diff options
author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-23 16:53:26 (GMT) |
---|---|---|
committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-23 16:53:26 (GMT) |
commit | 2d80f3b409b50f4f0e4672316d02d6aa2f6f185d (patch) | |
tree | a38f2a0d9d524cd6bc771d24f6bacfe604fc9bd9 | |
parent | 60cdb18cbdaf36b8af359950d0ea8e4442bbaf2b (diff) | |
download | galois-2d80f3b409b50f4f0e4672316d02d6aa2f6f185d.zip galois-2d80f3b409b50f4f0e4672316d02d6aa2f6f185d.tar.gz galois-2d80f3b409b50f4f0e4672316d02d6aa2f6f185d.tar.bz2 |
[AC,AVD,modp,Dedekind] coquilles
-rw-r--r-- | chapitres/AC.tex | 2 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/AVD.tex | 40 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/Cebotarev.tex | 50 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/Dedekind.tex | 42 |
4 files changed, 67 insertions, 67 deletions
diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex index 3aa018d..54d99fa 100644 --- a/chapitres/AC.tex +++ b/chapitres/AC.tex @@ -1215,7 +1215,7 @@ Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini). \begin{proposition2} Lemme de Hensel. -\end{lemme2} +\end{proposition2} \begin{proposition2} Les conditions suivantes sont équivalentes : diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD.tex index 9c4f8f2..3e5ee9b 100644 --- a/chapitres/AVD.tex +++ b/chapitres/AVD.tex @@ -17,7 +17,7 @@ \usetikzlibrary{matrix} \usetikzlibrary{calc} -\title{titre} +\title{Anneaux de valuation discrète} \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} @@ -34,11 +34,11 @@ \begin{document} \begin{center} -titre +Anneaux de valuation discrète \end{center} \tableofcontents \else -\chapter{titre} +\chapter{Anneaux de valuation discrète} \fi \section{} @@ -71,7 +71,7 @@ La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$, tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$. -\end{théorème} +\end{théorème2} \begin{définition2} indice de ramification @@ -120,30 +120,29 @@ fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$. Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$, $B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$. \begin{enumerate} -\item $G_0\iso G$, +\item $G_0⥲ G$, \item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$, \item L'application -$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto +$$\left\{\begin{array}{l}G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto \frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique $$ -G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L. +G_i/G_{i+1}↪ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L. $$ \item On a des isomorphismes canoniques : $$ \begin{array}{l} - U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\ - U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1} + U^{(0)}_L/U^{(1)}_L⥲ k_L^{\times}\\ + U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L⥲ \MM_B^i/\MM_B^{i+1} \end{array} $$ -pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement. +pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement. \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{démo} \XXX -\begin{proof} -1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$. +1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$. Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$ induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car $k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad @@ -180,15 +179,15 @@ $$ \frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)} \frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L} $$ -entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son +entraîne que $G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son noyau est par définition $G_{i+1}$. -4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit -un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$. +4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B↠ k_L$ induit +un isomorphisme $B^{\times}→ 1+\MM_B→ k_L^{\times}$. Enfin, $$ \begin{array}{l} -U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\ +U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L→ \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\ 1+x\mapsto x \end{array} $$ @@ -211,7 +210,7 @@ Sous les hypothèses précédentes : Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique et d'ordre premier à la caractéristique. -Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe +Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L≃ k_L$ n'a pas de sous-groupe fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$, pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)- \pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$. @@ -261,7 +260,7 @@ est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a : \begin{itemize} \item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$, -\item $$\begin{array}{l}A[X]/f\ra B\\ X\mapsto x\end{array}$$ +\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$ est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local. \end{itemize} \end{proposition2} @@ -289,10 +288,11 @@ ex. Hasse, chap. 16.] \begin{démo} \XXX -Soit $L$ une extension finie galoisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où +Soit $L$ une extension finie galoisienne de +$K=k((t))=\mathrm{Frac}(k[[t]])$ où $k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier $L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire -précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$. +précédent que $G=\Gal(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$. Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne de groupe $\mu_n(k)$. diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex index 5ff47b1..db08f13 100644 --- a/chapitres/Cebotarev.tex +++ b/chapitres/Cebotarev.tex @@ -115,7 +115,7 @@ dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un. %Le lecteur prouvera dans l'exercice \ref{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13, %que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois %$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles -%$[-N,N]$ avec $N\ra +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}). +%$[-N,N]$ avec $N→ +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}). %Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité. %\end{rmr2} @@ -126,18 +126,18 @@ dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un. Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique) $\delta$ si $$ -\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\sr{s\ra 1+}{\longrightarrow} \delta. +\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\dessusdessous{s→ 1+}{\longrightarrow} \delta. $$ \end{définition2} On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème, que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$, -\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s\ra 1+$. +\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$. Cf. chapitre précédent \refext{}{}. \begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius} Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$. -Soit $G_f=\ga(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois. +Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois. Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad une partition de $d$. Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$, @@ -166,7 +166,7 @@ Soit $F\in \ZZ[X]$. Notons $n_p(F)$ le nombre de racines de $F$ modulo $p$, comptés avec multiplicités. Alors, $$ -\sum_p n_p(F)p^{-s}\sr{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans} +\sum_p n_p(F)p^{-s}\dessusdessous{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans} \ \QQ[X] \big) \log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}(1). $$ @@ -184,19 +184,19 @@ supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers, on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$. Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$. -L'application $\SP(A_F)\ra \SP(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un +L'application $\Spec(A_F)→ \Spec(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise $\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème. Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes -$A_F\surj \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$ +$A_F↠ \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$ soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ » car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$). Ainsi, $$ -Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et } +Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et } N(\wp)=p\}p^{-s}, $$ où $N\wp:=\# A_F/\wp$. @@ -206,14 +206,14 @@ $\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$. De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$, on a $$ -Z_F(s)=\sum_{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1). +Z_F(s)=\sum_{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1). $$ En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur de $d\zeta(2s)$. En particulier, le produit $$ -\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \SP(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}= +\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \Spec(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}= \prod_{\wp} \big( 1+(N\wp)^{-s}+(N\wp)^{-2s}+\cdots\big) $$ est également convergeant pour $s>1$ @@ -228,13 +228,13 @@ $$ $$ Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ; c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}). -L'inclusion $A_F\ra \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$. +L'inclusion $A_F→ \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$. Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près, $\zeta_{A_F}$ coïncide -avec $\zeta_{\OO_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind. +avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind. En particulier, $$ -\log \zeta_{\OO_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1). +\log \zeta_{𝒪_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1). $$ La conclusion résulte alors du fait que les fonctions zêta de Dedekind ont un pôle simple en $1$, cf. \ref{pôle en 1 de Dedekind}. @@ -298,19 +298,19 @@ Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombre divisant $\Delta\Delta_S$. Soit $p\notin \Sigma_S$ ; $f\mod p$ et $\tilde{f}_S \mod p$ -sont donc à racines simples dans $\sur{\FFp}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]\ra \sur{\FFp}$ +sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]→ \sur{𝐅_p}$ et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$ les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$. -Le morphisme de Frobenius $\FR_p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$ agit sur les racines de +Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est -dans $\FFp$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\FR_p$, ce que l'on réécrit : +dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit : $$ \begin{array}{ll} -(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in \FFp &\Longleftrightarrow -\FR_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\ +(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in 𝐅_p &\Longleftrightarrow +\Frob_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\ & \Longleftrightarrow (F_p\sigma)\Psi_S(\sous{\alpha}_p)=\sigma\Psi_S(\sous{\alpha}_p)\\ & \Longleftrightarrow \sigma^{-1}F_p \sigma \in S \end{array} @@ -389,10 +389,10 @@ $$ On a alors les égalités, utilisant \ref{point clé Frob} (« $\zeta(1)=+\infty$ ») : $$ \begin{array}{ll} -\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \sr{(\star)}{=} +\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \dessusdessous{(\star)}{=} \sum_{\lambda} s_\lambda \frac{d!}{d!_\lambda} \big( \sum_p p_{\lambda}^{-s}\big),\\ -\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \sr{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=} +\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \dessusdessous{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=} \frac{d!}{g_f} \big(\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}\big) \log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}_S(1), \end{array} @@ -404,7 +404,7 @@ $$ \sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s). $$ On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée -quand $s\ra 1+$. +quand $s→ 1+$. Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent : $$ (\star\star\star)_S\ \sum_{\lambda} \frac{s_\lambda}{d!_{\lambda}}R_{\lambda}=\mathsf{O}_S(1). @@ -419,7 +419,7 @@ l'inégalité opposée}. $$ Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément maximal le type d'un $d$-cycle. -Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s \rangle$ +Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$ le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance), l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient : @@ -440,15 +440,15 @@ du pôle simple $1$ des fonctions $\zeta$ de Dedekind, donnée en \ref{pôle en \begin{corollaire2} Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$. Il existe une infinité de nombre premiers $p$ tel que $f$ modulo $p$ n'a pas -de racine dans $\FFp$. +de racine dans $𝐅_p$. \end{corollaire2} On peut également montrer que cet ensemble a une densité $\geq \frac{1}{d}$, cf. \cite{Jordan@Serre}. \begin{proof} -Le polynôme $f$ a une racine dans $\FFp$ si et seulement si, -la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{\FFp}$ a un point +Le polynôme $f$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si, +la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{𝐅_p}$ a un point fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$). La formule diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex index 1c48351..767ef13 100644 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ b/chapitres/Dedekind.tex @@ -52,11 +52,11 @@ Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension \begin{proposition2} \XXX Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. -Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$ -et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_𝔭(\got{a})$, $𝔭\in S$, +Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$ +et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$, tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si -$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \SP\max(A)$, +$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). \end{proposition2} @@ -102,7 +102,7 @@ Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$. \begin{corollaire2} Presque tous les idéaux sont non-ramifiés. -\end{corolllaire2} +\end{corollaire2} Méthodes de calcul. @@ -146,10 +146,10 @@ Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$. \begin{démo} \XXX Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements -$K\hra \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC}, -\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K\hra \CC$. +$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC}, +\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$. Le morphisme -$𝒪_K\ra K_{\RR}\isononcan \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}\iso \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$ +$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$ est de la forme $$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x), \mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots, @@ -196,7 +196,7 @@ un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$ $\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$. Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ -car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). +car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons $\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$. Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$ @@ -238,7 +238,7 @@ $$ \{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in \mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\} $$ -soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t\ra +\infty$. +soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. \end{théorème2} \begin{démo} @@ -288,7 +288,7 @@ Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$. Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$. Alors, si $\vol(Y)>0$, $$ -\#(B\cap aY)\sr{a\ra +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}. +\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}. $$ \end{quote} @@ -298,17 +298,17 @@ Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$. On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités} -que $\log:𝒪_K\ra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, +que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$. Ainsi, le logarithme induit une injection : -$P(\got{b}_\mathsf{C})\hra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. +$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection -$D\oplus P \iso \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection -canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}\surj \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. +$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection +canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. [FIGURE] Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme @@ -345,24 +345,24 @@ engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants. \XXX On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension $K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$. -Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ +Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}. \end{proof} -\begin{theoreme2}[Théorème des unités de Dirichlet] +\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet] \XXX Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que : -$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ +$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$ est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$. -\end{thm} +\end{théorème2} \begin{proof} \XXX -\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}. +\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}. Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$ et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite) @@ -370,7 +370,7 @@ $$ \log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}. $$ Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→ -\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$. +\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$. Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$, @@ -486,7 +486,7 @@ Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29. \XXX Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale -connexe alors $\ZZ\iso A$. +connexe alors $\ZZ⥲ A$. \end{théorème2} \begin{démo} |