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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 10:46:05 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 10:46:05 +0100
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Unicode : remplacement du symbole dièze (♯) quand il sert à désigner le cardinal.
Changement déjà effectué sur la branche conversion-luatex, mais je le fais aussi sur cette branche pour éviter de multiplier les diffs.
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-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex2
-rw-r--r--chapitres/KASW.tex10
-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex2
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index 7e67843..acc519a 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -1277,7 +1277,7 @@ Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens.
\XXX
$A$ $𝐙$-algèbre de type fini.
\[
-ζ_A^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-♯κ(x)^{-s}}.
+ζ_A^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-\#κ(x)^{-s}}.
\]
\end{définition2}
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index 4921a88..e6f86fe 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -609,7 +609,7 @@ Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
\begin{théorème2}[F.K. Schmidt]
Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions :
-$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$.
+$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ \#S-1$.
\end{théorème2}
\begin{démo}
diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex
index bf2ad7b..a88d1e3 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -439,7 +439,7 @@ en posant $φ(m ′ + s m)=φ(m ') + s y$. Absurde.
\begin{lemme2}\label{bidualité Zsurn modules finis}
Soit $M$ un $𝐙/n$-module \emph{fini}.
\begin{enumerate}
-\item $ ♯ D(M) = ♯ M$.
+\item $ \# D(M) = \# M$.
\item Le morphisme d'évaluation (ou « bidualité ») $M → D(D(M))$
est un isomorphisme.
\end{enumerate}
@@ -476,7 +476,7 @@ $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ est également
démontré en \ref{Kummer 4}, si l'on se souvient de
l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ et $H¹(K\bo k,μ_n)$.)
Notons en particulier que les groupes $A_K \bo {k^×}^n$ et $\Gal(K\bo k)$
-ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
Soit $K ′=k(A_{K}^{1/n})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
@@ -701,8 +701,8 @@ quatrième de l'unité $x-1$ appartient à $k$.
$(k^×⟨A⟩:k^×)$ être une puissance d'un nombre premier $ℓ$.
En effet, si l'on considère pour chaque $ℓ$ l'image inverse $T_ℓ$
du $ℓ$-Sylow $S_ℓ$ de $k^×⟨A⟩/k^×$ dans $k^×⟨A⟩$, et que l'on démontre
-l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=♯S_ℓ)$, on aura
-la divisibilité $♯ S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement
+l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=\#S_ℓ)$, on aura
+la divisibilité $\# S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement
la relation $(k^×⟨A⟩ : k^×) | [k(A):k]$. On peut alors conclure
en utilisant la majoration $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×)$ démontrée ci-dessus.
@@ -1162,7 +1162,7 @@ $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ est également
démontré en \ref{AS 4}, si l'on se souvient de
l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ et $H¹(K\bo k,𝐙/p)$.)
Notons en particulier que les groupes $A_K \bo ℘(k)$ et $\Gal(K\bo k)$
-ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
Soit $K ′=k(\root ℘ \of A_{K})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 693586b..e4a3702 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -871,7 +871,7 @@ est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient
de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité
de $H$. D'après \refext{Spec}{}, $H(B) → \End_{\Ens}(G)$ etc. \XXX.
En particulier, l'ensemble des points fixes
-est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où
+est de cardinal $\#G$. On a donc $\#H(A)= \#G$ d'où
les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$.
\end{démo}
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 45cbec1..4d32910 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -172,7 +172,7 @@ Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
\begin{enumerate}
\item Les trois ensembles $\japmath{田}A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
finis ; ils satisfont la condition suivante :
-\[♯ \japmath{田}A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\]
+\[\# \japmath{田}A(k) ≤ \# π₀(A)= \# \Spec(A) ≤ [A:k].\]
\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$.
Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et
reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$.
@@ -182,7 +182,7 @@ reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$.
surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit.
\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est
surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi on a égalité :
-\[♯ \japmath{田}A(k)=[A:k].\]
+\[\# \japmath{田}A(k)=[A:k].\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -227,8 +227,8 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{\japmath{田}A(k)}$ est un isomorphisme ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $♯\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $\#\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $\# π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
\item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
\item l'injection $\japmath{田}A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
@@ -241,11 +241,11 @@ et $A$ est réduit.
(ii) ⇒ (iii). Résulte de \ref{k-algebres-finies} (iii).
(iii) ⇒ (iv). Si $A=∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$, on a $[A:k]=∑_𝔵 [A_𝔵:k]$,
où chaque entier $[A_𝔵:k]$ est supérieur ou égal à un.
-L'égalité $♯ π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
+L'égalité $\# π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est
isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
-est au moins égal à $[k^X:k]=♯X$. Ceci résulte de l'existence des projections
+est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections
$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v).
La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
@@ -1485,8 +1485,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
-\item $♯\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
-\item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$.
+\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
+\item $\# π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
@@ -1508,14 +1508,14 @@ de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (
par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie}
de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
\emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection.
-Ainsi, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
+Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
$A$ est diagonalisable sur $k_A$.
(ii)⇒(iii).
Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
-%En effet, si $♯ \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $♯ \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=♯\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
+%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
@@ -1948,7 +1948,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ;
\item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme
$A ⥲ A^{\vee}$ ;
-\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
+\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -1965,11 +1965,11 @@ On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale.
\begin{définition2}\label{degre separable}
On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre
-finie $A$ l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
+finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
\end{définition2}
-Le fait que l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
+Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
est étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex
index 25f1398..6705890 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -122,7 +122,7 @@ sont des anti-équivalences de catégories quasi-inverses l'une de l'autre.
les classes d'isomorphismes de $k$-algèbres étales trivialisées par $K \bo k$
et les classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles finis. De plus,
\[
-[A:k] = ♯ π₀^{K\bo k}(A).
+[A:k] = \# π₀^{K\bo k}(A).
\]
\item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$,
l'application
@@ -242,7 +242,7 @@ classique.
On souhaite montrer que le morphisme d'évaluation
$A → \Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est un isomorphisme.
Comme l'algèbre $A$ est supposée étale sur $k$, trivialisée par $K$, on
-a égalité $♯A^\japmath{田}(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension
+a égalité $\#A^\japmath{田}(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension
du $K$-espace vectoriel $\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est $n$. Il résulte
du lemme \ref{lemme de Speiser} ci-dessous que le $k$-espace vectoriel
$\Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est également de dimension $n$.
@@ -813,7 +813,7 @@ du $1$-cocycle trivial ; la bijection respecte ces points.
% tiré de Serre et Bayer-F. (1994)
Soit $A$ un $G$-torseur sur $k$ trivialisé par $K\bo k$.
\begin{enumerate}
-\item Montrer que l'ensemble $\Hom_k(A,K)$ a $♯G$ éléments,
+\item Montrer que l'ensemble $\Hom_k(A,K)$ a $\#G$ éléments,
permutés transitivement par l'action naturelle de $G$.
(Indication : $\Hom_k(A,K) ⥲ \Hom_K(A_K,K)$.)
\item Soit $ι ∈ \Hom_k(A,K)$. Montrer que pour chaque
diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex
index a6dcaef..7259a8b 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -1091,7 +1091,7 @@ Cependant, ceci ne produit pas d'équation polynomiale verselle
en des \emph{paramètres} comme en \ref{equation verselle C3} ou \ref{equation verselle C4}.
Supposons maintenant que $\Frac(BG)$ soit une extension \emph{transcendante pure}
de $k$, c'est-à-dire de la forme $k(Y₁, …,Y_n)$ où les $Y_i$ sont
-algébriquement indépendants. (On a alors nécessairement $n= ♯G$ ;
+algébriquement indépendants. (On a alors nécessairement $n= \#G$ ;
cela résulte du fait que $\Frac(EG)$ est isomorphe à $k(x_g:g ∈ G)$
et de la proposition \refext{}{}.)
Insistons sur le fait que la condition de pureté transcendante n'est pas systématiquement vérifiée ;
@@ -1511,7 +1511,7 @@ Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant.
\end{démo}
\begin{remarque2}
-On peut montrer que le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$.
+On peut montrer que le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $\#G$.
(On sait déjà qu'il est \emph{projectif}, c'est-à-dire
\emph{localement} libre.)
Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$