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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2014-02-21 08:48:59 (GMT)
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2014-02-21 08:48:59 (GMT)
commit31493c66949cad06f109ff85ddd738f7d8c415f6 (patch)
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[Fin] ajout d'un joli exercice ! [À mettre dans le corps du texte]
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex19
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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 161a904..9677e3c 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -123,6 +123,25 @@ de $𝐅_p[X]$ de degré $≤3$ est $\frac{1}{3}p³+\frac{1}{2}p²+\frac{1}{6}
% trivial.
\end{exercice2}
+\begin{exercice2}
+ Soient $K$ un corps fini de cardinal $q$ et $P
+∈ K[T]$ un polynôme de degré $d$, supposé tel que $P(0)=0$
+pour simplifier.
+\begin{enumerate}
+\item Soit $Q(X)=∏_{λ ∈ K} (X-P(λ))$. Montrer que
+les coefficients de $Q$ de degré $q-i$ tel que $di<q-1$ sont
+nuls. (Indication : on pourra considérer $∏_{λ ∈ K} (X-P(t
+λ))=∑_i c_i(t)X^{q-i}$, où $c_i ∈ 𝐅[t]$ est de degré $≤
+di$.)
+% la _fonction_ c_i est constante sur $𝐅^×$ ; si son degré
+% est $<q-1$, le polynôme c_i est constant, égal à c_i(0).
+\item Montrer que $P(K) ⊆ K$ est l'ensemble des zéros du
+polynôme $Q-(X^q-X)$ et en déduire le théorème suivant de
+Wan : soit $P(K)=K$ soit $P(K)$ est de cardinal au plus $q-\frac{q-1}{d}$.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+
\subsection{Le morphisme de Frobenius}
\begin{proposition2}[petit théorème de Fermat]\label{petit-theoreme-fermat}