,a'\in A$, on a $v(aa')\geq v(a)+v(a')$ et $v(a+a')\geq \min\{v(a),v(a')\}$.
+
+L'hypothèse $\cap_{n\geq 0} \MM_A^n=(0)$ est équivalente
+au fait que $v(a)=+\infty$ (\cad $a$ est aussi petit que possible) si et seulement si $a=0$.
+Cela est également équivalent au fait que $A$ soit \emph{séparé} pour cette topologie,
+dite $\MM_A$-\emph{adique} ; en particulier, les limites, si elles existent,
+sont alors uniquement définies. De façon équivalente,
+$$
+\begin{array}{l}
+A\ra \prod_n A_n\\
+a \mapsto \big(\pi_n(a)\big)_n
+\end{array}$$
+est \emph{injective}.
+
+Comme on le constate si $A$ est un corps, l'anneau de droite est très gros comparé à
+$A$. Plus précisément,
+l'image de $A$ n'est pas dense pour la topologie produit, où chaque $A_n$ est muni
+de la topologie quotient, qui est discrète.
+Ainsi, afin également de traduire l'idée d'« approximation successive »,
+on considère le sous-anneau $\widehat{A}$ de $\prod_n A_n$,
+constitué des suites « cohérentes », pour lesquelles
+l'élément au cran $n+1$ relève l'élément au cran $n$.
+En symboles :
+$$
+\widehat{A}:=\{(a_n)_{n\geq 0}\in \prod_n A_n, \pi_{n+1,n}(a_{n+1})=a_n\}.
+$$
+(Le terme de droite s'écrit aussi $\lim_n A_n$ : c'est la limite
+du système \emph{projectif} des $\pi_{n+1,n}:A_{n+1}\ra A_n$.)
+Le morphisme diagonal $A\ra \prod_n A_n$ se factorise naturellement à travers
+l'injection $\widehat{A}\hra \prod_n A$ en le morphisme canonique :
+$$
+A\ra \widehat{A},
+$$
+qui fait de $\widehat{A}$ une $A$-algèbre ; c'est également l'adhérence
+de l'image de $A$ dans $\prod_n A_n$. L'anneau $\widehat{A}$ est appelé
+le \emph{séparé-complété} en $\MM_A$ de $A$ ; cette appellation étant conforme
+à l'usage qui en est fait en topologie compte tenu des remarques précédentes.
+Si $A$ est séparé pour la topologie $\MM_A$-adique, $A\ra \widehat{A}$ une injection ; on dit
+qu'il est \emph{complet} pour cette topologie, si c'est une surjection.
+Remarquons que le critère de Cauchy pour s'assurer de la convergence d'une suite
+est très simple : si $A$ est complet, $(x_i)_{i\geq 0}$ est convergente
+si et seulement si $(x_{i+1}-x_i)$ tend vers zéro.
+
+Un élément $(a_n)$ de $\widehat{A}$ est inversible si et seulement si $a_0\in A_0=A/\MM_A$
+est non nul. En effet, chaque $A_n$ est local d'idéal maximal
+$\MM_AA_n$ de sorte que si $a_0\neq 0$, $a_n\in A_n^{\times}$ pour tout $n\in\NN$.
+L'unicité de l'inverse force le système des $(a_n)^{-1}$ à être cohérent.
+Ainsi, $\widehat{A}$ est \emph{local}\footnote{Rappelons \ref{1.1}
+qu'un anneau \emph{local} est
+un anneau dans lequel il existe un seul idéal maximal, qui
+est alors le complémentaire de l'ensemble des éléments inversibles.}
+d'idéal maximal le noyau de $\widehat{A}\surj A/\MM_A$, noté $\MM_{\widehat{A}}$.
+On a donc $\widehat{A}/\MM_{\widehat{A}}\iso A/\MM_A$ et $\MM_A\widehat{A}\subset
+\MM_{\widehat{A}}$.
+
+Si l'on suppose $A$ \emph{noethérien}, d'après le lemme
+de Nakayama (\ref{Nakayama}), pour tout idéal maximal $\MM_A$,
+$A$ est séparé pour la topologie $\MM_A$-adique.
+D'après \ref{complété-cas noethérien}, $\widehat{A}$ est plat
+sur $A$ et $\MM_{\widehat{A}}=\MM_A \widehat{A}$.
+On s'intéressera essentiellement au cas où $A$ est (intègre) principal,
+par exemple $\ZZ$ ; dans ces cas particulier, on peut donner
+une démonstration élémentaire directe de ces résultats (cf. par exemple
+\cite{Cours@Serre}).
+
+
+\subsection{Nombres $p$-adiques, séries formelles et anneaux
+de valuation discrète}
+Appliquons la construction précédentes aux anneaux $\ZZ$ et $k[t]$ ($k$ un corps).
+On note $\ZZ_p$ le complété en $(p)$ de $\ZZ$ et, pour tout anneau $k$,
+$k\[t\]$ le complété de $k[t]$ en $(t)$. On les appelle respectivement
+\emph{anneau des entiers} $p$-\emph{adiques} et \emph{anneau des séries
+formelles}\footnote{On pensera un élément de $k\[t\]$ comme une expression
+$\sum_{i\in\NN} a_i t^i$, où les $a_i$ appartiennent à $k$, le produit étant
+défini comme pour les polynômes. Insistons sur le fait qu'aucune condition
+n'est imposée sur les coefficients (d'où l'adjectif « formel ») ; l'anneau
+$k$ n'ayant pas de structure supplémentaire (topologie, etc.), c'est bien naturel.}
+sur $k$.
+Ces anneaux sont locaux, complets (comme c'est le cas en toute généralité)
+mais aussi, si $k$ est un corps pour le second, intègres et principaux.
+%[p.21 ...]
+Un \emph{anneau de valuation discrète} (avd en abrégé) est un anneau principal intègre ayant un
+unique idéal premier non nul. Dans un tel anneau, si $\pi$ est un générateur
+de l'idéal maximal, tout élément $a\in A-\{-0\}$ s'écrit de façon unique
+$a=u\pi^r$ où $u\in A^{\times}$ est une unité et $r\in \NN$. Cet entier,
+qui coïncide avec l'entier $v_{\MM_A}(a)$ introduit plus haut est la \emph{valuation}
+de $a$. Dans le cas d'un anneau de valuation discrète, on a égalité
+$v(aa')=v(a)+v(a')$. Un générateur de l'idéal maximal est appelé une \emph{uniformisante}.
+Deux uniformisantes différent par la multiplication par une unité.
+
+Les anneaux $\ZZ_p$ et $k\[t\]$, pour $k$ un corps, sont
+des anneaux de valuation discrète ;
+on note $\QQ_p$ et $k((t))$ leurs corps des fractions : le corps
+des nombres $p$-adiques (resp. le corps des \emph{séries de Laurent} formelles).
+On étend la valuation à $\ZZ\cup \{+\infty\}$ par $v(ab^{-1})=v(a)-v(b)$ ($b$ non nul),
+ce qui est indépendant des choix. On procède de même pour tout avd $A$. Le sous-anneau
+$A$ de $K=\mathrm{Frac}(A)$ est alors l'ensemble des éléments de $K$ de valuation positive.
+
+Pour faire un pas de plus en direction de l'analyse, faisons la définition suivante :
+\begin{dfn2}
+Soit $K$ un corps. On appelle \emph{valeur absolue} sur $K$ toute application
+$|\cdot | : K\ra \RR_{+}$ satisfaisant les trois conditions
+suivantes, pour chaques $x,y\in K$ :
+$$
+\left\{ \begin{array}{l}
+|x|=0 \Longrightarrow x=0\\
+|xy|=|x||y|\\
+|x+y|\leq |x|+|y|
+\end{array} \right.
+$$
+Elle est dite \emph{non archimédienne} si pour $|x+y|\leq \max\{|x|,|y|\}$ ;
+de façon équivalente, $\{|n|,n\in \ZZ\}\subset \RR $ est borné.
+\end{dfn2}
+À chaque corps valué $(K,|\cdot|)$, on associe une topologie métrique sur $K$ par
+$d(x,y)=|x-y|$.
+Si la valeur absolue est non archimédienne, la boule unité fermée
+$A_K:=\{x\in K, |x|\leq 1\}$ est un sous-anneau de $K$ ; c'est aussi
+l'ensemble des $x\in K$ tel que l'ensemble $\{x^n, n\in \NN\}$ est borné.
+
+\begin{exms2}
+Pour chaque corps $K$, la fonction valant $0_{\RR}$ en $0_K$ et $1_{\RR}$ ailleurs
+est une valeur absolue dite \emph{triviale}, notée $|\cdot|_{\mathrm{triv}.}$. La topologie
+correspondante sur $K$ est la topologie discrète.\\
+Les corps $\QQ,\RR,\CC$ munis de la valeur absolue usuelle $|\cdot|_{\infty}$
+sont des corps valués.
+Pour chaque anneau de valuation discrète $A$, et tout nombre réel $0<c<1$, la formule
+$|a|:=c^{v(a)}$ pour $a\in \mathrm{Frac}(A)^{\times}$, étendue à $0_{\RR}$ en $0_A$, définit
+une valeur absolue non archimédienne. En particulier, les corps $\QQ_p$ et $k((t))$ sont
+naturellement valués. La valuation de $\QQ_p$ est souvent normalisée de sorte
+que $|p|=p^{-1}$ (\cad $c=p^{-1}$). Par restriction à $\QQ\hra \QQ_p$ on en déduit
+une valeur absolue sur $\QQ$\footnote{Signalons pour le lecteur curieux le fait suivant,
+dû à Ostrovsky : à \emph{équivalence près} les seules valeurs absolues de $\QQ$ sont
+les $|\cdot|_p$ ($p$ premier), $|\cdot|_{\infty}$ et $|\cdot|_{\mathrm{triv}.}$.
+On dit que deux valeurs absolues sont équivalentes si elles définissent les mêmes
+topologies. On peut montrer que cela revient à supposer qu'il existe une constante
+$c\in \RR^{\times}_{+}$ telle que l'on passe de l'une à l'autre par élévation à la puissance
+$c$.}.
+\end{exms2}
+%[p.22 Ostrovsky : en exercice !]
+Revenons à la théorie de Galois.
+
+\subsection{Théorie de Galois et localisation}
+
+Soient $K/\QQ$ une extension galoisienne et $p$ un nombre premier.
+Suivant \ref{fonctorialité}, on forme le diagramme :
+$$
+\xymatrix{
+K \ar@{-}[r] & K\QQ_p \\
+\QQ \ar@{-}[r] \ar@{-}[u] & \QQ_p \ar@{-}[u] }
+$$
+où $K\QQ_p=:K_p$ est une extension composée. Concrètement, si $K/\QQ$ est le corps
+de décomposition d'un polynôme $f\in \QQ[X]$, $K_p$ est un corps
+de décomposition de $f$ vu comme polynôme dans $\QQ_p[X]$. Abstraitement,
+$K_p$ est un quotient de l'algèbre $K\otimes_{\QQ} \QQ_p$.
+On a déjà vu en \emph{loc. cit.} qu'un tel diagramme induit une injection
+$$\ga(K_p/\QQ_p)\hra \ga(K/\QQ).$$
+De même qu'en \ref{Dedekind}, on souhaite utiliser ces sous-groupes $\ga(K_p/\QQ_p)$ pour
+en déduire une information, autrement difficile à obtenir, sur $\ga(K/\QQ)$.
+
+On aimerait que la structure supplémentaire de corps (discrètement) valué complet
+sur $\QQ_p$, qui ouvre la voie vers des méthodes plus analytiques, nous permette
+d'étudier $\ga(K_p/\QQ_p)$. À cette fin, il est raisonnable d'espérer munir $K_p$
+d'une valeur absolue ou d'une valuation. Cela est possible en vertu du théorème suivant :
+
+\begin{thm}\label{normalisation avd}
+Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$
+et $L/K$ une extension finie séparable. Alors, la clôture intégrale $B$
+de $A$ dans $L$ est libre de rang $[L:K]$ sur $A$ et est un anneau de valuation
+discrète complet. Il existe un entier $e\geq 1$ divisant $[L:K]$ tel que
+la valuation $v_B$ restreinte à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
+\end{thm}
+
+Nous allons démontrer ce théorème dans la (longue) section suivante ;
+nous y comblons aussi quelques lacunes précédentes (par exemple dans la
+démonstration de \ref{point clé Frob}) et généralisons quelques énoncés
+(\ref{structalgdimfinie} en \ref{décomposition algèbre artinienne} par exemple).
+Le lecteur en trouvera une démonstration plus courte mais dans un esprit
+différent dans \cite{CL@Serre}, chap.~\textsc{ii}, \S~2.
+
+\section{Un peu d'algèbre commutative}
+
+Tout d'abord, remarquons que si l'on applique le procédé du théorème \ref{normalisation avd}
+à une extension triviale, on a $A\iso B$ ; en d'autres termes :
+
+\begin{lmm}\label{avd=normal}
+Un anneau de valuation discrète est normal.
+\end{lmm}
+
+Cela montre également que l'anneau de valuation discrète $B\leq L$ que nous
+cherchons doit être intégralement clos : il doit donc contenir la normalisation de $A$.
+
+\begin{proof}
+Soient $A$ un tel anneau, $K$ son corps des fractions et $x\in K$ entier sur $A$ :
+il existe $n\geq 1$, $a_0,\dots,a_{n-1}\in A$ tels que
+$$
+x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0=0.
+$$
+Supposons $v(x)<0$. Dans ce cas, pour $0\leq i \leq n-1$,
+$v(a_ix^i)\geq v(x^i)\geq v(x^{n-1})=(n-1)v(x)$. Ainsi,
+$$
+v(a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0)\geq (n-1)v(x).
+$$
+Pourtant le terme de droite, $x^{n}$ a une valuation strictement plus petite. Contradiction.
+\end{proof}
+
+Ce genre d'argument sera grandement amplifié en \ref{polygone de Newton}.
+
+\begin{lmm}
+Soient $A\subset B$ deux anneaux de valuation discrète de même corps des fractions. Alors,
+$A=B$.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Commençons la démonstration sous la seule hypothèse que $A$ et $B$
+satisfont les propriétés suivantes : il s'agit d'anneaux \emph{intègres}
+tels que si un élément n'est pas dans l'anneau, son inverse, dans son corps
+des fractions, est dans l'anneau.
+Ce sont ce qu'on appelle des \emph{anneaux de valuation}. L'ensemble
+des idéaux d'un tel anneau est totalement
+ordonné (exercice). En particulier, un anneau de valuation est local.
+Soit $K$ le corps de fractions de $A$ ; c'est aussi celui de $B$.
+Soit $0\neq m_B\in \MM_B$ ; son inverse $m_B^{-1}$ n'appartient pas à $B$ et \emph{a fortiori}
+pas à $A$. Donc $m_B\in A$, et finalement $\MM_B\subset \MM_A$.
+(On dit dans ce cas que le morphisme $A\ra B$ est \emph{local} :
+$\SP(B)\ra \SP(A)$ envoie l'idéal maximal sur l'idéal maximal.)
+Montrons maintenant que $\MM_B$ est un idéal premier de $A$.
+Soient $a,a'$ dans $A$ tels que $aa'\in \MM_B$. Un élément de $B-\MM_B$
+est une unité de $B$ donc si ni l'un ni l'autre de ces éléments n'est dans $\MM_B$,
+ils sont tous deux inversibles dans $B$, de même que leur produit ; absurde.
+
+
+Comme $A$ est un anneau de valuation \emph{discrète}, son seul
+idéal premier non nul est $\MM_A$. Ainsi, $(0)\neq \MM_B=\MM_A$.
+Or un anneau de valuation est déterminé par son corps des fractions
+et son idéal maximal : $A=\{x\in K^{\times}, x^{-1}\notin \MM_A\}\cup \{0\}$,
+et $B=A$.
+\end{proof}
+
+\begin{prp}\label{normalisation finie}
+Soit $A$ un anneau \emph{normal} noethérien de corps des fractions $K$.
+Soient $L/K$ une extension finie \emph{séparable} et $B$ la normalisation
+de $A$ dans $L$. Alors, $B$ est un $A$-module de type fini.
+\end{prp}
+
+Si $A$ est un anneau de valuation discrète (donc normal, \cad intègre,
+et intégralement clos et noethérien cf. \ref{normal} et \ref{avd=normal}), le $A$-module
+$B$ étant sans torsion, il est
+également \emph{libre} (de type fini).
+
+Nous ferons un usage essentiel de la proposition suivante :
+
+\begin{prp}\label{trace non dégénérée}
+Soit $L/K$ une extension finie séparable. L'accouplement défini par la trace
+$$
+\begin{array}{l}
+L\otimes_K L \ra K\\
+x\otimes y \mapsto \mathrm{Tr}_{L/K}(xy)
+\end{array}
+$$
+est \emph{non dégénéré} : l'application $K$-linéaire
+$$
+\begin{array}{l}
+L\ra \Hom_{K-\mathrm{lin}.}(L,K)\\
+x\mapsto \mathrm{Tr}_{L/K}(x\cdot)
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme.
+\end{prp}
+
+La réciproque est également vraie, cf \ref{trace-étale}.
+L'accouplement est non dégénéré si et seulement si, pour
+tout $x\in L$ non nul, il existe $y\in L$ tel
+que $\TR(xy)\neq 0$. C'est équivalent à la \emph{surjectivité} de la trace.
+Puisque $\TR_{L/K}(1)=[L:K]\cdot 1$, seul le cas de la caractéristique
+positive peut poser problème.
+
+
+\begin{proof}
+Soit $K\sep$ une clôture algébrique de $K$.
+Il suffit de montrer que l'application $K\sep$-bilinéaire
+$$\big(L\otimes_K L\sr{\mathrm{Tr}_{L/K}}{\ra} K\big)\otimes_K K\sep=
+(L\otimes_K K\sep)\otimes_{K\sep} (L\otimes_K K\sep)\sr{\mathrm{Tr}_{L_{K\sep}/K\sep}}{\ra}
+K\sep$$
+est non dégénérée.
+Dans ce cas, qui est « décomposé » car $L\otimes_K K\sep \iso_{K\sep} {K\sep}^{X}$
+($X=\Hom_{K}(L,K\sep)$), la situation est simple : l'accouplement
+correspond à
+$$\begin{array}{l}
+{K\sep}^{X}\otimes_{K\sep} {K\sep}^{X}\ra K\sep\\
+(x_i)\otimes (y_i)\mapsto \sum_{i\in X} x_i y_i
+\end{array}$$
+Ce dernier est bien non dégénéré.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Démonstration de \ref{normalisation finie}]
+Puisque $A$ est normal, $\TR_{L/K}(B)\subset A$ : la trace d'un élément de $b$
+appartient à $K$ et est algébrique sur $A$. Pour tout $A$-sous-module $M$ de $L$,
+notons $M^{\star}$ le $A$-module
+$\{x\in L, \TR_{L/K}(xM)\subset A\}$. Ainsi, $B\subset B^{\star}$.
+Si $M$ est un $A$-module libre de type fini, $M^{\star}$ l'est également
+par non dégénérescence de la trace.
+Soient $d=[L:K]$ et $e_1,\dots,e_d$ une base de $L$ sur $K$ ; puisque
+$KB=L$, on peut supposer ces éléments dans $B$. On a donc :
+$$
+\oplus_1^d Ae_i \subset B \subset B^{\star} \subset \big(\oplus_1^d Ae_i\big)^{\star}.
+$$
+Le terme de droite est (libre) de type fini ; $B$ est donc également de type fini.
+CQFD.
+\end{proof}
+Remarquons que $B$ est également noethérien donc normal.
+
+\begin{rmr}
+Si $A$ est un anneau local noethérien complet, la conclusion de la proposition
+tient encore même si $L/K$ n'est pas séparable (Nagata~M.).
+%Mettre en japonais (de même que les noms russes etc.)
+On dit, suivant A.~Grothendieck,
+qu'un tel anneau est \emph{japonais}. Pour vérifier qu'un anneau est japonais,
+il suffit de démontrer la proposition précédente pour $L/K$ radicielle.
+\end{rmr}
+
+
+Poursuivons par quelques lemmes.
+Ce premier lemme est un des points de départ de la théorie de la dimension
+des anneaux commutatifs.
+
+\begin{lmm}\label{entier sur corps}
+Soit $A\subset B$ deux anneaux. Supposons $B$ entière sur $A$ et intègre.
+Alors, $A$ est un corps si et seulement si $B$ est un corps.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Si $B$ est un cors et $0\neq a\in A$, $a^{-1}\in B$ et est entier sur $A$.
+Il en résulte que $(a^{-1})^n+a_{n-1}(a^{-1})^{n-1}+\cdots+a_0=0$ où les coefficients
+sont dans $A$. En multipliant cette égalité par $a^{n-1}$, on voit que $a^{-1}\in A$.
+Réciproquement, si $A$ est un corps, et $0\neq b\in B$, la sous-algèbre $A[b]$ de $B$
+est intègre et de type finie sur le corps $A$. C'est donc un corps. En particulier,
+$b$ est inversible dans $A[b]$ et \emph{a fortiori} dans $B$.
+\end{proof}
+
+Commençons notre brève étude des fibres de $\SP(B)\ra \SP(A)$ dans le
+cas où $A$ est local.
+Rappelons (\ref{spectre quotient}) qu'en toute généralité, la fibre en
+$\wp_A$ de ce morphisme s'identifie canoniquement avec $\SP(B/\wp_AB)$.
+
+\begin{lmm}\label{going-up1}
+Soient $A$ un anneau local d'idéal maximal $\MM_A$ et $B$ une $A$-algèbre finie.
+L'application $$\SP(B/\MM_AB)\ra \SP\max(B)$$ est une bijection :
+un idéal premier de $B$ qui est maximal contient l'idéal $\MM_AB$ et réciproquement.
+En conséquence, l'ensemble des idéaux maximaux de $B$ est fini, de cardinal inférieur
+à $dim_{A/\MM_A} B\otimes_A A/\MM_A$ et
+$\MM_B$ appartient à l'image de $\SP(B)\ra \SP(A)$.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Comme $B/\MM_AB$ est une $A/\MM_A$-algèbre \emph{finie}, son spectre est également fini
+(cf. \ref{structalgdimfinie}).
+Vérifions la première assertion.
+Soit $\wp$ un idéal maximal de $B$ ; le quotient $B/\wp$ est un corps.
+Si $N$ est le noyau de $A\ra B\surj B/\wp$, on a $A/N\hra B/\wp$ et $B/\wp$ est
+fini sur $A/N$.
+D'après le lemme précédent, les quotient $A/N$ est donc un corps ; comme $A$ est local,
+$N=\MM_A$ et finalement $\MM_AB\subset \wp$. On montre de même que si $\wp_B$ est maximal,
+il contient $\MM_A$.
+\end{proof}
+
+Pour $B/A$ comme dans \ref{entier sur corps},
+le morphisme $\SP(B)\ra \SP(A):\wp_B\mapsto \wp_B\cap A$
+n'est pas injectif en général. Dans la proposition suivante, nous allons voir
+qu'il résulte du lemme \ref{entier sur corps} qu'il est strictement croissant au sens suivant
+et du lemme \ref{going-up1} qu'il est surjectif.
+
+\begin{lmm}\label{going-up}
+Soient $B$ un anneau et $A$ un sous-anneau sur lequel $B$ est entier.
+\begin{enumerate}
+\item $\SP(B)\ra \SP(A)$ est surjectif.
+Si $B$ est libre de rang $d$ sur $A$, le cardinal des fibres
+est au plus $d$,
+\item si $\wp_B\subsetneq \wp_B'$ sont deux idéaux premiers distincts de $B$,
+$\wp_B\cap A\neq \wp'_{B}\cap A$.
+
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Soit $\wp\in \SP(A)$ ; l'anneau localisé en $\wp$, $A_\wp$ est
+naturellement un sous-anneau de l'algèbre $B_{\wp}=B\otimes_A A_\wp$.
+Considérons le diagramme commutatif :
+$$\xymatrix{
+\SP(B_{\wp}) \ar@{^(->}[r] \ar[d] & \SP(B) \ar[d] \\
+\wp\in \SP(A_\wp) \ar@{^(->}[r] & \SP(A)
+}$$
+Comme $B_{\wp}/A_{\wp}$ entière (cf. \ref{normalisation et localisation}),
+$\wp$ --- identifié à son image dans $\SP(A)$ --- appartient à l'image de la
+flèche verticale de gauche (\ref{going-up1}). La surjectivité en découle. L'inégalité
+sur le cardinal des fibres résulte également de \ref{going-up1}.
+
+Supposons maintenant qu'il existe une inclusion stricte
+$\wp_B\subset \wp_B'\subset B$ telle que $\wp_B\cap A= \wp'_{B}\cap A=\wp_A$.
+Quitte à remplacer $A$ par $A_\wp$, on peut supposer $A$ local d'idéal maximal $\wp$.
+(Cette réduction est légitime car $\wp_B$ et $\wp_B'$, qui contiennent $\wp$,
+appartiennent tous deux à $\SP(B_{\wp})\hra \SP(B)$.)
+On a vu en \ref{going-up1} que les idéaux de $B$ au-dessus $\wp$ sont tous maximaux.
+Il ne peut donc pas y avoir d'inclusion stricte.
+\end{proof}
+
+\begin{dfn}\label{dimension}
+Soit $A$ un anneau. On appelle \emph{dimension} de $A$ la borne supérieure
+des entiers $d$ tels qu'il existe une chaîne strictement croissante
+$$
+\wp_0\subsetneq \wp_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \wp_{d}\subset A
+$$
+d'idéaux premiers.
+\end{dfn}
+
+Un corps est de dimension nulle ; un anneau de valuation discrète est de dimension
+$1$.
+
+
+\begin{rmr}\label{rmr-dimension}
+Prendre garde que même si $A$ est noethérien, il peut être
+de dimension infinie.
+%(par exemple : [...]).
+Par contre, on peut montrer que tout anneau \emph{local} noethérien
+est de dimension finie (cf. \cite{Algebre@Serre}).
+\end{rmr}
+
+
+
+Voici une généralisation de \ref{structalgdimfinie}.
+
+\begin{prp}\label{décomposition algèbre artinienne}
+Soient $A$ un anneau local noethérien complet et $B$ une $A$-algèbre finie.
+Alors le spectre maximal $\SP\max(B)$ est fini et
+$$
+B\iso \prod_{\wp\in \SP\max(B)} B_{\wp}.
+$$
+\end{prp}
+
+Un anneau local satisfaisant cette propriété (pour tout $B$) est appelé un anneau
+local \emph{hensélien}. Ils jouent un rôle crucial en géométrie algébrique.
+Il résulte immédiatement de la propriété ci-dessus que si $A$ est local hensélien
+et $B$ est une $A$-algèbre finie locale, $B$ est également hensélien.
+
+\begin{lmm2}\label{anneau dimension nulle}
+Soit $C$ un anneau noethérien de dimension nulle. Alors, $\SP(C)$ est fini
+et $C\iso \prod_{\wp\in \SP(C)}C_\wp$.
+\end{lmm2}
+
+Remarquons que nous appliquerons ce lemme à l'anneau $B/\MM_A^n$, dont on sait déjà
+que son spectre est fini. Le lecteur pourra donc omettre le passage correspondant
+de la démonstration qui va suivre dans conséquence.
+
+\begin{proof}
+
+
+\begin{itemize}
+
+\item Un anneau noethérien de dimension nulle est \emph{artinien} : toute suite décroissante
+d'idéaux est stationnaire. \\
+En effet,
+d'après \ref{idéaux premiers associés}, il existe une filtration
+$0=C_{-1}\subset C_0 \subset \cdots \subset C_n=C$ de $C$ par des idéaux
+dont les quotients successifs sont isomorphes, comme
+$C$-modules, à $C/\wp$ pour $\wp\in \SP(C)$ variable.
+Comme $C$ est de dimension nulle, tout idéal premier est maximal ; $C/\wp$ est donc
+un corps et $C$ est de longueur finie (comme $C$-module).
+La conclusion résulte de \ref{longueur finie et artinien}.
+\item Le spectre $\SP(C)$ est fini. \\
+Soient $\wp_1,\dots,\wp_n$ des idéaux premiers distincts
+de $C$. Comme ils sont maximaux par le théorème de Bézout,
+$$
+C\surj \prod_1^n C/\wp_i.
+$$
+D'après \ref{additivité longueur}, $\mathrm{long}_C(C)\geq \mathrm{long}_C(\prod_1^n C/\wp_i)$.
+Comme $\mathrm{long}_C(\prod_1^n C/\wp_i)=\sum_1^n \mathrm{long}_C C/\wp_i\geq n$
+et que chaque $C/\wp_i$ est de longueur $1$, on voit que le nombre d'idéaux maximaux
+de $C$ est borné par $\mathrm{long}_C(C)<+\infty$.
+
+\item Soit $\wp_1,\dots,\wp_r$ les idéaux premiers de $C$. Le nilradical
+de $C$, $\mc{N}=\cap_{\wp\in \SP(C)} \wp$ est de type fini : il existe donc
+$N\in \NN$ tel que $\mc{N}^N=(0)$. Il en résulte, comme dans la démonstration
+de \ref{structalgdimfinie}, que $\cap_{\wp} \wp^N=(0)$
+et finalement que
+$$
+C\ra \prod_{\wp\in \SP(C)} C/\wp^{N}
+$$
+est un isomorphisme.
+
+\item Chaque $C/\wp^{N}$ est isomorphe à $C_{\wp}$.\\
+Ces anneaux sont locaux : tout idéal maximal contenant $\wp^N$ contient $\wp$.
+La conclusion résulte de \ref{spectre d'un produit}.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+Nous allons démontrer la proposition en appliquant le lemme précédent
+aux quotients $B_n:=B/\MM_A^{n+1}$, pour $n$ variable et passer à la limite.
+
+Il est intéressant que pour autant que les anneaux $B_n$ grossissent,
+leurs spectres sont tous canoniquement en bijection :
+
+\begin{lmm2}\label{épaississements}
+Soit $C$ un anneau et $I$ un idéal de $C$. Pour tout $n\in \NN$,
+l'application canonique
+$$
+\SP(C/I)\ra \SP(C/I^{n+1})
+$$
+est une bijection.
+\end{lmm2}
+\begin{proof} En effet, si $I^{n+1}\subset \wp$, $I\subset \wp$.\end{proof}
+
+
+Fixons $n\in \NN$. L'anneau quotient $A_n=A/\MM_A^{n+1}$ est noethérien, local
+et de dimension nulle (tout idéal premier contenant $\MM_A^{n+1}$ est égal à $\MM_A$).
+Il en résulte que la $A_n$ algèbre finie $B_n:=B\otimes_A A_n=B/\MM_A^{n+1}B$
+est noethérien et de dimension nulle (\ref{épaississements} et \ref{structalgdimfinie}).
+
+Nous avons vu plus haut que $\SP(B_0)$ est canoniquement en bijection
+avec $\SP\max(B)$.
+Ainsi, le lemme précédent, appliqué aux $B_n$ se réécrit :
+$$
+B_n \iso \prod_{\wp_n\in \SP(B_n)} (B_n)_{\wp_n}\isononcan \prod_{\wp\in \SP\max(B)}
+B_{\wp}/\MM_A^{n+1}.
+$$
+On utilise implicitement le lemme suivant pour identifier $(B_n)_{\wp_n}$
+à $B_{\wp}/\MM_A^{n+1}$ si $\wp$ est l'image de $\wp_n$ par $\SP(B_n)\ra \SP(B)$.
+
+\begin{lmm2}
+Soient $A$ un anneau, $I$ un idéal et $\wp_I\in \SP(A/I)$. Soit $\wp$
+l'image inverse de $\wp_I$ dans $A$. Alors,
+il existe un isomorphisme canonique
+$$
+(A_{\wp})/(IA_{\wp})\isononcan (A/I)_{\wp_I}.
+$$
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+En effet, ces deux anneaux représentent le foncteur
+$$C\in \ob \mathsf{Ann} \mapsto \{f\in \Hom(A,C),\ f(I)=0\ \& \ f(A-\wp)\in C^{\times}\}\in
+\ob \Ens.$$
+\end{proof}
+
+Comme $B$ est un $A$-module \emph{libre} de type fini, il est \emph{séparé} et \emph{complet}
+pour la topologie $\MM_A$-adique : $B\ra \widehat{B}$ est un isomorphisme.
+
+
+Ainsi,
+$$
+B\iso \lim_n B_n=\prod_{\wp\in \SP\max(B)} \lim_n (B_\wp)/\MM_A^{n+1}=\prod_{\wp\in
+\SP\max(B)} \widehat{B_\wp}.
+$$
+Nécessairement (cf. \ref{spectre d'un produit}),
+$B_\wp\iso \widehat{B_\wp}$.
+
+Soient $A,L/K,B$ comme dans le théorème \ref{normalisation avd}.
+On a vu que $B$ est intègre donc local, normal, noethérien, de type fini sur $A$, complet.
+Il est de dimension $1$ car il est de dimension inférieure à $1$
+(cf \ref{going-up}) sans être un corps (cf \ref{entier sur corps}).
+Il reste à vérifier que c'est un anneau de valuation discrète.
+
+\begin{lmm2}
+Tout anneau local normal noethérien de dimension $1$ est un anneau
+de valuation discrète : son idéal maximal est principal.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Soient $C$ un tel anneau, $\MM_C$ son idéal maximal et $x\in \MM_C-\MM_C^2$.
+(D'après \ref{Nakayama2}, $\MM_C^2\subsetneq \MM_C$.)
+Le quotient $C/(x)$ est de dimension nulle donc il existe $n$ tel que
+$\MM_{C/(x)}^n=(0)$. En d'autres termes, $\MM_{C}^n\subset (x)$. Considérons
+$n$ minimal pour cette propriété, de sorte qu'il existe $y\in \MM_C^{n-1}-(x)$.
+Comme $$\left\{\begin{array}{l} \MM_C y \subset (x) \\ y\notin (x) \end{array}\right.,$$
+on voit que $\MM_C (\frac{y}{x})\subset C$.
+Deux cas se présentent.
+\begin{itemize}
+\item $\MM_C (\frac{y}{x})\subset \MM_C$, auquel cas $\frac{y}{x}$ est algébrique
+sur $C$ (rappelons que $\MM_C$ est de type fini), donc appartient à $C$. Absurde !
+\item $\MM_C (\frac{y}{x})=C$, auquel cas $1=\pi\frac{y}{x}$, pour un $\pi\in \MM_C$.
+Mézalor, pour tout $m\in \MM_C$, $m=\underbrace{\frac{my}{x}}_{\in A}\pi$, \cad
+$(\pi)=\MM_C$.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+Achevons la démonstration de \ref{normalisation avd}.
+Fixons les notations :
+$$
+\xymatrix{
+k_L:=B/\pi_L \ar@{-}[d]^{\deg=:f} & \ar@{->>}[l] B \ar@{^(->}[r] \ar@{-}[d] & L
+\ar@{-}[d]^{\mathrm{s\acute{e}p},\deg=n} \\
+k_K:=A/\pi_K & A \ar@{->>}[l] \ar@{^(->}[r] & K
+}
+$$
+où $\pi_K$ et $\pi_L$ sont des uniformisantes respectives des anneaux
+de valuation discrète $A$ et $B$. Soit $e\geq 1$, tel que $\pi_K=\pi_L^{e}u_B$, pour
+une unité $u_B\in B^{\times}$ : $e=v_L(\pi_K)$.
+L'extension $k_L/k_K$ est appelée \emph{extension résiduelle}.
+
+\begin{lmm2}\label{n=ef}
+Avec les notations précédentes, $$n=ef.$$
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+On a vu (\ref{} [À rédiger]) que $B$ est libre de rang $n$. La $k_K$-algèbre $B\otimes_A k_K=B/\pi_K=
+B/\pi_L^e$ est donc de dimension $n$. D'un autre côté, on peut filtre $B/\pi_L^e$
+par les sous-$k_K$-module $\pi_L^{i}B/\pi_L^e$, pour $i=0,\dots,e$.
+Les gradués de cette filtration décroissante sont les $(\pi_L^{i})/(\pi_K^{i+1})$ ($0\leq i \leq
+e-1$). La conclusion résulte de ce que ces $k_k$-espaces vectoriels
+sont tous isomorphes à $k_L=\pi_L^0/\pi_L^1$, donc de $k_K$-dimension $f$.
+En effet,
+$$
+\begin{array}{l}
+k_L\ra (\pi_L^{i})/(\pi_K^{i+1})\\
+(B\ni b \mod \pi_L)\mapsto (b\pi_L^i \mod \pi_L^{i+1})
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme.
+\end{proof}
+
+
+\begin{dfn2}
+On dit qu'une extension $L/K$ comme plus haut est \emph{totalement ramifiée}
+si $e=n$, autrement dit, si l'extension résiduelle correspondante est triviale.
+De façon générale, on appelle $e$ l'\emph{indice de ramification} de l'extension
+considérée.
+\end{dfn2}
+
+C'est donc automatiquement le cas si $k_K$ est algébriquement clos, par exemple
+si $A=\CC[[t]]$.
+
+\begin{exm2}
+$\QQ_p(\sqrt{p})/\QQ_p$ : $n=e=2$, $f=1$.
+\end{exm2}
+
+\begin{crl2}\label{extension-va}
+Sous les hypothèses du théorème, il existe une unique valeur absolue $|\cdot|_L$
+sur $L$ prolongeant celle de $K$, $|\cdot|_K$.
+\end{crl2}
+
+\begin{proof}
+L'existence résulte de la définition suivante : $|x|_L=a^{v_L(x)/e}$, pour $x\in L$,
+où $a\in ]0,1[$ est tel que $|x|_K=a^{v_K(x)}$ pour tout $x\in K$.
+\end{proof}
+
+On peut remarquer que cette valeur absolue coïncide nécessairement avec
+$|\mathrm{N}_K(x)|_K^{1/n}$ (exercice).
+
+\begin{crl2}
+Sous les hypothèses précédentes, si $L/K$ est galoisienne,
+on a $v_L(x)=v_L(\sigma x)$ pour tout $\sigma\in \ga(L/K)$ et tout $x\in L$.
+\end{crl2}
+
+\begin{proof}
+Cela revient à démontrer que $|x|_L=|\sigma x|_L$. Cela découle
+de l'unicité de la valuation prolongeant $|\cdot|_K$.
+\end{proof}
+
+\section{Puiseux-Newton}
+
+\begin{dfn}
+Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
+un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
+l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus
+des couples $(i,v(a_i))$, avec $0\leq i \leq n$ et $a_i\neq 0$.
+\end{dfn}
+
+
+\begin{thm}\label{polygone de Newton}
+Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
+complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
+Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
+celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets
+du polygone de Newton. Alors,
+$$
+f=g_1\cdots g_r
+$$
+où :
+\begin{enumerate}
+\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
+\item Les racines de $g_i$ sont toutes de $v_L$-valeur absolue :
+$$
+-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}=:v_i.
+$$
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+
+\begin{crl}[Eisenstein]\label{Eisenstein}
+Soit $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme à coefficients dans $\ZZ$.
+Supposons qu'il existe un nombre premier $p$ tel que $p|a_i$ mais $p^2$ ne divise pas $a_0$.
+Alors $f$ est irréductible.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+
+\end{proof}
+
+\begin{exm}
+Exemple numérique pour montrer qu'un polynôme n'est pas irréductible.
+\end{exm}
+
+\begin{proof}
+Quitte à diviser les coefficients par $a_n$, ce qui a pour effet de translater verticalement
+le polygone, et aucun effet sur les racines, on peut supposer que $a_n=1$.
+Soient $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ les racines de $f$ dans $L$ ordonnées par valuation :
+$$
+\underbrace{\alpha_1,\dots,\alpha_{d_1}}_{v_1},\underbrace{\alpha_{d_1+1},\dots,
+\alpha_{d_1+d_2}}_{v_2},\dots,\underbrace{\alpha_{d_1+\cdots+d_{r-1}+1},\dots,
+\alpha_{d_1+\cdots+d_{r-1}+d_r=n}}_{v_r},
+$$
+où $v_1<\cdots < v_r$.
+Le terme constant $a_0$ est, au signe près, le produit des racines ;
+sa valuation est :
+$$
+v(a_0)=d_1v_1+\cdots+d_r v_r.
+$$
+Pour chaque $0\leq i < d_r$, $a_i$ est, au signe près, une somme de $n-i$ produits de racines ;
+ainsi :
+$$
+v(a_i)\geq d_1v_1+\cdots+d_{r-1}v_{r-1}+(d_r-i)v_r\ (0\leq i < d_r).
+$$
+Comme, au signe près,
+$$a_{d_r}=\alpha_1\cdots\alpha_{n-d_r}+\big(\text{somme dont chaque terme a
+une valuation}>\big),$$
+on a :
+$$
+v(a_{d_r})= d_1v_1+\cdots+d_{r-1}v_{r-1}.
+$$
+De même, on montre
+que pour $i\in [1,r]$,
+$$
+v(a_{d_r+\cdots+d_i})=d_1v_1+\cdots+d_{i-1}v_{i-1}
+$$
+et, pour $0\geq j < d_{i-1}$,
+$$
+v(a_{d_r+\cdots+d_i+j})\geq d_1v_1+\cdots+(d_{i-1}-j)v_{i-1}.
+$$
+Enfin $v(a_n)=0$.
+Ces égalités et inégalité traduisent exactement le fait que
+les sommets du polygone de Newton sont du type indiqué dans l'énoncé.
+
+Enfin, si $g_i:=\prod_{f(\alpha)=0,\,v_L(\alpha)=v_i}(X-\alpha)$
+appartient à $K[X]$ car deux racines conjuguées ont la même valuation.
+%[FIGURE !]
+\end{proof}
+
+Nous utiliserons ce théorème dans deux cas : $K=\QQ_p$ ou $K=k((t))$.
+Commençons par une application.
+
+\section{Groupe de Galois de l'exponentielle tronquée}
+
+\textbf{Cette section est une traduction rapide, non relue, du franglais vers le français
+de l'examen final.}
+
+\subsection{Énoncé ; résultats $p$-adiques}
+
+Soit $f_n(X)=1+X+\frac{X^2}{2}+\cdots+\frac{X^n}{n!}\in \QQ[X]$
+le $n$-ième polynôme de Taylor à l'origine de la fonction exponentielle.
+
+Nous allons démontrer, suivant Robert F. Coleman \cite{} :
+
+\begin{thm2}[Issai Schur, 1930 : $\got{S}_n$ par voie $p$-adique]\label{S_n-2}
+Le groupe de Galois de $f_n$ est soit le groupe alterné
+$\got{A}_n$ si $4|n$ soit le groupe symétrique $\got{S}_n$.
+\end{thm2}
+
+Ce théorème est à comparer avec \ref{S_n-1} (cf. \ref{S_n}).
+
+Fixons un nombre premier $p$.
+
+Écrivons $n=b_1p^{n_1}+b_2p^{n_2}+\cdots+b_s p^{n_s}$, où $n_1>n_2>\cdots>n_s$ et $0<b_i<p$.
+Posons $x_i=b_1p^{n_1}+b_2p^{n_2}+\cdots+b_i p^{n_i}$.
+Alors, les sommets du polygone de Newton $p$-adique de $f_n$ sont les
+$$
+\big(x_i,-v_p(x_i !)\big),\ 1\leq i \leq s.
+$$
+
+Il en résulte que :
+\begin{itemize}
+\item Si $p^m$ divise $n$, $p^m$ divise également le degré de chaque facteur de
+$f_n$ sur $\QQ_p$.
+\item Si $p^k\leq n$, $p^k$ divise le degré du corps de décomposition de
+$f_n$ sur $\QQ_p$.
+\end{itemize}
+
+Il résulte que $f_n$ est irréductible.
+De plus, si $\frac{n}{2}<p\leq n$ est un nombre premier,
+$\ga_{\QQ}(f_n)$ contient un $p$-cycle.
+
+Pour distinguer $\got{A}_n$ de $\got{S}_n$ nous aurons besoin de connaître
+le discriminant de $f_n$ :
+
+\begin{lmm2}
+Le discriminant $D_n$ de $f_n$ is $(-1)^{\binom{n}{2}}(n!)^n$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+On écrit $D_n$ comme le produit de dérivées ; produit que l'on calcule
+en remarquant que $f'_n(X)=f_n(X)-\frac{X^n}{n!}$.
+\end{proof}
+
+On achève la démonstration du théorème, pour $n\geq 8$ en faisant appel
+au postulat de Bertrand \ref{Bertrand} et au théorème de Jordan \ref{Jordan} ci-dessous.
+Les cas restants se traitent à la main par des techniques semblables (exercice).
+
+\subsection{Un théorème de Jordan}
+
+On veut démontrer :
+
+\begin{thm2}\label{Jordan}
+Soit $G$ un sous-groupe transitif de $\got{S}_n$ qui contient un $p$-cycle
+pour un nombre premier $p$ strictement compris entre $\frac{n}{2}$ et $n-2$.
+Alors $G$ contient $\got{A}_n$.
+\end{thm2}
+
+Nous ferons usage de la terminologie suivante :
+
+\begin{dfn2}
+Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $\got{S}_X$ agissant
+transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
+$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$
+sont $\vide,X$, et les singletons.
+\end{dfn2}
+De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de
+partition\footnote{En particulier, par définition,
+chaque constituant est non vide.}
+$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable
+sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe
+un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$).
+
+Établissons quelques lemmes généraux.
+
+\begin{lmm2}
+Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif.
+\end{lmm2}
+
+\begin{lmm2}
+Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$,
+$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$
+agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors,
+$G$ agit également transitivement sur $X$.
+\end{lmm2}
+
+Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe
+primitif de $\got{S}_n$ contenant un $p$-cycle.
+
+\begin{lmm2}
+Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $\got{S}_X$, $C$ un sous-groupe
+de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
+Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
+\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
+sur $F$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{lmm2}
+Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$.
+Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $\got{S}_X$ tel que $G_F$ agisse
+transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive.
+(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit
+transitivement sur $X-x$.)
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
+\begin{itemize}
+\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
+il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
+En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
+remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
+(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)
+
+\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement
+sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.)
+
+\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
+sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{thm2}[Camille Jordan, 1870]
+Soit $G$ un sous-groupe primitif de $\got{S}_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier
+et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$
+contient $\got{A}_n$.
+\end{thm2}
+
+\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.]
+La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes :
+$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $\got{A}_n$.
+Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que
+nous supposons satisfaite.
+En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$
+dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ;
+on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$).
+Notons $G_F=G\cap \got{S}_F\subset \got{S}_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement
+sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\
+Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\
+Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son
+normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
+\begin{itemize}
+\item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
+que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N\surj \got{S}_F$, via le morphisme
+de restriction, bien défini ici.
+\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
+$N_{\pi}\surj \got{S}_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
+transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$.
+\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $\got{S}_{P}$
+est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne.
+\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image
+de $D\ra \got{S}_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D\surj A_F$.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+Voici enfin le dernier ingrédient, plus classique, pour achever la
+démonstration du théorème.
+
+\subsection{Le postulat de Joseph
+Bertrand}\label{Bertrand}
+
+On veut démontrer :
+
+\begin{thm2}[Pafnuty Tschebyshef, 1852]
+Pour tout entier $n\geq 2$, il existe un nombre premier $\frac{n}{2}<p\leq n$.
+\end{thm2}
+
+De la même façon, on voit que pour $n\geq 8$, $n-2$ convient.
+
+Soit $n\geq 3$ et posons $N=\binom{2n}{n}$.
+
+\begin{proof}
+\begin{enumerate}
+\item De l'inégalité $v_p(N)\leq \log_p(2n)$, il résulte que
+pour $p>\sqrt{2n}$, la valuation $p$-adique de $N$ est au plus~$1$.
+\item Observons que si $p$ satisfait : $\frac{2}{3}n<p\leq n$ alors $p$ ne divise pas $N$.
+\item Enfin, pour tout nombre réel $x\geq 2$,
+$$\prod_{p\leq x} p \leq 4^{x-1}.$$
+\end{enumerate}
+Il résulte de ces faits que si $n$ est un contre-exemple
+au théorème, on a :
+$$\frac{4^{n}}{2n}\leq (2n)^{\sqrt{2n}}4^{\frac{2}{3}n-1}.$$
+C'est absurde, du moins pour $n$ grand ; plus exactement $>4000$.
+Enfin, du fait que
+$$2,3,5,7,13,23,43,83,163,317,631,1259,2503,4001$$
+sont des nombres premiers, la conclusion du théorème est également
+valable pour $n$ petit.
+\end{proof}
+
+\subsection{Laguerre polynomials}
+
+$$L_n(X)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-X)^k}{k!}.$$
+
+\section{Théorème de Puiseux}
+
+\begin{thm}\label{Puiseux}
+Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
+Alors,
+$$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
+\end{thm}
+
+Nous aurons besoin de la proposition suivante :
+
+\begin{prp}
+Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
+et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
+$K$. On suppose l'extension résiduelle $k_L/k_K$ triviale, \cad
+$L/K$ \emph{totalement ramifiée}.
+Alors, $A[X]/f\iso B=A[\pi_B]$ où $\pi_B$ est une uniformisante
+de $B$ et $f$ est le polynôme minimal de $\pi_B$ sur $K$.
+C'est un polynôme d'Eisenstein, \cad unitaire, chaque $a_i$ appartenant à $\MM_A$ et
+le terme constant $a_0$ n'appartenant pas à $\MM_A^2$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+%Comme $k_L/k_K$ est finie séparable, il existe $\sur{x}\in k_L$ qui engendre $k_L$
+%sur $k_K$. Soit $x\in B$ arbitraire le relevant. Noson $f$ son polynôme minimal
+%sur $K$. Ses coefficients sont entiers sur $A$ et dans $K$ donc $f\in A[X]$.
+%Comme $\sur{f}(\sur{x})=f(x) \mod \MM_A = 0$,
+%par concordance des degrés, $\sur{f}$ est le polynôme minimal de $\sur{f}$ ;
+%en particulier, il est irréductible. L'anneau quotient $A_f:=A[X]/f$
+%est donc local : $A[X]
+Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
+et dans $K$. Comme la valuation $\MM_A$-adique (étendue à $L$) de $x$ est $1/e=1/n$,
+le polygone de Newton de $f$ a pour unique pente
+$-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{polygone de Newton}).
+%[DESSIN ; cf. p 25'].
+Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que
+$v(a_i)\geq 1$ pour chaque $a_i$.
+Le morphisme $A[X]/f\ra B$ est injectif car $f$ est le polynôme minimal de $x$.
+Il devient un isomorphisme une fois tensorisé avec $A/\MM_A=:k_A$ :
+Cela résulte des propriétés des coefficients de $f$ pour le premier et de l'hypothèse de
+ramification totale pour le second.
+Le lemme de Nakayama \ref{Nakayama} montre donc que c'est une surjection donc
+un isomorphisme.
+\end{proof}
+
+\begin{dfn}\label{dfn-ramification}
+Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
+$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
+et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
+Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
+$$
+G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
+$$
+Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
+une filtration décroissante de $G$.
+\end{dfn}
+
+Plus généralement on définit classiquement de tels sous-groupes en supposant
+seulement $k_L/k_K$ séparable. Récemment,
+斎藤毅 (SAITÔ Takeshi) et Ahmed Abbes
+ont étendu cette construction au cas général en utilisant des méthodes
+de géométrie algébrique « rigide » (cf. \cite{imparfait-I@Abbes-Saito}
+et \ref{intersection} pour une interprétation
+plus géométrique des groupes ci-dessus).
+
+Étudions les gradués de la filtration précédente.
+
+\begin{prp}
+Soit $G$ comme en \ref{dfn-ramification}.\\
+Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
+$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
+\begin{enumerate}
+\item $G_0\iso G$,
+\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
+\item L'application
+$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
+choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
+$$
+G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
+$$
+\item On a des isomorphismes canoniques :
+$$
+\begin{array}{l}
+ U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\
+ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
+\end{array}
+$$
+pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement.
+\end{enumerate}
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$.
+Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
+induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
+$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
+$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
+Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
+réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
+pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.
+
+2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité
+$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
+$$
+où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
+que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.
+
+3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
+$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de
+l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
+$$
+\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
+$$
+jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et donc
+$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est
+bien indépendante du choix de l'unité $u$.
+
+Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
+que pour chaque $\sigma'\in G_i$,
+$$
+\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
+\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
+$$
+Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
+l'égalité
+$$
+\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
+$$
+entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
+noyau est par définition $G_{i+1}$.
+
+4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit
+un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$.
+Enfin,
+$$
+\begin{array}{l}
+U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
+1+x\mapsto x
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite).
+Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
+vectoriel de dimension $1$.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Sous les hypothèses précédentes :
+\begin{enumerate}
+\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
+\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
+\end{enumerate}
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
+et d'ordre premier à la caractéristique.
+
+Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe
+fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
+pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
+\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
+\end{proof}
+
+
+Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème \ref{Puiseux}.
+
+Soit $L$ une extension finie g aloisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où
+$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
+$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
+précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
+Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
+de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
+de groupe $\mu_n(k)$.
+Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
+$$
+\xymatrix{
+L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
+K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
+}
+$$
+L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
+Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
+Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
+et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
+
+Pour l'application que nous avons en vue (\ref{Irréductibilité-Hilbert}), nous aurons besoin
+d'une variante complexe analytique du théorème précédent.
+
+
+\section{Groupes de ramification et nombres d'intersection
+(facultatif)}\label{intersection}
+
+Une fois familiarisé avec les définitions, les résultats de cette section
+sont de nature essentiellement tautologique
+mais ont l'intérêt d'ouvrir
+la voie vers une géométrisation de la ramification via la théorie des schémas.
+
+\begin{dfn}
+Soit $k$ un corps. On appelle \emph{courbe affine} sur $k$
+toute $k$-algèbre de type fini $C$ qui est de dimension $1$.
+On dit que $C$ est \emph{régulière} en un idéal premier $c$
+si son localisé en ce point est un anneau de valuation discrète (pour $c$ maximal)
+ou un corps (pour $c$ premier non maximal). L'ensemble
+des idéaux premiers réguliers est noté $\reg{\SP(C)}$.
+\end{dfn}
+
+De façon générale, un anneau local noethérien $A$, d'idéal maximal $\MM_A$
+et de corps résiduel $k$, est dit \emph{régulier} si $\dim(A)=\dim_k \MM_A/\MM_A^2$
+(cf. \ref{rmr-dimension}).
+
+Par la suite, on dira souvent « point » en lieu et place de « idéal premier ».
+
+\begin{exm}
+La $\QQ$-algèbre $C_{\mathrm{rebr}}:=\QQ[X,Y]/(Y^2-X^3)$ est une $\QQ$-courbe affine.
+On peut montrer qu'elle est intègre mais non normale : $z:=y/x\in
+\mathrm{Frac}(C_{\mathrm{rebr}})$ est entier sur $C_{\mathrm{rebr}}$ car
+$z^2=x$ mais $z$ n'appartient pas à $C_{\mathrm{rebr}}$.
+Elle n'est pas régulière en « l'origine » $(X,Y)$
+mais l'est en tout autre point (exercice).
+\end{exm}
+
+\begin{dfn}\label{graphe endomorphisme}
+Soit $g$ un $k$-endomorphisme d'une $k$-courbe affine $C$.
+On appelle \emph{graphe} de $g$, et on note $\Gamma_g$, l'idéal de
+$C\otimes_k C$ noyau du morphisme
+$$\begin{array}{l}
+C\otimes_k C \sr{m_g}{\ra} C\\
+a\otimes b \mapsto a\cdot g(b).
+\end{array}
+$$
+On note $\Delta=\Gamma_{\mathrm{Id}}$ le graphe de l'identité, appelé
+\emph{diagonale}. C'est le noyau de la multiplication
+$m:C\otimes_k C \surj C$.
+\end{dfn}
+
+Rappelons qu'en \ref{auto décomposition}, nous avons déjà considéré
+une situation semblable en dimension nulle : la $k$-algèbre considérée
+était alors \emph{finie} sur $k$.
+
+\begin{lmm}\label{points fixes 1}
+Soient $C,g$ comme ci-dessus et munissons $C\otimes_k C$ d'une structure
+de $C$-module par multiplication sur le facteur de gauche.
+L'idéal $\Gamma_g$ est engendré comme $C$-module par les
+$g(b)\otimes 1 - 1 \otimes b$, où $b\in C$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Les éléments ci-dessus appartiennent tautologiquement à $\Gamma_g$, qui
+est un idéal. Réciproquement, si $x=\sum a_i\otimes b_i$ est tel que
+$\sum a_i g(b_i)=0$, on a $x=\sum \big(a_ig(b_i)\otimes 1 - a_i\otimes b_i\big)$.
+Le terme entre parenthèse n'est autre que $a_i\cdot\big(g(b_i)\otimes 1 - 1 \otimes b_i\big)$.
+\end{proof}
+
+Le lemme suivant justifie s'il en était besoin la terminologie :
+
+\begin{lmm}\label{points fixes 2}
+Soit $x\in \SP(C\otimes_k C)$. Si
+$$\Delta\subset x$$
+on a
+$$
+p_1^{-1}(x)=p_2^{-1}(x).
+$$
+\end{lmm}
+
+Rappelons que $p_1,p_2$ sont les deux morphismes $C\rra C\otimes_k C$.
+
+
+\begin{proof}
+Soient $x$ un idéal contenant la diagonale
+et $a\in p_1^{-1}(x)\subset C$. Par hypothèse, $p_1(a)=a\otimes 1 \in x$ ;
+comme $p_1(a)-p_2(a)=a\otimes 1 - 1 \otimes a \in \Delta\subset x$, on a également
+$p_2(a)\in x$.
+L'inclusion opposée se démontre de même.
+\end{proof}
+
+\begin{dfn}
+Sous les hypothèses précédentes, on dit que $c\in \SP(C)$ est un
+\emph{point fixe} si $(\Delta,\Gamma_g)\subset m^{-1}(c)$ et
+on note $F_g$ leur ensemble.
+Enfin, on dit que les points fixes sont \emph{isolés}
+si l'anneau quotient
+$$
+(C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g)
+$$
+est de dimension finie sur le corps $k$.
+\end{dfn}
+
+Dans ce cas, on considère $\dim_k (C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g)$
+comme le « nombre d'intersection » de la diagonale $\Delta$
+avec le graphe $\Gamma_g$ de $g$ (cf. \emph{infra}).
+
+Les points fixes de l'identité ne sont jamais isolés car
+$F_{\mathrm{Id}}\iso C$ n'est pas de dimension finie sur
+$k$. En effet, s'il en était ainsi, pour tout $\wp\in \SP(C)$, $C/\wp$ serait
+intègre et de dimension finie sur $k$ donc un corps, \cad
+$\wp$ maximal. Par hypothèse, $\dim(C)=1$ donc il existe
+un idéal premier non maximal.
+
+Cette terminologie est également justifiée par le lemme suivant :
+
+\begin{lmm}
+Soient $C$ une $k$-courbe affine et $g$ un $k$-endomorphisme.
+\begin{enumerate}
+\item Si $c\in F_g$ est un point fixe, on a
+$g^{-1}(c)=c$.
+\item Si $k$ est \emph{algébriquement clos},
+et $c$ est un idéal \emph{maximal} de $C$, si $g^{-1}(c)=c$,
+$c$ est un point fixe.
+\item Si les points fixes sont isolés, les points fixes sont tous
+des idéaux maximaux.
+\item Supposons pour simplifier $C$ intègre.
+Si les points fixes sont isolés, $\SP(m):\SP(C)\ra \SP(C\otimes_k C)$
+induit une bijection entre $F_g$ et
+le sous-ensemble $\SP((C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g))$ de $\SP(C\otimes_k C)$.
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+
+
+\begin{proof}
+\begin{enumerate}
+\item Compte tenu de \ref{points fixes 1}
+et du fait que l'on a toujours l'inclusion $\Delta=m^{-1}(\{0\})\subset m^{-1}(c)$,
+l'inclusion $\mathrm{Fix}(g)\subset m^{-1}(c)$
+est équivalente au fait que $g(a)-a\in c$ pour tout $a\in C$.
+
+\item Soit $c\in \SP(C)$ tel que $g^{-1}(c)=c$. Le morphisme $g$ induit donc
+par passage au quotient un morphisme $k$-linéaire $\sur{g}:C/c\ra C/c$.
+Si $c$ est un idéal maximal et $k$ algébriquement clos, on a $k\iso C/c$
+(cf. \ref{Nullstellen}). Nécessairement $\sur{g}=\mathrm{Id}$,
+\cad $g(a)-a\in c$ pour tout $a\in C$, \cad $\mathrm{Fix}(g)\subset m^{-1}(c)$.
+
+\item Si $c\in F_g$,
+on a la chaîne de surjections $C\otimes_k C / \mathrm{Fix(g)} \surj C\otimes_k C / m^{-1}(c)
+\iso C/c$. Si les points fixes sont isolés, $C/c$ est donc de dimension
+finie sur $c$ ; cela n'est possible que si c'est un corps \cad $c$ maximal.
+
+\item
+Supposons donc l'anneau quotient $C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)$ artinien
+et considérons $\wp\in \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))$.
+Alors (\ref{points fixes 2}) $p_1^{-1}(\wp)=p_2^{-1}(\wp)=:c$. De plus,
+$c\neq (0)$\footnote{Il faudrait modifier légèrement la rédaction
+pour couvrir le cas où $C$ n'est pas intègre.}, sans quoi $C\hra C\otimes_k C/\wp$ où le
+terme de droite est de dimension finie sur $k$.
+
+On vérifie sans peine que $m^{-1}(c)\subset \wp$ :
+si $\alpha=\sum a_i\otimes b_i\in m^{-1}(c)$,
+on a $p_1m(\alpha)=\sum a_ib_i\otimes 1\in \wp$.
+Comme
+$$a_ib_i\otimes 1=(a_i\otimes 1)\big(\underbrace{b_i\otimes 1 -1 \otimes b_i}_{\in \wp}\big)+
+a_i\otimes b_i$$
+on a bien $\alpha\in \wp$.
+Finalement, $m^{-1}(c)$ étant maximal (car $C\otimes_k C/m^{-1}(c)\iso C/c$ et $c$ est
+non nul donc maximal), on a $\wp=m^{-1}(c)$.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+En d'autres termes, dans le cas des singularités isolées
+sur un corps algébriquement clos, les idéaux premiers de $\SP((C\otimes_k C)/\mathrm{Fix(g)})$
+correspondent bijectivement, via $\SP(m):\SP(C)\ra \SP(C\otimes_k C)$,
+aux idéaux maximaux $c$ de $\SP(C)$ tels que $g^{-1}(c)=c$.
+
+
+
+Avant d'énoncer le résultat principal de cette section, fixons quelques notations.
+Si $x\in F_g$, le morphisme $g:C\ra C$ induit un morphisme également noté
+$g$ entre les localisés en $x$ : $g:C_x\ra C_x$. (Cela résulte
+de ce que $g^{-1}(x)=x$). Si de plus $x\in \reg{\SP(C)}$ est un idéal
+maximal, l'anneau $C_x$ est un anneau de valuation discrète. Nous noterons
+$v_x$ la valuation associée et $\pi_x$ une uniformisante.
+
+\begin{prp}
+Soient $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, $C$ une courbe affine intègre sur $k$,
+$g$ un $k$-endomorphisme de $C$ dont les points fixes sont isolés.
+Supposons que $F_g \subset \reg{\SP(C)}$.
+On a alors,
+$$
+\dim_k C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g) = \sum_{x\in F_g} v_x(g(\pi_x)-\pi_x)).
+$$
+\end{prp}
+
+Ainsi l'entier $v_x(g(\pi_x)-x))$, qui est la contribution
+du point fixe à $ \dim_k C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)$, peut à juste titre
+être considéré comme la multiplicité d'intersection
+en $x$ de la diagonale et du graphe de $g$.
+
+%[DESSIN!]
+
+\begin{proof}
+Ainsi, l'isomorphisme
+$$
+C\otimes_k C / \Delta \sr{m}{\iso} C
+$$
+induit un isomorphisme
+$$
+C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso C/\langle g(a)-a ,\ a\in C\rangle.
+$$
+L'isomorphisme
+$$
+C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso \prod_{\wp\in \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))}
+\Big(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\Big)_{\wp},
+$$
+et la bijection $F_g\iso \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))$
+se traduisent donc en :
+$$
+C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso \prod_{x\in F_g} C_x/\langle g(a_x)-a_x ,\ a_x\in C_x\rangle.
+$$
+La conclusion résulte aussitôt du fait que $\langle g(a_x)-a_x ,\ a_x\in C_x\rangle=
+\big(g(\pi_x)-\pi_x\big)$ et du fait que pour $r\neq 0$, $\dim_k C_x/(r)=v_x(r)$.
+\end{proof}
+
+
+
+Ainsi, la filtration de ramification (du moins dans les cas
+anneaux de valuation discrètes qui sont des $k$-algèbres), correspond
+à la filtration par le nombre d'intersection du graphe avec la diagonale.
+
+\section{Théorème de irréductibilité de Hilbert}
+
+\begin{thm}\label{Puiseux-analytique}
+Soit $f(t,X)\in \CC[t,X]$ un polynôme unitaire en $X$ de degré $n$.
+Il existe $\varphi(t)=\sum_{i\geq 0} c_i t^{i/n}\in \CC\[t^{1/n}\]$ telle que
+$f(t,\varphi(t))=0$ et la série entière complexe $\sum_{i\geq 0} c_i X^i$ soit
+convergente au voisinage de $0$.
+\end{thm}
+
+Nous en donnerons une démonstration plus bas.
+
+\begin{crl}
+Soit $f(t,X)=X^n+a_1(t)X^{n-1}+\cdots+a_n(t)\in \CC(t)[X]$.
+Il existe un entier relatif $r$, un réel $R>0$ et une série
+de Puiseux $\varphi(t)=\sum_{i\geq -r} c_i t^{-i/n}$ tels que
+$\varphi$ converge absolument pour tout nombre réel $t>R$ et
+que pour de tels $t$ on ait $f(t,\varphi(t))=0$.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+C'est un simple changement de variable, dont voici les détails.
+Pour passer d'un voisinage de l'origine à un voisinage de $+\infty$, on
+pose $t_{\infty}=\frac{1}{t}$. On a alors,
+en mettant au même dénominateur les $a_i(t_{\infty})\in \CC(t_\infty)$,
+on a $f(t_{\infty},X)=X^n+\frac{\widetilde{a_1}(t_\infty)}{P(t_\infty)}X^{n-1}
++\cdots+\frac{\widetilde{a_n}(t_\infty)}{P(t_\infty)}$
+pour un $P(t_\infty)\in \CC[t_\infty]-\{0\}$ et des $\widetilde{a_i}(t_\infty)\in \CC[t_\infty]$.
+Finalement, $f(t_{\infty},X)=\frac{1}{P^n(t_\infty)} g(t_\infty,(P(t_\infty)X))$, où
+$g\in \CC[t_\infty,Y]$. D'après le théorème précédent, il
+existe une série $\sum_{i\geq 0} c_i t_\infty^{i/n}$ racine de $g$
+qui converge pour $|t_\infty^{1/n}|$ assez petit.
+Il en résulte que $\frac{1}{P(1/t)}\sum_{i\geq 0} c_i t^{-i/n}$ est une racine
+de $f(t,X)$, qui converge pour $|t^{1/n}|$ suffisamment grand.
+Comme $\frac{1}{P(1/t)}$ est une série de Puiseux en $1/t$ convergente
+pour $t\gg 0$, on a le résultat.
+\end{proof}
+
+Démontrons le théorème précédent. Compte tenu de \ref{Puiseux}, quitte
+à effectuer un changement de variable $t\mapsto t^{n}$, il
+nous suffit de démontrer le théorème suivant :
+
+\begin{thm}\label{clôture algébrique C[[t]]}
+Tout élément de $\CC\[t\]$ algébrique sur $\CC[t]$
+est convergent dans un voisinage de $0$.
+\end{thm}
+
+En d'autres termes, $\CC[t]$ est algébriquement clos dans $\CC\[t\]$.
+\begin{rmr}
+L'argument que nous allons donner montre d'une part que l'anneau
+$\CC\{t\}$ des séries convergentes au voisinage de $0$ est également
+algébriquement clos dans $\CC((t))$ et d'autre part qu'il
+en est plus généralement ainsi si l'on remplace $\CC$ par un corps $k$
+muni d'une valuation non triviale pour laquelle il est complet.
+\end{rmr}
+
+\begin{proof}[Démonstration de \ref{clôture algébrique C[[t]]}]
+Soit $\varphi=\sum_{0}^{\infty} \alpha_i t^i$ algébrique sur $\CC[t]$.
+Notons $f(t,X)$ son polynôme minimal sur $\CC(t)$ :
+$$f(t,X)=\prod_{i=1}^d (X-\varphi_i),$$
+où $\varphi_i \in \sur{\CC((t))}$ et $\varphi_1=\varphi$.
+Rappelons que le corps $\CC((t))$ peut-être muni d'une valeur absolue
+en posant $|t|=c$ pour un $c\in ]0,1[$. Fixons $c$ et notons encore $|\cdot|$ l'unique
+extension de celle-ci à $\sur{\CC((t))}$ (\ref{extension-va}).
+Comme $f$ est séparable, ses racines $\varphi_i$ sont distinctes et
+$\delta:=\min_{i>1}|\varphi-\varphi_i|>0$. Pour un entier $N$ indéterminé,
+introduisons $Y$ défini par
+$$
+X=Y+\sum_{0}^N \alpha_i t^i.
+$$
+Réécrivant $f$ en termes de $Y$, on a :
+$$
+f(t,X)=f(t,Y+\sum_{j=0}^N \alpha_j t^j)=g(t,Y),
+$$
+où les racines de $g$ sont maintenant les $\psi_i:=\varphi_i-\sum_{0}^N \alpha_j t^j$.
+Remarquons que $\varphi_1=\varphi$ est convergente si et seulement si
+il en est ainsi de $\psi:=\psi_1$. De plus $|\psi|\leq |t|^{N+1}$.
+Pour $i>1$, on a $|\psi_1-\psi|=|\varphi_i-\varphi|\geq \delta$ ;
+pour $N$ suffisamment grand (de sorte que $|\psi|$ soit suffisamment petit), on
+a donc $|\psi_i|\geq \delta$. Enfin, pour ces valeurs de $N$, les $\mu_i:=\frac{\psi_i}{t^N}$
+satisfont : $|\mu_1|\leq |t|<1$ et $|\mu_i|\geq \frac{\delta}{|t|^N}$, pour $i>1$.
+Pour $N$ plus grand encore, le terme de droite est strictement supérieur à $1$.
+La convergence de $\mu_1$ étant équivalente à celle de $\varphi$, on
+a donc vérifié que l'on peut supposer notre élément $\varphi$ de valeur
+absolue $<1$ et de conjugués $\varphi_i$, $i>1$, de valeurs absolues $>1$.
+Le produit $f(t,X)=\prod_i (X-\varphi_i)$ appartient maintenant à
+$\CC(t)[X]$ car on a divisé un élément algébrique sur $\CC[t]$ par $t^N$.
+Quitte à multiplier $f$ par une puissance convenable de $t$, on peut
+écrire :
+$$
+f(t,X)=\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{0,i}t^i)}_{a_0(t)}+
+\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{1,i}t^i)}_{a_1(t)}X+\cdots +
+\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{d,i}t^i)}_{a_d(t)}X^d
+$$
+où l'un des coefficients constant $b_{j0}$ est non nul.
+
+Compte tenu de notre hypothèse sur les valuations des racines,
+le polygone de Newton de son image dans $\CC((t))[X]$
+n'a qu'une pente strictement négative, de longueur horizontale $1$, les autres
+étant strictement
+positives. (Ce qui ne contredit \emph{pas}
+l'irréductibilité sur $\CC(t)$.)
+Ce polygone est au-dessus de la droite des abscisses
+%[FIGURE ; page 27']
+%\begin{figure}[htbp]
+% \begin{center}
+% \includegraphics[angle=-90]{puiseux}
+% \end{center}
+% \caption{\footnotesize Polygone de Newton}
+%\end{figure}
+
+Il en résulte que $v(a_1)=0$, \cad que $b_{1,0}\neq 0$, les autres coefficients
+constants étant tous nuls :
+$$
+f(t,X)=(\sum_{j\geq 1} b_{0,j}t^j)+(\underbrace{b_{1,0}}_{\neq 0}+\cdots)X+\sum_{i=2}^d
+\big(\sum_{j\geq 1} b_{i,j}t^j\big)X^i.
+$$
+Comme $\varphi$ est une racine de $f$, on a donc
+$$
+-b_{1,0}\varphi=\underbrace{a_0(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}+
+\underbrace{\widetilde{a_1}(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}\varphi + \sum_{i=2}^d
+\underbrace{a_i(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}\varphi^i,
+$$
+ce que l'on réécrit :
+$$
+\varphi=\sum_{i=0}^d\big(\sum_{j\geq 1} c_{i,j}t^j\big)\varphi^i.
+$$
+On sait d'autre part que $\varphi=\sum_{i\geq 1} \alpha_i t^i$ ;
+l'équation précédente se traduit en un système d'équations
+polynomiales :
+$$
+(\star)\ \alpha_{m+1}=P_m(\alpha_1,\dots,\alpha_m; (c_{i,j})),
+$$
+où les polynômes $P_m$, $m\geq 1$, sont à coefficients dans $\NN$ (et donc \emph{positifs}).
+Les coefficients $c_{i,j}$ sont en nombre fini ; notons $M:=\max_{i,j} |c_{i,j}|$.
+Considérons le cas universel où $d$ est infini et les coefficients $c_{i,j}$ tous égaux
+à $M$, pour $j\in \NN-\{0\}$, $i\in \NN$.
+Soit $\varphi_M\in \CC\[t\]$, racine de l'équation :
+$$
+\varphi_M=\sum_{i\geq 0} (Mt+Mt^2+\cdots)\varphi_M^i.
+$$
+Le terme de droite n'est autre que la série formelle
+$$\big(\frac{Mt}{1-t}\big)\frac{1}{1-\varphi_M},$$
+et comme $\varphi_M$ s'annule en $0$,
+$$\varphi_M=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{Mt}{1-t}}.$$
+
+Soient $\beta_i$, $i\geq 1$, les coefficients de cette série \emph{convergente}.
+Le premier coefficient $\beta_1=M$ est positif ; il résulte
+de l'équation $(\star)$ (ou bien de la formule explicite pour cette racine
+carrée) que tous les $\beta_m$ sont positifs. Enfin, la même équation, et l'inégalité
+$$
+|\alpha_{m+1}|\leq P_m(|\alpha_1|,\dots,|\alpha_m|,|c_{i,j}|)
+$$
+montre par récurrence que pour chaque $m$, $|\alpha_m|\leq \beta_m$.
+On amorce cette récurrence en remarquant que par hypothèse sur $M$,
+$|\alpha_1|=|c_{1,0}|\leq M=\beta_1$.
+\end{proof}
+
+Voici l'énoncé du théorème d'irréductibilité de Hilbert :
+
+\begin{thm}[Hilbert]\label{Irréductibilité-Hilbert}
+Soit $f\in \QQ(t)[X]$ irréductible sur $\QQ(t)$ de degré $d$ et de groupe de Galois
+$G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$. Notons $\Sigma_f\subset \QQ$ l'ensemble des pôles
+de coefficients de $f$. Alors, il existe une infinité de $a\in \ZZ-\Sigma_f$
+tels que $f_a:=f(a,X)$ soit irréductible sur $\QQ$, de groupe de Galois
+$G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
+\end{thm}
+
+\begin{exm}
+On peut montrer que le groupe de Galois de l'équation $X^n-X-t$ est $\got{S}_n$.
+%\ref{} [À FAIRE !])
+Il en résulte qu'il existe une infinité de $a\in \ZZ$
+tel que $f_a=X^n-X-a$ soit irréductible sur $\QQ$ de groupe de Galois $\got{S}_n$.
+%(On a vu en \ref{Selmer}, que par exemple $X^n-X-1$ est irréductible.)
+\end{exm}
+
+\begin{prp}\label{Hibert-n variables}
+Variante sur $\QQ(t_1,\dots,t_n)$.
+\end{prp}
+%À faire !
+
+
+\begin{lmm}[Lemme clé]
+Soit $\varphi(t)=\sum_{i\geq -r} c_i t^{-i/n}$ une série de Puiseux à coefficients
+réels, convergente pour $t\geq R$ qui n'est pas un polynôme à coefficients
+rationnels. Soit
+$$\Omega_{\varphi}:=\{t\in \ZZ\cap [R,+\infty[,\ \varphi(t)\in \ZZ\}.
+$$
+Il existe $\varepsilon>0$ tel que
+$$
+\# \Omega_{\varphi}\cap [1,B]\sr{B\ra +\infty}{=}\mathsf{O}(B^{1-\varepsilon}).
+$$
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Si $\varphi$ est un polynôme, à coefficients non tous rationnels,
+il ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs rationnels en des entiers.
+On donc supposer dans la suite que $\varphi$ n'est pas un polynôme.
+Il existe $n\geq 1$ tel que les exposants de la dérivée $(n-1)$-ième
+$\varphi^{(n-1)}$ sont tous négatifs (et $\varphi^{(n-1)}\neq 0$).
+En particulier,
+$$\varphi^{(n-1)}(t)\sr{t\ra +\infty}{\sim} c_1 t^{-\mu}$$
+pour une constante $c_1\in \RR^{\times}$ et un nombre rationnel $\mu>0$.
+
+\begin{sslmm}Il existe $\alpha,c>0$ tels que si $t\gg 1$,
+$[t,t+ct^{\alpha}]\cap \Omega_{\varphi}$ contient au plus $n-1$ points.
+\end{sslmm}
+\begin{proof}
+Soient $t_1<\cdots<t_n$ $n$ points de $\Omega_\varphi$ et posons
+$y_i:=\varphi(t_i)\in \ZZ$.
+Il existe un unique polynôme $P$ de degré $n-1$ interpolant $\varphi$ en les
+$t_i$ :
+$$
+P(t)=\sum_j y_j \frac{\prod_{i\neq j}(t-t_i)}{\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)}.
+$$
+La fonction $\varphi-P$ étant nulle en ces $n$ points, il existe $\xi\in [t_1,t_n]$
+tel que $\varphi^{(n-1)}(\xi)=P^{(n-1)}(\xi)$. Le terme de droite
+est, à un facteur près, le coefficient dominant de $P$ :
+$$
+P^{(n-1)}(\xi)=(n-1)!\sum_j \frac{y_j}{\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)}\in \QQ.
+$$
+En particulier, le dénominateur est inférieur à $|\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)|\leq
+|t_n-t_1|^{\frac{n(n-1)}{2}}$. Pour $t_1$ suffisamment grand,
+$$0<|\varphi^{(n-1)}(\xi)\leq c_2t_1^{-\mu}$$
+pour une constante $c_2>0$ si bien que si $l:=t_n-t_1$ on a à la fois :
+$$
+\left\{\begin{array}{l}
+1\leq l^{\frac{n(n-1)}{2}}|\varphi^{(n-1)}(\xi)| \\
+l^{\frac{n(n-1)}{2}} c_2t_1^{-\mu} \geq 1
+\end{array}\right.
+$$
+Il en résulte que $$l\geq c_3 t_1^{\alpha}$$ où
+$\alpha=\frac{2\mu}{n(n-1)}$ et $c_3>0$.
+\end{proof}
+
+Posons $\varepsilon:=\frac{1}{1+\alpha}<1$.
+Pour $B>1$ fixé, décomposons $[1,B]$
+en $[1,B^\varepsilon]\cap [B^\varepsilon,B]$. Dans le premier intervalle, le nombre d'éléments
+de $\Omega_{\varphi}$ est tautologiquement $\mathsf{O}(B^{\varepsilon})$.
+L'intervalle restant $[B^\varepsilon,B]$ se décompose en intervalles de longueur
+$cB^{\alpha \varepsilon}$, qui s'intersectent en au plus $n-1$ points avec $\Omega_{\varphi}$.
+Ces intervalles étant en nombre $\mathsf{O}(B/B^{\alpha\varepsilon})$,
+on a donc
+$$\# \Omega_{\varphi}\cap [1,B]=\mathsf{O}(B^{\varepsilon}+B^{1-\alpha\varepsilon})=
+\mathsf{O}(B^\varepsilon).$$
+\end{proof}
+
+Soit $f$ comme dans \ref{Irréductibilité-Hilbert}.
+Chaque $a\in \ZZ$ définit une surjection
+$A=\QQ[t]\ra \QQ$, $t\mapsto a$, \cad un idéal maximal $\MM_a=(t-a)$
+de $\QQ[t]$. On a vu a plusieurs reprises (cf. par exemple \ref{spécialisation})
+que le groupe de Galois de $f_a$ est isomorphe à un
+sous-groupe de $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$ : le groupe de Galois de la spécialisation
+est plus petit que le groupe de Galois « générique ».
+On veut montrer qu'ils sont en fait souvent isomorphes.
+Par un argument relativement standard de théorie de Galois, nous ramènerons
+cette question à la proposition suivante (qui donne son nom au théorème).
+
+\begin{prp}\label{Irréductibilité-prp}
+Sous les hypothèses de \ref{Irréductibilité-Hilbert}, il existe une infinité de $a\in
+\ZZ-\Sigma_f$ tel que $f_a$ soit irréductible sur $\QQ$. Plus généralement,
+on a un énoncé semblable avec un nombre arbitraire fini de polynômes.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Quitte à remplacer $f(t,X)$ en $f(t,q(t)X)$, pour un polynôme $q\neq 0$,
+et factoriser, on peut supposer $f\in \QQ[t,X]$, unitaire en $X$.
+D'après le théorème de Puiseux, et sa variante analytique, il existe un
+entier $e\in \NN-\{0\}$ (qui divise le degré $d$ de $f$ en $X$) et
+$d$ séries $\varphi_1,\dots,\varphi_d\in \sur{\QQ}((t^{-1/e}))$ convergentes pour
+tout $|t|\gg 1$ (on suppose choisi un plongement $\sur{\QQ}\hra \CC$) telles
+que $$f(t,X)=\prod_{i=1}^d(X-\varphi_i(t)).$$
+Pour tout sous-ensemble $I\subset [1,d]$, notons
+$$g_I(t,X):=\prod_{i\in I}(X-\varphi_i(t))$$
+le produit des facteurs correspondants.
+Comme $f$ est supposé irréductible dans $\QQ(t)[X]$, si
+$I$ n'est ni $\vide$, ni $[1,d]$, $g_I\notin \QQ(t)[X]$.
+Pour tout tel $I$, il existe donc un coefficient $c_I$ de $g_I$ qui appartienne
+à $\sur{\QQ}((t^{-1/e}))-\QQ(t)$. D'autre part, les $c_I$ sont entiers sur
+$\QQ[t]$ (car les $\varphi_i$ le sont) si bien qu'il existe $N\in \ZZ-\{0\}$
+tel que si $c_I(a)\in \QQ$ pour un $a\in \ZZ$, $Nc_I(a)\in \ZZ$. D'après le
+lemme clé précédent, appliqué aux parties réelles et imaginaires des
+$Nc_I$, il existe une
+infinité de $a\in \ZZ$ tels que les $c_I(a)$ n'appartiennent pas à $\QQ$. Pour
+de telles valeurs, les $g_I(a,X)$, qui sont les diviseurs non triviaux
+de $f_a$ dans $\CC[X]$, n'appartiennent pas à $\QQ[X]$. Ainsi $f_a$ est irréductible
+sur $\QQ$. L'énoncé avec plusieurs polynômes se démontre de même.
+\end{proof}
+
+On laisse le soin au lecteur de préciser une version quantitative de la proposition
+précédente et du théorème de Hilbert.
+
+\begin{proof}[Fin de la démonstration de \ref{Irréductibilité-Hilbert}]
+Supposons $f\in \QQ[t,X]$ unitaire (cf. \emph{supra}).
+Soit $K$ une clôture galoisienne de $\QQ(t)_f:=\QQ(t)[X]/f$ ; d'après le théorème
+de l'élément primitif, il existe $F\in \QQ[t,X]$ séparable unitaire tel que $K$ soit
+$\QQ(t)$-isomorphe à $\QQ(t)_F:=\QQ(t)[X]/F$. Ainsi, $G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}$
+est isomorphe à $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
+
+Le discriminant de $f$ (resp. $F$) est un polynôme en $t$, non nul par hypothèse.
+Ces deux polynômes n'ont donc qu'un nombre fini de zéros dans $\QQ$ si bien que pour
+presque tout $a\in \QQ$ (\cad tous sauf un nombre fini), $f_a$ et $F_a$ sont séparables.
+D'après la proposition \ref{Irréductibilité-prp}, il existe une infinité de $a\in \ZZ$
+tels que $F_a:=F(a,X)$ et $f_a:=f(a,X)$ soient irréductibles sur $\QQ$, et séparables.
+Pour ces valeurs, le groupe de Galois $G_{F_a}$ de la spécialisation est
+isomorphe à un sous-groupe de $G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}$, \emph{a priori} plus
+petit. Comme d'une part $\# G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}=\deg_X F$
+(car $\QQ(t)_F/\QQ(t)$ est galoisienne)
+et d'autre part $\#G_{F_a}\geq \deg_X F_a=\deg_X F$
+(car $F_a$ est supposé irréductible), on a finalement
+$G_{F_a}\isononcan G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}\isononcan G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$
+pour $a\in A\subset \ZZ$, où $A$ est infini. Pour conclure, il nous suffit de démontrer
+que pour $a$ comme précédemment, $f_a$ et $F_a$ ont des corps de décomposition
+sur $\QQ$ isomorphes, sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs.
+On aura alors $G_{f_a}\isononcan G_{F_a}$ donc isomorphe à $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
+
+
+L'idée est la suivante : il existe des critères
+simples en terme d'algèbre linéaire pour tester si une extension
+contient une clôture galoisienne d'une extension séparable donnée ou bien si elle est contenue
+dans une telle clôture. La nature même de ces énoncés fait que
+leur validité « générique » (\cad sur $\QQ(t)$) entraîne leur validité
+pour presque tout $a$ comme ci-dessus. Voici les détails.
+
+Par hypothèse $\QQ(t)_F$ décompose $f$ : on a un isomorphisme
+de $\QQ(t)_F$-algèbres, $\QQ(t)_f\otimes_{\QQ(t)} \QQ(t)_F\isononcan \QQ(t)_F^d$.
+Heuristiquement, on veut «~étendre~» cet isomorphisme à un «~ouvert~» de
+$\QQ[t]$\footnote{Le langage des schémas permet de rendre formaliser cette heuristique
+en topologisant $\SP(\QQ[t])$, de telle sorte que l'ensemble à un élément
+$\SP(\QQ(t))\hra \SP(\QQ[t])$ soit un point \emph{générique}, \cad d'image dense (sic!).}.
+Plus précisément : $\QQ(t)_f=\big(\QQ[t,X]/f\big)\otimes_{\QQ[t]}\QQ(t)$,
+et de même pour $F$, si bien que l'isomorphisme précédent se réécrit
+$$
+\big((\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t]} \QQ[t,X]/F\big)\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t)
+\isononcan \big(\QQ[t,X]/F\big)^d \otimes_{\QQ[t]} \QQ(t).
+$$
+Considérons $A_1:=(\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t]} (\QQ[t,X]/F)$ et $A_2:=\big(\QQ[t,X]/F\big)^d$. Ce
+sont des $(\QQ[t,X]/F)$-algèbres, finies et libres, qui sont « génériquement » isomorphes,
+\cad que $A_1\otimes_{\QQ[t]} \mathrm{Frac}(\QQ[t])\isononcan_{\QQ(t)_F}
+A_2\otimes_{\QQ[t]} \mathrm{Frac}(\QQ[t])$.
+Un tel isomorphisme n'est pas nécessairement défini sur $\QQ[t]$ mais c'est
+le cas presque partout : il suffit d'éviter les pôles, cf. \ref{isomorphisme-générique}.
+%[DÉTAILLER ! FAIRE ATTENTION QUE COMME MODULE C'EST TRIVIAL : ON VEUT
+%UN MORPHISME D'ALGÈBRES !]
+Pour chaque $a\in \QQ$, la $\QQ$-algèbre $\QQ_{f_a}:=\QQ[X]/f_a$ est la réduction
+modulo $(t-a)$ de $\QQ[t,X]/f$ : $$\QQ[X]/f_a\isononcan_{\QQ} (\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t],a}
+\QQ,$$ où $\QQ[t]\ra \QQ$ est le morphisme d'évaluation en $t$, $t\mapsto a\in \QQ$.
+On vient de voir que, quitte à restreindre $A$, on peut donc supposer que
+pour $a\in A\subset \ZZ$, $\QQ_{f_a}$
+soit décomposée par l'extension $\QQ_{F_a}$ au sens où
+$$\QQ_{f_a}\otimes_{\QQ} \QQ_{F_a}\isononcan_{\QQ_{F_a}} \QQ_{F_a}^d.$$
+Comme $\QQ_{F_a}$ est un corps, cela signifie simplement que
+$\QQ_{F_a}$ est un corps de décomposition de $f_a$\footnote{Remarquez que
+l'on retrouve ainsi sans usage de discriminant le fait que $f_a$ est
+presque toujours séparable.}.
+On veut montrer qu'en fait $\QQ_{F_a}$ est une clôture normale de $\QQ_{f_a}$.
+Pour cela nous ferons usage du lemme suivant qui permet de passer
+simplement d'un énoncé générique à un énoncé spécialisé.
+
+\begin{sslmm2}\label{critère-linéaire-normal}
+Soient $L/K$ une extension finie séparable de degré $d$
+et $L'/L$ est une clôture galoisienne de $L/K$. Alors, il existe
+une $K$-surjection
+$$
+L\otimes_K \cdots \otimes_K L=:L^{\otimes_K d!}\surj L'.
+$$
+Réciproquement si $L'/K$ satisfait ce critère,
+elle est contenue dans une clôture galoisienne de $L/K$.
+\end{sslmm2}
+\begin{proof}
+Soit $L'/K$ une clôture galoisienne de $L/K$, de groupe de Galois
+$G=\ga(L'/K)$. Par hypothèse, $L'$ est engendré par les sous-corps $g(L)$
+conjugués de $L$. Il
+en résulte que le morphisme
+$$\begin{array}{l}
+\underbrace{L\otimes_K \cdots \otimes_K L}_{\# G\text{\ fois}}\ra L'\\
+\otimes_{g\in G} a_g \mapsto \prod_{g\in G} g(a_g)
+\end{array}
+$$
+est une surjection. Comme $\# G\leq d!$
+et que pour tout $r\geq 1$ il existe une surjection $L^{\otimes_K r}\surj L$,
+il existe au moins une surjection $L^{\otimes_K d!}\surj L^{\otimes_K \# G}$ qui
+permet, par composition, de répondre à la question.
+
+Réciproquement, soient $L'/K$ comme plus haut. Si $\widetilde{L}/K$ est
+une clôture galoisienne de $L/K$, on a une inclusion de $K$-algèbres :
+$$
+L^{\otimes_K d!}\hra \widetilde{L}^{\otimes_K d!}.
+$$
+Par hypothèse $L'$ est un corps résiduel de la $K$-algèbre étale de gauche.
+Une algèbre étale sur $K$ étant isomorphe au produit de ses corps résiduels,
+$L'$ est donc un sous-corps d'un corps résiduel de l'algèbre de droite.
+Or on sait (d'après \ref{auto décomposition} et une récurrence) que le terme
+de droite est une $K$-algèbre isomorphe à un produit de copies de $\widetilde{L}$.
+Finalement $L'$ est isomorphe à un sous-corps de $\widetilde{L}$.
+\end{proof}
+
+Par hypothèse $\QQ(t)_F/\QQ(t)$ est une clôture galoisienne de $\QQ(t)_f/\QQ(t)$ :
+il existe donc une surjection $\QQ(t)_f^{\otimes_{\QQ(t)} d!}\surj \QQ(t)_F$,
+où $d=\deg_X f$. Comme
+$$
+\QQ(t)_f^{\otimes_{\QQ(t)} d!}\isononcan_{\QQ(t)} \big((\QQ[t,X]/f)^{\otimes_{\QQ[t]} d!}\big)
+\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t),
+$$
+la proposition \ref{isomorphisme-générique} montre comme plus haut
+que pour presque toute les valeurs de $a\in \QQ$,
+il existe une surjection de $\QQ$-algèbres $\QQ_{f_a}^{\otimes_{\QQ} d!}\surj \QQ_{F_a}$.
+D'après le lemme précédent, cela montre que $\QQ_{F_a}$ est contenue dans
+une clôture normale de $\QQ_{f_a}$ (pour $a\in A-\{\text{ens. fini}\}$).
+Comme on sait déjà que pour ces valeurs $\QQ_{F_a}/\QQ$ diagonalise $\QQ_{f_a}$,
+on a bien montré que c'est une clôture normale de $\QQ_{f_a}$.
+CQDF.
+\end{proof}
+
+Enfin, voici une application :
+
+\begin{thm}[$\got{S}_n$ par voie générique]\label{S_n-3}
+Pour tout $n\geq 1$, il existe une infinité
+d'entiers $a_0,\dots,a_{n-1}\in \ZZ$ tel que le polynôme
+$X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$ soit irréductible sur $\QQ$
+de groupe de Galois $\got{S}_n$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Cela résulte d'une part du fait que le groupe de Galois sur $\QQ(t_0,\dots,t_{n-1})$
+de $X^n-t_{n-1}X^{n-1}+\cdots+(-1)^n t_0$ est $\got{S}_n$ et d'autre part du
+théorème d'irréductibilité de Hilbert sous la forme
+\ref{Hilbet-n variables} [À rédiger : variantes à
+plusieurs variables].
+\end{proof}
+
diff --git a/6-chap-Galois.tex b/6-chap-Galois.tex
new file mode 100644
index 0000000..ed919dd
--- /dev/null
+++ b/6-chap-Galois.tex
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+\chapter{Méthodes globales}
+
+\section{Fonction zêta de Dedekind}
+
+\begin{thm}\label{pôle en 1 de Dedekind}
+Soient $K/\QQ$ une extension finie galoisienne et $\mc{O}_K$ la normalisation
+de $\ZZ$ dans $K$. La fonction zêta de Dedekind,
+$$
+\zeta_K(s):=\prod_{\wp \in \SP\max(\mc{O}_K)} \frac{1}{1-\mathrm{N}\wp^{-s}}
+$$
+est absolument convergente pour $s$ réel $>1$ et il existe une constante $C_K>0$
+telle que
+$$
+\zeta_K(s)\sr{s\ra 1+}{\sim} \frac{C_K}{s-1}.
+$$
+\end{thm}
+
+En particulier, on a bien
+$$
+\log \zeta_K(s)\sr{s\ra 1+}{\sim} \log(\frac{1}{s-1})
+$$
+comme utilisé en \ref{point clé Frob}.
+
+\begin{rmr}
+On peut montrer plus précisément que $\zeta_K$ se prolonge en une fonction méromorphe
+sur $\CC$. La méthode que nous donnons ici, plus élémentaire, prouve
+en fait sans beaucoup plus de travail que $\zeta_K$ se prolonge à une fonction
+méromorphe sur $\mathrm{Re} s > 1-[K/\QQ]^{-1}$.
+\end{rmr}
+
+Dans la première section, nous allons démontrer quelques faits généraux sur
+l'anneau $\OO_K$.
+
+\section{Anneaux de Dedekind}
+
+\begin{dfn}
+Un anneau intègre $A$ est dit de \emph{Dedekind} s'il est normal, noethérien de dimension $1$.
+\end{dfn}
+
+Il en résulte que si $\wp\in \SP\max(A)$, le localisé $A_\wp$ est un anneau
+de valuation discrète (cf \ref{dimension localisé}). De plus, tout
+idéal premier non nul est maximal.
+
+\begin{prp}\label{décomposition idéaux}
+Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$
+et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_\wp(\got{a})$, $\wp\in S$,
+tels que $$\got{a}=\prod_{\wp\in S} \wp^{n_\wp(\got{a})}.$$
+De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
+$n_{\wp}(\got{a})\leq n_{\wp}(\got{a}')$ pour tout $\wp\in \SP\max(A)$,
+où l'on pose $n_{\wp}(\got{a})=0$ (resp. $n_{\wp}(\got{a}')=0$)
+pour $\wp\notin S_{\got{a}}$ (resp. $\wp\notin S_{\got{a}'}$).
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Pour chaque $\wp\in \SP\max(A)$, notons comme d'habitude $\got{a}A_{\wp}$
+l'idéal du localisé $A_\wp$ engendré par l'image de $\got{a}$ par $A\ra A_\wp$.
+Comme $A_\wp$ est un anneau de valuation discrète, il existe un unique
+entier $n_{\wp}\geq 0$ tel que $\got{a}A_{\wp}=\wp^{n_\wp}A_{\wp}$.
+
+
+Montrons que pour presque tout $\wp$, l'entier $n_\wp$ ainsi défini
+est nul. Remarquons que si $n_\wp>0$, $\wp$ contient $\got{a}$
+car si $a\notin \wp$, $(a)A_\wp=A_\wp$.
+L'anneau quotient $A/\got{a}$ est noethérien et comme $\got{a}\neq 0$,
+il est de dimension nulle. Son spectre est donc fini (\ref{anneau dimension nulle}) ;
+il n'existe donc qu'un nombre fini d'idéaux premier $\wp$ contenant $\got{a}$.
+Soit $X$ l'ensemble de $\wp$ tels que $n_{\wp}>0$\footnote{On peut
+vérifier que c'est l'ensemble des idéaux premiers associés au
+$A$-module $A/\got{a}$, cf \ref{idéaux premiers associés}.}.
+Considérons l'idéal $\got{a}':=\prod_{\wp\in X} \wp^{n_{\wp}}$.
+L'idéal $\got{a}$ et l'idéal $\got{a}'$ coïncident localement :
+pour tout $\wp\in \SP(A)$, $\got{a}A_{\wp}=\got{a}'A_{\wp}$. (Pour $\wp=(0)$
+cela résulte du fait qu'ils sont tous deux non nuls.)
+La conclusion résulte alors du lemme ci-dessous, appliqué aux inclusions
+$\got{a}\hra \got{a}+\got{a}'$ et $\got{a}'\hra \got{a}+\got{a'}$.
+L'unicité et le second énoncé découlent de la démonstration.
+%[À FAIRE ?]
+\end{proof}
+
+\begin{lmm}
+Soient $A$ un anneau et $i:M_1\hra M_2$ une injection entre deux $A$-modules.
+Supposons que pour tout $\wp\in\SP(A)$,
+$i_\wp:M_1\otimes_A A_\wp\ra M_2\otimes_A A_\wp$ soit un isomorphisme.
+Alors, $i$ est un isomorphisme.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Soit $K$ le conoyau de $i$, \cad le quotient $M_2/M_1$ ; on veut montrer qu'il
+est nul.
+La suite exacte $$0\ra M_1\sr{i}{\ra} M_2 \ra K\ra 0$$
+induit pour chaque $\wp$, par platitude de la localisation (\ref{platitude localisation})
+une suite exacte :
+$$
+0\ra M_1\otimes_{A} A_\wp \sr{i}{\ra} M_2\otimes_A A_\wp \ra K\otimes_A A_\wp=:K_{\wp}\ra 0.
+$$
+Notre hypothèse indique que $K_\wp$ est nul pour tout $\wp\in \SP(A)$.
+Un tel $A$-module est nécessairement nul. Supposons en effet qu'il existe
+$k\in K$ non nul. On a donc une inclusion $A/\got{a}\iso Ak\hra K$, où l'annulateur
+$\got{a}$ de $k$ est différent de $A$. Soit $\wp$ un idéal premier de $A$ contenant
+$\got{a}$. Par hypothèse, $A/\got{a}\otimes_A A_\wp$ est nul. C'est absurde
+car $0\neq A_\wp/\wp A_\wp$ est un quotient de $A_\wp / \got{a}A_\wp$.
+\end{proof}
+
+
+
+\begin{prp}
+Soit $A$ un anneau de Dedekind. Tout idéal fractionnaire non nul
+est inversible.
+\end{prp}
+
+Cf. \ref{fractionnaire} et \ref{inversible} pour les définitions.
+
+\begin{proof}
+Si $A$ est un anneau de valuation discrète, cela résulte
+du fait qu'un tel idéal $I$ est isomorphe comme $A$-module à $A$.
+Dans le cas général, on remarque que l'évaluation
+$I\otimes_A I^{\vee}\ra A$ est un isomorphisme si et seulement si
+c'est vrai après localisation en tous les idéaux maximaux. Comme la
+formation du dual commute à la localisation, on se ramène donc au cas précédent.
+\end{proof}
+
+On vérifie immédiatement que si $I$ est un idéal fractionnaire non nul,
+$$
+\begin{array}{l}
+\{x\in K, xI\subset A\}\ra \Hom_A(I,A)=:I^{\vee}\\
+x \mapsto \big(i\mapsto xi\big)
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme.
+
+\begin{dfn}
+Un corps $K$, extension finie de $\QQ$, est appelé un \emph{corps de nombres}.
+La normalisation de $\ZZ$ dans ce corps est appelé l'\emph{anneau des entiers} de
+$K$.
+\end{dfn}
+
+
+\begin{thm}\label{Pic fini}
+Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
+des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
+\end{thm}
+
+Chaque classe $C\in \pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
+Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(\OO_K/\got{c})$.
+Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
+supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
+Si $\got{c}=\prod \wp^{n_\wp}$, $N(\got{c})=\prod N(\wp)^{n_\wp}$ si bien qu'à la fois
+les $N(\wp)$ et les $n_\wp$ sont bornés. Comme $N(\wp)$ est une puissance du nombre premier
+$p=\wp\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
+il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod \wp^{n_\wp}$.
+
+Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
+du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
+Admettons un instant le fait suivant :
+\begin{lmm}
+Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
+existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
+\end{lmm}
+Soit $C\in \pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
+et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
+un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
+(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
+$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
+
+Démontrons le lemme. On a vu en \ref{normalisation finie} que $\OO_K$ est un
+$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
+car $\OO_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
+Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $\OO_K$ sur $\ZZ$ et notons
+$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K\hra \CC$.
+Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
+Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
+tel que
+$$
+m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
+$$
+Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
+deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
+appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
+$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
+
+
+\begin{lmm}\label{déterminant-norme}
+Soit $u:\QQ^n\ra \QQ^n$ une application linéaire inversible qui stabilise $\ZZ^n$.
+Alors,
+$$
+|\mathrm{d\acute{e}t}(u)|=\#\ZZ^n/u(\ZZ^n).
+$$
+En particulier, le terme de droite est fini.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+En effet, il existe des bases $e_i,f_j$ de $\ZZ^n$ et des entiers non nuls $d_i$ tels que
+$u(e_i)=d_i f_i$ pour chaque $i\in [1,n]$.
+En particulier, $\mathrm{d\acute{e}t}(u)=\prod_i d_i=\# \bigoplus_i \ZZ f_i/d_i\ZZ f_i=\#\ZZ^n/u(\ZZ^n)$.
+\end{proof}
+
+%Normaliser notations Spec max (sans point cf. ci-dessous versus avec ci-dessus).
+
+
+\begin{thm}[Théorème des unités de Dirichlet]\label{Dirichlet-unités}
+Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
+$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
+Alors, le groupe $\OO_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $\OO_K$
+est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
+\end{thm}
+
+Compte tenu de la définition, on a $r_\RR+2r_\CC=[K:\QQ]$ : la $\RR$-algèbre $K_\RR$
+est de dimension $[K:\QQ]$. On dit que $r_\RR$
+(resp. $r_\CC$) est le nombre de plongements réels (resp. complexes) de $K$.
+%Pour $\iota : K\hra \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ choisi, on notera
+%$\iota_\RR$ (resp. $\iota_\CC$) le morphisme $\KK\ra \RR^{r_\RR}$ (resp.
+%$K\ra \CC^{r_\CC}$) correspondant.
+
+\begin{proof}
+C'est sans surprise que nous allons considérer l'image de $\OO_K$ dans $K_\RR$ :
+
+\begin{lmm2}
+Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
+$K\hra K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(\OO_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
+est un \emph{réseau}, \cad un sous-groupe \emph{discret} de $\RR^n$ tel que
+le quotient soit \emph{compact}.
+\end{lmm2}
+De façon équivalente, son image est un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants (\cite{Topologie@Bourbaki}, chap.~\textsc{vii}).
+
+\begin{proof}
+On sait déjà que $\OO_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
+$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
+Comme $\OO_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $\OO_K$ sur $\ZZ$
+qui forme une base du $\QQ$-espace vectoriel $K$.
+L'image de cette base par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K\ra K_\RR$, est une base
+du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
+à l'aide de discriminants, cf. \ref{covolume-discriminant} \emph{infra}.}.
+\end{proof}
+
+\emph{Fixons dorénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
+Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}\ra \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
+et $\log_{\CC}:\CC^{\times}\ra \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
+un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
+$$
+\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times\ra \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
+$$
+Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}\ra
+\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
+
+
+Soit $u\in \OO_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
+est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
+= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
+Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
+$$
+\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
+$$
+Cela résulte de l'égalité
+$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
+jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
+des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
+(de même avec un nombre arbitraire de facteurs) donc
+l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
+le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
+des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
+
+Enfin, l'image inverse par $\log: \OO_K^{\times} \ra \RR^{r_\RR+r_\CC}$
+de toute partie bornée est \emph{finie}.
+Soit en effet $E\subset \OO_K^{\times}$, ou plus généralement
+$E\subset \OO_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
+bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
+est bornée.
+Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
+sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
+Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
+du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
+il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
+pour $e\in \OO_K$.
+
+Il en résulte que $\log(\OO_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
+tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
+de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.
+
+Il en résulte également que le noyau de $\OO_K^{\times}\ra \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.
+
+Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.
+
+\begin{lmm2}[Lemme chinois non archimédien]
+Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in \OO_K^{\times}$
+tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.
+
+\begin{sslmm2}
+Il existe une constante $\mu_K$
+telle que pour tout $0\neq \alpha\in \OO_K$, il existe $0\neq \beta\in \OO_K$ satisfaisant :
+$$\left\{ \begin{array}{l}
+\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
+\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
+\end{array}\right.$$
+\end{sslmm2}
+
+\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
+Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Supposons donnés des nombres réels positifs
+satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
+Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
+$$
+E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
+\CC^{r_\CC},\
+\left\{ \begin{array}{l}
+|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
+|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
+\end{array}\right.\}
+$$
+(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)
+
+On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
+le produit est muni de la mesure produit.
+L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
+fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
+à l'origine et convexe. Son volume est
+$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
+Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
+$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
+\mathrm{covol}(\iota(\OO_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
+À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
+$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
+\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
+ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap \OO_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
+conditions du lemme.
+\end{proof}
+
+Démontrons le «~lemme chinois~».
+Choisissons $k$ et considérons un $\alpha\in \OO_K$ non nul quelconque. En vertu
+du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
+normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
+strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
+$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
+une unité $u\in \OO_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
+\end{proof}
+
+\begin{lmm2}
+Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
+ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
+sur une ligne soit nulle.
+Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Exercice.
+%À faire.
+\end{proof}
+\end{proof}
+
+Revenons à la démonstration du théorème \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
+\begin{lmm}
+Soit $K$ un corps de nombres.
+On a
+$$
+\zeta_K(s):=\prod_{\wp\in \SP\max(\OO_K)} \frac{1}{1-\mathrm{N}\wp^{-s}}=
+\sum_{(0)\neq \got{a}\subset \OO_K} \frac{1}{\mathrm{N}(\got{a})^{s}}
+$$
+et la série de droite converge absolument pour $s>1$.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+L'égalité de droite résulte de ce que chaque idéal non nul
+se décompose en un produit de puissances d'idéaux premiers, comme
+dans le cas où $K=\QQ$.
+La convergence résulte de ce que pour chaque nombre premier $p$,
+et tout $s>0$,
+$$\prod_{p|\wp} (1-N\wp^{-s})^{-1}\leq \Big((1-p^{-s})^{-1}\Big)^{[K:\QQ]}.$$
+On a donc $\zeta_K(s)\leq \zeta_{\QQ}(s)^{[K:\QQ]}$.
+(Voir aussi \ref{point clé Frob}.)
+
+
+\end{proof}
+
+
+
+De façon générale, on appelle \emph{série de Dirichlet} toute
+série de la forme $\sum_n \lambda_n n^{-s}$. La fonction zêta
+de Dirichlet est donc une série de Dirichlet. Nous renvoyons le
+lecteur à \cite{Cours@Serre}, chapitre ?,
+pour une courte introduction et une démonstration du théorème de la progression
+arithmétique à l'aide de ces séries.
+
+Ainsi, $\zeta_K(s)=\sum_{n\geq 1} \frac{N_n}{n^s}$ où $N_n$ est le nombre d'idéaux
+de $\OO_K$ de norme $n$. Si l'on note, pour chaque classe $[C]\in \pic(\OO_K)$,
+$N_n([C])$ le nombre de tels idéaux dans $[C]$, on a alors tautologiquement :
+$$
+\zeta_K=\sum_{[C]\in \pic(\OO_K)} \zeta_{K,[C]},
+$$
+où la somme est \emph{finie} (\ref{Pic fini}) et
+$$
+\begin{array}{ll}
+\zeta_{K,C}(s)& :=\sum_{\got{a}\in [C]\subset \OO_K} \frac{1}{\mathrm{N}(\got{a})^{s}}\\
+& = \sum_{n\geq 1} \frac{N_n([C])}{n^s}
+\end{array}
+$$
+
+À défaut de pouvoir estimer $N_n([C])$ pour $n$ grand, nous allons estimer
+$\sum_{i=1}^n N_i([C])$. Que cela nous suffise est expliqué plus bas.
+
+\begin{thm}
+Soit $K$ un corps de nombres.
+Pour toute classe $\mathsf{C}\in \pic(\OO_K)$, il existe une
+constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
+$$
+\{\got{a}\subset \OO_K, \text{tel que } \got{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+$$
+soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t\ra +\infty$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soit $\mathsf{C}\in \pic(\OO_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
+La correspondance
+$$
+\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset \OO_K
+$$
+établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
+$$
+\{(\alpha)\subset \OO_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
+|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
+$$
+Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
+les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
+Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
+quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / \OO_K^{\times}$,
+où $\OO_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
+en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
+C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
+la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset \OO_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+se factorise.
+Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
+$$
+\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
+$$
+Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
+$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
+$$
+\xymatrix{
+\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
+X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
+}
+$$
+Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
+dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
+arbitraire.
+On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
+$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
+de domaine fondamental pour l'action de $\OO_K^{\times}$, telle
+que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
+soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
+Le théorème résultera alors du lemme suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
+
+\begin{lmm2}
+Soient $Y$ une jolie partie, en particulier mesurable et bornée,
+de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
+Alors, si $\vol(Y)>0$,
+$$
+\#(B\cap aY)\sr{a\ra +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
+$$
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Cf. appendice \ref{calcul volume}, où l'on donne en particulier un sens précis
+à l'adjectif « joli ».
+\end{proof}
+
+Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod
+\{\infty\}$
+et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
+un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
+On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
+que $\log:\OO_K\ra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
+nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
+l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
+Ainsi, le logarithme induit une injection :
+$P(\got{b}_\mathsf{C})\hra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+
+Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
+de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
+de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
+$D\oplus P \iso \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
+canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}\surj \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+%[FIGURE]
+Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
+logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
+$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
+la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
+tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
+Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul et même \emph{joli} (exercice).
+%DÉFINIR JOLI !!!!
+\end{proof}
+
+\begin{lmm}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $\sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet. Supposons que $a_n$ tende vers $0$.
+Alors, $\sum_n a_n n^{-s}$ converge pour $s>1$ et $(\sum_n a_n n^{-s})(s-1)$ tend
+vers $0$ quand $s$ tend vers $1+$.
+\item $\zeta_{\ZZ}(s)\sim \frac{1}{s-1}$.
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Le second point résulte immédiatement de la comparaison entre la série
+de Riemann et l'intégrale $\int_1^t \frac{dx}{x^s}$.
+Le premier point se démontre avec $2\varepsilon$ de façon parfaitement
+standard.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Soit $\sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet telle que $\sum_{i=1}^n a_i:=A_n\sim C n$,
+$C\neq 0$.
+Alors, $\sum_n a_n n^{-s}$ est convergente pour $s>1$ et $(\sum_n a_n n^{-s})(s-1)$ tend
+vers $C$.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+Laissée en exercice. Indication : utiliser la transformation d'Abel
+et remarquer que
+$$n^{-s}-(n-1)^{-s}=n^{-s}(1-(1-\frac{1}{n})^{-s})=n^{-s}\Big(\frac{-s}{n}+
+\mathsf{O}(n^{-2})\Big).$$
+\end{proof}
+
+\section{Simple connexité de $\ZZ$ et groupe de Galois de $X^n-X-1$ : énoncés}
+
+\subsection{}
+Bien que nous ne considérerons que des anneaux de Dedekind dans les applications,
+il est sans doute intéressant de commencer par une définition générale.
+Tout d'abord nous allons généraliser la notion d'algèbre étale au cas où
+la base n'est pas un corps. Nous verrons plus bas que ces deux notions
+coïncident bien.
+
+\begin{dfn}[Algèbre étale sur une autre]
+Soit $A$ un anneau.
+On dit qu'une $A$-algèbre $B$ est \emph{étale}
+si elle satisfait les conditions suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item $B$ une $A$-algèbre de \emph{présentation finie},
+\cad que $B$ est isomorphe à un quotient $A[T_1,\dots,T_n]/\got{a}$, où
+$\got{a}$ est un idéal de type fini.
+Si $A$ est noethérien, cela revient à dire que $B$ une $A$-\emph{algèbre} de type fini.
+
+\item $B$ est \emph{formellement étale} sur $A$ : pour toute $A$-algèbre test $T$,
+et tout idéal $\got{t}\subset T$ de carré nul, l'application
+$$
+\Hom_A(B,T)\ra \Hom_A(B,T/\got{t})
+$$
+est une bijection.
+
+\item $B/A$ est \emph{plat}.
+\end{enumerate}
+\end{dfn}
+
+On peut montrer que la dernière condition est conséquence des deux premières.
+Une récurrence immédiate montre que la condition~2 est équivalente
+à la condition~2': pour toute $A$-algèbre test $T$,
+et tout idéal $\got{t}\subset T$ tel $\got{t}^N=0$ pour un $N\in \NN$, l'application
+$\Hom_A(B,T)\ra \Hom_A(B,T/\got{t})$ est une bijection.
+
+\begin{rmr}
+Si l'on remplace dans 2), bijection par injection (resp. surjection),
+on dit que $B/A$ est \emph{net} (ou non ramifié) (resp. \emph{lisse}). Nous n'utiliserons
+pas ces notions.
+\end{rmr}
+
+
+
+\begin{lmm}\label{cb-étale}
+Soient $B/A$ une algèbre étale et $A'/A$ quelconque.
+Alors, $B\otimes_A A'/A'$ est étale.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Seule la seconde condition (formellement étale) est à vérifier (cf. \ref{cb-plat}
+pour la troisième).
+Considérons donc un diagramme commutatif en traits pleins :
+$$
+\xymatrix{
+B \ar[r] \ar@{.>}[rrd] & B' \ar@{.>}[rd]|-{\star} \ar[rrd] & & \\
+A \ar[u] \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & T' \ar@{->>}[r] & T'/\got{t}'
+}
+$$
+où $B'=B\otimes_A A'$, $t'$ est un idéal de $T'$ de carré nul.
+On veut montrer l'existence d'une unique flèche $\star$ faisant commuter
+le diagramme.
+Comme $B/A$ est formellement étale, il existe une unique flèche ($A$-linéaire) $B\ra T'$
+faisant commuter le diagramme. Elle induit l'unique application $\star$ ($A'$-linéaire)
+relevant $B\ra T'/\got{t}'$.
+\end{proof}
+
+\begin{prp}\label{séparable-formellement étale}
+Soient $k$ un corps et $K/k$ une extension finie.
+Alors, $K/k$ est formellement étale si et seulement elle est séparable.
+\end{prp}
+\begin{proof}
+Montrons que séparable implique formellement étale.
+Par hypothèse, il existe $f\in k[X]$ \emph{séparable} tel que
+$K\isononcan k[X]/f$. Sous $A$ une $k$-algèbre et $\got{a}$ un idéal de carré nul.
+Il s'agit de montrer que l'application de réduction modulo $\got{a}$ induit
+une bijection :
+$$
+\{x\in A, f(x)=0\} \ra \{\sur{x}\in A/\got{a}, f(\sur{x})=0\}.
+$$
+Injectivité. Soient $x,y\in A$, tels que $f(x)=f(y)=0$ et $x=y+a$, $a\in \got{a}$.
+Comme $a^2=0$, la formule de Taylor nous donne $0=f(y+a)=f(y)+af'(y)=af'(y)$.
+D'autre part, nous savons que $(f,f')=k[X]$, donc $(f(y),f'(y))=A$. Comme $f(y)$
+est nul, $f'(y)$ est une unité et finalement $af'(y)=0$ entraîne $a=0$ \cad
+$x=y$.
+
+Surjectivité. Soit $x\in A$ tel que $f(x)=a\in \got{a}$. Il s'agit de montrer qu'il
+existe $x'$ congru à $x$ modulo $\got{a}$ tel que $f(x')=0$. L'élément
+$f(x)$ étant nilpotent, l'égalité $(f(x),f'(x))=1$ montre que $f'(x)$ est une unité
+de $A$. On remarque alors que $f\big(x-f'(x)^{-1}a\big)=a$.
+
+
+Réciproquement, supposons que $K/k$ est une extension finie de corps
+telle que $K/k$ soit formellement étale. Compte tenu de \ref{cb-étale}
+et \ref{corps étale}, il s'agit de montrer que si $k$ est un corps
+et $A$ une $k$-algèbre finie (locale si l'on veut), formellement étale, $A$ est réduit.
+C'est là un fait général, cf. ci-dessous, qui se ramène d'ailleurs à
+ce cas particulier.
+\end{proof}
+
+\begin{lmm}\label{étale-réduit}
+Soient $A$ un anneau local réduit et $B$ une $A$-algèbre finie étale locale telle
+que $A\ra B$ soit local. Alors $B$ est réduite.
+\end{lmm}
+
+Ce résultat est également valable sans supposer $B/A$ fini.
+
+\begin{proof}[Démonstration dans le cas $A$ noethérien](Nous
+renvoyons le lecteur courageux à ÉGA IV, chap 8 pour le cas général, que nous n'utiliserons
+pas.)
+Sous nos hypothèse, $B/A$ est \emph{fidèlement} plat, cf. \ref{plat-local}.
+Ainsi, si $A\hra A'$, $B\hra B_{A'}=B\otimes_A A'$.
+D'après \ref{idéaux premiers minimaux},
+$A$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux premiers minimaux,
+$\wp_i$, $1\leq i \leq n$.
+Comme $A$ est \emph{réduit}, il s'injecte dans le produit $\prod A/\wp_i=:A'$.
+Comme $B/\wp_i$ est étale sur $A/\wp_i$,
+on se ramène au cas où $A$ est intègre.
+Dans ce cas,
+on peut considérer $A'=\mathrm{Frac}(A)$ et finalement supposer,
+pour la même raison, que $A$ est un corps.
+
+Soit donc $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie étale locale. Montrons que
+$A$ est réduite \cad est un corps. Comme constaté plus haut,
+on peut supposer $k$ algébriquement clos.
+Soit $\MM$ l'idéal maximal de $A$. Le corps résiduel $A/\MM$ est nécessairement
+isomorphe à $k$. De plus l'idéal $\MM$ est nilpotent dans $A$.
+Ainsi $\Hom_k(A,A)\ra \Hom_k(A,k)$ est une bijection.
+Les deux endomorphismes $A\surj k \hra A$ et $A\sr{\mathrm{Id}}{\ra} A$
+ayant même image dans $\Hom_k(A,k)$, ils doivent coïncider. On a alors $k\iso A$.
+\end{proof}
+
+\begin{dfn}
+Soit $A$ un anneau. On dit que $A$ (ou $\SP(A)$) est \emph{connexe}
+s'il ne possède pas d'idempotents non triviaux.
+\end{dfn}
+
+Tout anneau intègre est connexe, $\ZZ[X]/X^2$ est connexe
+mais $\RR\times \RR$ n'est pas connexe.
+
+\begin{dfn}
+Soit $A$ un anneau. Une $A$-algèbre $B$ est un \emph{revêtement étale} de $A$,
+si $A\ra B$ est un morphisme \emph{fini} étale.
+On dit que $A$ (ou $\SP(A)$) est \emph{simplement connexe}
+s'il est connexe et si pour tout revêtement étale $B/A$, avec
+avec $B$ connexe, alors $A\iso B$.
+\end{dfn}
+
+
+Un corps $k$ est donc simplement connexe si et seulement si il est
+séparablement clos.
+Nous démontrerons plus bas \ref{Spec(Z)} le célèbre théorème :
+
+\begin{thm}[Minkowski]\label{Spec(Z) simplement connexe}
+$\SP(\ZZ)$ est simplement connexe.
+\end{thm}
+
+\begin{rmr}
+En symboles, cela s'écrit :
+$$
+\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(\ZZ))=\{1\}.
+$$
+On renvoie le lecteur curieux à \cite{sga1} pour une définition,
+due à A.~Grothendieck, du groupe
+$\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(A))$ pour tout anneau noethérien connexe $A$.
+Cette dernière coïncide, pour $A$ un corps $k$, au groupe de Galois sur $k$
+d'une clôture séparable de $k$. Enfin si $A=\CC[X_1,\dots,X_n]/(f_1,\dots,f_r)$
+est une $\CC$-algèbre de type fini connexe, on sait montrer (\sga{1}{xii}{5.2}) que si
+l'espace topologique connexe (\emph{op. cit.} 2.6)
+$$X=\{\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in \CC^n, f_1(\mathbf{x})=\cdots=f_r(\mathbf{x})=0\}$$
+est simplement connexe au sens usuel, alors
+$$
+\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(A))=\{1\}.
+$$
+Par exemple, $\CC[t]$ ne possède pas de revêtement étale connexe non trivial\footnote{
+La situation est totalement différente en caractéristique positive :
+si $\FF$ est une clôture algébrique de $\FF_p$,
+on peut vérifier que le normalisé de $\FF[t]$ dans l'extension
+d'Artin-Schreier $\FF(t)[X]/(X^p-X-t^{-1})$ est (fini) étale
+sur $\FF[t]$, connexe !, et malgré tout de degré $p$ sur $\FF[t]$.}.
+Le lecteur pourra consulter par exemple \cite{Douady-Douady}
+pour une démonstration élémentaire
+dans le cas particulier où $A$ est régulier de dimension $1$, \cad $X$ une \emph{surface
+de Riemann}.
+\end{rmr}
+
+Nous en déduirons le théorème suivant :
+
+\begin{thm}[$\got{S}_n$ par simple connexité]\label{S_n-4}
+Pour tout $n\geq 1$, le polynôme $X^n-X-1$ est irréductible sur $\QQ$
+de groupe de Galois $\got{S}_n$.
+\end{thm}
+
+%\section{Critères numériques de non ramification}
+\section{Vers des critères numériques de non ramification}
+
+
+Commençons par un nouveau critère pour décider si une $k$-algèbre est étale.
+
+\begin{prp}\label{trace-étale}
+Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie.
+Elle est étale sur $k$ si et seulement si la trace induit
+un isomorphisme
+$$
+A\ra A^{\vee}:=\Hom_k(A,k).
+$$
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+On a déjà vu que la condition est nécessaire (\ref{trace non dégénérée}).
+En procédant comme dans \emph{loc. cit.} (\cad en passant à la clôture
+algébrique) on voit qu'il suffit de démontrer
+que si la trace est non dégénérée alors $A$ est \emph{réduit}.
+Soit $a\in A$ un élément nilpotent. Pour tout $x\in A$,
+$ax$ est également nilpotent donc le morphisme de multiplication
+$m_{ax}:A\ra A$ est de trace nulle. Il en résulte que $a$ appartient
+au noyau de $A\ra A^{\vee}$ ; il est donc nul.
+\end{proof}
+
+
+\begin{thm}\label{caractérisation nr}
+Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions
+$K$. Soient $L/K$ une extension finie séparable et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
+Le morphisme $B/A$ est étale si et seulement si l'extension résiduelle
+$k_L/k_K$ est séparable et l'indice de ramification égal à $1$.
+\end{thm}
+
+On dit classiquement dans ce cas que l'extension $L/K$ est \emph{non ramifiée}.
+
+\begin{proof}
+La condition est nécessaire : si $B/A$ est étale, $B\otimes_A k_K / k_K$ l'est également.
+Comme $B\otimes_A k_K=B/\MM_A=B/\pi_B^e$, et comme $B/\pi_B^e$ est réduit (cf.
+\ref{étale-réduit}), on a $e=1$ et $B/\pi_B=k_L$ séparable sur $k_K$.
+
+Réciproquement, supposons $(B/\MM_A)=:k'$ étale sur $(A/\MM_A):=k$ étale (on
+vient de voir que l'hypothèse se traduit sous cette forme) et montrons
+que $B/A$ est étale. Comme $k'/k$ est étale donc monogène,
+il existe $\sur{P}\in k[X]$ tel que $k'\isononcan k[X]/\sur{P}$. Soit
+$P\in A[X]$ un polynôme unitaire relevant $\sur{P}$ et considérons
+la $A$-algèbre finie, locale $B':=A[X]/P$. Comme $(P',P)=1$,
+on vérifie comme en \ref{séparable-formellement étale} que $B'$
+est étale sur $A$. Pour tout $n\in \NN$, considérons
+le diagramme obtenu par tensorisation avec $A_n:=A/\MM_A^{n+1}$ :
+$$
+\xymatrix{
+B'_n \ar@{.>}[rd] \ar[rrd]^{\mathrm{isom}.} & & \\
+A_n \ar[u] \ar[r] & B_n \ar[r] & k'=B_0\isononcan B'_0
+}
+$$
+Comme $B'_n/A_n$ est étale, il existe un \emph{unique} relèvement $B'_n\ra B_n$,
+$A_n$-linéaire, de l'isomorphisme résiduel.
+Comme $B'$ et $B$ sont finis sur $A$ donc complet pour la topologie $\MM_A$-adique,
+on en déduit un $A$-morphisme $B'\ra B$, qui induit un isomorphisme
+après tensorisation avec $k$. C'est donc une surjection en vertu
+du lemme de Nakayama. D'autre part, $B'$ est libre sur $A$ de rang $[k':k]$
+et $B$ est libre de rang $e[k':k]\geq [k':k]$, où $e$ est l'indice de ramification.
+La surjection $B'\ra B$ est donc nécessairement un isomorphisme (et $e=1$).
+Comme $B'$ est étale sur $A$, $B/A$ est bien étale.
+\end{proof}
+
+Isolons un résultat important de la démonstration :
+
+\begin{thm}
+Soit $A$ un anneau local complet\footnote{Ou plus généralement un anneau
+local hensélien mais la démonstration est légèrement plus compliquée ;
+cf. \cite{Anneaux@Raynaud}.} de corps résiduel $k$. Alors,
+le foncteur
+$$
+\begin{array}{l}
+\{A-\mathrm{Alg}. \text{ finies locales étales}\} \ra \{\text{extension finies séparables
+de } k\} \\
+B\mapsto B\otimes_A k=:\sur{B}
+\end{array}
+$$
+est une \emph{équivalence de catégories}.
+En d'autres termes, toute extension séparable de $k$ s'obtient par ce procédé
+et
+pour $B_1,B_2$ comme ci-dessus, on a :
+$$
+\Hom_{A-\mathrm{Alg}.}(B_1,B_2)\iso \Hom_k(\sur{B_1},\sur{B_2}).
+$$
+\end{thm}
+
+De même,
+$\{A-\mathrm{Alg}. \text{ finies étales}\} \ra \{k-\mathrm{Alg}. \text{ finies étales}\}$
+est une équivalence de catégories.
+
+\begin{proof}
+Il s'agit essentiellement d'une redite.
+Pour le second point, on relève un polynôme unitaire définissant
+définissant l'extension monogène.
+Vérifions maintenant que
+$\Hom_{A-\mathrm{Alg}.}(B_1,B_2)\iso \Hom_k(\sur{B_1},\sur{B_2})$ est un isomorphisme :
+si $\sur{B_1}\ra \sur{B_2}$ est donné, comme $B_1/A$ est étale,
+il existe pour chaque $n$ un \emph{unique} morphisme de $A$-algèbres
+$B_1\ra B_{2n}$ relevant le composé $B_1\ra \sur{B_1}=B_{10}\ra B_{20}$.
+Comme $B_2\iso\lim_n B_{2n}$ (car $B_2$ est complet, étant de type fini sur $A$),
+on a bien un unique morphisme $B_1\ra B_2$.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}\label{composé non ramifiées}
+Soient $A$ et $K$ comme en \ref{caractérisation nr} et $K_1,K_2$ deux extensions
+non ramifiées de $K$. Alors, tout extension composée $L$ de $K_1$ et $K_2$ est
+non ramifiée.
+\end{crl}
+\begin{proof}
+Soient $A_1$ (resp. $A_2$) l'anneau des entiers de $K_1$ (resp. $K_2$)
+et $k_1$ (resp. $k_2$) son corps résiduel. Soit $l$ une extension composée
+de $k_1$ et $k_2$ sur $k$. D'après le théorème précédent, il existe
+une $A$-algèbre locale finie étale $B$ de corps résiduel $l$. De plus,
+$B$ est un anneau de valuation discrète (monogène sur $A$)
+et les inclusions $k_i\hra l$ se relèvent en des inclusions $A_i\hra B$.
+Le corps des fractions $L'$ de $B$ contient donc $K_1$ et $K_2$ et $L'/K$
+est non ramifiée sur $K$. Comme $L$ est $K$-isomorphe à un sous-corps
+de $L'$, et qu'une sous-extension d'une extension non ramifiée est
+non ramifiée, on a le résultat voulu.
+\end{proof}
+
+
+
+\subsection{Différente}\label{différente}
+Soient $A$ un anneau de Dedekind, $K$ son corps des fractions et $L/K$ un extension
+finie séparable. Soit $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $L$ ; c'est un anneau
+de Dedekind (\ref{} [À rédiger]), \emph{localement} libre de type fini sur $A$, de rang $[L:K]$.
+Dans tout ce paragraphe, nous faisons l'hypothèse supplémentaire que
+$B/A$ \emph{libre}. C'est le cas pour $A$ local ou plus généralement principal
+(Par exemple $\ZZ$ ou $\FF_p[X]$).
+
+Dans ce cas, on dispose
+d'un morphisme $A$-linéaire trace $\TR_{B/A}:B\ra A$. On pose alors,
+comme en \ref{normalisation finie},
+$B^{\star}:=\{y\in L,\ \TR_{B/A}(yB)\subset A\}$ ; c'est un idéal fractionnaire non nul de $L$
+contenant $B$.
+Pour tout idéal fractionnaire non nul $I$ de $L$, notons
+$I^{\vee}:=\{x\in L,\ xI \subset B\}$ ; il est isomorphe au $B$-dual abstrait.
+
+
+\begin{dfn}
+On appelle \emph{différente} de $B/A$, l'idéal ${B^{\star}}^{\vee}$ de $B$.
+On note $\mc{D}_{L/K}$ cet idéal.
+\end{dfn}
+
+Mesurons l'obstruction à ce que $B\ra B^{\star}$ soit un isomorphisme.
+
+\begin{prp}\label{net-discriminant}
+Soient $\wp$ un idéal premier de $B$ et $p:=A\cap \wp$. Alors,
+$L/K$ est non ramifiée en $\wp$ (\cad $B_\wp/A_p$ est étale) si et seulement
+si $\wp$ ne divise pas $\mc{D}_{L/K}$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+La formation de $\mc{D}_{L/K}$ commute à la localisation et à la complétion.
+% Expliquer !
+On peut donc supposer $A$ et $B$ des anneaux de valuation complets.
+Le morphisme $B/A$ est non ramifié en $\wp$ si et seulement si
+ $B/p$ est étale sur $k=A/p$. C'est équivalent à supposer la trace
+de la $k$-algèbre $B/p$ non dégénérée. Soit $(x_i)_{1\dots n}$ une base
+de $B$ sur $A$. Comme les $x_i$ modulo $p$ forment une base de $B/p$ sur $k$,
+on a finalement montré que $B/A$ est étale si et seulement si
+$\deter\big(\TR(x_i x_j)\big)$ est une unité de $A$ (rappelons que $A$ est local).
+Le $A$-module $B^\star$ est libre, et les $x_i^{\star}$ définis
+par $\TR_{B/A}(x_i x_j^{\star})=\delta_i^j$ en sont une base. L'inclusion
+$B\subset B^\star$ se traduit numériquement en les égalités :
+$$
+x_i = \sum_j \underbrace{\alpha_{i,j}}_{\TR(x_i x_j)} x_j^\star.
+$$
+Ainsi, $B=u(B^\star)$, pour $u:B^\star\ra B^\star$, dont le déterminant
+est précisément $\deter\big(\TR(x_i x_j)\big)$.
+Finalement $B=B^\star$ si et seulement si $B/A$ est étale. La première condition
+signifie que $\mc{D}_{L/K}=B$, \cad que l'idéal maximal de $B$ ne divise pas
+$\mc{D}_{L/K}$.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Presque tous les idéaux maximaux de $B$ sont non ramifiés.
+\end{crl}
+
+\subsection{Formes différentielles, suite (facultatif)}\label{dérivations-2}
+
+On continue la discussion commencée en \ref{dérivations-1}.
+
+\begin{prp2}\label{étale implique omega_1 nul}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre formellement étale. Alors,
+pour tout $B$-module $M$, toute $A$-dérivation $B\ra M$ est nulle.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+Soit $M$ un $B$-module. Munissons $B\oplus M$ d'une structure de $A$-algèbre en posant,
+pour tout $b\in B$ et $m\in M$ :
+$$
+(b,m)\cdot (b',m')=(bb',bm'+b'm).
+$$
+On notera $M_{\varepsilon}$ cette algèbre ; $M$ en est naturellement
+un idéal, de carré nul. L'anneau quotient $M_{\varepsilon}/M$ est canoniquement isomorphe, par la
+première projection, à $B$.
+Tautologiquement, toute $A$-dérivation $d:B\ra M$ induit un morphisme
+de $A$-algèbres $f_d:B\ra M_{\varepsilon}$ en posant $f_d(b,m)=(b,d(m))$.
+Réciproquement, tout morphisme de $A$-algèbres $B\ra M_{\varepsilon}$ induisant
+l'identité $B\ra B=M_{\varepsilon}/M$ provient d'une unique $A$-dérivation $B\ra M$.
+Plus suggestivement, on a une bijection :
+$$
+\mathrm{D\acute{e}r}_A(B,M)\iso \Hom_{A-\mathrm{alg}.}(B,M_{\varepsilon})_{\mathrm{Id}}.
+$$
+On écrira aussi $\Hom_{A-\mathrm{alg}./B}(B,M_{\varepsilon})$ le terme de droite.
+Si $B/A$ est formellement étale, comme $M$ est de carré nul,
+il existe un \emph{unique} morphisme relevant l'identité $B\ra B$, nécessairement l'application
+$(\mathrm{Id},0):B\ra M_{\varepsilon}$. Finalement $\mathrm{D\acute{e}r}_A(B,M)=\{0\}$,
+CQFD.
+\end{proof}
+
+On appelle $M_{\varepsilon}$ la $B$-algèbre des nombres duaux sur $M$.
+
+
+
+
+Soit $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Comme en \ref{graphe endomorphisme},
+considérons le noyau $I_{\Delta}$ du morphisme $B\otimes_A B\surj B$.
+Considérons le quotient $I_{\Delta}/I_{\Delta}^2=I\otimes_{B\otimes_A B}
+B$ ; c'est un $B$-module.
+\begin{dfn2}
+On note $\Omega^1_{B/A}$ le $B$-module $I/I^2$ ; c'est le module
+des différentielles de $B/A$.
+On note $d_{B/A}$ le morphisme $A$-linéaire :
+$$
+x\mapsto 1\otimes x - x\otimes 1\in \Omega^1_{B/A}.
+$$
+Il vérifie : $d_{B/A}(xy)=xd_{B/A}(y)+yd_{B/A}(x)$, pour tout $x,y\in B$.
+\end{dfn2}
+
+Comme annoncé en \ref{dérivations-1}, on a :
+
+\begin{prp2}
+Soit $d:B\ra M$ une $A$-dérivation. Il existe une unique application
+$B$-linéaire $f:\Omega^1_{B/A}\ra M$ telle que $d=f\circ d_{B/A}$.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+Vérifions l'existence. Soient $M$ un $B$-module et $d:B\ra M$ une $A$-dérivation.
+Considérons l'application
+$$
+\begin{array}{l}
+\pi:B\otimes_A B \ra M_{\varepsilon}\\
+\left\{\begin{array}{l}
+b\otimes 1 \mapsto b \\
+1\otimes b \mapsto f_d(b)
+\end{array}\right.\\
+\end{array}\
+$$
+Comme $\pi(1\otimes b - b\otimes 1)=f_d(b)-b\in M$, on voit que $\pi(I_{\Delta})\subset M$ :
+cela résulte du fait que $I_{\Delta}$ est engendré comme $B$-module (via $p_1$)
+par les éléments $1\otimes b - b\otimes 1$ (cf. par ex. \ref{points fixes 1}).
+Comme $M$ est de carré nul, $\pi$ se factorise en
+$$\widetilde{\pi}:B\otimes_A B / I_{\Delta}^2\ra M_{\varepsilon}.$$
+Le sous-$B$-module $\Omega^1_{B/A}=I_{\Delta}/ I_{\Delta}^2$ de $B\otimes_A B / I_{\Delta}^2$
+s'envoie donc par $\widetilde{pi}$ dans $M$ ; c'est la factorisation souhaitée
+$u:\Omega^1_{B/A}\ra M$.
+On vérifie sans difficulté que $u\circ d_{B/A}=d$. En effet,
+$u(1\otimes b - b \otimes 1 \mod I_{\Delta}^2)=f_d(b)-b=d(b)$.
+
+L'unicité résulte de ce que $\Omega^1_{B/A}$ est engendré comme $B$-module
+par les $d_{B/A}(b)$, $b\in B$.
+\end{proof}
+
+\begin{prp2}
+Soit $B/A$ comme en \ref{différente} et supposons
+$B=A[X]/f$ pour un polynôme unitaire $f$.
+Alors,
+$$\mathrm{Ann}_B(\Omega^1_{B/A})=\mc{D}_{B/A}.$$
+\end{prp2}
+
+\begin{rmr2}
+Il n'est pas difficile de vérifier que pour tout $A$-algèbre $A'$,
+si l'on pose $B':=B\otimes_A A'$, on a $\Omega^1_{B/A}\otimes_B B'\iso \Omega^1_{B'/A'}$.
+Comme d'autre part, si $A$ est un anneau de valuation discrète complet
+et $B/A$ telle que l'extension résiduelle soit \emph{séparable},
+on peut montrer (\cite{CL@Serre}, chap.~\textsc{iii}) que $B/A$ est bien monogène.
+Il en résulte que la conclusion de la proposition précédente est
+valable dès que les extensions résiduelles sont séparables.
+(On utilise implicitement le fait que la différente se comporte également bien
+par localisation et complétion.)
+\end{rmr2}
+
+\begin{proof}
+Il est immédiat que si $B=A[X]/f=A[x]$, $\Omega^1_{B/A}$ est engendré par $dx$,
+d'annulateur $f'(x)$. Or, on va voir ci-dessous %(\ref{calcul différente})
+que dans ce cas, $\mc{D}_{L/K}=(f'(x))$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Calcul}
+
+\begin{prp2}\label{calcul différente}
+Soit $L/K$ comme en \ref{différente}. Soit $x\in B$ tel que $L=K(x)$
+et notons $f:=\mathrm{Irr}_K(x)\in A[X]$.
+Alors, $\mc{D}_{L/K}$ divise l'idéal $(f'(x))$ et il y a égalité
+si et seulement si $B=A[x]$.
+\end{prp2}
+
+Notons $n=[L:K]$.
+Soit $C:=A[x]\subset B$. Génériquement, $C\ra B$ est un isomorphisme.
+\begin{sslmm2}
+Le $A$-module $C^\star$ est libre de base les $\frac{x^i}{f'(x)}$ pour
+$0\leq i \leq n-1$.
+\end{sslmm2}
+\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
+Soient $x_1,\dots,x_n$ les racines distinctes de $f$.
+L'égalité formelle
+$$
+\frac{1}{f(X)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{f'(x_k)(X-x_k)}
+$$
+montre que
+$$\TR\big(\frac{x^i}{f'(x)}\big)=0$$
+pour $0\leq i \leq n-2$ et $1$ sinon. La conclusion résulte
+alors de la définition de $C^\star$.
+Il résulte du sous-lemme que la matrice $\TR\big(x^i\cdot \frac{x^j}{f'(x)})$
+est inversible : elle est nulle au-dessus de l'anti-diagonale et les coefficients
+anti-diagonaux valent $1$.\end{proof}
+
+Démontrons la proposition.
+Notons $\got{r}:=\{t\in C,\ tB\subset C\}$ ; c'est un idéal de $B$
+que l'on appelle le \emph{conducteur} de $B$ dans $C$.
+Pour démontrer la proposition, il nous suffit de prouver
+que
+$$\got{r}=f'(x)\mc{D}_{B/A}.$$
+Cela résulte de la chaîne d'équivalence suivante :
+$$
+\begin{array}{ll}
+t\in \got{r} \leftrightarrow & tB\subset C \leftrightarrow f'(x)^{-1}tB\subset C^\star
+\leftrightarrow \TR(f'(x)^{-1}tB)\subset A \\
+& \leftrightarrow f'(x)^{-1}t \in \mc{D}_{B/A}^{-1} \leftrightarrow t\in f'(x) \mc{D}_{B/A}^{-1}
+\end{array}
+$$
+%\begin{crl2}
+%Soient $p$ un nombre premier, $f\in \ZZ_p[X]$ un polynôme unitaire irréductible
+%et $L$ un corps de décomposition de $f$ sur $\QQ_p$.
+%Alors, $p$ est ramifié dans $L$ si et seulement si
+%$f \mod p$ et $f' \mod p$ ont une racine commune modulo $p$.
+%\end{crl2}
+%\begin{proof}
+%Soit $K$ un corps de rupture de $f$ ; $L$ est un composé sur $\QQ_p$ de tels corps.
+%\end{proof}
+
+
+
+\subsection{Application}
+
+\begin{thm2}
+Soit $n\geq 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible sur $\QQ$
+et de groupe de Galois isomorphe à $\got{S}_n$.
+\end{thm2}
+
+Nous allons démontrer ce théorème en admettant le théorème \ref{Spec(Z) simplement connexe}
+(démontré en \ref{Spec(Z)}) et l'irréductibilité
+de $f_n$ (démontrée en \ref{Selmer})
+
+Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
+des entiers. Supposons que le nombre premier
+$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après \ref{composé non ramifiées} il est alors
+ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
+est le composé de tels corps.
+Compte tenu de \ref{calcul différente} (voir aussi
+\ref{étale implique omega_1 nul}), $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
+modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
+Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
+que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
+et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
+Nous allons traduire ce dernier point en un énoncé groupique.
+
+
+Commençons par fixer les notations. Soit $\wp$ un idéal premier de
+$A_n$ au-dessus d'un nombre premier quelconque $p$. Notons $D(\wp)$
+le sous-groupe de $G_n:=\ga(K_n/\QQ)$ laissant stable $\wp$.
+On a un morphisme canonique de $D(\wp)$ vers
+le groupe de Galois de l'extension résiduelle $\ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$.
+On a vu en \ref{spécialisation} que c'est une surjection
+car $\FF_p$ est parfait.
+
+Voici un critère, groupique, de non ramification :
+
+\begin{prp2}\label{net-groupique}
+Soient $K/\QQ$ une extension finie galoisienne, $\OO_K$ l'anneau des entiers
+de $K$ et $\wp$ un idéal maximal de $\OO_K$.
+Alors, $I(\wp)$ est trivial si et seulement si $\wp$ est non ramifié
+dans $K$.
+\end{prp2}
+\begin{proof}
+Soit $K_{\wp}$ le corps des fractions du complété de $\OO_K$ en $\wp$.
+Comme ce complété est une composante de l'algèbre $\OO_K\otimes_{\ZZ} \ZZ_p$
+(cf. \ref{décomposition algèbre artinienne}),
+$K_{\wp}$ est un des corps résiduel de la $\QQ_p$-algèbre étale
+$K\otimes_{\QQ} \QQ_p$, donc un composé de $K$ et $\QQ_p$ sur $\QQ$.
+En particulier (cf. \ref{fonctorialité}) c'est une extension
+finie galoisienne de $\QQ_p$.
+Tout élément de $\sigma\in D(\wp)$ laisse stable $\wp$, donc
+induit une application continue pour la topologie $\wp$-adique $\OO_K\ra \OO_K$
+qui, par complétion et passage au corps des fractions,
+induit un élément $\widehat{\sigma}\in \ga(K_{\wp}/\QQ_p)$.
+L'application ainsi définie
+$$D(\wp)\ra \ga(K_{\wp}/\QQ_p)$$ est injective ;
+c'est en fait un isomorphisme car l'image de $\ga(K_{\wp}/\QQ_p)$
+dans $\ga(K/\QQ)$ par le morphisme de restriction
+se factorise nécessairement à travers $D(\wp)$ (et est un inverse de l'application
+précédente) :
+$\ga(K_{\wp}/\QQ_p)$ stabilise son anneau de valuation, qui contient $\wp$.
+On a vu en \ref{n=ef} que l'extension $K_{\wp}/\QQ_p$ est de degré $ef$ où
+$f=\#\ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$ est le degré de l'extension résiduelle
+et $e$ l'indice de ramification.
+Ainsi, la surjection $D(\wp)\surj \ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$ est un isomorphisme
+si et seulement si $e=1$, \cad si l'extension est non ramifiée en $\wp$.
+\end{proof}
+
+Appliquons cette proposition dans notre cas particulier
+et précisons ce qu'il arrive dans le cas ramifié.
+Notons $X_n$ l'ensemble des racines de $f_n$ dans $K_n$.
+\begin{lmm2}
+Soit $\wp$ un idéal maximal de $A_n$. Le sous-groupe $I(\wp)\subset \got{S}_{X_n}$ est
+ou bien engendré par une transposition ou bien trivial.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Supposons $p=\wp\cap \ZZ$ non ramifié dans $K_n$. Dans ce cas,
+et seulement dans ce cas, $I(\wp)$ est trivial.
+
+Considérons maintenant le cas où $p$ est ramifié.
+Soit $\sur{X_n}$ l'ensemble des racines de $f_n$ dans $\kappa(\wp)$.
+Le morphisme de réduction modulo $\wp$ : $A_n\ra \kappa(\wp)$, induit
+une surjection $X_n\surj \sur{X_n}$. Par hypothèse, $f_n$ a une racine double modulo $p$ ;
+on a vu qu'elle est d'ordre exactement deux et unique. En particulier $\sur{X_n}$
+est d'ordre $n-1$. Notons $x_1,x_2$ les deux seuls éléments de $X_n$ ayant même image
+dans $\sur{X}_n$. Soit $\sigma$ un élément du groupe de décomposition
+$D(\wp)$ ; comme $\sur{\sigma(x_1)}=\sur{\sigma}(\sur{x_1}=\sur{x_2})=\sur{\sigma(x_2)}$,
+on a l'inclusion
+$$D(\wp)\subset \{\sigma \in G_n,\ \sigma\{x_1,x_2\}=\{x_1,x_2\}\}.$$
+Il en résulte immédiatement que le groupe d'inertie satisfait :
+$$
+I(\wp)\subset \mathrm{Ker}\big(\got{S}_{X_n}\cap \mathrm{Stab}_{\{x_1,x_2\}}\ra
+\got{S}_{\sur{X_n}}\big)=\langle (x_1 x_2 ) \rangle.
+$$
+La conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+
+\begin{prp2}
+Soit $K/\QQ$ comme en \ref{net-groupique}. Si $I$ est le sous-groupe de $\ga(K/\QQ)$ engendré
+par les groupes d'inertie $I(\wp)$, $\wp\in \SP\mathrm{max}.(\OO_K)$,
+l'extension $K^{I}/\QQ$ est non ramifiée.
+\end{prp2}
+Il résulte alors du théorème \ref{Spec(Z) simplement connexe} que $K^I=\QQ$,
+\cad que $I=\ga(K/\QQ)$.
+\begin{proof}
+Soit $I_p$ le sous-groupe engendré par les $I(\wp)$ où $p|\wp$.
+C'est un sous-groupe distingué de $\ga(K/\QQ)$. En effet,
+si $\sigma\in \ga(K/\QQ)$, $\sigma(\wp)$ est un idéal
+maximal de $\OO_K$ au-dessus de $p$ et l'on a évidemment
+$\sigma D(\wp) \sigma^{-1}=D(\sigma{\wp})$. L'égalité analogue pour
+les groupes d'inertie montre que $I_p\triangleleft \ga(K/\QQ)$.
+
+Comme $\displaystyle K^I=\cap_p K^{I_p}$, il suffit de vérifier que $K':=K^{I_p}$ est non
+ramifiée en $p$. Soit
+$$\xymatrix{
+K & \wp\\
+K'\ar@{-}[u] & \wp'=\wp\cap \OO_{K'} \\
+\QQ \ar@{-}[u] & p=\wp\cap \ZZ
+}
+$$
+une tour d'extensions galoisiennes (sans hypothèse supplémentaire sur $K'$)
+et des idéaux maximaux correspondants.
+On a une surjection $\ga(K/\QQ)\surj \ga(K'/\QQ)$.
+Le lecteur vérifiera sans difficulté (exercice ou \cite{CL@Serre}, chap. \textsc{i}, prop.~22)
+% À FAIRE !!
+qu'elle induit des surjections naturelles
+$D(\wp)\surj D(\wp')$ et $I(\wp)\surj I(\wp')$.
+Dans notre cas, comme $\ga(K'/\QQ)=\ga(K/\QQ)/I_p$, $I(\wp')$ est nul dans ce quotient.
+Enfin, on a vu plus haut qu'une extension est non ramifiée dès que ses groupes
+d'inerties sont triviaux.
+\end{proof}
+
+% COMPLÈTEMENT N'IMPORTE QUOI
+%\begin{rmr2}
+%En passant à la limite sur les extensions finies de $\QQ_p$ une surjection
+%$$D_p:=\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ_p)\surj \ga(\FF/\FF_p)\iso \lim_n \ZZ/n\ZZ=: \widehat{\ZZ}.$$
+%On peut montrer qu'il existe un générateur $\tau$ du noyau $I_p$
+%et un élément $\sigma$ de $\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ)$ s'envoyant sur $1\in \widehat{\ZZ}$
+%tels que $\langle \tau,\sigma \rangle =\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ_p)$ et
+% $$\sigma^{-1}\tau \sigma = \tau^p.$$
+%Le groupe de Galois de $\sur{\QQ}_p/\QQ$ a donc une structure relativement simple.
+%En particulier il est pro-résoluble, \cad limite projective de groupes
+%finis résolubles.
+%\end{rmr2}
+
+Il résulte de ces lemmes que le groupe de Galois de $K_n/\QQ$ est engendré
+par des transpositions. Comme c'est un sous-groupe \emph{transitif} de $\got{S}_{X_n}$,
+le graphe associé à ces transpositions\footnote{Les sommets
+sont les éléments de $X_n$ et $xy$ est une arête si et seulement si
+$(xy)$ est une de ces transpositions.} est \emph{connexe}. Il
+en résulte que c'est $\got{S}_{X_n}$ tout entier. Ceci achève
+la démonstration de \ref{S_n-4} modulo le résultat des deux sections suivantes.
+
+
+\subsection{Constante de Minkowski}\label{Spec(Z)}
+
+\begin{thm2}[Minkowski]
+Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
+non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
+connexe alors $\ZZ\iso A$.
+\end{thm2}
+
+La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
+groupe de Picard.
+
+Quand le corps de base est $\QQ$, on préfère souvent mesurer la ramification
+à l'aide d'un entier. Si $K/\QQ$ est finie et $x_1,\dots,x_n$ est une base
+de l'anneau des entiers $\OO_K$ sur $\ZZ$, on pose :
+$$
+\got{d}_{K/\QQ}:=|\mathrm{d\acute{e}t}(\TR_{K/\QQ}(x_ix_j))|.
+$$
+Cette quantité est indépendante du choix de la base et est appelé
+le \emph{discriminant} de l'extension. On a vu
+en \ref{net-discriminant} (démonstration) que $K/\QQ$ est non ramifiée
+en $p$ si et seulement si $p$ ne divise pas $\got{d}_{K/\QQ}$.
+Bien que nous n'utiliserons pas ce fait, signalons que
+ $\got{d}_{K/\QQ}=\mathrm{N}(\mc{D}_{K/\QQ})$.
+
+Soient $n=[K:\QQ]$ et $\sigma_i$, $1\leq i \leq n$ les différents plongements
+de $K$ dans $\CC$. On a
+$$
+\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2=\got{d}_{K/\QQ}
+$$
+car
+$\big(\TR_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.
+
+
+\begin{lmm2}\label{covolume-discriminant}
+Soient $K/\QQ$ une extension finie.
+Alors
+$$
+\mathrm{covol}(\OO_K\hra K_{\RR})=2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}.
+$$
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
+$K\hra \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
+\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K\hra \CC$.
+Le morphisme
+$\OO_K\ra K_{\RR}\isononcan \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}\iso \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
+est de la forme
+$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
+Passer de la matrice ayant ces colonnes à
+$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
+La formule en résulte.
+\end{proof}
+
+\begin{thm2}
+On a l'inégalité :
+$$
+\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
+$$
+où $n=[K:\QQ]$.
+\end{thm2}
+
+\begin{proof}
+Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
+Soit
+$$
+A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
+$$
+le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
+L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
+de $A$ a une norme inférieure à $1$.
+Admettons que
+$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(\OO_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+il existe un élément non nul de $tA\cap \OO_K$, nécessairement
+de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
+L'inégalité en résulte immédiatement.
+
+Effectuons le calcul volumique. Posons
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
+$$
+où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
+En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
+f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
+$$
+on trouve :
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
+$$
+Soit
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
+de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
+Calculons $g$ :
+$$\begin{array}{ll}
+g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
+& = 2\pi g_{r-1}(1)
+\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
+& = ... \\
+& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
+\end{array}
+$$
+Finalement,
+$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
+\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
+comme annoncé.
+
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Irréductibilité de $X^n-X-1$ sur $\QQ$}\label{Selmer}
+
+Nous allons reproduire l'ingénieuse démonstration du mathématicien norvégien
+Ernst Selmer. parue en \osn{1956}.
+
+Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
+les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
+$$
+S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
+$$
+et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
+Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
+a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
+racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
+produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
+il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
+En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
+que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
+
+Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
+si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
+on a
+$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
+en sommant le carré des deux égalités on trouve :
+$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
+En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
+les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
+qui n'est pas le cas.
+Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
+$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
+on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
+$$
+\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+$$
+Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
+et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
+$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
+on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
+l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
+CQFD.
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new file mode 100644
index 0000000..7063403
--- /dev/null
+++ b/adresse.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+\author{David Madore}
+%\address{CNRS et Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz\\
+%\'Ecole polytechnique\\
+%\oldstylenums{91128} Palaiseau\\
+%France}
+%\email{Fabrice.Orgogozo@math.polytechnique.fr}
+%\urladdr{http://www.math.polytechnique.fr/~orgogozo/}
+
+\author{Fabrice Orgogozo}
+%\address{CNRS et Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz\\
+%\'Ecole polytechnique\\
+%\oldstylenums{91128} Palaiseau\\
+%France}
+%\email{Fabrice.Orgogozo@math.polytechnique.fr}
+%\urladdr{http://www.math.polytechnique.fr/~orgogozo%/}
+% cf. www.cnrs.fr/fr/presentation/organisation/docs/Affiliations_CNRS.pdf
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index 0000000..65748fa
--- /dev/null
+++ b/appendice.tex
@@ -0,0 +1,511 @@
+
+
+\chapter{Catégories}
+
+Un peu de vocabulaire.
+
+\chapter{Produit tensoriel, localisation et platitude}\label{appendice 1}
+
+\section{Platitude}
+
+\begin{prp}\label{platitude localisation}
+Platitude localisation.
+\end{prp}
+
+
+\begin{prp}\label{fidèlement plat}
+Soit $A$ un anneau et $M$ un $A$-module. Conditions équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item $M\otimes_A -$ est fidèle et exact,
+\item $M$ est plat et pour tout $A$-module non nul $N$, $M\otimes_A N\neq 0$,
+\item $M$ est plat et pour tout idéal \emph{maximal} $\MM$ de $A$, $M\otimes_A A/\MM$
+est non nul.
+\end{itemize}
+\end{prp}
+
+\begin{dfn}
+Sous les hypothèses précédentes, on dit que $M$ est fidèlement plat sur $A$.
+\end{dfn}
+
+\begin{prp}\label{plat-local}
+Soient $A,B$ deux anneaux locaux et $A\ra B$ un morphisme local, plat.
+Alors $A\ra B$ est \emph{fidèlement} plat.
+\end{prp}
+
+%[+ HYPOTHÈSE DE FINITUDE !?]
+
+\begin{proof}
+Cela résulte du troisième critère et du lemme de Nakayama.
+\end{proof}
+
+\begin{prp}\label{cb-plat}
+$B/A$ plat, $A'/A$ quelconque implique $B_{A'}/A'$ plat.
+\end{prp}
+
+\begin{rmr}
+%(CF MILNE) PLAT <->
+s'il y a une relation de dépendance c'est pour des raisons bêtes :
+« ce n'est pas la faute du module ».
+\end{rmr}
+
+\section{Groupe de Picard}
+
+\begin{dfn}[Modules localement libres, inversibles]\label{inversible}
+Soit $A$ un anneau noethérien.
+Un $A$-module $M$ de type fini est dit \emph{localement
+libre} si pour tout $\wp\in\SP(A)$, $M_\wp:=M\otimes_A A_\wp$
+est un $A_\wp$-module libre. Il est dit \emph{inversible} s'il existe un $A$-module
+$M'$ et un isomorphisme $M\otimes_A M'\isononcan A$.
+\end{dfn}
+
+\begin{prp}
+%[RAJOUTER HYPOTHèSE]
+Un $A$-module $M$ est inversible si et seulement si, pour tout $\wp\in \SP(A)$
+(resp. tout $\wp\in \SP\max(A)$), $M_\wp$ est un $A_\wp$-module
+libre de rang $1$.
+\end{prp}
+
+[DISCUTER CAS PRÉSENTATION FINIE ; PASSER DE $M_\wp$ à $M_U$.]
+
+\begin{proof}
+Cf. 20''.
+\end{proof}
+
+\begin{prp}
+Le produit tensoriel de deux $A$-modules inversible est inversible.
+Le dual $M^{\vee}:=\Hom_A(M,A)$ d'un $A$-module inversible est inversible ;
+plus précisément, l'évaluation $M\otimes_A M^{\vee}\sr{\mathrm{ev}}{\ra} A$ est un
+isomorphisme.
+\end{prp}
+
+
+\begin{dfn}
+L'ensemble des classes d'isomorphismes de $A$-modules inversibles,
+muni du produit tensoriel, est un groupe, appelé le \emph{groupe
+de Picard} de $A$. On le note $\pic(A)$.
+\end{dfn}
+
+\begin{prp}
+Soit $A$ un anneau intègre. Tout $A$-module inversible est isomorphe à un sous-$A$-module
+inversible de $\mathrm{Frac}(A)$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof} $M\hra M\otimes_A K\isononcan K$. (Le morphisme $M\ra M\otimes_A K$
+est une injection car c'est vrai localement.)
+\end{proof}
+
+\begin{dfn}[Idéaux fractionnaires]\label{fractionnaire}
+Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$. On appelle \emph{idéal fractionnaire}
+de $A$ un sous-$A$-module de $K$. Il est dit inversible s'il est inversible comme $A$-module.
+\end{dfn}
+
+Par exemple, si $a\in K^{\times}$, le $A$-module $Aa\subset K$ est un idéal
+fractionnaire inversible. Ces idéaux fractionnaires inversibles sont dit \emph{principaux}
+On peut étendre le produit des idéaux de $A$ à l'ensemble des idéaux
+fractionnaires est façon à en faire un monoïde : le produit de $I_1,I_2$
+est le sous-$A$-module de $K$ engendré par les produits $i_1i_2$, pour
+$(i_1,i_2)\in I_1\times I_2$. De façon équivalente,
+c'est l'image du morphisme $I_1\otimes_A I_2\hra K\otimes_A K \sr{\text{prod}}{\surj} K$.
+
+\begin{prp}
+Soit $A$ un anneau intègre noethérien de corps des fractions $K$.
+Alors, l'application
+$$
+\begin{array}{l}
+\{\text{idéax fractionnaires inversibles}\}/(I\sim J\text{si } \exists a\in K^{\times}
+\text{t.q. }J=aI)
+\longrightarrow \pic(A)\\
+I \mod \text{principaux} \mapsto \text{classe d'isom. de}\ I
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme de groupes.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Cf. page 20''.
+\end{proof}
+
+
+\section{Nakayama; complétion}
+
+
+\begin{prp}[Nakayama [En japonais !]]\label{Nakayama}
+%Super Nakayama : 中山
+\end{prp}
+
+\begin{crl}\label{Nakayama2}
+Si $A$ est un anneau local \emph{noethérien} d'idéal maximal $\MM$,
+on a
+$$
+\cap \MM^n=(0).
+$$
+\end{crl}
+
+(En d'autres termes, $A$ est \emph{séparé} (cf. \ref{}
+[À chercher]) pour la topologie $\MM$-adique.
+
+
+\begin{prp}
+Soit $f:k\ra A$ un morphisme d'anneaux commutatifs tel que $\SP(A)\ra \SP(k)$ soit
+surjectif. Alors, pour tout $k$-module $N$,
+$$
+N=0 \Longleftrightarrow N\otimes_k A=0.
+$$
+\end{prp}
+
+Remarquons que les hypothèses sont automatiquement satisfaites si $k$ est un corps
+et $A$ est non nul.
+
+\begin{proof}
+Supposons le $k$-module $N$ non nul. Il existe donc un quotient monogène non nul $N'$ de $N$
+%[???? Supposer $N$ de type fini ?]
+et $N\otimes_k A\surj N'\otimes_k A$ (\ref{exact à
+droite} [À rédiger dans le chapitre d'algèbre
+commutative]).
+Il suffit donc de démontrer la proposition pour $N$ monogène non nul et finalement
+$N=k/\wp$ où $\wp$ est un idéal maximal de $k$. Dans ce cas, $N\otimes_k A\isononcan
+A/\wp A$. Par hypothèse, il existe $\wp'\in \SP(A)$ tel que $f^{-1}(\wp')=\wp$ ;
+en particulier, l'idéal $\wp A$ est contenu dans l'idéal premier $\wp'$ et le quotient
+$A/\wp A$ est non nul.
+\end{proof}
+
+\begin{prp}\label{complété-cas noethérien}
+Si $A$ est noethérien, pour tout idéal maximal, $\widehat{A}$ est plat
+sur $A$ et $\MM_{\widehat{A}}=\MM_A \widehat{A}$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+
+\end{proof}
+
+\begin{lmm}
+Soient $A$ un anneau local noethérien complet d'idéal maximal $\MM_A$, et $M$ un $A$-module
+de type fini. Alors $M$ est séparé et complet pour la topologie $\MM_A$-adique :
+$$
+M\ra \widehat{M}:=\lim_n M/\MM_A^{n+1}
+$$
+est un isomorphisme.
+\end{lmm}
+
+[METTRE COMPLET SÉPARÉ PLUS HAUT DANS LA DÉFINITION]
+
+
+
+\begin{proof}
+Commençons par vérifier que $M$ est séparé, \cad que le morphisme canonique ci-dessus
+est injectif, ou, de façon équivalente, que $N:=\cap_n \MM^{n}M=0$.
+Remarquons que $N$ est de type fini, car $A$ est noethérien, et satisfait
+la condition $\MM_A N = N$. Le lemme de Nakayama \ref{Nakayama} affirme
+exactement que sous ces hypothèses, $N=0$.
+
+Le $A$-module $M$ étant de type fini est le quotient d'un $A$-module complet $N$ (à savoir
+un $A$-module $A^r$ pour un $r$ convenable). On a donc un morphisme
+$$
+u:N\ra M
+$$
+tel que
+\begin{enumerate}
+\item $N$ soit complet,
+\item $\mathrm{gr}(u)$ soit surjectif,
+\item $M$ soit séparé.
+\end{enumerate}
+
+\begin{lmm2}
+Sous les trois hypothèses ci-dessus, $u$ est surjectif, \emph{strict} (\cad
+$u(N_n)=M_n$ pour tout $n$) et $M$ est complet.
+\end{lmm2}
+Vérifions ce lemme. Il suffit de montrer que $u$ est strict ; ceci étant fait,
+il en résulte que la topologie de $M$ est une topologie quotient de $N$
+(quotient par un fermé car $M$ est séparé) si bien que $N$ est complet.
+[!!! REFAIRE (VOIRE VIRER...)]
+\end{proof}
+
+
+\begin{lmm}
+Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
+libre. Alors une suite de $A$-modules $M'\ra M \ra M''$ est exacte (en $M$)
+si et seulement si la suite $M'_{B}\ra M_{B} \ra M''_{B}$ qui s'en déduit par tensorisation
+par $B$ est exacte.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Notons $f:M'\ra M$ et $g:M\ra M''$ (resp. $f_B$, $g_B$ les morphismes
+qui s'en déduisent par tensorisation).
+C'est un fait général (\cad vrai sans hypothèse sur le morphisme $B/A$)
+que le morphisme canonique $\mathrm{Im}(f)\otimes_A B\ra \mathrm{Im}(f_B)$ est un isomorphisme.
+(Cf. appendice.) Sous notre hypothèse de liberté, le morphisme $\ker(f)_B\ra \ker(f_B)$
+est également un isomorphisme.
+[BLABLA À CHANGER : C'EST NUL !]
+\end{proof}
+
+[DËFINIR LES SCHÉMAS AFFINES !]
+
+\section{Schémas affines}
+
+\begin{lmm}\label{spectre localisé}
+Spectre du localisé.
+\end{lmm}
+
+\begin{crl}\label{dimension localisé}
+Dimension du localisé : elle descend.
+\end{crl}
+
+\begin{lmm}\label{spectre générique}
+Si génériquement égaux et de dimension $1$ alors, presque même spectres.
+\end{lmm}
+
+
+\begin{lmm}\label{spectre quotient}
+Le spectre d'un quotient. Idem pour les produits fibrés...\ref{going-up1}.
+\end{lmm}
+
+
+\begin{lmm}\label{spectre d'un produit}
+Soit $I$ un ensemble fini et $A=\prod_{i\in I} A_i$ un produit d'anneaux.
+L'application
+$$
+\begin{array}{l}
+\coprod_{i\in I} \SP(A_i) \ra \SP(A)\\
+\wp_i \mapsto \wp_{i,A}:=\prod_{j\neq i} A_j \times \wp_i
+\end{array}
+$$
+est une bijection.
+De plus le localisé $A_{\wp_{i,A}}$ est canoniquement isomorphe à ${A_i}_{\wp_i}$.
+\end{lmm}
+
+Exercice.
+
+\section{DIVERS...}
+
+\begin{prp}\label{isomorphisme-générique}
+\begin{enumerate}
+\item Soient $A_1$ et $A_2$ deux $\QQ[t]$-algèbres libres de type fini.
+Supposons qu'il existe un isomorphisme (resp. une surjection,
+resp. une injection) de $\QQ(t)$-\emph{algèbres}
+$$
+A_1\otimes_{\QQ[t]}\QQ(t) \iso A_2\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t)
+$$
+Alors, il existe un polynôme non nul $q\in \QQ[t]$ et un
+$\QQ[t][\frac{1}{q}]$-isomorphisme (resp. surjection, injection)
+$$
+A_1\otimes_{\QQ[t]}\QQ[t][\frac{1}{q}] \iso A_1\otimes_{\QQ[t]}\QQ[t][\frac{1}{q}].
+$$
+En particulier, pour tout $a\in \QQ$ tel que $q(a)\neq 0$,
+les $\QQ$-algèbres $A_1\otimes_{\QQ[t],a} \QQ$ et $A_2\otimes_{\QQ[t],a} \QQ$
+sont isomorphes (resp. il existe une surjection, une injection).
+\item Soient $B$ une $\QQ[t]$-algèbre et $A_1$, $A_2$ deux $B$-algèbres
+libres de type fini sur $\QQ[t]$. Supposons qu'il existe un
+isomorphisme de $B\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t)$-\emph{algèbres}
+$$
+A_1\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t)\iso A_2\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t).
+$$
+Alors, il existe un polynôme non nul $q\in \QQ[t]$
+et un isomorphisme de $B\otimes_{\QQ[t]} \QQ[t][q^{-1}]$-algèbres :
+$$
+A_1\otimes_{\QQ[t]} \QQ[t][q^{-1}] \iso A_2\otimes_{\QQ[t]} \QQ[t][q^{-1}].
+$$
+
+En particulier, pour tout $a\in \QQ$ tel que $q(a)\neq 0$,
+les $B\otimes_{\QQ[t],q} \QQ$-algèbres $A_1\otimes_{\QQ[t],a} \QQ$
+et $A_2\otimes_{\QQ[t],a} \QQ$
+sont isomorphes.
+\end{enumerate}
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+[...]
+\end{proof}
+
+
+
+
+
+
+\section{Localisation et normalisation}
+
+
+
+\begin{lmm}\label{normalisation et localisation}
+Normalisation commute à localisation. (Entier stable par localisation)
+\end{lmm}
+
+
+\section{Longueur}
+
+\begin{lmm}\label{idéaux premiers associés}
+Soient $A$ un anneau noethérien et $M$ un $A$-module de type fini. Il existe
+une \emph{filtration} finie $$M_{-1}=0\subset M_0 \subset \cdots \subset M=M_n$$
+($n\geq -1$) telle que pour chaque $i\in [0,n]$, le quotient $M_i/M_{i-1}$ soit isomorphe
+à un quotient $A/\wp_i$ pour un $\wp_i\in \SP(A)$.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Supposons $M$ non nul.
+Par noethérianité de $M$, il suffit de montrer qu'il existe un sous-module $M_0$ de $M$
+isomorphe à un $A/\wp$. (Car on peut alors considérer $M_1\hra M/M_0$ et on doit
+bien s'arrêter.) Soit $0\neq x\in M$ tel que l'annulateur de $x$ soit maximal parmi
+les annulateurs d'éléments non nuls : il en existe car $A$ est noethérien. On va voir
+que $\mathrm{Ann}(x)$ est un idéal premier. Soient en effet $\alpha,\beta\in A$
+tels que $(\alpha\beta)x=0$. Supposons que $\beta x$ soit non nul (\cad
+$\beta\notin \mathrm{Ann}(x)$. Dans ce cas, $\mathrm{Ann}(\beta x)$ est un idéal
+strict de $A$, qui contient $\mathrm{Ann}(x)$ et $\alpha$. Par maximalité, $\alpha\in
+\mathrm{Ann}(x)$. Le sous-module monogène $Ax\subset M$, isomorphe à $A/\mathrm{Ann}(x)$,
+répond à la question.
+(Un tel idéal premier est dit \emph{associé} à $M$.)
+\end{proof}
+
+\begin{prp}\label{idéaux premiers minimaux}
+Soit $A$ un anneau noethérien. Alors $A$ a un nombre fini non nul d'idéaux premiers
+minimaux.
+\end{prp}
+
+
+
+Il est d'usage, une filtration $F$ croissante $M_{\bullet}$ étant donnée, de noter
+$\mathrm{gr}_i M_{\bullet}$, où $ \mathrm{gr}^F_i M$ les quotients $M_i/M_{i-1}$ ;
+on les appelle les \emph{gradués}. [...]
+De même, on pose
+$\mathrm{gr} M_{\bullet}:=\oplus M_i/M_{i-1}$. C'est le $A$-module gradué associé.
+
+\begin{dfn}\label{simple}
+Soient $A$ un anneau et $M$ un $A$-module. On dit que $M$ est un $A$-module \emph{simple}
+s'il est non nul et ne possède pas de sous-$A$-module strict non trivial. On dit que $M$
+est de \emph{longueur finie} s'il existe une filtration finie de $M$ dont
+les quotients successifs sont des $A$-modules simples.
+\end{dfn}
+
+Un $A$-module monogène (\cad engendré par un seul élément) est simple
+si et seulement si il est isomorphe à $A/\MM$ pour un idéal \emph{maximal} $\MM$ de
+$A$.
+
+On appelle \emph{sous-quotient} d'un $A$-module $M$ tout module qui est isomorphe à
+un quotient d'un sous-module de $M$. (Ou, de façon équivalente, isomorphe à un sous-module d'un
+quotient $M$.) Chaque $M_i/M_{i-1}$ est un sous-quotient.
+
+\begin{lmm}
+Si $M$ est un $A$-module de longueur finie, il en est de même de tout sous-quotient.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Soit donc $M$ un $A$-module de longueur finie, $M'\hra M$,
+et $M_{-1}=0\subset \cdots \subset M_n$ une filtration $F$ à quotients simples. Posons
+$M'_i:=(M'\cap M_i)$ ; c'est une filtration croissante
+que l'on note $F'$. Pour chaque $i$, $\mathrm{gr}^{F'}_i M'\hra \mathrm{gr}^F_i
+M$ ; comme ce dernier est simple, $\mathrm{gr}_i^{F'} M'$ est soit
+nul soit isomorphe à $\mathrm{gr}^F_i M$. Le $A$-module $M'$ est donc
+de longueur finie. Dualement, on introduit sur $M'':=M/M'$ la filtration
+$F''$ croissante $M''_i:=(M_i+M'/M')$. Ici, $\mathrm{gr}^{F''}_i M''$ est un quotient
+de $\mathrm{gr}^F_i M$. Il est donc simple ou trivial.
+\end{proof}
+
+On remarquera que partant d'une filtration sur $M$, on a une suite
+exacte naturelle de $A$-modules :
+$$
+0\ra \mathrm{gr}^{F'} M' \ra \mathrm{gr}^F M \ra \mathrm{gr}^{F''} M'' \ra 0,
+$$
+et les nombres de facteurs non nuls des extrêmités s'ajoutent pour donner le nombre
+de facteurs du terme central.
+
+\begin{thm}[Jordan-Hölder]\label{Jordan-Hölder}
+Soit $M$ un $A$-module de longueur fini.
+L'ensemble des classes d'isomorphisme de facteurs simples,
+comptées avec multiplicités, est indépendant de la filtration.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+On veut montrer que pour toute filtration $F$ adéquate (\cad comme
+en \ref{simple}) et pour tout $A$-module simple $S$,
+$$n(M,F,S):=\#\{i, \mathrm{gr}_i^F M\isononcan S\}$$ est indépendant de $F$.
+Supposons choisie une telle filtration.
+
+Pour un $A$-module simple $M$, notons $\mathrm{long}_A(M)$ le
+nombre minimal de sous-quotients non nuls associés à une filtration
+à gradués simples. On l'appelle \emph{longueur} de $M$.
+(Il résulte du théorème que cette quantité est
+indépendante de la filtration : il n'est en fait pas nécessaire de prendre
+le minimum.) On va procéder par récurrence sur la longueur, supposée $>1$
+sans quoi $M$ est simple et la conclusion acquise.
+
+Il existe $0\neq M'\hra M$ un sous-module tel que $\mathrm{long}_A M'<\mathrm{long}_A M$
+et $\mathrm{long}_A (M'':=M/M')<\mathrm{long}_A M$. (Prendre par exemple
+$M'=M_{l-1}$ dans une filtration de longueur minimale $l$ de $M$.)
+Il résulte de la suite exacte
+$$
+0\ra \mathrm{gr}^{F'} M' \ra \mathrm{gr}^F M \ra \mathrm{gr}^{F''} M'' \ra 0
+$$
+que pour tout $A$-module simple,
+$$
+n(M,F,S)=n(M',F',S)+n(M'',F'',S).
+$$
+Par hypothèse de récurrence, les deux termes de droite sont indépendant du choix
+de $F$. CQFD.
+\end{proof}
+
+Le lecteur remarquera que cette démonstration est valable dans un cadre assez général ;
+en particulier, on retrouvera le théorème classique (du même nom) sur les groupes
+finis.
+
+\begin{crl}\label{additivité longueur}
+Si $M$ est un $A$-module de longueur finie, et $M'$ est un sous-module de $M$,
+alors $M'$ et $M'':=M/M'$ sont de longueur finie et l'on a :
+$$
+\mathrm{long}_A(M)=\mathrm{long}_A(M')+\mathrm{long}_A(M'').
+$$
+\end{crl}
+
+
+\begin{lmm}\label{longueur finie et artinien}
+Soient $A$ un anneau et $M$ un $A$-module de longueur finie.
+Toute suite décroissante de sous-$A$-modules de $M$ est stationnaire.
+\end{lmm}
+On dit alors que $M$ est \emph{artinien}.
+\begin{proof}
+Soit $0=M_{-1}\subset M_0\subset \cdots M_n=M$ une filtration croissante à quotients
+simples. Si $N_r$ est une suite décroissante, $M_0$ étant simple,
+la suite $M_0\cap N_r$ est stationnaire : elle est soit constante de valeur $M_0$,
+soit constante égale à $\{0\}$ à partir d'une certain rang.
+Par récurrence sur la longueur de $M$,
+on peut supposer que la suite $M_0+N_r /M_0$ est stationnaire dans $M/M_0$,
+ce qui permet de conclure.
+\end{proof}
+
+SCHÉMAS AFFINES=catégorie opposée. FERMÉ, OUVERT AFFINE. Isomorphisme générique
+s'étend etc. (Cf. Hilbert).
+
+\begin{thm}\label{Nullstellen}
+Soient $k$ un corps et $K$ un corps qui est une $k$-algèbre de type fini.
+Alors, l'extension $K/k$ est finie.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soit $A$ une $k$-algèbre de type fini. D'après le théorème ci-dessous,
+il existe un entier $n\in \NN$ et des éléments
+$a_1,\dots,a_n\in A$ tels que d'une part $k[X_1,\dots,X_n]\iso k[a_1,\dots,a_n]=:A_0\subset A$
+(\cad les $a_i$ sont algébriquement indépendants sur $k$) et
+d'autre part $A$ soit fini sur $A_0$. Si $A$ est un corps, $A_0$ est également
+un corps (\ref{entier sur corps}) donc $n=0$.
+\end{proof}
+
+\begin{thm}[Lemme de normalisation]\label{lemme normalisation}
+...
+\end{thm}
+
+\chapter{Réseaux de $\RR^n$, théorème de Minkowski}
+
+\begin{thm}\label{réseau-R^n}
+Cf. Bourbaki, Topologie.
+\end{thm}
+
+\begin{thm}\label{calcul volume}
+$\mathrm{vol}(\text{réseau}\cap aD)\sim \text{constante}\cdot a^{n}$
+(Et même, la constante est $\mathrm{vol}(D)/\mathrm{covol}((\text{réseau})$.)
+\end{thm}
+
+\begin{rmr}
+Si la partie est $C^{1}$, alors $+\mathsf{O}(a^{n-1})$.
+\end{rmr}
+
+
+\begin{thm}\label{Minkowski}
+
+\end{thm}
+
+
diff --git a/bibliographie-livre.bib b/bibliographie-livre.bib
new file mode 100644
index 0000000..38cf0c7
--- /dev/null
+++ b/bibliographie-livre.bib
@@ -0,0 +1,813 @@
+@book {Gille-Szamuely,
+ AUTHOR = {Gille, Philippe and Szamuely, Tam{\'a}s},
+ TITLE = {Central simple algebras and {G}alois cohomology},
+ SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics},
+ VOLUME = {101},
+ PUBLISHER = {Cambridge University Press},
+ ADDRESS = {Cambridge},
+ YEAR = {2006},
+ PAGES = {xii+343},
+ ISBN = {978-0-521-86103-8; 0-521-86103-9},
+}
+
+@book {Topics@Serre,
+ AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre},
+ TITLE = {Topics in {G}alois theory},
+ SERIES = {Research Notes in Mathematics},
+ VOLUME = {1},
+ PUBLISHER = {Jones and Bartlett Publishers},
+ ADDRESS = {Boston, MA},
+ YEAR = {1992},
+ PAGES = {xvi+117},
+ ISBN = {0-86720-210-6},
+}
+
+
+
+@book {Lecons@Lebesgue,
+ AUTHOR = {Lebesgue, Henri},
+ TITLE = {Leçons sur les constructions géométriques},
+ PUBLISHER = {Gauthier-Villars},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1950},
+ PAGES = {vi+304},
+}
+
+@article {Tohoku@Grothendieck,
+ AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre},
+ TITLE = {Sur quelques points d'algèbre homologique},
+ JOURNAL = {Tôhoku Math. J. (2)},
+ VOLUME = {9},
+ YEAR = {1957},
+ PAGES = {119--221},
+}
+
+
+
+@book{Douady-Douady,
+AUTHOR = {Douady, Régine and Douady, Adrien},
+ TITLE = {Algèbre et théories galoisiennes},
+ PUBLISHER = {Cassini},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {2005},
+}
+
+
+
+@book {Polya-Szego,
+ AUTHOR = {Pólya, George and Szegő, Gabor},
+ TITLE = {Problems and theorems in analysis, {I} et {II}},
+ SERIES = {Classics in Mathematics},
+ NOTE = {traduction de l'édition allemande de 1971},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {Berlin},
+ YEAR = {1998},
+ PAGES = {xii+392},
+}
+
+@book {Theorie@Samuel,
+ AUTHOR = {Samuel, Pierre},
+ TITLE = {Théorie algébrique des nombres},
+ PUBLISHER = {Hermann},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1967},
+ PAGES = {130},
+}
+
+@incollection {Cyclotomie@Weil,
+ AUTHOR = {Weil, André},
+ TITLE = {La cyclotomie jadis et naguère},
+ BOOKTITLE = {Séminaire Bourbaki, 1973/1974, 26e année, Exp.
+ No. 452},
+ YEAR = {1974},
+}
+
+
+
+
+@incollection {Zeta@Heilbronn,
+ AUTHOR = {Heilbronn, H.},
+ TITLE = {Zeta-functions and {$L$}-functions},
+ BOOKTITLE = {Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton,
+ 1965)},
+ PAGES = {204--230},
+ YEAR = {1967},
+}
+
+
+
+@book {Memoire@Cauchy,
+ AUTHOR = {Cauchy, Augustin-Louis},
+ TITLE = {Mémoire sur la théorie des nombres},
+ NOTE = {Œuvres I, vol. III ; disponible sur \url{gallica.bnf.fr}},
+ YEAR = {1840},
+}
+
+
+
+@book {Disquisitiones@Gauss,
+ AUTHOR = {Gauß, Carl Friedrich},
+ TITLE = {Recherches arithmétiques (\emph{Disquisitiones arithmeticae})},
+ NOTE = {Traduit du latin par A.-C.M. Poullet-Delisle.
+Réédité chez Jacques Gabay, Paris et disponible sur \url{gallica.bnf.fr}},
+ YEAR = {1807},
+}
+
+
+
+
+@book {Tate-Silverman,
+ AUTHOR = {Silverman, Joseph H. and Tate, John},
+ TITLE = {Rational points on elliptic curves},
+ SERIES = {Undergraduate Texts in Mathematics},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {New York},
+ YEAR = {1992},
+ PAGES = {x+281},
+}
+
+
+
+
+@book {Tagebuch@Gauss,
+ AUTHOR = {Gau{\ss}, Carl Friedrich},
+ TITLE = {Mathematisches {T}agebuch, 1796--1814},
+ SERIES = {Ostwalds Klassiker der Exakten Wissenschaften},
+ EDITION = {cinquième},
+ NOTE = {Bilingue latin-allemand (avec commentaires en allemand)},
+ PUBLISHER = {Verlag Harri Deutsch},
+ YEAR = {2005},
+ PAGES = {235},
+}
+
+
+
+@book {Categories@MacLane,
+ AUTHOR = {Mac Lane, Saunders},
+ TITLE = {Categories for the working mathematician},
+ SERIES = {Graduate Texts in Mathematics},
+ VOLUME = {5},
+ EDITION = {seconde},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {New York},
+ YEAR = {1998},
+ PAGES = {xii+314},
+}
+
+@book {suuron1@kato-kurokawa-saito,
+ AUTHOR = {Katô, Kazuya and Kurokawa, Noboushigué and Saïtô, Takéshi},
+ TITLE = {Théorie des nombres I},
+ NOTE = {En japonais},
+ PUBLISHER = {Iwanami shoten},
+ ADDRESS = {Tôkyô},
+ YEAR = {2005},
+}
+
+@book {Cours@Serre,
+ AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre},
+ TITLE = {Cours d'arithm\'etique},
+ NOTE = {Deuxi\`eme \'edition revue et corrig\'ee},
+ PUBLISHER = {Presses universitaires de France},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1977},
+ PAGES = {188},
+}
+
+
+
+
+@incollection {Zeta@Serre,
+ AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre},
+ TITLE = {Zeta and {$L$} functions (Œuvres 64)},
+ BOOKTITLE = {Arithmetical Algebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ.,
+ 1963)},
+ PAGES = {82--92},
+ PUBLISHER = {Harper \& Row},
+ ADDRESS = {New York},
+ YEAR = {1965},
+}
+
+
+
+@incollection {Lefschetz@Grothendieck,
+ AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre},
+ TITLE = {Formule de {L}efschetz et rationalit\'e des fonctions {$L$}},
+ BOOKTITLE = {S\'eminaire Bourbaki, Vol.\ 9},
+ PAGES = {Exp.\ No.\ 279, 41--55},
+ PUBLISHER = {Réédité par la Soc. math. France},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1964},
+}
+
+@article{Jacobi@Weil,
+author="Weil, Andr\'e",
+title="Jacobi sums as ``Gr{\"o}{\ss}encharaktere'' (Œuvres [1952d])",
+journal="Trans. Am. Math. Soc.",
+volume="73",
+pages="487-495",
+year="1952",
+}
+
+@article {Numbers@Weil,
+ AUTHOR = {Weil, Andr{\'e}},
+ TITLE = {Numbers of solutions of equations in finite fields (Œuvres [1949b])},
+ JOURNAL = {Bull. Amer. Math. Soc.},
+ VOLUME = {55},
+ YEAR = {1949},
+ PAGES = {497--508},
+}
+
+@article{Davenport-Hasse,
+author="Davenport, Harold and Hasse, Helmut",
+title="Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen F{\"a}llen",
+journal="J. reine angew. Math.",
+volume="172",
+pages="151-182",
+year="1934",
+}
+
+@book {Basic2@Shafarevich,
+ AUTHOR = {Shafarevich, Igor R.},
+ TITLE = {Basic algebraic geometry, deuxième tome},
+ EDITION = {Seconde},
+ NOTE = {traduit du russe par Miles Reid},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {Berlin},
+ YEAR = {1994},
+ PAGES = {xiv+269},
+}
+
+@book {p-adic@Koblitz,
+ AUTHOR = {Koblitz, Neal},
+ TITLE = {{$p$}-adic numbers, {$p$}-adic analysis, and zeta-functions},
+ SERIES = {Graduate Texts in Mathematics},
+ VOLUME = {58},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {New York},
+ YEAR = {1984},
+ PAGES = {xii+150},
+}
+
+
+
+
+@article {Number@Koblitz,
+ AUTHOR = {Koblitz, Neal},
+ TITLE = {The number of points on certain families of hypersurfaces over
+ finite fields},
+ JOURNAL = {Compositio Math.},
+ FJOURNAL = {Compositio Mathematica},
+ VOLUME = {48},
+ YEAR = {1983},
+ NUMBER = {1},
+ PAGES = {3--23},
+}
+
+
+@book {RB@Mumford,
+ AUTHOR = {Mumford, David},
+ TITLE = {The red book of varieties and schemes},
+ SERIES = {Lecture Notes in Mathematics},
+ VOLUME = {1358},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {Berlin},
+ YEAR = {1988},
+ PAGES = {vi+309},
+}
+
+
+@article {RamificationII@Abbes-Saito,
+ AUTHOR = {Abbes, Ahmed and Sait\^o, Takeshi},
+ TITLE = {Ramification of local fields with imperfect residue fields.
+ {II}},
+ JOURNAL = {Doc. Math.},
+ FJOURNAL = {Documenta Mathematica},
+ YEAR = {2003},
+ NUMBER = {Extra Vol.},
+ PAGES = {5--72},
+}
+
+
+@article {RamificationI@Abbes-Saito,
+ AUTHOR = {Abbes, Ahmed and Sait\^o, Takeshi},
+ TITLE = {Ramification of local fields with imperfect residue fields},
+ JOURNAL = {Amer. J. Math.},
+ FJOURNAL = {American Journal of Mathematics},
+ VOLUME = {124},
+ YEAR = {2002},
+ NUMBER = {5},
+ PAGES = {879--920},
+}
+
+@book {CRT@Matsumura,
+ AUTHOR = {Matsumura, Hideyuki},
+ TITLE = {Commutative ring theory},
+ SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics},
+ VOLUME = {8},
+ PUBLISHER = {Cambridge University Press},
+ YEAR = {1989},
+ PAGES = {xiv+320},
+}
+
+
+
+
+
+
+@book {Anneaux@Raynaud,
+ AUTHOR = {Raynaud, Michel},
+ TITLE = {Anneaux locaux hens\'eliens},
+ SERIES = {Lecture Notes in Mathematics, Vol. 169},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ YEAR = {1970},
+ PAGES = {v+129},
+}
+
+@book {CL@Serre,
+ AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre},
+ TITLE = {Corps locaux},
+ NOTE = {deuxi\`eme \'edition,
+ publications de l'Universit\'e de Nancago, No. VIII},
+ PUBLISHER = {Hermann},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1968},
+ PAGES = {245},
+}
+
+
+
+@article {Imperfection@Bastos,
+ AUTHOR = {Bastos, Gervasio G.},
+ TITLE = {Some results on the degree of
+imperfection of complete valued fields},
+ JOURNAL = {{m}anuscripta math.},
+ FJOURNAL = {{m}anuscripta mathematica},
+ VOLUME = {25},
+ YEAR = {1978},
+ NUMBER = {4},
+ PAGES = {315--322},
+}
+
+
+@article {Eliminating@Epp,
+ AUTHOR = {Epp, Helmut},
+ TITLE = {Eliminating wild ramification},
+ JOURNAL = {Invent. math.},
+ FJOURNAL = {Inventiones mathematicae},
+ VOLUME = {19},
+ YEAR = {1973},
+ PAGES = {235--249},
+}
+
+@article {imparfait-I@Abbes-Saito,
+ AUTHOR = {Abbes, Ahmed and Saitô, Takeshi},
+ TITLE = {Ramification of local fields with imperfect residue fields},
+ JOURNAL = {Amer. J. Math.},
+ FJOURNAL = {American Journal of Mathematics},
+ VOLUME = {124},
+ YEAR = {2002},
+ NUMBER = {5},
+ PAGES = {879--920},
+}
+
+
+@book {Galois@Cox,
+ AUTHOR = {Cox, David A.},
+ TITLE = {Galois theory},
+ SERIES = {Pure and Applied Mathematics (New York)},
+ PUBLISHER = {Wiley-Interscience [John Wiley \& Sons]},
+ ADDRESS = {Hoboken, NJ},
+ YEAR = {2004},
+ PAGES = {xx+559},
+}
+
+
+@Book{Elements@Bourbaki,
+AUTHOR = {Bourbaki, Nicolas},
+ TITLE = {\'{E}l\'ements de math\'ematique},
+ PUBLISHER = {Springer},
+ NOTE = {réimpression des dernières éditions Masson},
+ YEAR = {2007},
+}
+
+@Book{Topologie@Bourbaki,
+ AUTHOR = {Bourbaki, Nicolas},
+ TITLE = {\'{E}l\'ements de math\'ematique. Topologie générale},
+}
+
+
+
+@Book{Algebre@Bourbaki,
+ AUTHOR = {Bourbaki, Nicolas},
+ TITLE = {\'{E}l\'ements de math\'ematique, Alg\`ebre chap. 4-7},
+ PUBLISHER = {Masson},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1981},
+ PAGES = {vii+422},
+}
+
+@Book{Algebre@Lang,
+ AUTHOR = {Lang, Serge},
+ TITLE = {Alg\`ebre. Cours et exercices},
+ PUBLISHER = {Dunod},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {2004},
+ PAGES = {944},
+}
+
+@Book{Algebra@VdW,
+ AUTHOR = {van der Waerden, B. L.},
+ TITLE = {Algebra. {V}ol. {I}},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {New York},
+ YEAR = {1991},
+ PAGES = {xiv+265},
+}
+
+
+@book {Ireland-Rosen,
+ AUTHOR = {Ireland, Kenneth and Rosen, Michael},
+ TITLE = {A classical introduction to modern number theory},
+ SERIES = {Graduate Texts in Mathematics},
+ VOLUME = {84},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {New York},
+ YEAR = {1990},
+ PAGES = {xiv+389},
+}
+
+
+
+
+
+
+@article {Jordan@Serre,
+ AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre},
+ TITLE = {On a theorem of {J}ordan},
+ JOURNAL = {Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)},
+ FJOURNAL = {American Mathematical Society. Bulletin. New Series},
+ VOLUME = {40},
+ YEAR = {2003},
+ NUMBER = {4},
+ PAGES = {429--440},
+}
+
+
+
+@book {Bertini@Jouanolou,
+ AUTHOR = {Jouanolou, Jean-Pierre},
+ TITLE = {Th\'eor\`emes de {B}ertini et applications},
+ SERIES = {Progress in Mathematics},
+ VOLUME = {42},
+ PUBLISHER = {Birkh\"auser},
+ ADDRESS = {Boston},
+ YEAR = {1983},
+ PAGES = {ii+127},
+}
+
+@article {NoetherianSpectrum@Heinzer,
+ AUTHOR = {Heinzer, William},
+ TITLE = {Minimal primes of ideals and integral ring extensions},
+ JOURNAL = {Proc. Amer. Math. Soc.},
+ VOLUME = {40},
+ YEAR = {1973},
+ PAGES = {370--372},
+}
+
+@article {Noetherian@Ohm,
+ AUTHOR = {Ohm, Jack and Pendleton, R. L.},
+ TITLE = {Rings with noetherian spectrum},
+ JOURNAL = {Duke Math. J.},
+ VOLUME = {35},
+ YEAR = {1968},
+ PAGES = {631--639},
+}
+
+
+@book {Homological@Manin,
+ AUTHOR = {Gelfand, S. I. and Manin, Yu. I.},
+ TITLE = {Homological algebra},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {Berlin},
+ YEAR = {1999},
+ PAGES = {iv+222},
+}
+
+
+@article {Joins@Artin,
+ AUTHOR = {Artin, M.},
+ TITLE = {On the joins of {H}ensel rings},
+ JOURNAL = {Advances in Math.},
+ VOLUME = {7},
+ YEAR = {1971},
+ PAGES = {282--296},
+MRREVIEWER = {M. Nagata},
+}
+
+@book{CG@Serre,
+author={Serre, Jean-Pierre},
+title={Cohomologie galoisienne (cinquième
+édition révisée et complétée)},
+SERIES = {Lecture Notes in Mathematics},
+VOLUME = {5},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {Berlin},
+year = {1994},
+}
+
+@book {Intersection@Fulton,
+ AUTHOR = {Fulton, William},
+ TITLE = {Intersection theory},
+ SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.
+A
+ Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in
+ Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of
+Modern
+ Surveys in Mathematics]},
+ VOLUME = {2},
+ EDITION = {Second},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {Berlin},
+ YEAR = {1998},
+ PAGES = {xiv+470},
+}
+
+
+@book {sga2,
+ AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre},
+ TITLE = {Cohomologie locale des faisceaux coh\'erents et th\'eor\`emes
+ de {L}efschetz locaux et globaux},
+ NOTE = {S\'eminaire de g\'eom\'etrie alg\'ebrique du Bois-Marie,
+ 1962 (SGA 2).
+ Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol.~2},
+ PUBLISHER = {North-Holland Publishing Co.},
+ YEAR = {1968},
+ PAGES = {vii+287},
+ MRCLASS = {14B15 (14C20 14F20)},
+ MRNUMBER = {57 \#16294},
+}
+
+@book {sga7,
+AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre},
+ TITLE = {Groupes de monodromie en g\'eom\'etrie alg\'ebrique},
+ NOTE = {S\'eminaire de g\'eom\'etrie alg\'ebrique du Bois-Marie
+ 1967--1969 (SGA~7~I~\&~II).
+ Lecture Notes in Mathematics, Vol.~288~\&~340},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ YEAR = {1972},
+ PAGES = {viii+523},
+ MRCLASS = {14-06},
+ MRNUMBER = {50 \#7134},
+}
+@book {sga1,
+AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre},
+ TITLE = {Rev\^etements \'etales et groupe fondamental},
+ NOTE = {S\'eminaire de g\'eom\'etrie alg\'ebrique du Bois-Marie
+ 1960--1961 (SGA 1).
+ Documents math\'ematiques no 3 (r\'e\'edition LNM 224)},
+ PUBLISHER = {Soc. math. France},
+ YEAR = {2003},
+
+}
+
+
+ @inbook{sga1x,
+ AUTHOR = { Grothendieck, Alexandre},
+ TITLE= {Th\'eorie de la sp\'ecialisation du groupe
+ fondamental},
+ NOTE ={expos\'e {\sc x} dans \cite{sga1}},
+ YEAR = {1971},
+ }
+
+
+ @article{weilii,
+ AUTHOR = {Deligne, Pierre},
+ TITLE = {La conjecture de {W}eil {\sc ii}},
+ JOURNAL = {Publications math\'ematiques de l'{I}{H}{\'E}{S}},
+ NUMBER = {52},
+ YEAR = {1980},
+ PAGES = {137--252},
+MRREVIEWER = {Spencer J. Bloch},
+}
+@book {sga5,
+
+ AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre},
+ TITLE = {Cohomologie $\ell$-adique et fonctions ${L}$},
+ NOTE = {S\'eminaire de g\'eometrie alg\'ebrique du Bois-Marie
+ 1965--1966 (SGA 5).
+ Lecture Notes in Mathematics, Vol.~589},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ YEAR = {1977},
+ PAGES = {xii+484},
+MRREVIEWER = {J. S. Milne},
+}
+
+@book {sga4,
+ AUTHOR = {Grothendieck, Alexandre},
+ TITLE = {Th\'eorie des topos et cohomologie \'etale des sch\'emas},
+
+ NOTE = {S\'eminaire de g\'eom\'etrie alg\'ebrique du Bois-Marie
+ 1963--1964 (SGA 4).
+ Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269-270 \& 305},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ YEAR = {1972-1973},
+}
+
+ @incollection {luminy@fo,
+ AUTHOR = {Orgogozo, Fabrice and Vidal, Isabelle},
+ TITLE = {Le th\'eor\`eme de sp\'ecialisation du groupe fondamental},
+ BOOKTITLE = {Courbes semi-stables et groupe fondamental en g\'eom\'etrie
+ alg\'ebrique (Luminy, 1998)},
+ PAGES = {169--184},
+ PUBLISHER = {Birkh\"auser},
+ YEAR = {2000},
+}
+
+@incollection {serreabhyankar,
+ AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre},
+ TITLE = {Rev\^etements ramifi\'es du plan projectif (d'apr\`es {S}.
+ {A}bhyankar)},
+ BOOKTITLE = {S\'eminaire Bourbaki, Exp. No. 204},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1959-1960},
+}
+
+
+ @book {sga41/2,
+ AUTHOR = {Deligne, P.},
+ TITLE = {Cohomologie \'etale},
+ NOTE = {Avec la collaboration de J.-F. Boutot, A. Grothendieck, L.
+ Illusie et J.-L. Verdier,
+ Lecture Notes in Mathematics, Vol.~569},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ YEAR = {1977},
+ PAGES = {iv+312pp},
+}
+@article {weili,
+ AUTHOR = {Deligne, Pierre},
+ TITLE = {La conjecture de {W}eil. {\sc i}},
+ JOURNAL = {Publications math\'ematiques de l'{I}{H}{\'E}{S}},
+ NUMBER = {43},
+ YEAR = {1974},
+ PAGES = {273--307},
+}
+
+
+@inbook{sga1xiii,
+ AUTHOR ={Raynaud, Michèle},
+ TITLE = {Propreté cohomologique des faisceaux d'ensembles
+ et des faisceaux en groupes non commutatifs},
+ NOTE = {exposé {\sc xiii} dans \cite{sga1}},
+ YEAR ={1971},
+}
+
+@inbook{sga7ii,
+ AUTHOR= {Raynaud, Michèle},
+ TITLE = {Propriétés de finitude du groupe fondamental},
+ NOTE = {exposé {\sc ii} dans \cite{sga7}},
+ YEAR = {1972},
+}
+
+
+
+
+@book {gacc,
+ AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre},
+ TITLE = {Groupes alg\'ebriques et corps de classes},
+ EDITION = {seconde},
+ NOTE = {Actualit\'es scientifiques et industrielles, 1264},
+ PUBLISHER = {Hermann},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1984},
+ PAGES = {207},
+ MRCLASS = {14K30 (11G35 11R37 14H20)},
+ MRNUMBER = {88g:14044},
+}
+
+@article {ega,
+ AUTHOR = {Grothendieck, A.},
+ TITLE = {\'{E}l\'ements de g\'eom\'etrie alg\'ebrique},
+ NOTE = {numéros 4 (I) ; 8 (II) ; 11,17 (III) ; 20, 24 et 28 (IV), rédigés avec la collaboration de J. Dieudonné.},
+ JOURNAL = {Publications mathématiques de l'{I}{H}{\'E}{S}},
+ YEAR = {1960-1967},
+}
+@book {ADT@Milne,
+ AUTHOR = {Milne, J. S.},
+ TITLE = {Arithmetic duality theorems},
+ PUBLISHER = {Academic Press Inc.},
+ ADDRESS = {Boston, Mass.},
+ YEAR = {1986},
+ PAGES = {x+421},
+ MRCLASS = {14F20 (11G99 11R34 12G10)},
+ MRNUMBER = {88e:14028},
+MRREVIEWER = {Gerd Faltings},
+}
+
+
+@book {Etale@Milne,
+ AUTHOR = {Milne, James S.},
+ TITLE = {\'{E}tale cohomology},
+ PUBLISHER = {Princeton University Press},
+ ADDRESS = {Princeton, N.J.},
+ YEAR = {1980},
+ PAGES = {xiii+323},
+}
+@book {demazuregroupes,
+ AUTHOR = {Demazure, Michel and Gabriel, Pierre},
+ TITLE = {Groupes alg\'ebriques. {T}ome {I} {\rm (sic\,!)} : {G}\'eom\'etrie
+ alg\'ebrique, g\'en\'eralit\'es, groupes commutatifs},
+ NOTE = {Avec un appendice {\it Corps de classes local}\ par M.
+ Hazewinkel},
+ PUBLISHER = {Masson \& Cie, \'Editeur, Paris},
+ YEAR = {1970},
+ PAGES = {xxvi+700},
+ MRCLASS = {14L15 (20G35)},
+ MRNUMBER = {46 \#1800},
+MRREVIEWER = {J.-E. Bertin},
+}
+
+ @book {Algebre@Serre,
+ AUTHOR = {Serre, Jean-Pierre},
+ TITLE = {Alg\`ebre locale. {M}ultiplicit\'es},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag},
+ ADDRESS = {Berlin},
+ YEAR = {1965},
+ PAGES = {vii+188 pp.},
+ MRCLASS = {13.95 (14.08)},
+ MRNUMBER = {34 \#1352},
+MRREVIEWER = {M. Nagata},
+}
+
+ @book {sommexp,
+ AUTHOR = {Katz, Nicholas M.},
+ TITLE = {Sommes exponentielles},
+ NOTE = {Cours à Orsay},
+ PUBLISHER = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1980},
+ PAGES = {209},
+ MRCLASS = {10G05},
+ MRNUMBER = {82m:10059},
+MRREVIEWER = {J. S. Milne},
+}
+
+@book {bbkalgcom57,
+ AUTHOR = {Bourbaki, Nicolas},
+ TITLE = {\'{E}l\'ements de math\'ematique},
+ NOTE = {Alg\`ebre commutative. Chapitres 5 \`a 7},
+ PUBLISHER = {Masson},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1985},
+ PAGES = {351},
+}
+@book {bbkalgcom89,
+ AUTHOR = {Bourbaki, Nicolas},
+ TITLE = {\'{E}l\'ements de math\'ematique},
+ NOTE = {Alg\`ebre commutative. Chapitre 8. Dimension. Chapitre 9.
+ Anneaux locaux noeth\'eriens complets},
+ PUBLISHER = {Masson},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1983},
+ PAGES = {200},
+}
+@book {bbkalg10,
+ AUTHOR = {Bourbaki, Nicolas},
+ TITLE = {\'{E}l\'ements de math\'ematique},
+ NOTE = {Alg\`ebre. Chapitre 10. Alg\`ebre homologique},
+ PUBLISHER = {Masson},
+ ADDRESS = {Paris},
+ YEAR = {1980},
+ PAGES = {vii+216},
+}
+
+@Book{liu,
+ AUTHOR = {Liu, Qing},
+ title = {{A}lgebraic {G}eometry and {A}rithmetic {C}urves},
+ publisher = {Oxford},
+ year = {2002},
+ OPTkey = {},
+ OPTvolume = {6},
+ OPTnumber = {},
+ OPTseries = {{O}xford {G}raduate {T}exts in {M}athematics},
+ OPTaddress = {},
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+ OPTmonth = {},
+ OPTnote = {},
+ OPTannote = {}
+}
+
+@Book{bourbaki,
+ ALTauthor = {Bourbaki, Nicolas},
+ ALTeditor = {},
+ title = {\'{E}l\'ements de {M}ath\'ematique, {A}lg\`ebre commutative, chapitre X},
+ publisher = {Masson},
+ year = {1983},
+}
+
+@Book{gm,
+ ALTauthor = {Grothendieck, A and Murre, J},
+ ALTeditor = {},
+ title = {The tame fundamental group of a formal neighbourhood of
+ a divisor with normal crossings on a scheme},
+ publisher = {Springer-Verlag, LNM {\bf 208}},
+}
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--- /dev/null
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@@ -0,0 +1 @@
+
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+\usepackage{amsmath,a4wide}
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+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{euscript}
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--- /dev/null
+++ b/conventions.tex
@@ -0,0 +1,15 @@
+Tous les anneaux, et en particuliers les corps, sont,
+sauf mention explicite du contraire, commutatifs (unitaires)\footnote{Cela a lieu
+dans par exemple dans la section \ref{base-normale}.}.
+Si $B$ est une $A$ algèbre, on dira que $B$ est \emph{finie} sur $A$
+si $B$ est un $A$-\emph{module} de type fini.
+Un corps $k$ étant donné on dira parfois «(sous-)algèbre» pour (sous-)$k$-algèbre.
+Enfin, on notera $\Hom_k(A,B)$ l'ensemble des morphismes de $k$-\emph{algèbres}. S'il
+s'agit de l'ensemble des applications linéaires, cela sera précisé dans la notation.
+Dans un même esprit, compte tenu de la multiplicité des anneaux,
+si $M,N$ sont deux $A$-modules, on écrira souvent $M\isononcan_A N$ pour
+insister sur le fait qu'ils sont isomorphes en tant que $A$-modules.
+
+Pour $n\in \NN$ un entier, on note $[1,n]$ l'ensemble $\{1,\dots,n\}$,
+qui est vide pour $n=0$.
+
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--- /dev/null
+++ b/exercices.txt
@@ -0,0 +1,24 @@
+1) Lili et Lulu.
+Soit un pentagone régulier dan le plan, centré en l'origine.
+On lui fait subir des réflexions le long de ses arêtes.
+Étant donné sa nouvelle position, trouver une méthode pour le ramener
+à sa position initiale.
+
+Une réponse.
+On regarde (non pas la conjugaison complexe mais)
+l'automorphisme ζ_5 → ζ_5^3 [3 est d'ordre 4 dans ℤ/5^×], qui donne (dans ℂ) un autre pentagone
+(« Lulu » ; le premier étant « Lili »). Il suffit
+de faire en sorte que Lili *et* Lulu se rapproche de l'origine.
+On utilise la discrétude de l'image de ℤ[ζ_5] par (Id,autom) dans
+ℂ². (j'ai pas vérifié)
+
+2) Soit k'/k extension finie de corps de car. p>0. Supposons
+leur p-rang fini. Alors, pour toute extension finie K de k, il existe
+une extension finie *étale* K'/K où K' est isomorphe (comme corps)
+à une extension finie de k'.
+[c'est utile]
+
+3) algèbres artiniennes : si k=k^alg, il existe
+un nombre infini de classes d'isom de k-algèbres
+de rang n pour n≥7 [facile], fini si n≤6 [calculatoire]
+(cf. court article élémentaire de Poonen)
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+++ b/extensions-algebriques.tex
@@ -0,0 +1,856 @@
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage{color}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+%\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+
+\title{Extensions algébriques, séparables, de corps}
+\setcounter{tocdepth}{3}
+%\setcounter{secnumdepth}{2}
+%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux
+considérés dans ce chapitre sont unitaires commutatifs.
+% fixer « le » corps des nombres complexes ?
+% donner références à Algebra d'Artin (resp. Tauvel) pour les notions
+% de corps, d'algèbre etc. ?
+
+\section{Éléments entiers sur un anneau, algèbre finie sur une autre}
+
+\subsection{}
+Soit $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
+Pour tout élément $b$ de $B$, considérons
+le sous-ensemble
+$$
+A[b]:= \{∑_{i=0}^r a_i b^i; a_i∈ A, r∈ ℕ\}
+$$
+de $B$. C'est la plus petite sous-$A$-algèbre
+de $B$ contenant l'élément $b$.
+
+Rappelons que si $K$ est un corps et $L$ est une $K$-algèbre
+qui est un corps, on dit que $L$ est une \emph{extension} de $K$.
+On note $L/K$ en abrégé pour désigner le morphisme (nécessairement
+injectif) $K→L$.
+
+\begin{déf2}\label{definition:element_entier}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
+est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
+Si $A$ et $B$ sont des corps, on dit aussi que $b$ est \emph{algébrique}
+sur $A$.\end{déf2}
+
+Par exemple, tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$ (\cad
+dans l'image de $A→B$) est entier sur $A$. Moins trivialement,
+on vérifie sans peine que le nombre complexe $\sqrt{2}$ est algébrique sur $ℚ$.
+
+Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.
+
+\begin{déf2}\label{definition:morphisme_fini}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $B$
+est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est fini sur $A$ en tant
+que module. \end{déf2}
+
+On dit aussi parfois, si cela ne prête pas à confusion, que
+la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu : sur $A$).
+Si $A$ et $B$ sont des \emph{corps}, notés respectivement $K$ et $L$,
+on note alors $[L:K]:=\dim_K L$. C'est le \emph{degré} de
+l'extension $L/K$.
+
+\begin{prp2}\label{caracterisation_entiers}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
+Considérons un élément $b∈B$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item \label{1} $b$ est entier sur $A$,
+\item \label{2} il existe un polynôme \emph{unitaire} $P∈ A[X]$ tel que $P(b)=0$,
+\item \label{3} il existe un sous-$A$-\emph{algèbre} de $B$ \emph{finie} sur $A$, contenant $b$.
+\end{enumerate}
+\end{prp2}
+
+En particulier, si $B$ est finie sur $A$, tout élément de $B$ est entier sur
+$A$.
+
+Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée
+une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients
+dans $A$.
+
+\begin{rmr2}
+Remarquons que l'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence
+d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$.
+(C'est cependant vrai si $A$ est \emph{noethérien} (\ref{definition:noetherien}).)
+Considérons en effet, la sous-$ℚ$-algèbre $A$ de $ℚ[X,Y]$
+engendrée par les monômes $X^nY^{n+1}$ ($n≥0$).
+La sous-$A$-algèbre $A[XY]=ℚ[XY,Y]$ de $ℚ[X,Y]$
+est contenue dans le $A$-\emph{module} de type fini $A+A\cdot X$.
+Cependant, l'élément $XY$ n'est \emph{pas} entier
+sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans
+$A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$
+de sorte que $P(XY)≠0$.
+% = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$).
+\end{rmr2}
+
+\begin{démo}
+Montrons que \ref{1} implique \ref{2}. Sous l'hypothèse \ref{1},
+il existe des polynômes $P₁,\dots,P_n∈A[X]$ tels que les
+$P_i(b)$ ($1≤i≤n$) engendrent $A[b]$ comme $A$-module. Si $N$ est un
+entier strictement supérieur aux degrés de ces polynômes, l'inclusion
+évidente $∑_{i≤n} A\,P_i(b)⊂ ∑_{α<N} A\,b^α$ entraîne
+l'égalité $A[b]=∑_{α<N} Ab^α$. En particulier, $b^N∈∑_{α<N} Ab^α$.
+Il existe donc un polynôme unitaire de degré $N$ à coefficients dans
+$A$ s'annulant en $b$.
+Montrons que \ref{2} implique \ref{1}. Soit $P$ comme dans l'énoncé ;
+notons $d$ son degré. Soit $x=f(b)∈A[b]$ où $f∈A[X]$. Le polynôme $P$
+étant unitaire, on peut faire la division euclidienne de $f$ par $P$ :
+il existe une unique paire $(Q,R)∈A[X]²$ telle que $\deg(R)<d$ et
+$f=PQ+R$. Ainsi $x=P(b)Q(b)+R(b)=R(b)$. Il en résulte que $x∈∑_{i<d} A\,b^i$.
+Finalement, $A[b]=∑_{i<d} A\,b^i$ est finie sur $A$ ; CQFD.
+Il est tautologique que \ref{1} entraîne \ref{3}. Il nous
+suffit donc pour conclure de vérifier que \ref{3} entraîne
+\ref{2}. Soit $C$ une sous-$A$-algèbre de $B$ contenant $b$, finie sur $A$.
+Par hypothèse, il existe une surjection $A$-linéaire $s:A^n↠C$.
+Observons que l'endomorphisme ($A$-linéaire) de $C$
+défini par la multiplication par $b$ se \emph{relève}, non canoniquement, en
+un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
+$$
+\xymatrix{
+A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
+C \ar[r]^{b} & C
+}
+$$
+En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et
+que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$
+tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir
+$u$ par la matrice $(a_{ij})$. Soit $χ_u(X)=\det(\mathrm{Id}-Xu)∈A[X]$.
+C'est un polynôme \emph{unitaire}, tel que (Cayley-Hamilton)
+l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul.
+La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD.
+\end{démo}
+
+%\begin{rmr2}
+%Structure de $A[X]$-module sur $A[b]$. [...]
+%\end{rmr2}
+
+\begin{prp2}\label{entiers=sous-algebre}
+Soit $B$ une $A$-algèbre. L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$
+est une sous-$A$-algèbre.
+\end{prp2}
+
+En d'autres termes, si $b$ et $b'$ sont deux éléments de $B$ entiers
+sur $A$, $b+b'$, $b\cdot b'$ et $ab$ pour tout $a∈A$ sont également
+entiers sur $A$.
+
+\begin{démo}
+Soient $b$ et $b'$ comme ci-dessus. La multiplication
+dans $B$ induit un morphisme de $A$-algèbres
+$$
+A[b]⊗_A A[b'] → B,
+$$
+dont l'image est la sous-$A$-algèbre $A[b,b']:=\{∑_{i,j} a_{i,j}b^i b'^j ;
+a_{i,j}∈ A \text{\ presque tous nuls}\}$ de $B$. Les $A$-algèbres
+$A[b]$ et $A[b']$ étant finies, il en est de même de leur produit tensoriel
+$A[b]⊗_A A[b']$ (\ref{}), et du quotient $A[b,b']$ de ce dernier (\ref{}).
+Finalement, $b+b'$, $bb'$ et les $ab$, qui appartiennent à $A[b,b']$,
+sont donc entiers sur $A$ en vertu de \ref{caracterisation_entiers}, \ref{3}.
+\end{démo}
+
+\begin{exo2}
+Montrer directement, sans utiliser le produit tensoriel, que
+la sous-$A$-algèbre $A[b,b']$ est finie sur $A$.
+\end{exo2}
+
+\begin{rmr2}
+Si l'on généralise les définitions ci-dessus au cas où $B$ n'est pas
+nécessairement commutative, on remarquera que la démonstration
+ci-dessus permet de montrer que la somme (resp. le produit)
+de deux éléments entiers \emph{permutables} est entier.
+\end{rmr2}
+
+
+\begin{exm2}\label{exemple:entier_algebrique}
+Il résulte de la proposition précédente que $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\in \CC$
+est entier sur $\ZZ$. Un moyen de trouver explicitement un polynôme est de remarquer que si
+l'on prend pour base de $\ZZ[X]/(X^3-2)\otimes_{\ZZ} \ZZ[Y]/(Y^2-3)$ les monômes
+(classes de) $1,X,X^2,Y,XY,X^2Y$, la matrice de la multiplication par $X+Y$
+est
+
+$$
+\left( \begin {array}{cccccc} 0&0&2&3&0&0\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&3&0\\\noalign{\medskip}0&1&0&0&0&3\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&0&2\\\noalign{\medskip}0&1&0
+&1&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0&1&0\end {array} \right)
+$$
+
+Son polynôme caractéristique est ${x}^{6}-9\,{x}^{4}-4\,{x}^{3}+27\,{x}^{2}-36\,x-23$.
+Il s'annule en $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$.
+\end{exm2}
+
+
+\begin{déf2}\label{definition:entiere}
+Une $A$-algèbre $B$ dont tous ses éléments sont entiers sur $A$
+est dite \emph{entière} sur $A$. On dit aussi que le morphisme
+$A→B$ est \emph{entier}.
+\end{déf2}
+
+On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
+
+\begin{prp2}
+Le composé de deux morphismes entiers est entier.
+\end{prp2}
+
+En d'autres termes, si $B$ est une $A$-algèbre entière et $C$
+une $B$-algèbre entière, alors $C$ est entier sur $A$ (pour la structure
+d'algèbre définie par composition).
+
+\begin{démo}
+Soit $c∈C$ ; il suffit de montrer qu'il est entier sur $A$.
+Par hypothèse $c$ est racine d'un polynôme unitaire
+$P=X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots+b₀∈B[X]$. Considérons
+la sous-$A$-algèbre $B':=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$ de $B$.
+Étant isomorphe à un quotient de
+la $A$-algèbre finie $A[b₀]⊗_A \cdots ⊗_A A[b_{n-1}]$,
+elle est donc finie sur $A$. Puisque $P∈B'[X]$, on voit que
+$B'[c]$ est finie sur $B'$. Il résulte du lemme ci-dessous que $B'[c]$ est
+finie sur $A$ et finalement (\ref{caracterisation_entiers}, iii) que
+$c$ est entier sur $A$.
+\end{démo}
+
+\begin{lmm2}
+Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre \emph{finie}
+et $M$ un $B$-module de type fini. Alors, $M$ est un $A$-module
+de type fini.
+\end{lmm2}
+
+\begin{démo}
+Par hypothèse, il existe deux entiers $r,r'$ et
+des surjections $A^r↠B$ ($A$-linéaire) et $B^{r'}↠M$ ($B$-linéaire).
+Par composition, on en déduit une surjection $A$-linéaire
+$(A^r)^{r'}↠M$. Puisque $(A^r)^{r'}$ est ($A$-isomorphe) à
+$A^{rr'}$, la conclusion en résulte. (Les détails
+sont laissés en exercice.)
+\end{démo}
+
+\subsubsection{Exercices}
+
+\begin{exo3}
+Montrer que le polynôme ${x}^{6}-9\,{x}^{4}-4\,{x}^{3}+27\,{x}^{2}-36\,x-23$
+(cf. \ref{exemple:entier_algebrique}) est irréductible sur $\QQ$.
+% donner indication.
+\end{exo3}
+
+\begin{exo3}
+Montrer que tout élément $α∈ℚ$ entier sur $ℤ$ appartient à $ℤ$.
+En particulier, $\frac{1}{2}∈ℚ$ n'est pas entier sur $ℤ$.
+\end{exo3}
+
+%\begin{démo}
+%Soit $r=x/y\in \QQ$, où $x,y\in \ZZ-\{0\}$ et $(x,y)=1$.
+%Si l'on a
+%$$
+%(\frac{x}{y})^n+a_{n-1}(\frac{x}{y})^{n-1}+\cdots+a_1 \frac{x}{y}+a_0=0,
+%$$
+%où les coefficients sont entiers, on voit par multiplication par $y^{n}$
+%que $y$ divise $x$. Compte tenu de l'hypothèse faite, on a $y=\pm 1$
+%et finalement $r∈ℤ$.
+%\end{démo}
+
+\subsection{$k$-algèbres finies monogènes, où $k$ est un corps}\label{structure_algebres_monogenes}
+
+Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{monogène}, s'il existe un élément
+$a∈A$ tel que le morphisme de $k$-algèbres
+$
+\left \{
+\begin{array}{c}
+ φ_a: k[X] → A \\
+ X\mapsto a
+\end{array}
+\right.
+$
+soit \emph{surjectif}.
+
+Par définition, $a$ est algébrique sur $k$ ssi le noyau de $φ_a$ est non nul.
+Nous ferons cette hypothèse, jusqu'à la fin de ce \ref{structure_algebres_monogenes}.
+
+L'anneau $k[X]$ étant principal\footnote{C'est une condition très forte,
+cf. exercice \ref{exercice:A[X]_principal}}, \cad tout idéal étant engendré
+par un élément, il existe un polynôme engendrant $\ker(φ_a)$.
+Il est unique si on le choisit unitaire. On note généralement $μ_{a,k}$
+(où $μ_a$ si aucune confusion n'en résulte) ce
+générateur unitaire ; on l'appelle \emph{polynôme minimal} de $a$ sur $k$. On a donc un isomorphisme :
+$$
+k[X]/μ_{a,k}(X)\iso A.
+$$
+
+Pour simplifier les notations, supposons que l'on
+a \emph{égalité} $A=k[X]/μ_{a,k}(X)$.
+(Cela nous permettra de parler d'image d'un polynôme dans $A$
+sans avoir à mentionner l'isomorphisme déduit de $φ_a$.)
+Enfin, dans le même ordre d'idées, posons $μ=μ_{a,k}$
+et notons $x$ la classe de $X$ modulo $μ$.
+
+Remarquons que l'on a : $\dim_k(A)=\deg(μ)$.
+
+Factorisons $μ$ en produit de polynômes irréductibles
+sur $k$ : $$μ=∏_i μ_i^{n_i},$$
+où les $μ_i$ ($i=1,\dots,r$) sont irréductibles unitaires distincts et les $n_i>0$.
+En particulier, les $μ_i^{n_i}$ sont premiers entre eux.
+
+Il résulte alors du théorème chinois que l'on a :
+$$
+A=k[X]/(μ)\iso ∏_i k[X]/(μ_i^{n_i}).
+$$
+
+Pour éviter les confusions, nous noterons
+$\sur{μ_i}$ (resp. $\sur{\sur{μ_i}}$)
+l'image de $μ_i∈k[X]$ dans $k[X]/(μ)$ (resp. $k[X]/(μ_i^{n_i})$)\footnote{Dans les
+chapitres suivants nous serons souvent tentés de gagner en clareté
+en sacrifiant un peu la rigueur des notations.}.
+
+\begin{lemme2}\label{lemme:facteurs_sont_locaux}
+Pour tout $i∈\{1,\dots,r\}$, l'idéal $\MM_i=(\sur{\sur{μ_i}})$ est l'unique idéal premier
+de $A_i=k[X]/(μ_i^{n_i})$ et $\MM_i^{n_i}=0$.
+\end{lemme2}
+
+Rappelons qu'un idéal $℘$ d'un anneau $C$ est dit \emph{premier} si l'anneau quotient
+$C/℘$ est intègre (donc en particulier non nul). De façon équivalente : pour
+toute paire $x,y∈C$ telle que $xy∈℘$, alors $x∈℘$ ou $y∈℘$.
+
+De même, un idéal $\MM$ d'un anneau $C$ est dit \emph{maximal} si l'anneau
+quotient $C/\MM$ est un corps (donc en particulier non nul). De façon équivalente :
+l'idéal $\MM$ est premier et maximal pour la relation d'inclusion.
+
+\begin{démo}
+Rappelons également que si $B$ est un anneau et $J$ un idéal de $B$, l'ensemble
+des idéaux (resp. idéaux premiers, resp. idéaux maximaux)
+de l'anneau quotient $B/J$ est en bijection croissante (pour l'inclusion) avec
+l'ensemble des idéaux de $B$ (resp. premiers, maximaux) contenant $J$.
+L'étude des idéaux de $k[X]/(μ_i^{n_i})$ se ramène donc
+à l'étude de idéaux de $k[X]$ contenant $(μ_i^{n_i})$.
+La conclusion résulte alors immédiatement des observations suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item tout idéal de $k[X]$ est principal ;
+\item un idéal $(P)$ contient $(μ_i^{n_i})$ ssi $P$ divise $μ_i^{n_i}$ ;
+\item l'idéal $(P)$ est premier ssi $P$ est irréductible.
+\end{enumerate}
+\end{démo}
+(Le polynôme unitaire constant $1$ n'est \emph{pas}
+irréductible.)
+
+Au vu du lemme précédent, il est semble naturel de faire la définition suivante.
+
+\begin{déf2}\label{definition:anneau_local}
+Un anneau $A$ est dit \emph{local} s'il possède un unique idéal maximal.
+\end{déf2}
+
+\begin{remarque2}
+Les anneaux $A_i$ ci-dessus satisfont à une propriété plus
+forte : ils n'ont qu'un seul idéal \emph{premier}. On parle
+d'anneau local, \emph{de dimension zéro} (cf. \ref{chapitre10}).
+\end{remarque2}
+
+Par exemple, un corps, l'anneau $ℚ[X]/(X²)$,
+et l'anneau des séries formelles $ℚ[[X]]$ sont locaux.
+
+Le lemme ci-dessus montre que $A$ se décompose en un produit fini
+de $k$-algèbres \emph{locales} $A_i$, d'idéaux maximaux nilpotents.
+
+Il est alors facile de déterminer les idéaux premiers de $A$.
+
+\begin{lemme2}
+Pour chaque $i$, l'idéal $℘_i:=(\sur{μ_i})$ de $A$ est premier.
+De plus, tout idéal premier de $A$ est égal à un $℘_i$, pour un unique
+$i∈\{1,\dots,r\}$.
+\end{lemme2}
+
+(Pour un énoncé plus général, voir l'exercice \ref{exercice:Spec_produit}.)
+
+\begin{démo}
+Il est clair que les $℘_i$ sont premiers et distincts.
+Vérifions qu'il n'y en a pas d'autre.
+Commençons par remarquer que $k[X]$ étant principal, il en
+est de même de son quotient $A$. Ainsi, tout idéal premier $℘$
+est de la forme $(\sur{P})$, où $P$ est un polynôme unitaire, tel que
+$(P)⊃(μ)$. En d'autre termes, $P$ divise $μ$. Comme il est
+irréductible (car $A/(\sur{P})≅k[X]/(P)$), c'est l'un des $μ_i$.
+\end{démo}
+
+
+\begin{remarque3}\label{remarque:nilpotent_cas_monogene}
+Si $x$ n'est pas nilpotent, l'un des $μ_i$ est différent de $X$.
+En effet, dans le cas contraire $μ(X)=∏_i μ_i^{n_i}(X)$ serait une
+puissance de $X$ et, puisque $μ(x)=0$, $x$ serait nilpotent. Après une seconde de réflexion, on
+constate que cela est équivalent au fait que $x$ n'appartiennent pas
+à l'un des idéaux premiers $\MM_i=(\sur{μ_i})$ de $A$.
+\end{remarque3}
+
+\begin{remarque3}\label{remarque:majoration_triviale_cardinal_spectre}
+Il résulte du lemme précédent que l'on a l'inégalité
+$$
+r≤\dim_k(A).
+$$
+
+\end{remarque3}
+
+
+\begin{lemme2}\label{lemme:structure_monogenes_reduites}
+L'anneau $A$ est réduit ssi tous les $n_i$ sont égaux à un.
+Dans ce cas, $A$ est isomorphe à un produit de corps :
+$$
+A≅∏_i K_i,
+$$
+où les $K_i$ sont des extensions finie (monogènes) de $k$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Rappelons que pour tout anneau $B$, on note $\Nilp(B)$
+l'\emph{idéal} $\{b∈B, ∃n, b^n=0\}$ des éléments nilpotents.
+Il est immédiat de vérifier que $\Nilp(∏_i A_i)=\Nilp(A₁)×\cdots×\Nilp(A_r)$.
+L'anneau $A$ est donc réduit ssi chacun de ses quotients $A_i$ le sont.
+Or il est immédiat que $A_i=k[X]/μ_i^{n_i}$ est un corps ssi $n_i=1$ :
+si $n_i=1$, $A_i=k[X]/μ_i$ est un corps et, réciproquement,
+si $A_i$ est un corps, $\sur{\sur{μ_i}}$, qui est nilpotent dans $k[X]/μ_i^{n_i}$,
+est donc nul, \cad $μ_i^{n_i}|μ_i$ (dans $k[X]$). Ceci ne peut se produire que pour $n_i=1$.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}\label{remarque:reduit_local_dim_zero}
+Pour montrer que si $A_i$ est réduit c'est un corps,
+on pourra alternativement constater que $\MM_i=0$ (car il est nilpotent),
+de sorte que $A_i^×=A_i-\{0\}$ (\ref{lemme:unites_anneau_local}), si bien
+que $A_i$ est un corps.
+\end{remarque2}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+\subsubsection{Exercices}
+\begin{exercice3}
+Soit $A$ un anneau tel que l'anneau $A[X]$ soit
+principal. Montrer que tout élément non diviseur de zéro de $A$ est une
+unité.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}\label{exercice:A[X]_principal}
+Soit $A$ un anneau intègre tel que $A[X]$ soit principal.
+Alors, $A$ est un corps.
+\end{exercice3}
+
+%\begin{proof}[Démonstration du lemme]
+%Soient $A$ comme dans l'énoncé et $a∈ A$ non diviseur de zéro.
+%Par hypothèse, il existe $P_a∈ A[X]$ tel que $(P_a)=(a,X)$.
+%Il existe alors deux polynômes $Q_1,Q_2∈ A[X]$ tels
+%que $X=Q_1P_a$ et $a=Q_2P_a$. On en déduit tout d'abord que $P_a(0)Q_2(0)=a$
+%si bien que $P_a(0)$ n'est pas un diviseur de zéro. Comme $P_a(0)Q_1(0)=0$,
+%on a $Q_1(0)=0$, \cad $Q_1=\widetilde{Q}_1X$. On a alors $\widetilde{Q}_1P_a=1$ ;
+%en particulier, $(P_a)=A[X]$ et donc $(a)=(P_a(0))=A$.
+%\end{proof}}
+
+\begin{exercice3}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $X$ l'ensemble des fonctions continues de $ℝ$ dans $ℝ$.
+Montrer que la relation « $f\sim g$ ssi il
+existe un voisinage $V$ de zéro tel que $f_{|V}=g_{|V}$ »
+est une relation d'équivalence et que l'évaluation
+$X→ℝ$, $f\mapsto f(0)$ passe au quotient $G=X/\sim$.
+\item Montrer que $G$, muni de la structure
+d'anneau déduite de $X$ est un anneau local,
+d'idéal maximal $\MM=\{f∈G, f(0)=0\}$. (Noter
+que seule l'évaluation en zéro passe au quotient par la relation d'équivalence.)
+\end{enumerate}
+L'anneau $G$ est appelé ensemble des \emph{germes} de fonctions
+continues au voisinage de zéro,
+\item Montrer que l'anneau $G$ a une infinité d'idéaux premiers différents de $\MM$.
+% par exemple : $\{f∈G, f(\frac{1}{n})\text{ pour une infinité de }n\}$
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}\label{exercice:Spec_produit}
+Soit $B=∏_{i=1}^r B_i$ un produit fini d'anneaux.
+Pour tout $i$ et tout idéal premier $℘_i∈\SP(B_i)$,
+montrer que l'idéal $℘_i(i):=B_1×\cdots×B_{i-1}×℘_i×B_{i+1}×\cdots×B_r$
+de $B$ est un idéal premier et que le quotient
+$B/℘_i(i)$ est canoniquement isomorphe à $B_i/℘_i$.
+%En déduire que $∐_i \SP(B_i)\iso \SP(B)$.
+(Indication : on pourra utiliser \ref{factorisation_vers_integre}.)
+\end{exercice3}
+
+%Le premier point résulte du fait que l'idéal $℘_i(i)$
+%est le noyau du morphisme composé
+%$B↠B_i↠B_i/℘_i$. Or, c'est un fait général élémentaire que le noyau
+%d'un morphisme de but intègre est premier.
+%Le second point résulte immédiatement du (\ref{factorisation_vers_integre}) ci-dessus.
+
+\begin{exercice3}
+Soit $K/k$ une extension finie monogène. La $k$-algèbre
+$K×K$ est-elle monogène ?
+\end{exercice3}
+
+
+\subsection{Structure des algèbres finies sur un corps}
+
+Dans ce paragraphe, on souhaite généraliser la décomposition
+en produit des $k$-algèbres finies monogènes au cas non monogène.
+%Ce résultat est essentiel pour notre présentation. C'est aussi,
+%nous semble-t-il, une bonne introduction aux techniques générales
+%de l'algèbre commutative élémentaire.
+
+\begin{déf2}\label{definition:spectre}
+Soit $A$ un anneau. On appelle \emph{spectre} de $A$ l'ensemble de ses idéaux premiers.
+On le note $\SP(A)$.
+\end{déf2}
+
+D'après un théorème de Krull, tout anneau non nul possède un idéal maximal (donc premier).
+On en déduit aisément par passage au quotient que tout idéal strict
+d'un anneau est contenu dans un idéal maximal.
+
+\begin{lemme2}\label{lemme:SP=SPmax}
+Tout idéal premier qu'une $k$-algèbre finie est maximal.
+\end{lemme2}
+
+En d'autres termes, pour une telle algèbre,
+l'ensemble $\SP(A)$ coïncide avec l'ensemble $\mathrm{Specmax}(A)$
+(dit \emph{spectre maximal}) de ses idéaux maximaux.
+
+\begin{démo}
+Quitte à quotient par l'idéal premier, on peut supposer $A$ intègre.
+Il faut donc montrer qu'une $k$-algèbre finie, intègre est un corps.
+Soit $a∈A-\{0\}$. La multiplication par $a$, $m_a:A→A$ est $k$-linéaire,
+injective (car $A$ est intègre) donc \emph{bijective}. En particulier,
+il existe un $a'∈A$ tel que $m_a(a')=aa'=1$. Tout élément non nul
+de $A$ est donc inversible.
+\end{démo}
+
+La théorème principal de cette section est le suivant.
+
+\begin{thm2}\label{theoreme:structure_algebres_finies_sur_corps}
+Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre (de dimension) finie.
+Alors :
+\begin{enumerate}
+\item $A$ a un nombre fini d'idéaux premiers $\wp_1,\dots,\wp_r$, où $r=\# \SP(A)\leq
+\dim_k A$ ;
+\item les idéaux premiers $\wp_i$ sont \emph{maximaux} ;
+\item $\displaystyle A\iso \prod_{i=1}^r A_i$, où $A_i$ est une $k$-algèbre de dimension finie,
+\emph{locale}, dont l'idéal maximal est nilpotent.
+\end{enumerate}
+\end{thm2}
+
+Observons que (ii) n'est mis que pour mémoire. On pourra
+rapprocher (i) (resp. (iii)) de \ref{remarque:majoration_triviale_cardinal_spectre}
+(resp. \ref{lemme:facteurs_sont_locaux}).
+Nous utiliserons principalement le théorème précédent sous la forme suivante
+(cf. \ref{lemme:structure_monogenes_reduites}) :
+
+\begin{crl2}\label{algèbre réduite}
+Soit $A$ une $k$-algèbre finie, \emph{réduite} (\cad sans éléments nilpotents).
+Alors
+$$A\iso \prod_{i=1}^r K_i,$$ où les $K_i/k$ sont des extensions finies de corps.
+\end{crl2}
+
+(Rappelons que les isomorphismes entre deux $k$-algèbres sont
+par définition $k$-linéaires.)
+
+\begin{démo}
+Soit $A_i$ comme dans le théorème. C'est une $k$-algèbre finie \emph{réduite}
+car $A$ l'est (exercice), locale, d'idéal maximal nilpotent.
+La conclusion résulte, comme en \ref{remarque:reduit_local_dim_zero},
+du lemme suivant.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme:unites_anneau_local}
+Soient $B$ un anneau local et $\MM$ son idéal maximal.
+L'ensemble $B^×$ des éléments inversibles de $B$ est égal
+à $B-\MM$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Les unités (=éléments inversibles)
+d'un anneau n'appartenant à aucun idéal maximal, on a l'inclusion
+$B^×⊂B-\MM$. Réciproquement, si $b∈B-\MM$, l'idéal $(b)$
+est égal à $B$. Si ce n'était pas le cas, il serait contenu dans un idéal
+maximal (d'après Krull), nécessairement égal à $\MM$.
+\end{démo}
+
+\begin{crl2}\label{hom versus dim}
+Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie.
+Alors,
+$$
+\# \Hom_k(A,k) \leq \dim_k A.
+$$
+\end{crl2}
+
+\begin{démo}
+L'anneau $k$ étant intègre (c'est même un corps), chaque morphisme $f∈\Hom_k(A,k)$ se factorise nécessairement, de façon
+unique, à travers un morphisme de $k$-algèbres $f_i:A/℘_i→k$ (où $℘_i=\Ker(f)$).
+D'autre part, si $k_i$ est une extension de corps de $k$,
+il existe au plus un morphisme $k$-linéaire $k_i→k$ et ce cas
+se présente ssi $k_i=k$. Finalement, $\# \Hom_k(A,k)$ est égal
+au nombre d'idéaux premiers (=maximaux ici) $℘$ de $A$ tels que le
+composé $k→A↠A/℘$ soit un isomorphisme. Leur nombre est majoré
+par $\# \SP(A)$, lui-même majoré par $\dim_k(A)$.
+\end{démo}
+
+Avant de démontrer en \ref{demonstration:structure_algebres_finies_sur_corps}
+le théorème \ref{theoreme:structure_algebres_finies_sur_corps},
+il semble utile d'expliquer d'une part le lien entre décomposition en produit
+d'un anneau et éléments nilpotent.
+
+\subsubsection{Idempotents (I)}\label{idempotents:I}
+Rappelons :
+\begin{définition3}\label{definition:idempotent}
+Un élément $e$ d'un anneau $A$ est dit \emph{idempotent}
+si $e²=e$.
+%Un idempotent $e$ est dit
+%\emph{décomposable} s'il existe deux idempotents non nuls $e₁$ et $e₂$
+%tels que $e=e₁+e₂$, $e₁e₂=0$ ; dans le cas contraire, il est dit indécomposable.
+\end{définition3}
+
+(Une récurrence immédiate montre que si $e²=e$, on a également
+$e^n=e$ pour tout entier $n≥1$.)
+
+Observons que si $e$ est un idempotent, $1-e$ l'est également
+et que $e(1-e)=0$. Il en résulte que dans un anneau
+\emph{intègre}, les seuls idempotents sont $0$ et $1$.
+
+
+\begin{lemme3}
+Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent de $A$.
+\begin{enumerate}
+\item L'addition et la multiplication de $A$ induisent une
+structure d'\emph{anneau} sur l'idéal $Ae$, dont l'identité est
+$e$.
+\item Le morphisme $A→Ae×A(1-e)$, $a\mapsto (ae,a(1-e))$
+est un isomorphisme, d'inverse $(a',b')\mapsto a'+b'$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme3}
+
+\begin{démo}
+L'égalité $(ae)\cdot (be)=(ab)e$ (pour $a$ et $b$ dans $A$) entraîne la première
+assertion. Pour la seconde, on observera que si $a'∈Ae⊂A$ et $b'∈A(1-e)⊂A$, on a $a'b'=0$ dans
+$A$.
+\end{démo}
+
+Faisons la définition suivante.
+
+\begin{définition3}\label{definition:famille_orthogonale_d_idempotents}
+Une famille $\{e_i\}_{i∈I}$ d'idempotents d'un anneau $A$ est dite \emph{orthogonale} si
+pour tout $i≠j∈I$, on a $e_i e_j=0$.
+\end{définition3}
+
+La généralisation suivante du lemme précédent est alors immédiate.
+
+\begin{proposition3}
+Soient $A$ un anneau et $\{e_i\}_{i∈I}$ une famille finie orthogonale d'idempotents
+telle que $∑_i e_i=1$. Le morphisme $A→∏_i Ae_i$, $a\mapsto (ae_i)_{i∈I}$ est un isomorphisme.
+\end{proposition3}
+
+(La propriété $∑_i e_i=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idempotents est \emph{complète}.)
+
+Réciproquement.
+
+\begin{lemme3}
+Soit $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit fini d'anneaux. Pour chaque $i∈I$, soient
+$e_i$ l'élément dont la $i$-ème coordonnées est l'unité de $B_i$ et dont
+les autres coordonnées sont nulles. Alors, les $e_i$
+constituent une famille orthogonale d'idempotents de somme un.
+La surjection canonique $B→B_i$ s'identifie canoniquement au
+morphisme $B→Be_i$, via l'isomorphisme évident
+$$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\}\iso B_i.$$
+\end{lemme3}
+
+\begin{corollaire3}\label{factorisation_vers_integre}
+Soient $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit fini d'anneaux et $f:B→C$ un morphisme vers
+un anneau \emph{intègre}. Alors, le morphisme $f$ se factorise de façon unique
+à travers l'un des $B_i$ : il existe un unique entier $i'∈I$
+et un unique morphisme $f_{i'}:B_{i'}→C$ tel que $f$ soit
+le composé $B↠B_{i'}\sr{f_{i'}}{→}C$.
+\end{corollaire3}
+
+\begin{démo}
+Soient $e_i$ comme dans le lemme précédent. Notons
+$c_i=f(e_i)$. Les $c_i$ constituent également
+une famille orthogonale d'idempotents de somme un
+dans $C$. Puisque $C$ est intègre, pour tout $i$, $c_i∈\{0,1\}$ ;
+par orthogonalité au plus un des $c_i$ est égal à un.
+Leur somme étant égale à un, il existe donc un unique $i'∈I$
+tel que $c_{i'}=1$. Ainsi, $f(b)=f(∑_i be_i)=∑_i f(b)c_i=f(be_{i'})$.
+Il se factorise donc à travers $B→B_{i'}≅Be_{i'}$.
+\end{démo}
+
+
+Nous reviendrons plus tard sur la notion d'idempotent (\ref{}). %on y parlera de connexité, du lemme de Hensel etc.
+
+
+
+
+\subsubsection{Démonstration du théorème \ref{theoreme:structure_algebres_finies_sur_corps}}
+\label{demonstration:structure_algebres_finies_sur_corps}
+Soient $℘_1,\dots,℘_n$ des idéaux premiers distincts ; pour $1\leq i\neq j\leq n$
+et $N$ un entier quelconque, on a $\wp_i^N+\wp_j^N=A$.
+Dans le cas contraire, il existerait (Krull) un idéal maximal $\MM$ $\wp_i^N+\wp_j^N$.
+Un tel idéal contient $℘_i^N$ donc $℘_i$ (car $\MM$ est premier) et finalement $℘_i=\MM$ car $℘_i$
+est maximal (cf. \ref{lemme:SP=SPmax}). Par symétrie, on a également $℘_j=\MM$, ce qui est absurde.
+
+Ainsi, on a par le lemme chinois, pour chaque $N∈ℕ$, une surjection :
+\begin{equation}\label{equation:lemme_chinois}
+A↠ ∏_{i=1}^n A/℘_i^N.
+\end{equation}
+
+Pour $N>0$, chaque facteur du terme de droite est non nul, donc de dimension sur $k$ supérieure
+ou égale à $1$. Il en résulte que $n\leq \dim_k A$. Cela prouve le (i).
+
+Soit $\SP(A)=\{\wp_1,\dots,\wp_r\}$ (les $℘_i$ sont donc supposés distincts).
+Le noyau du morphisme précédent (pour $n=r$) est $\cap_1^r \wp_i$.
+
+\begin{lemme3}\label{lemme:nilpotents_ad_hoc}
+On a $\cap_1^r ℘_i=\Nilp(A)$, où $\Nilp(A)$ est l'idéal des éléments
+nilpotents de $A$.
+\end{lemme3}
+
+\begin{remarque3}
+De façon générale, on verra en \ref{} que pour tout anneau $B$,
+on a $⋂_{℘∈\SP(B)}℘=\Nilp(B).$ Observons simplement pour l'instant
+que l'inclusion $\Nilp(B)⊂⋂℘$ immédiate. En effet, si $b$ est nilpotent, il existe un entier $n$ tel que $b^n=0$.
+En particulier, pour tout idéal premier $℘$ de $B$, on a $b^n∈℘$ donc $b∈℘$ et finalement
+l'inclusion souhaitée.
+\end{remarque3}
+
+\begin{démo}[Démonstration du lemme] En vertu de la remarque ci-dessus,
+il suffit de démontrer l'inclusion $⋂℘_i⊂\Nilp(A)$.
+Soit $a∈A$, non nilpotent. On souhaite montrer
+qu'il existe un idéal premier $℘$ de $A$ tel que $a∉℘$. Soit $B:=k[a]⊂A$ la
+sous-$k$-algèbre de $A$ engendrée par $A$. D'après
+\ref{remarque:nilpotent_cas_monogene},
+il existe un idéal premier $℘_i$, engendré par l'image
+dans $B$ d'un polynôme irréductible $μ_i$, ne contenant pas $a$.
+Il nous suffit donc de montrer qu'il existe un idéal $℘'$ de $A$ tel que $℘'⋂B=℘_i$ :
+pour un tel idéal, on a en effet $a∉℘'$ puisque $a∈B$. (Un tel
+résultat est valable sous des hypothèses bien plus générales sur
+le morphisme $B→A$ ; cf. \ref{theoreme:Cohen-Seidenberg}.) L'anneau
+$B$ étant isomorphe au quotient d'un anneau de polynômes sur $k$,
+il résulte du sous-lemme trivial suivant que l'inclusion $B↪A$ induit
+un morphisme \emph{injectif} $B/(μ_i)↪A/(μ_i)$.
+
+\begin{sous-lemme3}\label{sous-lemme:platitude_ad_hoc}
+Soient $k$ un corps, $P,Q$ deux polynômes,
+$C=k[X]/(PQ)$, $M$ un $C$-module
+et donnons nous une injection $C↪M$.
+Le morphisme induit $C/(P)→M/(P)M$ est également une injection.
+\end{sous-lemme3}
+
+%\begin{démo}
+%Trivial.%La donnée de l'injection $C↪M$ revient à la donnée
+%d'un élément $m∈M$ (l'image de $1_C$ par l'injection) d'annulateur nul,
+%\cad tel que si $cm=0$ on ait $c=0$.
+%Il s'agit de montrer qu'il en est de même pour
+%l'élément $\sur{m}:=m\mod\,(P)M$ du $C/(P)$-module $M/(P)M$.
+%Soit $\sur{f}∈C/(P)$ tel que $\sur{f}\sur{m}=0$. Si
+%$f$ est un relèvement de $\sur{f}$ à $C$, on a $fm∈(P)M$. En conséquence,
+%$(Qf)m∈(PQ)M=\{0\}$, de sorte que par hypothèse $Qf$, qui annule $m$, est nul.
+%Or, si $Qf=0$ dans $k[X]/(PQ)$, on a $P|f$, \cad $\sur{f}=0$ ; CQFD.
+%\end{démo}
+%\begin{remarque3}
+%Si $R$ est un anneau, $V$ un $R$-module et
+%$v∈V$, on appelle \emph{annulateur} de $v$
+%l'\emph{idéal} $\mathrm{Ann}_R(v)=\{r∈R,\, rv=0\}$.
+%end{remarque3}
+
+L'algèbre quotient $A_i:=A/μ_iA$, contenant le corps $k_i:=B/μ_i$,
+est non nulle. Elle possède
+donc un idéal premier $\sur{℘'}$ ; ce dernier correspond
+à un idéal premier $℘'$ de $A$ contenant $μ_iA$.
+
+Le noyau du morphisme composé
+$B↠k_i↪A_i↠A_i/\sur{℘'}≅A/℘'$ a pour noyau
+$℘_i$ (car $℘_i=\Ker(B↠k_i)$ et $k_i→A/℘'$ est injectif).
+Ce morphisme se décomposant également en $B↪A↠A/℘'$, son
+noyau est $℘'⋂B$, d'où l'égalité $℘'⋂B=℘_i$.
+\end{démo}
+
+Nous sommes maintenant en mesure d'achever la démonstration
+du théorème \ref{theoreme:structure_algebres_finies_sur_corps},
+(iii).
+Comme $A$ est de dimension finie sur $k$, il existe existe une $k$-base
+$(ν_1,\dots,ν_d)$ de $\Nilp(A)$ et un entier $N∈ℕ$ tel que
+$ν₁^n=\dots=ν_d^n=0$. Il en résulte immédiatement que $\Nilp(A)^{nd}=0$.
+Posons $N=nd$. L'égalité $(⋂℘_i)^N=0$ entraîne à son tour l'égalité
+$℘_1^N\cdots ℘_r^N=0$. Cette dernière entraîne également l'énoncé
+d'apparence plus fort : $\cap ℘_i^N=0$. Pour ce dernier point on remarque que si
+$x$ est un élément de cette intersection, son idéal annulateur
+$\mathrm{Ann}(x)=\{a∈A, ax=0\}$ contient $\prod_{j\neq i} \wp_j^N$,
+pour tout $i$.
+S'il existait un idéal maximal $℘$ contenant $\mathrm{Ann}(x)$, il contiendrait donc en particulier
+$∏_{℘'≠℘ ∈ \SP(A)} {℘'}^N$, ce qui est absurde.
+En effet, si pour chaque $℘'≠℘$ on choisit un élément $x'∈℘'-℘$,
+le produit $∏_{℘'≠ ℘} x'^N$ appartiendrait à l'idéal \emph{premier} $℘$,
+ce qui est visiblement impossible.
+
+Ainsi, $⋂_i ℘_i^N=0$ de sorte que la surjection \ref{equation:lemme_chinois}
+est aussi \emph{injective} :
+$$A\iso \prod_1^r A/\wp_i^N.$$
+L'anneau $A_i:=A/\wp_i^N$ est local (car l'ensemble
+$\SP(A_i)$ est en bijection avec les idéaux premiers contenant $\wp_i^N$ donc
+$\wp_i$), d'idéal maximal nilpotent.
+
+
+%{\small \begin{remarque3}
+%On verra plus tard (\ref{décomposition algèbre artinienne}) que
+%si $Z$ est un anneau \emph{noethérien} dont
+%les idéaux premiers sont maximaux (anneau de « dimension nulle »),
+%$Z\iso\prod_{\wp\in \SP(Z)} Z_{\wp}$, où $Z_℘$ est le \emph{localisé
+%de $Z$ en $℘$}.
+%Le lecteur pourra vérifier à cette occasion que les
+%anneaux locaux $A/\wp_i^N$ ci-dessus s'identifient aux localisés $A_{\wp_i}$.
+%Le sous-lemme \ref{sous-lemme:platitude_ad_hoc} peut
+%être vu comme un résultat de platitude.
+%On verra plus tard que la notion de platitude est particulièrement simple
+%dans le cas des anneaux \emph{de dimension $1$}, dont le $C$
+%de \emph{loc. cit.} est un exemple (\ref{}).
+%\end{remarque3}
+%}
+
+%\begin{exercice3}%à déplacer
+%Montrer que le morphisme $B→B/(μ_i^{n_i})$ est \emph{plat}.
+%\end{exercice3}
+
+\subsubsection{Exercices}
+
+\begin{exercice3}\label{exercice:racine_et_idempotents}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal.
+Montrer que l'ensemble $\sqrt{I}=\{a∈A,\,∃n\,a^n∈I\}$ est un idéal
+de $A$. On l'appelle la \emph{racine} de $I$.
+\item Soient $e$ et $f$ deux idempotents d'un anneau $A$, tels que
+$\sqrt{Ae}=\sqrt{Af}$. Montrer que $e=f$. %c'est BBK, AC, 2, §4, lemme 1
+(Indication : calculer $ef$ de deux façons différentes.)
+\end{enumerate}
+En particulier, deux idempotents engendrant le même idéal sont égaux.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}\label{exercice:inverse_ponctuel}
+Soient $A$ un anneau et $a∈A$. Montrer que s'il existe un élément
+$x∈A$ tel que $axa=a$, il existe alors un \emph{unique} élément
+$a^{(-1)}∈A$ tel que $aa^{(-1)}a=a$ et $a^{(-1)}aa^{(-1)}=a^{(-1)}$.
+(Indication : pour l'existence, considérer $a^{(-1)}=xax$. Pour l'unicité,
+constater que l'idéal $(a)$ est engendré par l'idempotent $ax$
+et utiliser la remarque à la fin de l'exercice précédent.)
+On dit que $a^{(-1)}$ est l'\emph{inverse ponctuel} de $a$.
+% cf. Bourbaki ou Olivier, « L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes
+% et les parties constructibles » pour des compléments, à inclure en exercice [sur le
+% produit tensoriel ?] dans le livre.
+\end{exercice3}
+
+
+
+
+\tableofcontents
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{smfalpha}
+\end{document}
diff --git a/formules.tex b/formules.tex
new file mode 100644
index 0000000..078dce1
--- /dev/null
+++ b/formules.tex
@@ -0,0 +1,216 @@
+%\usepackage{mathabx} %marche pas
+
+% gras, surlignage, etc...
+\def\sur{\overline}
+\def\sous{\underline}
+\def\gtilde{\widetilde}
+\def\osn{\oldstylenums}
+
+%\renewcommand{\ieme}{^\text{ième}}
+%\renewcommand{\iemes}{^\text{ièmes}}
+\newcommand{\e}{$^\text{e}$\xspace}
+% catégorique
+\newcommand{\Hom}{\mathsf{Hom}}
+\newcommand{\End}{\mathsf{End}}
+\newcommand{\Aut}{\mathsf{Aut}}
+\newcommand{\Isom}{\mathsf{Isom}}
+\newcommand{\ob}{\mathsf{Ob}\ }
+\newcommand{\op}{^{\mathsf{op}}}
+\newcommand{\cat}{\mathsf{Cat}}
+\newcommand{\Ens}{\mathsf{Ens}}
+\newcommand{\Ab}{\mathsf{Ab}}
+\newcommand{\grcat}{\mathsf{Grpd}}
+\newcommand{\nerf}{\mathsf{Nerf}}
+%\newcommand{\cd}{\mathsf{CD}}
+\newcommand{\K}{{\mathsf{K}}}
+\newcommand{\Sch}{\mathsf{Sch}}
+\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
+\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
+% schémas
+\newcommand{\kbar}{\overline{k}}
+\newcommand{\OO}{\mathscr{O}}
+\newcommand{\xb}{{\bar{x}}}
+\newcommand{\SP}{\mathrm{Spec}}
+\newcommand{\aff}{\mathbf{A}}
+\newcommand{\etb}{\bar{\eta}}
+\newcommand{\FR}{\mathrm{Frob}}
+\newcommand{\fr}{\mathrm{Frob}}
+\newcommand{\et}{\mathrm{\acute{e}t}}
+\newcommand{\Et}{\text{Ét}}
+\newcommand{\zar}{\text{Zar}}
+\newcommand{\ga}{\mathrm{Gal}}
+\newcommand{\Tors}{\mathsf{Tors}}
+\newcommand{\fk}{\times_{k}}
+\newcommand{\red}{\mathrm{r\acute{e}d}}
+\newcommand{\cons}{\mathrm{cons}}
+\newcommand{\Nilp}{\mathrm{Nilp}}
+\newcommand{\Om}{{\Omega}}
+\newcommand{\Proj}{{\mathrm{Proj}}}
+\newcommand{\Ecl}{{\mathrm{\acute{E}cl}}}
+\newcommand{\dlog}{\mathrm{dlog}}
+\newcommand{\cd}{{\mathrm{cd}}}
+\def\sing#1{#1_{\mathrm{sing}}}
+\def\reduit#1{#1_{\red}}
+\def\reg#1{{#1}_{\mathrm{r\acute{e}g}}}
+\def\car#1{\mathrm{car}.\,#1}
+\newcommand{\gen}{_{\eta}}
+\newcommand{\geng}{_{\etb}}
+\newcommand{\spe}{_{s}}
+\newcommand{\sep}{^{\mathrm{s\acute{e}p}}}
+\newcommand{\pr}{{\mathrm{pr}}}
+
+\def\top#1{{#1}^{\sim}}
+
+\newcommand{\Xf}{\vert X \vert }
+\newcommand{\fx}{\vert X \vert }
+
+\newcommand{\Xb}{{\sur{X}}}
+
+% cohomologie, faisceaux
+\newcommand{\cp}{\Psi}
+\newcommand{\ce}{\Phi}
+\newcommand{\RG}{\mathrm{R\Gamma}}
+\newcommand{\lam}{\Lambda}
+\newcommand{\HH}{\mathrm{H}}
+\newcommand{\ff}{\mathscr{F}}
+\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}
+\newcommand{\Gm}{{\mathbf{G}_m}}
+
+
+% ramification
+\newcommand{\swan}{\mathrm{Swan}}
+\newcommand{\sauv}{\mathrm{sauv.}}
+\newcommand{\modere}{\mathrm{mod.}}
+
+
+
+% toposlogie
+\newcommand{\gp}{\pi_1} % pour « Galois-Poincaré »
+\newcommand{\pic}{{\mathrm{Pic}}}
+\newcommand{\timesf}{{\sr{\la}{\times}}}
+
+% algèbre linéaire, catégories dérivée
+\newcommand{\tr}{\mathrm{Tr}}
+\newcommand{\TR}{\mathrm{Tr}}
+\newcommand{\deter}{\mathrm{d\acute{e}t}}
+\renewcommand{\det}{\mathrm{d\acute{e}t}}
+\newcommand{\vol}{\mathop{\mathrm{vol}}}
+\newcommand{\otl}{\otimes^{\mathbf{L}}}
+\newcommand{\dbc}{\mathsf{D}_c^b}
+\newcommand{\db}{{\mathsf{D}^b}}
+\newcommand{\dplus}{{\mathsf{D}^{+}}}
+\newcommand{\dbcoh}{\mathsf{D}_{\mathsf{coh}}^b}
+\newcommand{\dm}{{\mathsf{D}^{-}}}
+\newcommand{\Ext}{{\mathsf{Ext}}}
+\newcommand{\sym}{\mathsf{Sym}}
+\renewcommand{\ker}{\mathrm{Ker}}
+\newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}}
+\newcommand{\Coker}{\mathrm{Coker}}
+\newcommand{\coker}{\mathrm{Coker}}
+\newcommand{\gl}{{\mathrm{GL}}}
+\newcommand{\kos}{{\mathsf{Kos}^{\llcorner}}}
+\newcommand{\kosdual}{{\mathsf{Kos}^{\wedge}}}
+\newcommand{\rang}{{\mathrm{rang}}}
+\newcommand{\Frac}{{\mathrm{Frac}}}
+\newcommand{\prang}{{p\text{-}\mathrm{rang}}}
+\newcommand{\Irr}{\mathrm{Irr}}
+
+
+% algèbre commutative, catégories abéliennes
+\newcommand{\gr}{\mathrm{Gr}}
+
+% ensembles usuels et caractères gras
+\newcommand{\ZZ}{\mathbf{Z}}
+\newcommand{\ZZc}{{\hat{\mathbf{Z}}}}
+\newcommand{\NN}{\mathbf{N}}
+\newcommand{\RR}{\mathbf{R}}
+\newcommand{\QQ}{\mathbf{Q}}
+\newcommand{\QQb}{\sur{\QQ}}
+\newcommand{\CC}{\mathbf{C}}
+\newcommand{\PP}{\mathbf{P}}
+\newcommand{\FF}{\mathbf{F}}
+\newcommand{\FFb}{\sur{\FF}}
+\newcommand{\LL}{{\mathbf{L}}}
+\newcommand{\FFp}{{\FF_p}}
+
+% l-adique
+\newcommand{\QL}{{\QQ_{\ell}}}
+\newcommand{\QLt}{\QQ_{\ell}\[ t\]}
+\newcommand{\QLB}{{{\sur{\QQ_{\ell}}}}}
+\newcommand{\ZL}{{\ZZ_{\ell}}}
+\newcommand{\tl}{t_{\ell}}
+\newcommand{\ep}{\chi}
+\newcommand{\epc}{\chi_c}
+
+
+% caractères spéciaux
+\newcommand{\MM}{\mathfrak{m}}
+\newcommand{\vide}{\varnothing}
+\newcommand{\vardelta}{\partial}
+
+
+% flèches diverses
+\def\commutatif{\ar@{}[rd]|{\circlearrowleft}}
+\def\cartesien{\ar@{}[rd]|{\square}}
+
+\newcommand{\du}{\diagup}
+\newcommand{\ra}{\rightarrow}
+%\newcommand{\fld}{\rightarrow}
+\newcommand{\la}{\leftarrow}
+%\newcommand{\flg}{\leftarrow}
+\newcommand{\Rra}{\Rightarrow}
+\newcommand{\rra}{\rightrightarrows}
+\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
+\newcommand{\ira}{\rightarrow}
+\newcommand{\hra}{\hookrightarrow }
+\newcommand{\inj}{\hookrightarrow}
+\newcommand{\sr}{\stackrel}
+\newcommand{\rrra}{\Rrightarrow}
+\newcommand{\rrraxy}{\ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar[r] }
+\newcommand{\iso}{\stackrel{\sim}{\ra}}
+\newcommand{\giso}{\stackrel{\sim}{\la}}
+\newcommand{\isononcan}{\simeq}
+\newcommand{\equ}{\approx}
+\newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow}
+
+\def\fl#1{\overleftarrow{#1}}
+
+% texte
+\newcommand{\fed}{\stackrel{\text{\rm déf}}{=}}
+\newcommand{\ssi}{si et seulement si\xspace}
+\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire\xspace}
+\newcommand{\num}{{$\mathrm{n}^{\mathrm{o}}$}}
+
+
+
+% non classé !
+\newcommand{\GG}{\mathbf{G}}
+\newcommand{\R}{\mathrm{R}}
+\newcommand{\pprime}{{\prime\prime}}
+\newcommand{\ppprime}{{\prime\prime\prime}}
+\newcommand{\colim}{{\mathrm{colim}}}
+
+% commandes
+%%%%%%%%%%%
+\def\sga#1#2#3{[{\bf $\mathbf{SGA\,{#1}}$}~{\sc #2}~#3]}
+\def\ega#1#2{[{\bf ÉGA}~{\sc #1}~#2]}
+%\def\ega3#1#2#3{[{\bf ÉGA}~$\textsc{#1}_{\textrm{#2}}$~#3]}
+\def\egalong#1#2#3{[{\bf ÉGA}~$\textsc{#1}_{\textrm{#2}}$~#3]}
+\def\egazéro#1#2{[{\bf ÉGA}~$0_{\textsc{#1}}$~#2]}
+\def\ac#1#2#3#4{[{\bf Bourbaki}, A.C.,~{\sc #1}, §#2, N°#3#4]}
+\def\a#1#2#3#4{[{\bf Bourbaki}, A.,~{\sc #1}, §#2, N°#3\,#4]}
+\def\bbk#1#2#3#4#5{[{\bf Bourbaki}, #1,~{\sc #2}, §#3, N°#4\,#5]}
+\def\]{\textup{\mbox{]\hspace{-.15em}]}}}
+\def\[{\textup{\mbox{[\hspace{-.15em}[}}}
+\def\mc{\mathscr}
+\def\got{\mathfrak}
+\def\droit{\mathsf}
+\def\nl{\newline}
+\def\-l{\ \vspace{-4mm}}
+\def\trdist#1#2#3{ \xymatrix{#1 \ar[rr] & & #2 \ar[dl] \\ & #3 \ar[ul]^{+1} & }}
+\def\L#1{\mathsf{L}_{#1}}
+\def\chap#1{\widehat{#1}}
+\def\cochap#1{\widecheck{#1}}
+\def\randtilde#1{\widetilde{#1}}
+
+
diff --git a/francais-natbib.bst b/francais-natbib.bst
new file mode 100644
index 0000000..9fd1b00
--- /dev/null
+++ b/francais-natbib.bst
@@ -0,0 +1,1738 @@
+%%
+%% This is file `francais2.bst',
+%% generated with the docstrip utility.
+%%
+%% The original source files were:
+%%
+%% merlin.mbs (with options: `babel,ay,nat,lang,vonx,nm-rev1,jnrlst,nmft,nmft-def,fnm-rm,nmand-rm,blkyear,dt-beg,yr-per,note-yr,tit-qq,qt-g,qx,vnum-nr,volp-com,pgsep-s,jwdpg,pp-last,jwdvol,num-xser,numser,ser-vol,ser-ed,pg-bk,pre-edn,isbn,issn,agu-doi,doi,edby,blk-com,blknt,pp,ed,abr,ord,and-xcom,url,url-nt,nfss,')
+%% ----------------------------------------
+%% *** Style franais conforme Malo (1996) ***
+%%
+%% Copyright 1994-2004 Patrick W Daly
+ % ===============================================================
+ % IMPORTANT NOTICE:
+ % This bibliographic style (bst) file has been generated from one or
+ % more master bibliographic style (mbs) files, listed above.
+ %
+ % This generated file can be redistributed and/or modified under the terms
+ % of the LaTeX Project Public License Distributed from CTAN
+ % archives in directory macros/latex/base/lppl.txt; either
+ % version 1 of the License, or any later version.
+ % ===============================================================
+ % Name and version information of the main mbs file:
+ % \ProvidesFile{merlin.mbs}[2004/02/09 4.13 (PWD, AO, DPC)]
+ % For use with BibTeX version 0.99a or later
+ %-------------------------------------------------------------------
+ % This bibliography style file requires a file named babelbst.tex
+ % containing the definitions of word commands like \bbleditor, etc.
+ % This is an author-year citation style bibliography. As such, it is
+ % non-standard LaTeX, and requires a special package file to function properly.
+ % Such a package is natbib.sty by Patrick W. Daly
+ % The form of the \bibitem entries is
+ % \bibitem[Jones et al.(1990)]{key}...
+ % \bibitem[Jones et al.(1990)Jones, Baker, and Smith]{key}...
+ % The essential feature is that the label (the part in brackets) consists
+ % of the author names, as they should appear in the citation, with the year
+ % in parentheses following. There must be no space before the opening
+ % parenthesis!
+ % With natbib v5.3, a full list of authors may also follow the year.
+ % In natbib.sty, it is possible to define the type of enclosures that is
+ % really wanted (brackets or parentheses), but in either case, there must
+ % be parentheses in the label.
+ % The \cite command functions as follows:
+ % \citet{key} ==>> Jones et al. (1990)
+ % \citet*{key} ==>> Jones, Baker, and Smith (1990)
+ % \citep{key} ==>> (Jones et al., 1990)
+ % \citep*{key} ==>> (Jones, Baker, and Smith, 1990)
+ % \citep[chap. 2]{key} ==>> (Jones et al., 1990, chap. 2)
+ % \citep[e.g.][]{key} ==>> (e.g. Jones et al., 1990)
+ % \citep[e.g.][p. 32]{key} ==>> (e.g. Jones et al., p. 32)
+ % \citeauthor{key} ==>> Jones et al.
+ % \citeauthor*{key} ==>> Jones, Baker, and Smith
+ % \citeyear{key} ==>> 1990
+ %---------------------------------------------------------------------
+
+ENTRY
+ { address
+ author
+ booktitle
+ chapter
+ doi
+ edition
+ editor
+ eid
+ howpublished
+ institution
+ isbn
+ issn
+ journal
+ key
+ language
+ month
+ note
+ number
+ organization
+ pages
+ publisher
+ school
+ series
+ title
+ type
+ url
+ volume
+ year
+ }
+ {}
+ { label extra.label sort.label short.list }
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+FUNCTION {init.state.consts}
+{ #0 'before.all :=
+ #1 'mid.sentence :=
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+ #3 'after.block :=
+}
+STRINGS { s t}
+FUNCTION {output.nonnull}
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+ output.state mid.sentence =
+ { ", " * write$ }
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+ newline$
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+ }
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+ 'write$
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+ if$
+ }
+ if$
+ mid.sentence 'output.state :=
+ }
+ if$
+ s
+}
+FUNCTION {output}
+{ duplicate$ empty$
+ 'pop$
+ 'output.nonnull
+ if$
+}
+FUNCTION {output.check}
+{ 't :=
+ duplicate$ empty$
+ { pop$ "empty " t * " in " * cite$ * warning$ }
+ 'output.nonnull
+ if$
+}
+FUNCTION {fin.entry}
+{ add.period$
+ write$
+ newline$
+}
+
+FUNCTION {new.block}
+{ output.state before.all =
+ 'skip$
+ { after.block 'output.state := }
+ if$
+}
+FUNCTION {new.sentence}
+{ output.state after.block =
+ 'skip$
+ { output.state before.all =
+ 'skip$
+ { after.sentence 'output.state := }
+ if$
+ }
+ if$
+}
+FUNCTION {add.blank}
+{ " " * before.all 'output.state :=
+}
+
+FUNCTION {date.block}
+{
+ skip$
+}
+
+FUNCTION {not}
+{ { #0 }
+ { #1 }
+ if$
+}
+FUNCTION {and}
+{ 'skip$
+ { pop$ #0 }
+ if$
+}
+FUNCTION {or}
+{ { pop$ #1 }
+ 'skip$
+ if$
+}
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+{ duplicate$
+ "}" * add.period$
+ #-1 #1 substring$ "." =
+}
+
+FUNCTION {new.block.checkb}
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+ swap$ empty$
+ and
+ 'skip$
+ 'new.block
+ if$
+}
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+ { pop$ "" }
+ 'skip$
+ if$
+}
+FUNCTION {emphasize}
+{ duplicate$ empty$
+ { pop$ "" }
+ { "\emph{" swap$ * "}" * }
+ if$
+}
+FUNCTION {bib.name.font}
+{ duplicate$ empty$
+ { pop$ "" }
+ { "\bibnamefont{" swap$ * "}" * }
+ if$
+}
+FUNCTION {bib.fname.font}
+{ skip$ }
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+{ duplicate$ text.length$ #3 <
+ { "~" }
+ { " " }
+ if$
+ swap$
+}
+
+FUNCTION {capitalize}
+{ "\capitalize" swap$ * }
+
+FUNCTION {space.word}
+{ " " swap$ * " " * }
+ % Here are the language-specific definitions for explicit words.
+ % Each function has a name bbl.xxx where xxx is the English word.
+ % The BABEL language selection is made here; definitions in babelbst.tex.
+FUNCTION {bbl.and}
+{ "\bbland{}"}
+
+FUNCTION {bbl.etal}
+{ "\bbletal{}"}
+
+FUNCTION {bbl.editors}
+{ "\bbleds{}" }
+
+FUNCTION {bbl.editor}
+{ "\bbled{}" }
+
+FUNCTION {bbl.edby}
+{ "\bbledby{}" }
+
+FUNCTION {bbl.edition}
+{ "\bbledn{}" }
+
+FUNCTION {bbl.volume}
+{ "\bblvol{}" }
+
+FUNCTION {bbl.of}
+{ "\bblof{}" }
+
+FUNCTION {bbl.number}
+{ "\bblno{}" }
+
+FUNCTION {bbl.nr}
+{ "\bblno{}" }
+
+FUNCTION {bbl.in}
+{ "\bblin{}" }
+
+FUNCTION {bbl.pages}
+{ "\bblpp{}" }
+
+FUNCTION {bbl.page}
+{ "\bblp{}" }
+
+FUNCTION {bbl.chapter}
+{ "\bblchap{}" }
+
+FUNCTION {bbl.techrep}
+{ "\bbltechrep{}" }
+
+FUNCTION {bbl.mthesis}
+{ "\bblmthesis{}" }
+
+FUNCTION {bbl.phdthesis}
+{ "\bblphdthesis{}" }
+
+FUNCTION {bbl.first}
+{ "\bblfirsto{}" }
+
+FUNCTION {bbl.second}
+{ "\bblsecondo{}" }
+
+FUNCTION {bbl.third}
+{ "\bblthirdo{}" }
+
+FUNCTION {bbl.fourth}
+{ "\bblfourtho{}" }
+
+FUNCTION {bbl.fifth}
+{ "\bblfiftho{}" }
+
+FUNCTION {bbl.st}
+{ "\bblst{}" }
+
+FUNCTION {bbl.nd}
+{ "\bblnd{}" }
+
+FUNCTION {bbl.rd}
+{ "\bblrd{}" }
+
+FUNCTION {bbl.th}
+{ "\bblth{}" }
+
+MACRO {jan} {"\bbljan{}"}
+
+MACRO {feb} {"\bblfeb{}"}
+
+MACRO {mar} {"\bblmar{}"}
+
+MACRO {apr} {"\bblapr{}"}
+
+MACRO {may} {"\bblmay{}"}
+
+MACRO {jun} {"\bbljun{}"}
+
+MACRO {jul} {"\bbljul{}"}
+
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+
+MACRO {sep} {"\bblsep{}"}
+
+MACRO {oct} {"\bbloct{}"}
+
+MACRO {nov} {"\bblnov{}"}
+
+MACRO {dec} {"\bbldec{}"}
+
+FUNCTION {eng.ord}
+{ duplicate$ "1" swap$ *
+ #-2 #1 substring$ "1" =
+ { bbl.th * }
+ { duplicate$ #-1 #1 substring$
+ duplicate$ "1" =
+ { pop$ bbl.st * }
+ { duplicate$ "2" =
+ { pop$ bbl.nd * }
+ { "3" =
+ { bbl.rd * }
+ { bbl.th * }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+}
+
+MACRO {acmcs} {"ACM Computing Surveys"}
+
+MACRO {acta} {"Acta Informatica"}
+
+MACRO {cacm} {"Communications of the ACM"}
+
+MACRO {ibmjrd} {"IBM Journal of Research and Development"}
+
+MACRO {ibmsj} {"IBM Systems Journal"}
+
+MACRO {ieeese} {"IEEE Transactions on Software Engineering"}
+
+MACRO {ieeetc} {"IEEE Transactions on Computers"}
+
+MACRO {ieeetcad}
+ {"IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits"}
+
+MACRO {ipl} {"Information Processing Letters"}
+
+MACRO {jacm} {"Journal of the ACM"}
+
+MACRO {jcss} {"Journal of Computer and System Sciences"}
+
+MACRO {scp} {"Science of Computer Programming"}
+
+MACRO {sicomp} {"SIAM Journal on Computing"}
+
+MACRO {tocs} {"ACM Transactions on Computer Systems"}
+
+MACRO {tods} {"ACM Transactions on Database Systems"}
+
+MACRO {tog} {"ACM Transactions on Graphics"}
+
+MACRO {toms} {"ACM Transactions on Mathematical Software"}
+
+MACRO {toois} {"ACM Transactions on Office Information Systems"}
+
+MACRO {toplas} {"ACM Transactions on Programming Languages and Systems"}
+
+MACRO {tcs} {"Theoretical Computer Science"}
+FUNCTION {bibinfo.check}
+{ swap$
+ duplicate$ missing$
+ {
+ pop$ pop$
+ ""
+ }
+ { duplicate$ empty$
+ {
+ swap$ pop$
+ }
+ { swap$
+ pop$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+}
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+{ swap$
+ duplicate$ missing$
+ {
+ swap$ "missing " swap$ * " in " * cite$ * warning$ pop$
+ ""
+ }
+ { duplicate$ empty$
+ {
+ swap$ "empty " swap$ * " in " * cite$ * warning$
+ }
+ { swap$
+ pop$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+}
+STRINGS { bibinfo}
+INTEGERS { nameptr namesleft numnames }
+
+FUNCTION {format.names}
+{ 'bibinfo :=
+ duplicate$ empty$ 'skip$ {
+ 's :=
+ "" 't :=
+ #1 'nameptr :=
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+ numnames 'namesleft :=
+ { namesleft #0 > }
+ { s nameptr
+ nameptr #1 >
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+ if$
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+ if$
+ }
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+ s nameptr
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+ format.name$ duplicate$ empty$ 'skip$
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+ if$
+ }
+ if$
+ *
+ bibinfo bibinfo.check
+ 't :=
+ nameptr #1 >
+ {
+ namesleft #1 >
+ { ", " * t * }
+ {
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+ { 't := }
+ { pop$ }
+ if$
+ t "others" =
+ {
+ " " * bbl.etal bib.name.font *
+ }
+ {
+ bbl.and
+ space.word * t *
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ 't
+ if$
+ nameptr #1 + 'nameptr :=
+ namesleft #1 - 'namesleft :=
+ }
+ while$
+ } if$
+}
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+{
+ 'bibinfo :=
+ duplicate$ empty$ 'skip$ {
+ 's :=
+ "" 't :=
+ #1 'nameptr :=
+ s num.names$ 'numnames :=
+ numnames 'namesleft :=
+ { namesleft #0 > }
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+ "{f.~}{vv~}{ll}{, jj}"
+ format.name$
+ bibinfo bibinfo.check
+ 't :=
+ nameptr #1 >
+ {
+ namesleft #1 >
+ { ", " * t * }
+ {
+ s nameptr "{ll}" format.name$ duplicate$ "others" =
+ { 't := }
+ { pop$ }
+ if$
+ t "others" =
+ {
+
+ " " * bbl.etal *
+ }
+ {
+ bbl.and
+ space.word * t *
+ }
+ if$
+ }
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+ }
+ 't
+ if$
+ nameptr #1 + 'nameptr :=
+ namesleft #1 - 'namesleft :=
+ }
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+}
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+{ empty$
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+ { "" }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {format.authors}
+{ author "author" format.names
+}
+FUNCTION {get.bbl.editor}
+{ editor num.names$ #1 > 'bbl.editors 'bbl.editor if$ }
+
+FUNCTION {format.editors}
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+ {
+ "," *
+ " " *
+ get.bbl.editor
+ *
+ }
+ if$
+}
+FUNCTION {format.book.pages}
+{ pages "pages" bibinfo.check
+ duplicate$ empty$ 'skip$
+ { " " * bbl.pages * }
+ if$
+}
+FUNCTION {format.isbn}
+{ isbn "isbn" bibinfo.check
+ duplicate$ empty$ 'skip$
+ {
+ "ISBN " swap$ *
+ }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {format.issn}
+{ issn "issn" bibinfo.check
+ duplicate$ empty$ 'skip$
+ {
+ "ISSN " swap$ *
+ }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {format.doi}
+{ doi "doi" bibinfo.check
+ duplicate$ empty$ 'skip$
+ {
+ "\doi{" swap$ * "}" *
+ }
+ if$
+}
+FUNCTION {select.language}
+{ duplicate$ empty$
+ 'pop$
+ { language empty$
+ 'skip$
+ { "{\selectlanguage{" language * "}" * swap$ * "}" * }
+ if$
+ }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {format.note}
+{
+ url empty$
+ 'skip$
+ { "\urlprefix\url{" url * "}" * output }
+ if$
+ note empty$
+ { "" }
+ { note #1 #1 substring$
+ duplicate$ "{" =
+ 'skip$
+ { output.state mid.sentence =
+ { "l" }
+ { "u" }
+ if$
+ change.case$
+ }
+ if$
+ note #2 global.max$ substring$ * "note" bibinfo.check
+ }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {format.title}
+{ title
+ duplicate$ empty$ 'skip$
+ { "t" change.case$ }
+ if$
+ "title" bibinfo.check
+ duplicate$ empty$ 'skip$
+ {
+ "\enquote{" swap$ *
+ "}, " *
+ select.language
+ }
+ if$
+}
+FUNCTION {end.quote.title}
+{ title empty$
+ 'skip$
+ { before.all 'output.state := }
+ if$
+}
+FUNCTION {format.full.names}
+{'s :=
+ "" 't :=
+ #1 'nameptr :=
+ s num.names$ 'numnames :=
+ numnames 'namesleft :=
+ { namesleft #0 > }
+ { s nameptr
+ "{vv~}{ll}" format.name$
+ 't :=
+ nameptr #1 >
+ {
+ namesleft #1 >
+ { ", " * t * }
+ {
+ s nameptr "{ll}" format.name$ duplicate$ "others" =
+ { 't := }
+ { pop$ }
+ if$
+ t "others" =
+ {
+ " " * bbl.etal *
+ }
+ {
+ bbl.and
+ space.word * t *
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ 't
+ if$
+ nameptr #1 + 'nameptr :=
+ namesleft #1 - 'namesleft :=
+ }
+ while$
+}
+
+FUNCTION {author.editor.key.full}
+{ author empty$
+ { editor empty$
+ { key empty$
+ { cite$ #1 #3 substring$ }
+ 'key
+ if$
+ }
+ { editor format.full.names }
+ if$
+ }
+ { author format.full.names }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {author.key.full}
+{ author empty$
+ { key empty$
+ { cite$ #1 #3 substring$ }
+ 'key
+ if$
+ }
+ { author format.full.names }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {editor.key.full}
+{ editor empty$
+ { key empty$
+ { cite$ #1 #3 substring$ }
+ 'key
+ if$
+ }
+ { editor format.full.names }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {make.full.names}
+{ type$ "book" =
+ type$ "inbook" =
+ or
+ 'author.editor.key.full
+ { type$ "proceedings" =
+ 'editor.key.full
+ 'author.key.full
+ if$
+ }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {output.bibitem}
+{ newline$
+ "\bibitem[{" write$
+ label write$
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+ { pop$ }
+ { * }
+ if$
+ "}]{" * write$
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+ "}" write$
+ newline$
+ ""
+ before.all 'output.state :=
+}
+
+FUNCTION {if.digit}
+{ duplicate$ "0" =
+ swap$ duplicate$ "1" =
+ swap$ duplicate$ "2" =
+ swap$ duplicate$ "3" =
+ swap$ duplicate$ "4" =
+ swap$ duplicate$ "5" =
+ swap$ duplicate$ "6" =
+ swap$ duplicate$ "7" =
+ swap$ duplicate$ "8" =
+ swap$ "9" = or or or or or or or or or
+}
+FUNCTION {n.separate}
+{ 't :=
+ ""
+ #0 'numnames :=
+ { t empty$ not }
+ { t #-1 #1 substring$ if.digit
+ { numnames #1 + 'numnames := }
+ { #0 'numnames := }
+ if$
+ t #-1 #1 substring$ swap$ *
+ t #-2 global.max$ substring$ 't :=
+ numnames #5 =
+ { duplicate$ #1 #2 substring$ swap$
+ #3 global.max$ substring$
+ "\," swap$ * *
+ }
+ 'skip$
+ if$
+ }
+ while$
+}
+FUNCTION {n.dashify}
+{
+ n.separate
+ 't :=
+ ""
+ { t empty$ not }
+ { t #1 #1 substring$ "-" =
+ { t #1 #2 substring$ "--" = not
+ { "--" *
+ t #2 global.max$ substring$ 't :=
+ }
+ { { t #1 #1 substring$ "-" = }
+ { "-" *
+ t #2 global.max$ substring$ 't :=
+ }
+ while$
+ }
+ if$
+ }
+ { t #1 #1 substring$ *
+ t #2 global.max$ substring$ 't :=
+ }
+ if$
+ }
+ while$
+}
+
+FUNCTION {word.in}
+{ bbl.in
+ " " * }
+
+FUNCTION {format.date}
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+ {
+ }
+ 'skip$
+ if$
+ extra.label *
+ before.all 'output.state :=
+ after.sentence 'output.state :=
+}
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+ duplicate$ empty$ 'skip$
+ {
+ emphasize
+ select.language
+ }
+ if$
+}
+FUNCTION {either.or.check}
+{ empty$
+ 'pop$
+ { "can't use both " swap$ * " fields in " * cite$ * warning$ }
+ if$
+}
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+ { "" }
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+ "volume" bibinfo.check * *
+ series "series" bibinfo.check
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+ { emphasize ", " * swap$ * }
+ if$
+ "volume and number" number either.or.check
+ }
+ if$
+}
+FUNCTION {format.number.series}
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+ { bbl.number }
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+ if$
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+ bbl.in space.word *
+ series "series" bibinfo.check *
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ { "" }
+ if$
+}
+FUNCTION {is.num}
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+ duplicate$ "0" chr.to.int$ < not
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+}
+
+FUNCTION {extract.num}
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+ "" 's :=
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+ { t #1 #1 substring$
+ t #2 global.max$ substring$ 't :=
+ duplicate$ is.num
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+ if$
+ }
+ while$
+ s empty$
+ 'skip$
+ { pop$ s }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {convert.edition}
+{ extract.num "l" change.case$ 's :=
+ s "first" = s "1" = or
+ { bbl.first 't := }
+ { s "second" = s "2" = or
+ { bbl.second 't := }
+ { s "third" = s "3" = or
+ { bbl.third 't := }
+ { s "fourth" = s "4" = or
+ { bbl.fourth 't := }
+ { s "fifth" = s "5" = or
+ { bbl.fifth 't := }
+ { s #1 #1 substring$ is.num
+ { s eng.ord 't := }
+ { edition 't := }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+ t
+}
+
+FUNCTION {format.edition}
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+ {
+ convert.edition
+ output.state mid.sentence =
+ { "l" }
+ { "t" }
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+ "edition" bibinfo.check
+ " " * bbl.edition *
+ }
+ if$
+}
+INTEGERS { multiresult }
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+ { multiresult not
+ t empty$ not
+ and
+ }
+ { t #1 #1 substring$
+ duplicate$ "-" =
+ swap$ duplicate$ "," =
+ swap$ "+" =
+ or or
+ { #1 'multiresult := }
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+ if$
+ }
+ while$
+ multiresult
+}
+FUNCTION {format.pages}
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+ {
+ bbl.pages swap$
+ n.dashify
+ }
+ {
+ bbl.page swap$
+ }
+ if$
+ tie.or.space.prefix
+ "pages" bibinfo.check
+ * *
+ }
+ if$
+}
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+ {
+ ", " *
+ swap$
+ n.dashify
+ pages multi.page.check
+ 'bbl.pages
+ 'bbl.page
+ if$
+ swap$ tie.or.space.prefix
+ "pages" bibinfo.check
+ * *
+ *
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+}
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+ duplicate$ empty$ 'pop$
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+ {
+ ", " *
+ }
+ if$
+ swap$ *
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+ if$
+}
+FUNCTION {format.vol.num.pages}
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+ duplicate$ empty$ 'skip$
+ {
+ bbl.volume swap$ tie.or.space.prefix
+ "volume" bibinfo.check
+ * *
+ }
+ if$
+ number "number" bibinfo.check duplicate$ empty$ 'skip$
+ {
+ swap$ duplicate$ empty$
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+ 'skip$
+ if$
+ swap$
+ ", " bbl.nr * number tie.or.space.prefix pop$ * swap$ *
+ }
+ if$ *
+}
+
+FUNCTION {format.chapter.pages}
+{ chapter empty$
+ { "" }
+ { type empty$
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+ "type" bibinfo.check
+ }
+ if$
+ chapter tie.or.space.prefix
+ "chapter" bibinfo.check
+ * *
+ }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {format.booktitle}
+{
+ booktitle "booktitle" bibinfo.check
+ emphasize
+}
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+ {
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+ if$
+ editor "editor" format.names.ed duplicate$ empty$ 'pop$
+ {
+ bbl.edby
+ " " * swap$ *
+ swap$
+ "," *
+ " " * swap$
+ * }
+ if$
+ word.in swap$ *
+ }
+ if$
+}
+FUNCTION {format.thesis.type}
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+ 'pop$
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+ }
+ if$
+}
+FUNCTION {format.tr.number}
+{ number "number" bibinfo.check
+ type duplicate$ empty$
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+ 'skip$
+ if$
+ "type" bibinfo.check
+ swap$ duplicate$ empty$
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+ if$
+}
+FUNCTION {format.article.crossref}
+{
+ word.in
+ " \cite{" * crossref * "}" *
+}
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+ pop$ word.in
+ }
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+ swap$ tie.or.space.prefix "volume" bibinfo.check * * bbl.of space.word *
+ }
+ if$
+ " \cite{" * crossref * "}" *
+}
+FUNCTION {format.incoll.inproc.crossref}
+{
+ word.in
+ " \cite{" * crossref * "}" *
+}
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+ ""
+ address empty$ t empty$ and
+ 'skip$
+ {
+ t empty$
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+ }
+ { t *
+ address empty$
+ 'skip$
+ { ", " * address "address" bibinfo.check * }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+}
+FUNCTION {format.publisher.address}
+{ publisher "publisher" bibinfo.warn format.org.or.pub
+}
+
+FUNCTION {format.organization.address}
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+}
+
+FUNCTION {article}
+{ output.bibitem
+ format.authors "author" output.check
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.title "title" output.check
+ end.quote.title
+ crossref missing$
+ {
+ journal
+ "journal" bibinfo.check
+ emphasize
+ "journal" output.check
+ format.vol.num.pages output
+ format.doi output
+ }
+ { format.article.crossref output.nonnull
+ }
+ if$
+ eid empty$
+ { format.journal.pages }
+ { format.journal.eid }
+ if$
+ format.issn output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+FUNCTION {book}
+{ output.bibitem
+ author empty$
+ { format.editors "author and editor" output.check
+ editor format.key output
+ }
+ { format.authors output.nonnull
+ crossref missing$
+ { "author and editor" editor either.or.check }
+ 'skip$
+ if$
+ }
+ if$
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.btitle "title" output.check
+ crossref missing$
+ { format.bvolume output
+ format.edition output
+ format.number.series output
+ format.publisher.address output
+ }
+ {
+ format.book.crossref output.nonnull
+ }
+ if$
+ format.isbn output
+ format.book.pages output
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+FUNCTION {booklet}
+{ output.bibitem
+ format.authors output
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.title "title" output.check
+ end.quote.title
+ howpublished "howpublished" bibinfo.check output
+ address "address" bibinfo.check output
+ format.isbn output
+ format.book.pages output
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+
+FUNCTION {inbook}
+{ output.bibitem
+ author empty$
+ { format.editors "author and editor" output.check
+ editor format.key output
+ }
+ { format.authors output.nonnull
+ crossref missing$
+ { "author and editor" editor either.or.check }
+ 'skip$
+ if$
+ }
+ if$
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.btitle "title" output.check
+ crossref missing$
+ {
+ format.bvolume output
+ format.chapter.pages "chapter and pages" output.check
+ format.edition output
+ format.number.series output
+ format.publisher.address output
+ }
+ {
+ format.chapter.pages "chapter and pages" output.check
+ format.book.crossref output.nonnull
+ }
+ if$
+ crossref missing$
+ { format.isbn output }
+ 'skip$
+ if$
+ format.pages "pages" output.check
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+
+FUNCTION {incollection}
+{ output.bibitem
+ format.authors "author" output.check
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.title "title" output.check
+ end.quote.title
+ crossref missing$
+ { format.in.ed.booktitle "booktitle" output.check
+ format.edition output
+ format.chapter.pages output
+ format.number.series output
+ format.publisher.address output
+ format.isbn output
+ }
+ { format.incoll.inproc.crossref output.nonnull
+ format.chapter.pages output
+ }
+ if$
+ format.pages "pages" output.check
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+FUNCTION {inproceedings}
+{ output.bibitem
+ format.authors "author" output.check
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.title "title" output.check
+ end.quote.title
+ crossref missing$
+ { format.in.ed.booktitle "booktitle" output.check
+ format.number.series output
+ publisher empty$
+ { format.organization.address output }
+ { organization "organization" bibinfo.check output
+ format.publisher.address output
+ }
+ if$
+ format.isbn output
+ format.issn output
+ }
+ { format.incoll.inproc.crossref output.nonnull
+ }
+ if$
+ format.pages "pages" output.check
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+FUNCTION {conference} { inproceedings }
+FUNCTION {manual}
+{ output.bibitem
+ format.authors output
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.btitle "title" output.check
+ organization "organization" bibinfo.check output
+ address "address" bibinfo.check output
+ format.edition output
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+
+FUNCTION {mastersthesis}
+{ output.bibitem
+ format.authors "author" output.check
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.btitle
+ "title" output.check
+ bbl.mthesis format.thesis.type output.nonnull
+ school "school" bibinfo.warn output
+ address "address" bibinfo.check output
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+
+FUNCTION {misc}
+{ output.bibitem
+ format.authors output
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.title output
+ end.quote.title
+ howpublished "howpublished" bibinfo.check output
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+FUNCTION {phdthesis}
+{ output.bibitem
+ format.authors "author" output.check
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.btitle
+ "title" output.check
+ bbl.phdthesis format.thesis.type output.nonnull
+ school "school" bibinfo.warn output
+ address "address" bibinfo.check output
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+
+FUNCTION {proceedings}
+{ output.bibitem
+ format.editors output
+ editor format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.btitle "title" output.check
+ format.bvolume output
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+ publisher empty$
+ { format.organization.address output }
+ { organization "organization" bibinfo.check output
+ format.publisher.address output
+ }
+ if$
+ format.isbn output
+ format.issn output
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+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+
+FUNCTION {techreport}
+{ output.bibitem
+ format.authors "author" output.check
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.title
+ "title" output.check
+ end.quote.title
+ format.tr.number output.nonnull
+ institution "institution" bibinfo.warn output
+ address "address" bibinfo.check output
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note output
+ fin.entry
+}
+
+FUNCTION {unpublished}
+{ output.bibitem
+ format.authors "author" output.check
+ author format.key output
+ format.date "year" output.check
+ date.block
+ format.title "title" output.check
+ end.quote.title
+ format.doi output
+ new.sentence
+ format.note "note" output.check
+ fin.entry
+}
+
+FUNCTION {default.type} { misc }
+READ
+FUNCTION {sortify}
+{ purify$
+ "l" change.case$
+}
+INTEGERS { len }
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+ 'len :=
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+ { s len #1 + global.max$ substring$ }
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+ if$
+}
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+ "" 't :=
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+ " " * bbl.etal *
+ }
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+ 'skip$
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+ {
+ " " * bbl.etal *
+ }
+ { bbl.and space.word * s #2 "{vv~}{ll}" format.name$
+ * }
+ if$
+ }
+ if$
+ }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {author.key.label}
+{ author empty$
+ { key empty$
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+ 'key
+ if$
+ }
+ { author format.lab.names }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {author.editor.key.label}
+{ author empty$
+ { editor empty$
+ { key empty$
+ { cite$ #1 #3 substring$ }
+ 'key
+ if$
+ }
+ { editor format.lab.names }
+ if$
+ }
+ { author format.lab.names }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {editor.key.label}
+{ editor empty$
+ { key empty$
+ { cite$ #1 #3 substring$ }
+ 'key
+ if$
+ }
+ { editor format.lab.names }
+ if$
+}
+
+FUNCTION {calc.short.authors}
+{ type$ "book" =
+ type$ "inbook" =
+ or
+ 'author.editor.key.label
+ { type$ "proceedings" =
+ 'editor.key.label
+ 'author.key.label
+ if$
+ }
+ if$
+ 'short.list :=
+}
+
+FUNCTION {calc.label}
+{ calc.short.authors
+ short.list
+ "("
+ *
+ year duplicate$ empty$
+ { pop$ "" }
+ 'skip$
+ if$
+ *
+ 'label :=
+}
+
+FUNCTION {sort.format.names}
+{ 's :=
+ #1 'nameptr :=
+ ""
+ s num.names$ 'numnames :=
+ numnames 'namesleft :=
+ { namesleft #0 > }
+ { s nameptr
+ "{ll{ }}{ f{ }}{ jj{ }}"
+ format.name$ 't :=
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+ {
+ " " *
+ namesleft #1 = t "others" = and
+ { "zzzzz" * }
+ { t sortify * }
+ if$
+ }
+ { t sortify * }
+ if$
+ nameptr #1 + 'nameptr :=
+ namesleft #1 - 'namesleft :=
+ }
+ while$
+}
+
+FUNCTION {sort.format.title}
+{ 't :=
+ "A " #2
+ "An " #3
+ "The " #4 t chop.word
+ chop.word
+ chop.word
+ sortify
+ #1 global.max$ substring$
+}
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+{ author empty$
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+ ""
+ }
+ { key sortify }
+ if$
+ }
+ { author sort.format.names }
+ if$
+}
+FUNCTION {author.editor.sort}
+{ author empty$
+ { editor empty$
+ { key empty$
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+ ""
+ }
+ { key sortify }
+ if$
+ }
+ { editor sort.format.names }
+ if$
+ }
+ { author sort.format.names }
+ if$
+}
+FUNCTION {editor.sort}
+{ editor empty$
+ { key empty$
+ { "to sort, need editor or key in " cite$ * warning$
+ ""
+ }
+ { key sortify }
+ if$
+ }
+ { editor sort.format.names }
+ if$
+}
+FUNCTION {presort}
+{ calc.label
+ label sortify
+ " "
+ *
+ type$ "book" =
+ type$ "inbook" =
+ or
+ 'author.editor.sort
+ { type$ "proceedings" =
+ 'editor.sort
+ 'author.sort
+ if$
+ }
+ if$
+ #1 entry.max$ substring$
+ 'sort.label :=
+ sort.label
+ *
+ " "
+ *
+ title field.or.null
+ sort.format.title
+ *
+ #1 entry.max$ substring$
+ 'sort.key$ :=
+}
+
+ITERATE {presort}
+SORT
+STRINGS { last.label next.extra }
+INTEGERS { last.extra.num number.label }
+FUNCTION {initialize.extra.label.stuff}
+{ #0 int.to.chr$ 'last.label :=
+ "" 'next.extra :=
+ #0 'last.extra.num :=
+ #0 'number.label :=
+}
+FUNCTION {forward.pass}
+{ last.label label =
+ { last.extra.num #1 + 'last.extra.num :=
+ last.extra.num int.to.chr$ 'extra.label :=
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+ "" 'extra.label :=
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+ }
+ if$
+ number.label #1 + 'number.label :=
+}
+FUNCTION {reverse.pass}
+{ next.extra "b" =
+ { "a" 'extra.label := }
+ 'skip$
+ if$
+ extra.label 'next.extra :=
+ extra.label
+ duplicate$ empty$
+ 'skip$
+ { "{\natexlab{" swap$ * "}}" * }
+ if$
+ 'extra.label :=
+ label extra.label * 'label :=
+}
+EXECUTE {initialize.extra.label.stuff}
+ITERATE {forward.pass}
+REVERSE {reverse.pass}
+FUNCTION {bib.sort.order}
+{ sort.label
+ " "
+ *
+ year field.or.null sortify
+ *
+ " "
+ *
+ title field.or.null
+ sort.format.title
+ *
+ #1 entry.max$ substring$
+ 'sort.key$ :=
+}
+ITERATE {bib.sort.order}
+SORT
+FUNCTION {begin.bib}
+{ preamble$ empty$
+ 'skip$
+ { preamble$ write$ newline$ }
+ if$
+ "\begin{thebibliography}{" number.label int.to.str$ * "}" *
+ write$ newline$
+ "\ProvideTextCommand{\guillemotleft}{OT1}{%"
+ write$ newline$
+ " \leavevmode\raise .27ex\hbox{$\scriptscriptstyle\ll$}}"
+ write$ newline$
+ "\ProvideTextCommand{\guillemotright}{OT1}{%"
+ write$ newline$
+ " \leavevmode\raise .27ex\hbox{$\scriptscriptstyle\gg$}}"
+ write$ newline$
+ "\newcommand{\enquote}[1]{\guillemotleft#1\guillemotright}"
+ write$ newline$
+ "\providecommand{\natexlab}[1]{#1}"
+ write$ newline$
+ "\providecommand{\bibnamefont}[1]{#1}"
+ write$ newline$
+ "\providecommand{\url}[1]{\texttt{#1}}"
+ write$ newline$
+ "\providecommand{\urlprefix}{URL }"
+ write$ newline$
+ "\expandafter\ifx\csname urlstyle\endcsname\relax"
+ write$ newline$
+ " \providecommand{\doi}[1]{doi:\discretionary{}{}{}#1}\else"
+ write$ newline$
+ " \providecommand{\doi}{doi:\discretionary{}{}{}\begingroup \urlstyle{rm}\Url}\fi"
+ write$ newline$
+ "\providecommand{\selectlanguage}[1]{\relax}"
+ write$ newline$
+ "\input{babelbst.tex}" write$ newline$
+ "\newcommand{\Capitalize}[1]{\uppercase{#1}}" write$ newline$
+ "\newcommand{\capitalize}[1]{\expandafter\Capitalize#1}" write$ newline$
+}
+EXECUTE {begin.bib}
+EXECUTE {init.state.consts}
+ITERATE {call.type$}
+FUNCTION {end.bib}
+{ newline$
+ "\end{thebibliography}" write$ newline$
+}
+EXECUTE {end.bib}
+%% End of customized bst file
+%%
+%% End of file `francais2.bst'.
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index 0000000..99d7979
--- /dev/null
+++ b/francais.tex
@@ -0,0 +1,118 @@
+\usepackage[francais]{babel}
+\PrerenderUnicode{éèêôÔŌōàâïî} %Problème de la SMF dans les titres
+%\usepackage{aeguill}
+%\def«{\og}
+%\def»{\fg}
+%\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{lmodern}
+
+% changement prp -> prop ; thm -> th etc. Cf. Bourbaki.
+
+
+% lemmes
+\newtheorem{lemme}[subsection]{Lemme} % Lemme 1.1
+\newtheorem{lemme2}[subsubsection]{Lemme} % Lemme 2.3.4
+\newtheorem{lemme3}[paragraph]{Lemme} % Lemme 4.5.6.7
+
+% propositions
+\newtheorem{proposition}[subsection]{Proposition} % Proposition 1.1 etc. (\begin{prop} ne semble pas possible)
+\newtheorem{proposition2}[subsubsection]{Proposition}
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+
+% théorèmes
+\newtheorem{theoreme}[subsection]{Th\'eor\`eme}
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+
+% corollaires
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+\newtheorem{corollaire2}[subsubsection]{Corollaire}
+\newtheorem{corollaire3}[paragraph]{Corollaire}
+
+% définitions
+\theoremstyle{definition}
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+\newtheorem{definition3}[paragraph]{D\'efinition}
+
+% autres
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+\newtheorem{remarque2}[subsubsection]{Remarque}
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+
+
+\newtheorem{sslemme}[subsection]{Sous-lemme}
+\newtheorem{sslemme2}[subsubsection]{Sous-lemme}
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+\newtheorem{sous-lemme}[subsection]{Sous-lemme}
+\newtheorem{sous-lemme2}[subsubsection]{Sous-lemme}
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+
+
+
+
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+
+\newtheorem{exercice}[subsection]{Exercice}
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+\newtheorem{exemple}[subsection]{Exemple}
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+
+%% version précédente
+
+\newtheorem{prpnn}{Proposition}
+\newtheorem{prp}[subsection]{Proposition} %mettre subsubsection partout si on veut du 1.2.3 et non 1.2 seulement ; idem pour les equations
+\newtheorem{prop3}[paragraph]{Proposition}
+\newtheorem{prp3}[paragraph]{Proposition}
+%\newtheorem{lmm3}[paragraph]{Lemme}
+\newtheorem{prp2}[subsubsection]{Proposition}
+\newtheorem{prop2}[subsubsection]{Proposition}
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+% marche pas pour ne pas avoir de numéro...
+\newtheorem{thm2}[subsubsection]{Th\'eor\`eme}
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+\newtheorem{th3}[paragraph]{Th\'eor\`eme}
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+\newtheorem{rmr3}[paragraph]{Remarque}
+\newtheorem{exm3}[paragraph]{Exemple}
+\newtheorem{exo3}[paragraph]{Exercice}
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+\newtheorem{sslmm2}[subsubsection]{Sous-lemme}
+\newtheorem{sslmm}[subsection]{Sous-lemme}
+\newtheorem{cnj}[subsection]{Conjecture}
+\newtheorem{crl}[subsection]{Corollaire}
+\newtheorem{cor}[subsection]{Corollaire}
+\newtheorem{crl2}[subsubsection]{Corollaire}
+\newtheorem{cor2}[subsubsection]{Corollaire}
+
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{dfn}[subsection]{D\'efinition}
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+%impossible car def déjà défini
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+\newtheorem{definitionprov}{D\'efinition Provisoire}
+\newtheorem{exm}[subsection]{Exemple}
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+\newtheorem{exm2}[subsubsection]{Exemple}
+\newtheorem{exms2}[subsubsection]{Exemples}
+\newtheorem{exo2}[subsubsection]{Exercice}
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--- /dev/null
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+%\usepackage[notcite]{showkeys}
+\usepackage{showkeys}
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index 0000000..b314948
--- /dev/null
+++ b/idees.txt
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+chercher une macro \marge
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index 0000000..f4fdf81
--- /dev/null
+++ b/livre.pdf
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+%PDF-1.4
+%
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+8 0 obj
+(Chapitre 1. Corps et alg\350bres : premi\350res d\351finitions)
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+12 0 obj
+(1.1. \311l\351ments alg\351briques)
+endobj
+13 0 obj
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+endobj
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+(1.1.6. Le cas des corps)
+endobj
+17 0 obj
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+endobj
+20 0 obj
+(1.1.9. Structure des \351l\351ments alg\351briques)
+endobj
+21 0 obj
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+endobj
+24 0 obj
+(1.2. Extensions compos\351es)
+endobj
+25 0 obj
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+endobj
+28 0 obj
+(1.3. Corps de rupture, de d\351composition)
+endobj
+29 0 obj
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+endobj
+32 0 obj
+(1.3.3. Cl\364ture alg\351brique)
+endobj
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+endobj
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+(1.3.8. Au sujet de l'unicit\351)
+endobj
+37 0 obj
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+endobj
+40 0 obj
+(1.3.12. Extensions radicielles)
+endobj
+41 0 obj
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+endobj
+44 0 obj
+(1.4. Extensions s\351parables, alg\350bres \351tales)
+endobj
+45 0 obj
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+endobj
+48 0 obj
+(1.4.14. Une autre caract\351risation des alg\350bres \351tales \040: formes diff\351rentielles \(facultatif\))
+endobj
+49 0 obj
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+endobj
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+(1.5. Cl\364ture s\351parable, corps parfaits)
+endobj
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+endobj
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+(1.6. Le th\351or\350me de l'\351l\351ment primitif)
+endobj
+57 0 obj
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+endobj
+60 0 obj
+(1.7. Th\351orie de Galois : premi\350res d\351finitions ; \351nonc\351 du th\351or\350me)
+endobj
+61 0 obj
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+endobj
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+(1.7.1. Extensions normales, galoisiennes)
+endobj
+65 0 obj
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+endobj
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+(1.7.11. Le lemme d'Artin et \253 descente galoisienne \273 \(facultatif\))
+endobj
+69 0 obj
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+endobj
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+(1.7.17. Correspondance de Galois)
+endobj
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+endobj
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+(1.8. Fonctorialit\351)
+endobj
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+endobj
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+(1.8.4. Th\351orie de Galois d'apr\350s A. Grothendieck \(facultatif\))
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+endobj
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+(Chapitre 2. Exemples, calculs et premi\350res applications)
+endobj
+85 0 obj
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+endobj
+88 0 obj
+(2.1. Premi\350res applications)
+endobj
+89 0 obj
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+endobj
+92 0 obj
+(2.1.1. Le corps des nombres complexes est alg\351briquement clos)
+endobj
+93 0 obj
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+endobj
+96 0 obj
+(2.1.2. Longueur maximale d'une cha\356ne de sous-extensions)
+endobj
+97 0 obj
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+endobj
+100 0 obj
+(2.2. Quelques exemples)
+endobj
+101 0 obj
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+endobj
+104 0 obj
+(2.2.1. \311quations de degr\351 2)
+endobj
+105 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.2.2.2) >>
+endobj
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+(2.2.2. \311quations de groupe Z/3Z)
+endobj
+109 0 obj
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+endobj
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+(2.2.3. Digression \040: discriminant)
+endobj
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+endobj
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+(2.2.4. \311quations de degr\351 3 et 4)
+endobj
+117 0 obj
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+endobj
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+(2.3. \311quations de degr\351 4)
+endobj
+121 0 obj
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+endobj
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+(2.3.3. Exemple \040: d\351termination du groupe de Galois de X4-X+1Q[X])
+endobj
+125 0 obj
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+endobj
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+(2.3.4. Exercice \(N. Bourbaki\))
+endobj
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+endobj
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+(2.4. \311quations de degr\351 5)
+endobj
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+endobj
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+(Chapitre 3. R\351solubilit\351 par radicaux. Extensions cyclotomiques)
+endobj
+137 0 obj
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+endobj
+140 0 obj
+(3.1. Traces et normes)
+endobj
+141 0 obj
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+endobj
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+(3.2. Th\351orie de Kummer)
+endobj
+145 0 obj
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+endobj
+148 0 obj
+(3.3. Th\351or\350me 90 de Hilbert, d'apr\350s A. Grothendieck \(facultatif\))
+endobj
+149 0 obj
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+endobj
+152 0 obj
+(3.3.4. )
+endobj
+153 0 obj
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+endobj
+156 0 obj
+(3.3.12. La descente fid\350lement plate entra\356ne Hilbert's satz 90)
+endobj
+157 0 obj
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+endobj
+160 0 obj
+(3.3.13. D\351monstration de 3.3.10)
+endobj
+161 0 obj
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+endobj
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+(3.4. Th\351orie d'Artin-Schreier)
+endobj
+165 0 obj
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+endobj
+168 0 obj
+(3.5. Le th\351or\350me de la base normale, d'apr\350s N. Bourbaki)
+endobj
+169 0 obj
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+endobj
+172 0 obj
+(3.6. R\351solubilit\351 par radicaux)
+endobj
+173 0 obj
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+endobj
+176 0 obj
+(3.7. Comportement par sp\351cialisation)
+endobj
+177 0 obj
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+endobj
+180 0 obj
+(3.8. Un crit\350re pour Gf=Sp, p premier, et f de degr\351 p)
+endobj
+181 0 obj
+<< /S /GoTo /D (section.3.9) >>
+endobj
+184 0 obj
+(3.9. Calculs explicites des racines)
+endobj
+185 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.3.9.1) >>
+endobj
+188 0 obj
+(3.9.1. \311quations de degr\351 3, en caract\351ristique >3)
+endobj
+189 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.3.9.2) >>
+endobj
+192 0 obj
+(3.9.2. \311quations de degr\351 4, en caract\351ristique >4)
+endobj
+193 0 obj
+<< /S /GoTo /D (section.3.10) >>
+endobj
+196 0 obj
+(3.10. Extension cyclotomiques)
+endobj
+197 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.3.10.1) >>
+endobj
+200 0 obj
+(3.10.1. Rappels)
+endobj
+201 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.3.10.7) >>
+endobj
+204 0 obj
+(3.10.7. D\351monstration explicite et \351l\351mentaire de la constructibilit\351 de 3,5,17,257,65537,? \040: sommes de Gau\337 et de Jacobi)
+endobj
+205 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.3.10.8) >>
+endobj
+208 0 obj
+(3.10.8. R\351duction modulo p des n)
+endobj
+209 0 obj
+<< /S /GoTo /D (chapter.4) >>
+endobj
+212 0 obj
+(Chapitre 4. R\351duction modulo p : le th\351or\350me de Frobenius)
+endobj
+213 0 obj
+<< /S /GoTo /D (section.4.1) >>
+endobj
+216 0 obj
+(4.1. Un r\351sultat liminaire)
+endobj
+217 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.4.1.5) >>
+endobj
+220 0 obj
+(4.1.5. Application)
+endobj
+221 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.4.1.6) >>
+endobj
+224 0 obj
+(4.1.6. Polyn\364mes irr\351ductibles sur Fp[X])
+endobj
+225 0 obj
+<< /S /GoTo /D (section.4.2) >>
+endobj
+228 0 obj
+(4.2. Le th\351or\350me de Frobenius : \351nonc\351s et quelques applications)
+endobj
+229 0 obj
+<< /S /GoTo /D (section.4.3) >>
+endobj
+232 0 obj
+(4.3. D\351monstration du th\351or\350me de Frobenius)
+endobj
+233 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.4.3.3) >>
+endobj
+236 0 obj
+(4.3.3. )
+endobj
+237 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.4.3.4) >>
+endobj
+240 0 obj
+(4.3.4. )
+endobj
+241 0 obj
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+endobj
+244 0 obj
+(4.3.5. )
+endobj
+245 0 obj
+<< /S /GoTo /D (chapter.5) >>
+endobj
+248 0 obj
+(Chapitre 5. M\351thodes adiques)
+endobj
+249 0 obj
+<< /S /GoTo /D (section.5.1) >>
+endobj
+252 0 obj
+(5.1. Pr\351liminaires)
+endobj
+253 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.5.1.1) >>
+endobj
+256 0 obj
+(5.1.1. Compl\351tion \040: d\351finitions)
+endobj
+257 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.5.1.2) >>
+endobj
+260 0 obj
+(5.1.2. Nombres p-adiques, s\351ries formelles et anneaux de valuation discr\350te)
+endobj
+261 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.5.1.3) >>
+endobj
+264 0 obj
+(5.1.3. Th\351orie de Galois et localisation)
+endobj
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+endobj
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+(5.2. Un peu d'alg\350bre commutative)
+endobj
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+endobj
+272 0 obj
+(5.3. Puiseux-Newton)
+endobj
+273 0 obj
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+endobj
+276 0 obj
+(5.4. Groupe de Galois de l'exponentielle tronqu\351e)
+endobj
+277 0 obj
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+endobj
+280 0 obj
+(5.4.1. \311nonc\351 ; r\351sultats p-adiques)
+endobj
+281 0 obj
+<< /S /GoTo /D (subsection.5.4.2) >>
+endobj
+284 0 obj
+(5.4.2. Un th\351or\350me de Jordan)
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+(5.4.3. Le postulat de Joseph Bertrand)
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+endobj
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