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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 22:53:14 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 22:53:14 (GMT)
commit2ab29f64007a24f5ae7fdf69d47340dc36a26862 (patch)
tree87df1073a293378cc91edc69d523df6410601170
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[ExG] Utilisation des macros pour PGL, PSL, etc.
-rw-r--r--chapitres/exemples-galois.tex36
1 files changed, 18 insertions, 18 deletions
diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index 30c0531..3fabfb6 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -1423,12 +1423,12 @@ de $\rho = \rho_0 \rho_1$ ; comme $\rho(\xi_i+\xi_j+\xi_k) = 0$ par
définition de $\rho$, c'est bien que $\rho_0(\xi_i+\xi_j+\xi_k) = 0$.)
Le groupe de Galois $G$ de $f$ opère donc sur les racines de $f$ comme
$\FF_2^3\setminus\{0\}$ en préservant la colinéarité et la
-propriété $i+j+k=0$ ; or $GL_2(\FF_3)$ préserve ces mêmes relations,
-donc $G \leq GL_2(\FF_3)$, et puisque les deux membres ont pour
+propriété $i+j+k=0$ ; or $\GL_2(\FF_3)$ préserve ces mêmes relations,
+donc $G \leq \GL_2(\FF_3)$, et puisque les deux membres ont pour
ordre $48$, ils sont égaux. La suite exacte non scindée $1 \to H \to
G \to Q \to 1$ est donc simplement $1 \to \{\pm 1\} \to
-GL_2(\FF_3) \to PGL_2(\FF_3) \to 1$ (et en comparant les deux
-descriptions qu'on a données de $G$, on voit que $GL_2(\FF_3) \cong
+\GL_2(\FF_3) \to \PGL_2(\FF_3) \to 1$ (et en comparant les deux
+descriptions qu'on a données de $G$, on voit que $\GL_2(\FF_3) \cong
(2\cdot\mathfrak{S}_4)^+$).
\subsubsection{} Vérifions rapidement (on renvoie
@@ -1755,12 +1755,12 @@ $c(\tau)$.
\section{Autres exemples}
-\subsection{$PSL_3(\FF_2)$}\label{exemple-galois-psl-3-f-2}
+\subsection{$\PSL_3(\FF_2)$}\label{exemple-galois-psl-3-f-2}
Considérons le polynôme $f = X^7 - 7X + 3$ sur $\QQ$ : il est
irréductible car sa réduction modulo $2$ l'est. On va montrer que son
-groupe de Galois est $PSL_3(\FF_2)$ (unique groupe simple d'ordre
-$168$, qui s'écrit également $PSL_2(\FF_7)$).
+groupe de Galois est $\PSL_3(\FF_2)$ (unique groupe simple d'ordre
+$168$, qui s'écrit également $\PSL_2(\FF_7)$).
Considérons le polynôme $\rho(Z)=\prod_{\substack{i<j<k}}
(Z-\xi_i-\xi_j-\xi_k)$ dont les racines sont tous les
@@ -1789,7 +1789,7 @@ $\rho_0(Z) = Z^7 + 14 Z^4 - 42 Z^2 - 21 Z + 9$ de degré $7$.
On pourrait conclure par un examen systématique des sous-groupes
transitifs de $\mathfrak{S}_7$ montrant que le seul pour lequel
l'action sur les parties à trois éléments des sept objets se décompose
-en une orbite de taille $7$ et une de taille $28$ est $PSL_3(\FF_2)$.
+en une orbite de taille $7$ et une de taille $28$ est $\PSL_3(\FF_2)$.
On va procéder de manière plus \textit{ad hoc}.
On indice par $\PP^2(\FF_2)$ les racines de $f$ dans $\CC$ en notant
@@ -1839,22 +1839,22 @@ droites sur ce dernier :
Le groupe de Galois $G$ de $f$ est donc inclus dans l'ensemble des
permutations de $\PP^2(\FF_2)$ qui préserve l'alignement, c'est-à-dire
-$PSL_3(\FF_2)$. Montrons qu'il n'est pas strictement plus petit.
+$\PSL_3(\FF_2)$. Montrons qu'il n'est pas strictement plus petit.
Mais le facteur $\rho/\rho_0$ de degré $28$ est irréductible, donc $G$
opère transitivement dessus, c'est-à-dire que $G$ doit envoyer
n'importe quel ensemble de trois points non alignés de $\PP^2(\FF_2)$
sur n'importe quel autre tel ensemble. On peut conclure d'après :
\begin{proposition2}
-Soit $G \leq PSL_3(\FF_2)$ un sous-groupe opérant transitivement sur
+Soit $G \leq \PSL_3(\FF_2)$ un sous-groupe opérant transitivement sur
l'ensemble (de cardinal $28$) des parties à $3$ éléments non alignés
-de $\PP^2(\FF_2)$. Alors $G = PSL_3(\FF_2)$.
+de $\PP^2(\FF_2)$. Alors $G = \PSL_3(\FF_2)$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Remarquons que le groupe $PSL_3(\FF_2)$ opère transitivement sur les
+Remarquons que le groupe $\PSL_3(\FF_2)$ opère transitivement sur les
triplets (ordonnés) de points de $\PP^2(\FF_2)$ non alignés, puisque
-$PSL_3(\FF_2) = GL_3(\FF_2)$ et que de tels triplets constituent une
-base de $\FF^3_2$. On va représenter les éléments de $PSL_3(\FF_2)$
+$\PSL_3(\FF_2) = \GL_3(\FF_2)$ et que de tels triplets constituent une
+base de $\FF^3_2$. On va représenter les éléments de $\PSL_3(\FF_2)$
par des matrices $3\times 3$ dans $\FF_2$ (qu'on fait opérer sur des
vecteurs colonne non nuls représentant les éléments de
$\PP^2(\FF_2)$).
@@ -1864,7 +1864,7 @@ donc son ordre doit être multiple de $28$, et, \textit{a fortiori},
multiple de $7$. Il existe donc un élément $\sigma$ d'ordre $7$
dans $G$ qui, sur $\PP^2(\FF_2)$, opère comme un $7$-cycle.
-Quite à conjuguer $G$ par un élément de $PSL_3(\FF_2)$
+Quite à conjuguer $G$ par un élément de $\PSL_3(\FF_2)$
(cf. l'avant-dernier paragraphe), on peut supposer que $\sigma(1:0:0)
= (0:1:0)$, et que $\sigma(0:1:0) = (0:0:1)$. L'élément
$\sigma(0:0:1)$ doit alors être non aligné avec $(0:1:0)$ et
@@ -1892,16 +1892,16 @@ $\left(\begin{matrix}0\\1\\0\\ \end{matrix}\right)$,
$\left(\begin{matrix}0\\0\\1\\ \end{matrix}\right)$ et
$\left(\begin{matrix}1\\1\\1\\ \end{matrix}\right)$. Il suffit donc
de vérifier que $\sigma$ prise avec n'importe laquelle de ces six
-matrices $\psi$ engendre $GL_3(\FF_2)$, ce qui est bien le cas, comme
+matrices $\psi$ engendre $\GL_3(\FF_2)$, ce qui est bien le cas, comme
il est possible (quoique fastidieux) de vérifier.
\end{proof}
\begin{proof}[Démonstration utilisant l'Atlas des groupes finis]
Le groupe $G$ opère transitivement sur un ensemble de cardinal $28$,
donc son ordre doit être multiple de $28$. Or la liste des
-sous-groupes maximaux de $PSL_3(\FF_2)$, lue, par exemple,
+sous-groupes maximaux de $\PSL_3(\FF_2)$, lue, par exemple,
dans \cite[p. 3]{ATLAS}, montre que ce dernier n'a de sous-groupes
maximaux que d'ordres $24$ et $21$, donc le seul sous-groupe d'ordre
-multiple de $28$ est $PSL_3(\FF_2)$ tout entier.
+multiple de $28$ est $\PSL_3(\FF_2)$ tout entier.
\end{proof}
\subsection{$M_{12}$}\label{exemple-galois-m-12}