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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-02-24 15:03:41 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-02-24 15:03:41 +0100
commit2ae9b45aae6f01b70248d2cbf211c44bf891994a (patch)
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[radicaux] Clôture par racines ≤N-ièmes (est-ce une bonne idée ?).
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex67
1 files changed, 45 insertions, 22 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index f889966..1dbdfce 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -27,7 +27,9 @@
\chapter{Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie}
\fi
-\newcommand{\resol}{^{\mathrm{r\acute{e}sol}}}
+\makeatletter
+\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathrm{r\acute{e}sol}}\else^{\mathrm{r\acute{e}sol}\,#1}\fi}
+\makeatother
\section{Extensions résolubles}
@@ -52,23 +54,29 @@ $\alpha$ dans $k$ si et seulement si il est scindé (il s'écrit
$\prod_{i=0}^{p-1} (X - \alpha - i)$).
\begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux}
-Soit $k$ un corps. On dit que $k$ est \emph{clos par radicaux}
-lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
+Soit $k$ un corps. On dit que $k$ est \emph{clos par radicaux},
+resp. \emph{clos par radicaux $\leq N$-ièmes}, lorsque les deux
+conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
-\item si $m$ est un entier non multiple de la caractéristique de $k$
- et que $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité, et si $a \in
- k$, alors le polynôme $X^m - a$ est scindé sur $k$,
-\item dans le cas où $k$ est de caractéristique $p>0$, si $a \in k$,
- alors le polynôme $X^p - X - a$ est scindé sur $k$.
+\item si $m$ (resp. $m \leq N$) est un entier non multiple de la
+ caractéristique de $k$ et que $k$ contient les racines $m$-ièmes de
+ l'unité, et si $a \in k$, alors le polynôme $X^m - a$ est scindé
+ sur $k$,
+\item dans le cas où $k$ est de caractéristique $p>0$ (resp. et que $p
+ \leq N$), si $a \in k$, alors le polynôme $X^p - X - a$ est scindé
+ sur $k$.
\end{itemize}
Si $k$ est un corps dont on fixe une clôture séparable $k\sep$, il est
évident que $k\sep$ est clos par radicaux au sens ci-dessus et que
l'intersection de toute famille de corps intermédiaires entre $k$ et
-$k\sep$ qui sont clos par radicaux est encore un corps clos par
-radicaux : ceci permet de définir la \emph{clôture par radicaux} de
-$k$, dite encore \emph{corps des expressions en radicaux} sur $k$, et
-notée $k\resol$.
+$k\sep$ qui sont clos par radicaux (resp. clos par radicaux $\leq
+N$-ièmes) est encore un corps clos par radicaux (resp. clos par
+radicaux $\leq N$-ièmes) : ceci permet de définir la \emph{clôture par
+ radicaux} (resp. clôture par radicaux $\leq N$-ièmes) de $k$, dite
+encore \emph{corps des expressions en radicaux} (resp. corps des
+expressions en radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$, et notée $k\resol$
+(resp. $k\resol[\leq N]$).
\end{definition2}
Autrement dit, on dit qu'un corps est clos par radicaux lorsqu'il
@@ -92,21 +100,24 @@ radicaux !
Soit $k$ un corps et $\sigma$ un automorphisme d'une clôture séparable
$k\sep$ de $k$. Alors $k\resol$ est stable par $\sigma$ : en effet,
$\sigma(k\resol)$ est clos par radicaux et par minimalité on doit donc
-avoir $\sigma(k\resol) = k\resol$.
+avoir $\sigma(k\resol) = k\resol$ ; la même remarque vaut
+pour $k\resol[\leq N]$.
\end{remarque2}
\begin{definition2}
Soit $k$ un corps. On appelle \emph{tour d'extensions par radicaux}
-sur $k$ une suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq
-k_r$ de corps tels que, pour chaque $i$, le corps $k_{i+1}$ soit
-engendré sur $k_i$ par un unique élément $\alpha_i$ vérifiant l'une
-des propriétés suivantes :
+(resp.  tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$ une
+suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ de corps
+tels que, pour chaque $i$, le corps $k_{i+1}$ soit engendré sur $k_i$
+par un unique élément $\alpha_i$ vérifiant l'une des propriétés
+suivantes :
\begin{itemize}
-\item il existe $m_i \geq 1$ entier, non multiple de la
- caractéristique de $k$, tel que $k_i$ contienne les racines
- $m_i$-ièmes de l'unité et que $\alpha_i^{m_i} \in k_i$, \emph{ou
- bien}
-\item $k$ est de caractéristique $p>0$, et $\wp(\alpha_i) \in k_i$.
+\item il existe $m_i \geq 1$ entier (resp. avec $m_i \leq N$), non
+ multiple de la caractéristique de $k$, tel que $k_i$ contienne les
+ racines $m_i$-ièmes de l'unité et que $\alpha_i^{m_i} \in k_i$,
+ \emph{ou bien}
+\item $k$ est de caractéristique $p>0$ (resp. et $p \leq N$), et
+ $\wp(\alpha_i) \in k_i$.
\end{itemize}
\end{definition2}
@@ -116,6 +127,9 @@ Soient $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ et $k \subseteq \cdots
corps $k$. Alors il existe une tour d'extensions $k \subseteq \cdots
\subseteq k' k''$ aboutissant à la composée $k' k''$ (cette composée
étant prise dans une extension commune quelconque).
+
+Le même résultat vaut pour les tours d'extensions par radicaux $\leq
+N$-ièmes.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r = k'$ est la
@@ -127,6 +141,9 @@ d'extensions par radicaux ; en mettant bout à bout cette tour $k''
\subseteq \cdots \subseteq k' k''$ avec celle $k \subseteq \cdots
\subseteq k''$ dans laquelle s'inscrit $k''$, on a inscrit $k'k''$
dans une tour d'extensions par radicaux comme souhaité.
+
+La démonstration pour les tours d'extensions par radicaux $\leq
+N$-ièmes est analogue.
\end{proof}
\begin{proposition2}\label{trivialite-cloture-par-radicaux}
@@ -134,6 +151,10 @@ Soit $k$ un corps, dont on fixe une clôture séparable $k\sep$. Alors
la clôture par radicaux $k\resol$ de $k$ (à l'intérieur de $k\sep$)
est précisément la réunion de tous les corps intervenant dans une tour
d'extensions par radicaux sur $k$ et incluse dans $k\sep$.
+
+La clôture par radicaux $\leq N$-ièmes, $k\resol[\leq N]$, est de même
+la réunion de tous les corps intervenant dans une tour d'extensions
+par radicaux $\leq N$-ièmes sur $k$ et incluse dans $k\sep$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ est une tour
@@ -161,6 +182,8 @@ ci-dessus que si $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ est la tour dans
laquelle s'inscrit $k'$ (on peut évidemment l'arrêter là), et $k
\subseteq \cdots \subseteq k''$ de même pour $k''$, on dispose d'une
tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots \subseteq k' k''$.
+
+La démonstration pour les radicaux $\leq N$-ièmes est analogue.
\end{proof}
\subsection{Rappels sur les groupes résolubles}