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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-08 15:24:39 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-08 15:24:39 +0100
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[radicaux] cos(2π/11)
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex79
1 files changed, 67 insertions, 12 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 224fe2d..c17b229 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -457,9 +457,9 @@ l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de l'unité $\omega$, on
peut décrire l'algorithme précédent de la manière suivante, en
supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de l'unité $\zeta$ :
poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ (on a
-alors $\omega = \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer $a_j :=
-(\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$ uniquement.
-Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
+alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer
+$a_j := (\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$
+uniquement. Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), mais
en fait on peut aussi simplement affirmer qu'on fait les calculs dans
@@ -483,7 +483,7 @@ ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les choses
différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des $\alpha_j$
avec $j$ pair uniquement (c'est-à-dire qu'on peut se contenter des
racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité) : on a $\gamma =
-\sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$.
+\frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$.
Une fois calculé $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ (en
radicaux), on peut éventuellement en déduire une expression (toujours
@@ -498,7 +498,7 @@ le bon choix de $\omega$, alors on vérifie facilement que $\gamma^2 +
comme élément de degré $2$ au-dessus de l'extension engendrée
par $\gamma$ et appliquer la technique générale.
-\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$}
+\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$ et $e^{2i\pi/n}$}
\subsubsection{} Nous nous proposons dans cette section de calculer
les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins
@@ -577,13 +577,13 @@ $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans cet ordre car
avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle
qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire
positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine
-sixième principale est $-zeta^2$.)
+sixième principale est $-\zeta^2$.)
\subsubsection{$n=7$} Si $\omega$ désigne une racine
primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités
-$\alpha_j := \sum_{i=0}^6 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est
-une racine cubique primitive de l'unité. On a bien sûr $\alpha_0 =
--1$.
+$\alpha_j := \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est
+une racine cubique primitive de l'unité (et donc $-\zeta^2$ une racine
+primitive $6$-ième de l'unité). On a bien sûr $\alpha_0 = -1$.
Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
\omega^{-1})$. Comme on l'a expliqué, pour ce faire, on va calculer
@@ -593,7 +593,8 @@ haut avec nos conventions sur les déterminations principales, on peut
écrire $\alpha_2 = \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$.
De même (ou en appliquant la conjugaison complexe), on a $\alpha_4 =
\root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$. Ceci conduit déjà à
-l'expression suivante pour $\gamma$ :
+l'expression suivante pour $\gamma = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 +
+\alpha_4)$ :
\[
\cos\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
-1 + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
@@ -607,7 +608,8 @@ $\alpha_5$. On peut calculer $(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta =
-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 =
-\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même,
$\alpha_5 = \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au
-final, on obtient l'expression suivante de $\omega$ :
+final, on obtient l'expression suivante de $\omega =
+\frac{1}{6}(\alpha_0 + \cdots + \alpha_5)$ :
\[
\begin{array}{rl}
\displaystyle e^{2i\pi/7} &\displaystyle = \frac{1}{6}\Big(
@@ -620,7 +622,60 @@ final, on obtient l'expression suivante de $\omega$ :
\end{array}
\]
-\XXX --- On doit pouvoir écrire ça un peu autrement (comme pour $n=5$).
+Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7}
+= \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne
+semble pas plus agréable que celle obtenue ci-dessus.
+
+\subsubsection{$n=11$} Maintenant $\omega$ désigne une racine
+primitive $11$-ième de l'unité. On considère les quantités $\alpha_j
+:= \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij} \omega^{2^i}$ où $\zeta$ est une
+racine primitive $5$-ième de l'unité (et donc $-\zeta^3$ une racine
+primitive $10$-ième de l'unité, et précisément $e^{i \pi/5}$ si $\zeta
+= e^{2 i \pi/5}$), qu'on a vu ci-dessus qu'on pouvait écrire
+$\frac{1}{4}\big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\big)$. On a bien
+sûr $\alpha_0 = -1$.
+
+Pour calculer $\cos\frac{2\pi}{11}$, on calculera d'abord
+$(\alpha_2)^5 = -286 - 220 \zeta + 165 \zeta^2 - 110 \zeta^3$ : on
+voudra surtout réexprimer cette quantité sur la $\QQ$-base de
+$\QQ(\zeta)$ donnée par $1, \sqrt{5}, \penalty-100
+\sqrt{-10+2\sqrt{5}}, \penalty-100 \sqrt{-10-2\sqrt{5}}$ (soit $1,
+-1-2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2 +
+4\zeta + 2\zeta^2 + 2\zeta^3$) : on trouve $(\alpha_2)^5 =
+\frac{11}{4}(-89 - 25\sqrt{5} + \penalty-100 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
+\penalty-100 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$. En ajoutant la bonne puissance
+de $\zeta$ pour trouver la valuation principale choisie, on peut alors
+écrire : $\alpha_2 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0
+\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}}
+\penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
+ 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$. Des calculs analogues donnent : $\alpha_4
+= \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big)
+\penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 +
+ 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$,
+$\alpha_6 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0
+\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}}
+\penalty-100 \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} +
+ 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$, et $\alpha_8 = \frac{1}{4} \big(
+-1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root
+5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} -
+ 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$. Finalement, pour
+$\cos\frac{2\pi}{11} = \frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4 +
+\alpha_6 + \alpha_8)$, on trouve :
+\[
+\begin{array}{rl}
+\rlap{$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{11} = -\frac{1}{10}
++ \frac{1}{40} \, \root5\of{\frac{11}{4}} \;\; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
+&\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}
+\rlap{\;\;\Bigg)}
+\end{array}
+\]