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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2010-12-22 22:35:07 +0100
committerFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2010-12-22 22:35:07 +0100
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[versel] sorites sur extensions G-galoisiennes d'anneaux déplacés (exercices → texte)
D'une part c'est quelque chose qu'il aurait fallu faire à un moment ou à un autre et, d'autre part, on a besoin du fait que Gal-G soit un groupoïde (l'argument du rang, que j'avais décoré d'un \XXX est insuffisant...).
-rw-r--r--verselles.tex253
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index 00e68ad..6b3f37d 100644
--- a/verselles.tex
+++ b/verselles.tex
@@ -1437,6 +1437,107 @@ On l'a vu dans un cas particulier ; en toute généralité, c'est un corollaire
du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, \cite{First@Lam}, §19).
\end{remarque2}
+\subsection{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}\label{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}
+
+\begin{définition2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
+et $G$ un sous-groupe fini de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
+On dit que $B$ est \emph{galoisienne de groupe $G$} sur $A$
+si les conditions suivantes sont satisfaites :
+\begin{enumerate}
+\item le morphisme $A → B$ est injectif et $A=\Fix_G(B)$ ;
+\item le morphisme
+\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B),\]
+\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
+est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{définition2}
+
+\begin{exemple2}
+Si $L\bo K$ est une extension fini galoisienne de
+groupe $G$, la $K$-algèbre $L$ est galoisienne
+de groupe $G$ au sens précédent.
+\end{exemple2}
+
+
+\begin{lemme2}
+Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $B\{G\}$
+l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
+est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
+étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
+Le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
+est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$.
+Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo
+A}(b ⋅)$, est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $M$ un $A$-module.
+Le morphisme $A$-linéaire $\Hom_A(B,A)⊗_A M → \Hom(B,M)$,
+$f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+La condition (\textrm{\textbf{ii}}) est équivalente
+à la condition (\textrm{\textbf{ii}}′) suivante :
+il existe des éléments $(b_h)_{h ∈ G}$ et $(b ′_h)_{h ∈ G}$ dans $B$ tels
+que, pour tout $g ∈ G$,
+\[
+∑_h b_h g(b ′_h)=δ^1_g,
+\]
+où $δ$ est la fonction delta de Kronecker.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+L'implication (iii) ⇒ (iii′) est triviale : il suffit
+d'écrire $d^{-1}\big((δ_g^1)\big)$ sous la forme $∑_h b_h ⊗ b ′_h$.
+
+Pour montrer l'implication opposée, on utilise les trois
+lemmes précédents. \XXX
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+Notion stable par changement de base.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{proposition2}\label{algèbre galoisienne est projective}
+$B$ est projectif sur $A$.
+Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang
+fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement,
+$A → K$ est un morphisme de but un corps,
+la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$
+et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K
+⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
+Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres
+galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
\subsection{Interprétation géométrique}
@@ -1455,6 +1556,42 @@ et
où $g∈G$ agit $k$-linéairement sur $EG$ par $g\cdot
x_{h}=x_{gh}$.
+\begin{proposition2}\label{EG sur BG est galoisien}
+L'algèbre $EG$ est galoisienne de groupe $G$ sur $BG$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Nous allons montrer le résultat plus fort :
+le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$.
+Commençons par observer qu'il existe des éléments
+$(y_g)_{g ∈ G}$ de $EG$ tels que, pour chaque $g ′ ∈ G$,
+on ait :
+\[
+∑_g y_g ⋅ g ′(x_g)=δ_{g ′,1}.
+\]
+Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant.
+Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$
+les applications $BG$-linéaires suivantes :
+\[
+e \dessusdessous{s}{↦} \big(g ↦ ∑_h h(e x_g)\big)
+\]
+et
+\[
+\mathbf{b}=(b_g)_g \dessusdessous{π}{↦} ∑_g b_g y_g.
+\]
+Compte tenu de l'hypothèse faite sur les éléments $y_g$ ($g ∈ G$),
+on a $π ∘ s=\Id_{EG}$.
+Ainsi, on a une décomposition en somme directe $BG^{G}=EG ⊕ \Ker(π)$,
+où l'on note $BG^{G}$ le module libre $\Hom_{\Ens}(G,BG)$.
+Montrons que $\Ker(π)=0$. Le module $BG^{G}$ étant libre
+et l'anneau $BG$ étant intègre, il suffit de vérifier
+que le produit tensoriel $\Ker(π) ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est nul.
+Or, $EG ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est naturellement isomorphe au
+corps $\Frac(EG)$, galoisien sur $BG$ de groupe $G$
+(lemme d'Artin). Il en résulte que le rang de $\Ker(π)$ est nul.
+CQFD.
+\end{démo}
+
Avec ces notations, on a le théorème suivant.
\begin{théorème2}\label{base normale géométrique}
@@ -1498,42 +1635,9 @@ On utilise ici le fait que $\Fix_G(L)=K$.
Par propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres,
le morphisme $EG → L$ se factorise en
$EG → EG ⊗_{BG} K \dashrightarrow L$, où \mbox{$EG → EG ⊗_{BG} K$} est le morphisme
-canonique. Nous allons maintenant vérifier que le
-second morphisme, $EG ⊗_{BG} K → L$,
-est un isomorphisme.
-Commençons par observer qu'il est surjectif. Cela résulte
-du fait que la $K$-algèbre $L$ est engendrée par l'image de $EG$ dans $L$.
-Pour conclure, il nous suffit donc de montrer que
-le produit tensoriel $EG ⊗_{BG} K$ est de dimension $♯G$ sur $K$.
-Nous allons montrer le résultat plus fort :
-le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$.
-Commençons par observer qu'il existe des éléments
-$(y_g)_{g ∈ G}$ de $EG$ tels que, pour chaque $g ′ ∈ G$,
-on ait :
-\[
-∑_g y_g ⋅ g ′(x_g)=δ_{g ′,1}.
-\]
-Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant.
-Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$
-les applications $BG$-linéaires suivantes :
-\[
-e \dessusdessous{s}{↦} \big(g ↦ ∑_h h(e x_g)\big)
-\]
-et
-\[
-\mathbf{b}=(b_g)_g \dessusdessous{π}{↦} ∑_g b_g y_g.
-\]
-Compte tenu de l'hypothèse faite sur les éléments $y_g$ ($g ∈ G$),
-on a $π ∘ s=\Id_{EG}$.
-Ainsi, on a une décomposition en somme directe $BG^{G}=EG ⊕ \Ker(π)$,
-où l'on note $BG^{G}$ le module libre $\Hom_{\Ens}(G,BG)$.
-Montrons que $\Ker(π)=0$. Le module $BG^{G}$ étant libre
-et l'anneau $BG$ étant intègre, il suffit de vérifier
-que le produit tensoriel $\Ker(π) ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est nul.
-Or, $EG ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est naturellement isomorphe au
-corps $\Frac(EG)$, galoisien sur $BG$ de groupe $G$
-(lemme d'Artin). Il en résulte que le rang de $\Ker(π)$ est nul.
-CQFD.
+canonique. Il résulte de \ref{EG sur BG est galoisien} et
+\ref{Gal-G est un groupoide} que le morphisme $G$-équivariant $EG ⊗_{BG} K → L$
+est un isomorphisme.
\subsection{Digression sur les algèbres de groupes}
@@ -1586,7 +1690,7 @@ on a $φ(x_g ⊗ x_{g ′})=f_φ(x_g)f ′_φ(x_{g ′})$.
Il en est bien ainsi ; cf. \refext{Tens}{}.
\end{démo}
-\begin{lemme2}
+\begin{lemme2}\label{unités algèbre de groupe et EG}
Le foncteur $A ↦ A[G]^× $ des unités pour le produit
de convolution est représentable
par la $CG$-algèbre $EG=k[x_g:g∈G][\det(x_{gg'})^{-1}]$.
@@ -1665,7 +1769,7 @@ correspondant est $𝐙/n$-équivariant où l'action est triviale à la source 
image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes
$\Fix_{𝐙/n}(E_n)=B_n$.
(En d'autres termes, « points fixes » et « quotient »
-se correspondent par le foncteur de Yoneda.)
+se correspondent par Yoneda.)
Si $L \bo K$ est une extension galoisienne de groupe $𝐙/n$,
où $K$ est une extension de $k$, le diagramme de la démonstration du théorème
\ref{base normale géométrique} se complète
@@ -1677,9 +1781,12 @@ K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
}
\]
-Pour des raisons de rang \XXX, le morphisme
-$k[X,X^{-1}] ⊗_{k[X,X^{-1}], X ↦ X^n} K → L$
-qui s'en déduit est un \emph{isomorphisme}.
+L'extension $k[X^{±1}] → k[X^{±1}]$, $X ↦ X^n$
+est galoisienne de groupe $𝐙/n$. \XXX
+Il résulte donc de \ref{Gal-G est un groupoide}
+que le morphisme $k[X,X^{-1}] ⊗_{k[X,X^{-1}], X ↦ X^n} K → L$
+déduit du diagramme commutatif précédent
+est un \emph{isomorphisme}.
En d'autres termes :
\begin{quote}\emph{toute extension galoisienne de $L\bo K$ de groupe $𝐙/n$ est obtenue
par extraction d'une racine $n$-ième d'un élément de $K^×$, dès lors que $K$
@@ -1719,8 +1826,10 @@ le morphisme composé $E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga
$B_{[1]}^{\japmath{田}} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yoneda —
un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$.
-Comme dans le cas précédent, ces faits, joints
-au théorème \ref{base normale géométrique} entraînent :
+
+L'extension $k[X] → k[X]$ déduite de $℘$ est galoisienne de groupe
+$𝐙/p$. \XXX Comme dans le cas précédent, ce fait, joint
+au théorème \ref{base normale géométrique} entraîne :
\begin{quote}\emph{toute extension galoisienne $L\bo K$ de groupe $𝐙/p$
entre corps de caractéristique $p>0$ est obtenue par extraction d'une racine $℘$-ième d'un élément de $K$.}
@@ -1776,64 +1885,6 @@ au degré total de $P$, il existe un élément $y∈k^n$ tel que $P(y)≠0$.
Indépendance algébrique des éléments de $\Gal$. \XXX
\end{exercice2}
-\begin{exercice2}\label{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}
-Dans cet exercice, on se propose de formaliser quelque peu
-les propriétés des morphismes $BG → EG$.
-Si $A$ est un anneau et $G$ un groupe fini, nous dirons
-qu'une $A$-algèbre $B$ est \emph{galoisienne de groupe $G$} si les
-conditions suivantes sont satisfaites :
-\begin{enumerate}
-\item il existe une action de $G$ sur $B$, $G → \Aut(B)$,
-induisant un isomorphisme $G ⥲ \Aut_A(B)$ ;
-\item le morphisme $A → B$ est injectif et $A=\Fix_G(B)$ ;
-\item le morphisme
-\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B),\]
-\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
-est un isomorphisme.
-\end{enumerate}
-
-\begin{itemize}
-\item Vérifier que si $A → K$ est un morphisme de but un corps,
-la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$.
-%En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$
-%et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K
-%⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$.
-
-\item Montrer que la condition (\textrm{\textbf{iii}}) ci-dessus entraîne à la condition
-(\textrm{\textbf{iii}}′) suivante :
-il existe des éléments $(b_h)_{h ∈ G}$ et $(b ′_h)_{h ∈ G}$ dans $B$ tels
-que, pour tout $g ∈ G$,
-\[
-∑_h b_h g(b ′_h)=δ^1_g,
-\]
-où $δ$ est la fonction delta de Kronecker.
-
-%L'implication (iii) ⇒ (iii′) est triviale : il suffit
-%d'écrire $d^{-1}\big((δ_g^1)\big)$ sous la forme $∑_h b_h ⊗ b ′_h$.
-
-Pour montrer l'implication opposée, nous allons procéder
-de manière indirecte.
-
-\item Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $B\{G\}$
-l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
-est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
-étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
-Montrer que le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
-est un isomorphisme.
-
-\item Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$.
-Montrer que le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo A}(b ⋅)$,
-est un isomorphisme.
-
-\item Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $M$ un $A$-module.
-Montrer que le morphisme $A$-linéaire $\Hom_A(B,A)⊗_A M → \Hom(B,M)$,
-$f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme.
-
-\item En déduire l'équivalence entre (\textrm{\textbf{iii}}) et (\textrm{\textbf{iii}}′).
-
-\end{itemize}
-\end{exercice2}
-
\begin{exercice2}\label{extension verselle via Noether}
Soient $k$ un corps infini et $G$ un groupe fini de cardinal $n$.
Supposons que le corps $\Fix(G|k(x_g:g ∈ G))$ soit $k$-isomorphe