Merge git.madore.org:galois

1 files changed, 44 insertions, 17 deletions

diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 5b9c444..0d032a8 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -272,10 +272,11 @@ on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou
 $K(Z_1,\ldots,Z_d)$ par $\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) =
 P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$, alors il existe $P \in
 K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$.  De plus,
-lorsque c'est le cas, le corps $E := \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est
-engendré sur corps $F := \Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des
-fonctions rationnelles totalement symétriques par l'unique élément $P$
-(autrement dit, $E = F(P)$).
+lorsque c'est le cas (pour un $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$), le corps $E
+:= \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est engendré sur corps $F :=
+\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des fonctions rationnelles
+totalement symétriques par l'unique élément $P$ (autrement dit, $E =
+F(P)$).
 \end{proposition2}
 \begin{proof}
 Pour la première affirmation, on considère le polynôme
@@ -544,21 +545,47 @@ En degré $2$, il n'y a aucun calcul à faire : le groupe de Galois d'un
 polynôme séparable irréductible quadratique est
 nécessairement $\ZZ/2\ZZ$.
 
+\smallbreak
+
 En degré $3$, le seul sous-groupe transitif non-trivial de
 $\mathfrak{S}_3$ est $H = \mathfrak{A}_3 = \ZZ/3\ZZ$ opérant comme
-groupe des permutations cycliques sur les $3$ éléments.  Un exemple de
-polynôme $P$ en trois variables $Z_1,Z_2,Z_3$ dont le stabilisateur
-dans $\mathfrak{S}_3$ soit $H$ (au sens
-de \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}, et essentiellement
-celui donné par la proposition en question) est le polynôme $P = Z_1
-Z_2^2 + Z_2 Z_3^2 + Z_3 Z_1^2$ (sur n'importe quel corps) : si $f =
-X^3 + a_1 X^2 + a_2 X + a_3$, alors la résolvante de $f$ relativement
-à $P$ vaut $R_P(f) = X^2 + (a_1 a_2 - 3 a_3)\,X + (a_1^3 a_3 + a_2^3 -
-6 a_1 a_2 a_3 + 9 a_3^2)$.  Un autre exemple, sur un corps de
-caractéristique $\neq 2$, est le polynôme $Q = (Z_1-Z_2) (Z_2-Z_3)
-(Z_3-Z_1)$ : la résolvante de $f$ relativement à $Q$ vaut $R_Q(f) =
-X^2 + (-a_1^2 a_2^2 + 4 a_1^3 a_3 + 4 a_2^3 - 18 a_1 a_2 a_3 + 27
-a_3^2)$.
+groupe des permutations cycliques sur les $3$ éléments.  Cherchons des
+polynômes (ou fractions rationnelles) $P$ en trois variables
+$Z_1,Z_2,Z_3$ dont le stabilisateur dans $\mathfrak{S}_3$ soit $H$ (au
+sens de \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}).  Celui donné par
+la proposition citée est essentiellement $P = Z_1 Z_2^2 + Z_2 Z_3^2 +
+Z_3 Z_1^2$.  On peut aussi, dans l'esprit de \refext{CG}{construction
+  discriminant et 2-distinguant} (où elle était notée $\delta_{2'}$)
+considérer la quantité $Q = (Z_1-Z_2) (Z_2-Z_3) (Z_1-Z_3)$, qui
+convient en caractéristique $\neq 2$.  Comme prédit par la
+proposition \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}, on peut
+exprimer $P$ comme fraction rationnelle de $Q$, et vice versa, à
+coefficients dans le corps $k(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) =
+k(Z_1,Z_2,Z_3)^{\mathfrak{S}_3}$ (où on a noté $\alpha_1 =
+-(Z_1+Z_2+Z_3)$, $\alpha_2 = Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_1 Z_3$ et $\alpha_3
+= -Z_1 Z_2 Z_3$, les signes étant introduits pour simplifier la
+comparaison avec les coefficients du polynôme $f$ ci-dessous) :
+précisément, on a $Q = -2P + (-\alpha_1\alpha_2 + 3\alpha_3)$ (soit $P
+= -\frac{1}{2}Q + (-\frac{1}{2}\alpha_1\alpha_2 +
+\frac{3}{2}\alpha_3)$ en caractéristique différente de $2$).  Pour
+faire le lien avec \refext{CG}{distinguant distingue groupe alterné}
+(où elle était notée $\delta$), on peut également introduire la
+quantité $S = (P-\alpha_3)/Q = \frac{P - \alpha_3}{-2P +
+  (-\alpha_1\alpha_2 + 3\alpha_3)}$.
+
+Si $f = X^3 + a_1 X^2 + a_2 X + a_3$, alors la résolvante de $f$ par
+rapport à ces différents polynômes et fractions rationnnelles est
+donnée ainsi : relativement à $P$ la résolvante vaut $R_P(f) = X^2 +
+(a_1 a_2 - 3 a_3)\,X + (a_1^3 a_3 + a_2^3 - 6 a_1 a_2 a_3 + 9
+a_3^2)$ ; relativement à $Q$ elle vaut $R_Q(f) = X^2 - (a_1^2 a_2^2 -
+4 a_1^3 a_3 - 4 a_2^3 + 18 a_1 a_2 a_3 - 27 a_3^2)$ ; et relativement
+à $S$, elle vaut $R_S(f) = X^2 + X - \frac{a_1^3 a_3 + a_2^3 - 5 a_1
+  a_2 a_3 + 7 a_3^2}{a_1^2 a_2^2 - 4 a_1^3 a_3 - 4 a_2^3 + 18 a_1 a_2
+  a_3 - 27 a_3^2}$.  Dans chacun des cas, la conclusion de la
+proposition \ref{utilisation-des-resolvantes} est la suivante : si $f$
+et la résolvante considérée sont séparables, alors la résolvante admet
+une racine dans $k$ si et seulement si le groupe de Galois de $f$ est
+inclus dans le groupe $H$ (des permutations cycliques).