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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 15:49:50 (GMT)
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-rw-r--r--chapitres/KASW.tex22
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex33
-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex2
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex10
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--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -1504,12 +1504,12 @@ ensemblistement trivial}.
L'égalité $1+a₁x+a₂x²+ \cdots + a_n x^n=(1-α₁x)(1-α₂x²)\cdots(1+α_n x^n)$
se réécrit sous la forme
\[
-a_r=∑_{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s ≤ r \atop i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r} (-1)^s α_{i₁}
+a_r=∑_{\substack{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s ≤ r \\ i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r}} (-1)^s α_{i₁}
\cdots α_{i_s}.
\]
L'unique solution est donnée par les formules (récursives) :
\[
-α_r=a_r - ∑_{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s<r \atop i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r} (-1)^s α_{i₁}
+α_r=a_r - ∑_{\substack{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s<r \\ i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r}} (-1)^s α_{i₁}
\cdots α_{i_s}.
\]
Le cas $n=∞$ se démontre de même. (ii)
@@ -1665,8 +1665,8 @@ $W_{∞|𝐙_{(p)}}$, restriction de $W_∞$ aux $𝐙_{(p)}$-algèbres.
\item La somme
\[e_p=∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} V_r F_r,\] où $μ$ est la fonction
de Möbius, est bien définie et est un projecteur de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$, d'image $W_∞^{(p)}$
-égale à $\displaystyle ⋂_{(r,p)=1 \atop r>1} \Ker F_r$ et de noyau
-le sous-groupe $\displaystyle \widehat{∑}_{(r,p)=1 \atop r>1} \Im V_r$ des
+égale à $\displaystyle ⋂_{\substack{(r,p)=1 \\ r>1}} \Ker F_r$ et de noyau
+le sous-groupe $\displaystyle \widehat{∑}_{\substack{(r,p)=1 \\ r>1}} \Im V_r$ des
sommes éventuellement infinies d'éléments dans les images des $V_r$ ($(r,p)=1$,
$r>1$).
\item Pour $n$ parcourant l'ensemble des entiers premiers à $p$,
@@ -1692,21 +1692,21 @@ l'inclusion \ref{relations V et F} (v).
Soit $s>1$ un entier premier à $p$. Calculons $F_s e_p$.
Par définition et découpage de l'ensemble de sommation, on a :
\[F_s e_p = ∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} F_s V_r F_r=
-∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} F_{s/d} F_d V_d V_{r/d}
+∑_{(d,p)=1} ∑_{\substack{(r,s)=d \\ (r,p)=1}} \frac{μ(r)}{r} F_{s/d} F_d V_d V_{r/d}
F_r.\]
En appliquant la formule $F_d V_d=[d]$, on obtient :
-\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{r/d} F_{s/d} V_{r/d} F_r.\]
+\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{\substack{(r,s)=d \\ (r,p)=1}} \frac{μ(r)}{r/d} F_{s/d} V_{r/d} F_r.\]
Utilisant la relation de commutation $F_{s/d} V_{r/d}=V_{r/d} F_{s/d}$ (car $r/d$ et $s/d$ sont
premiers entre eux) et l'identité $F_{s/d} F_r=F_{sr/d}$, on trouve :
-\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{(r,s)=d \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{r/d} V_{r/d} F_{sr/d}.\]
+\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{\substack{(r,s)=d \\ (r,p)=1}} \frac{μ(r)}{r/d} V_{r/d} F_{sr/d}.\]
Enfin, une réécriture de la somme, où l'on pose $t=r/d$, donne
-\[ F_s e_p = ∑_{(t,s)=1 \atop (t,p)=1} \frac{1}{t} V_s F_{st} \big(\underbrace{∑_{u|s}
+\[ F_s e_p = ∑_{\substack{(t,s)=1 \\ (t,p)=1}} \frac{1}{t} V_s F_{st} \big(\underbrace{∑_{u|s}
μ(tu)}_{=0}\big)=0.\]
L'endomorphisme $e_p$ s'écrivant $1+e_p ′$ où $e_p ′$ est une somme
de multiples à gauche de $F_s$ ($s>1$, premier à $p$), on en déduit immédiatement l'égalité
$e_p²=e_p$ et l'égalité $W_∞^{(p)}=⋂_{(r,p)=1}\Ker F_r$.
On vérifie comme ci-dessus que, dualement, on a $e_p V_{s}=0$
-pour chaque $s>1$. Il en résulte que $\widehat{∑}_{(r,p)=1 \atop r>1} \Im V_r$ est contenu
+pour chaque $s>1$. Il en résulte que $\widehat{∑}_{\substack{(r,p)=1 \\ r>1}} \Im V_r$ est contenu
dans le noyau de $e_p$. Réciproquement, le fait que $e ′_p$ soit
une somme de multiples à droite de $V_s$ ($s>1$, premier à $p$),
montre que tout élément du noyau est une somme (éventuellement infinie)
@@ -1719,7 +1719,7 @@ Or, on a vu que si $n ′>1$, $F_{n ′} e_p$. De même $e_p V_{m ′}=0$ si $m
Ainsi, $e_{p,n}e_{p,m}=0$ à moins que $n=m$.
Pour conclure, il nous faut vérifier que $∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=\Id$.
Or,
-\[ ∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_{(n,p)=1 \atop (r,p)=1} \frac{μ(r)}{rn} V_n V_r F_r F_n,\]
+\[ ∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_{\substack{(n,p)=1 \\ (r,p)=1}} \frac{μ(r)}{rn} V_n V_r F_r F_n,\]
que l'on peut réécrire, compte-tenu des égalités $V_n V_r=V_{nr}$ et $F_r
F_n=F_{rn}$, sous la forme :
\[
@@ -1828,7 +1828,7 @@ Il résulte de \ref{bijections entre Wn et An} (ii)
que pour toute $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$, tout élément
$f_n ∈ W_n(A)$ s'écrit de manière unique sous la forme
\[
-f_n= ∏_{i ≤ n \atop (i,p)=1} ∏_{q ∈ p^𝐍 \atop q ≤ q_i} E_p(α_{i,q} X^{i q}),
+f_n= ∏_{\substack{i ≤ n \\ (i,p)=1}} ∏_{\substack{q ∈ p^𝐍 \\ q ≤ q_i}} E_p(α_{i,q} X^{i q}),
\]
où les $α_{i,q}$ sont obtenus en évaluant
des polynômes à coefficients dans $𝐙_{(p)}$ en les coefficients (usuels)
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 6684a32..0640a36 100644
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@@ -622,7 +622,7 @@ sous la forme exacte, on peut obtenir une seconde
démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}.
Il suffit en effet de montrer que pour chaque entier $r$,
on a l'inégalité
-$\displaystyle ∑_{d|r \atop μ(r/d)=1} q^d ≠ ∑_{d|r \atop μ(r/d)=-1} q^d$.
+$\displaystyle ∑_{\substack{d|r \\ μ(r/d)=1}} q^d ≠ ∑_{\substack{d|r \\ μ(r/d)=-1}} q^d$.
Or, cela résulte de l'unicité de la décomposition d'un entier en
base $q$, elle-même s'observant par exemple par réduction modulo la plus
petite puissance de $q$ apparaissant dans l'une des deux
@@ -644,7 +644,7 @@ $𝐅_p[X]$ qui sont \emph{irréductibles} (resp.
On a vu que le nombre d'éléments primitifs de $𝐅_{p^d}$
sur $𝐅_p$ est minoré
\[
-p^d-∑_{m|d \atop m ≠ d} p^m ≥ p^d - ∑_{m=1}^{d-1}p^m >
+p^d-∑_{\substack{m|d \\ m ≠ d}} p^m ≥ p^d - ∑_{m=1}^{d-1}p^m >
p^d-\frac{p^d}{p-1}=p^d ⋅ \frac{p-2}{p-1}.
\]
Le nombre de polynômes irréductibles \emph{unitaires}
@@ -2652,7 +2652,7 @@ de solution de cette équation dans $F$ et ses sur-corps. On note $A$ la $F$-al
Soit $L$ la forme linéaire sur $A$ définie par $L(a)=∑_i c_i a_i$, où
$a=(a₀,\dots,a_d)∈F^{d+1}$.
\subsubsection{}L'égalité suivante est tautologique :
-$$N=∑_{a∈A\atop L(a)=b} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$
+$$N=∑_{\substack{a∈A\\ L(a)=b}} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$
D'après les résultats des paragraphes précédents, chaque
entier $N(X_i^{n_i}=a_i)$ est égal à la somme
$∑_{χ∈\chap{F^×}[n_i]} χ(a_i)$.
@@ -2667,7 +2667,7 @@ Ainsi, en développant l'expression $\big(∑_{χ₀^{n₀}=1} χ(a₀)\big)\cdo
\big(∑_{χ_d^{n_d}=1} χ(a_d)\big)$ et en sommant sur les $a∈A$ tels que $L(a)=b$,
on trouve :
$$
-(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big),
+(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{\substack{a∈A\\ L(a)=b}} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big),
$$
où la première somme porte sur les caractères comme ci-dessus, supposés
non tous triviaux. En effet, la contribution de $χ₀=\cdots=χ_d=1$
@@ -2677,7 +2677,7 @@ Par commodité, on notera par la suite $χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)=:χ(a)$.
\begin{lemme2}
Si certains des $χ_i$ sont triviaux, mais pas tous, la somme
-$$∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}.
+$$∑_{\substack{a∈A\\ L(a)=b}} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -2685,7 +2685,7 @@ Soit $χ=(χ₀,\dots,χ_d)$ comme dans l'énoncé et considérons
l'algèbre quotient $A↠A'$ de $A$ correspondant aux facteurs non triviaux.
Tautologiquement, $χ(a)=χ'(a')$ où $a'$ est l'image de $a$ dans $A'$ et $χ'$
est la famille de caractères (tous) non triviaux correspondante.
-La somme à évaluer est donc égale à $∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ'(a')$.
+La somme à évaluer est donc égale à $∑_{\substack{a∈A\\ L(a)=b}} χ'(a')$.
Elle est égale à $∑_{a'∈A'} \big(χ'(a')\cdot \#\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}\big)$.
Puisque pour tout $a'$, $\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}$ est un espace
affine non vide (car $A'≠A$) de dimension donc de cardinal indépendants de $a'$,
@@ -2724,7 +2724,7 @@ Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
écrire :
$$
-N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b}
+N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\substack{\mathtextrm{nouv}}[n]\\ χ≠1}} χ^{-1}(c)\big( ∑_{\substack{a∈A^×\\ \Tr(a)=b}}
χ(a)\big).
$$
@@ -2735,13 +2735,12 @@ plongé diagonalement, de sorte que $χ_{|F^×}(x)=∏_i χ_i(x)$.
En écrivant $a_i=a₀a'_i$ ($0<i≤d$), on trouve immédiatement,
pour tout caractère $χ$ de $A^×$ :
$$
-∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} χ(a)=∑_{x∈F^×} \Big(χ_{|F^×}(x) \big(∑_{a'∈{A'}^×\atop
-\Tr(a')=\frac{b}{x}-1} χ'(a')\big)\Big),
+∑_{\substack{a∈A^×\\ \Tr(a)=b}} χ(a)=∑_{x∈F^×} \Big(χ_{|F^×}(x) \big(∑_{\substack{a'∈{A'}^×\\ \Tr(a')=\frac{b}{x}-1}} χ'(a')\big)\Big),
$$
où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$.
Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et
-$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
+$∑_{\substack{a∈A^×\\ \Tr(a)=0}} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$
aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, c'est-à-dire
aux caractères de $A^×/F^×$.
@@ -2756,8 +2755,7 @@ Nous avons établi la proposition suivante.
Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F^×$, et $n₀,\dots,n_d≥1$.
Alors,
$$
-N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop
-χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x).
+N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{\substack{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \\ χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n], χ≠1}} χ(c)χ^{-1}(x).
$$
\end{proposition2}
@@ -2776,7 +2774,7 @@ avec la terminologie introduite en \refext{Alg}{etale}.
Soit $A$ une $F$-algèbre \emph{étale} de rang $d+1$.
Pour tout caractère non trivial $χ∈\chap{A^×/F^×}$, on pose
$$
-J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x).
+J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{\substack{x∈A^×/F^×\\ \Tr(x)=0}} χ^{-1}(x).
$$
\end{définition2}
@@ -2786,7 +2784,7 @@ Le cas qui nous intéresse particulièrement ici est le cas où $A=F^{d+1}$.
À $χ$ correspondent $d+1$ caractères $(χ₀,\dots,χ_d)$ de $F^×$, non tous triviaux,
de produit trivial. Dans ce cas,
$$
-J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x₁,\dots,x_d∈F^×\atop ∑_i x_i=-1} χ₁^{-1}(x₁)\cdots
+J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{\substack{x₁,\dots,x_d∈F^×\\ ∑_i x_i=-1}} χ₁^{-1}(x₁)\cdots
χ_d^{-1}(x_d).
$$
@@ -2880,7 +2878,7 @@ Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le
cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$).
Ainsi,
$$
-𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) -
+𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{\substack{x∈A^×/F^×\\ \Tr(x)=0}} χ^{-1}(x) -
\underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big).
$$
\end{démo}
@@ -2908,7 +2906,7 @@ Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$.
Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×}
ψ(y)=\big(∑_{y∈A'}ψ(y)\big)-1=-1$. Finalement, si $A'$ est un corps,
$$
-|g|²=\# {A'}^× - ∑_{z≠1\atop z∈{A'}^×} χ(z)=\# {A'}^×+1=\# A'.
+|g|²=\# {A'}^× - ∑_{\substack{z≠1\\ z∈{A'}^×}} χ(z)=\# {A'}^×+1=\# A'.
$$
Le cas général se ramène à ce cas particulier grâce à la formule
\ref{factorisation-somme-Gauss}.
@@ -3083,8 +3081,7 @@ des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que
$χ_{\mathtextrm{quad}}=χ_{\mathtextrm{quad}}^{-1}$.)
En faisant passer le terme $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
$$
-p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop
-x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
+p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{\substack{∑x_i=1\\ x_i∈𝐅_p^×}}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ).
$$
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index dbda01d..09146c3 100644
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@@ -89,7 +89,7 @@ ou encore si et seulement si $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$.
D'autre part, on a un morphisme de projection
\begin{equation}
-∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭)↠ ∏_{𝔭∈\Spec(A)\atop \text{t.q. } k⭇κ(𝔭)} k \tag{$\star\star$},
+∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭)↠ ∏_{\substack{𝔭∈\Spec(A) \\ \text{t.q. } k⭇κ(𝔭)}} k \tag{$\star\star$},
\end{equation}
donné par la restriction de l'ensemble des facteurs.
Le second ensemble d'indexation du produit est l'ensemble
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 841d76b..e166817 100644
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3124,7 +3124,7 @@ On a cependant le résultat positif suivant, dont nous ferons usage ci-après.
Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀: |f|=1\}$
par les inclusions $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident.
De plus, pour chaque paire $b ≥ c >0$ de réels, l'ensemble
-${K^×_𝐀}^{≤b \atop ≥c}$ est un \emph{fermé} de $K_𝐀$.
+${K^×_𝐀}^{\substack{≤b \\ ≥c}}$ est un \emph{fermé} de $K_𝐀$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -4629,7 +4629,7 @@ L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet d'une part de calculer la
\[
T \frac{Z′_K}{Z_K} = ∑_{n ≥ 1} N_K(n) T^n,
\]
-où $\displaystyle N_K(n)=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ et également d'exprimer la fonction Zêta sous la forme
+où $\displaystyle N_K(n)=∑_{\substack{x ∈ X \\ \deg(x)|n}} \deg(x)$ et également d'exprimer la fonction Zêta sous la forme
d'une série génératrice
\[
Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n,
@@ -4784,11 +4784,11 @@ f_k(X,Y)=\frac{2}{X Y^{k-1}}+\frac{1}{X² Y^{k-2}} + \cdots +
\item Montrer que
\[
f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y)
-=2 ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} \frac{1}{X^j Y^{k-j}}
+=2 ∑_{\substack{0 < j < k \\ j \text{ pair}}} \frac{1}{X^j Y^{k-j}}
\]
\item En déduire que
\[
-\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j).
+\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{\substack{0 < j < k \\ j \text{ pair}}} ζ(j) ζ(k-j).
\]
\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=\sqrt{6 ζ(2)}$.
\item Montrer que
@@ -4825,7 +4825,7 @@ que la valuation correspondante est définie par
le degré (en $t$) des fractions rationnelles.)
Ce facteur se réécrit
\[
-∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}=
+∑_{\substack{f ∈ 𝐅_p[t] \\ \text{unitaire}}} \frac{1}{|f|^s}=
∑_{d ≥ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}
\]
car il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$