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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-02-28 20:59:09 +0100 |
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diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex index c635c72..cdaa8d8 100644 --- a/chapitres/spectre.tex +++ b/chapitres/spectre.tex @@ -1,34 +1,13 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\usepackage{palatino,euler} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\input{.cv} - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} - -\synctex=1 - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} +\title{Spectre et idéaux premiers} \externaldocument{categories} - \begin{document} -\begin{center} -Spectre et idéaux premiers -\end{center} -\version -\setcounter{tocdepth}{1} +\maketitle \tableofcontents - \else \chapter{Spectre et idéaux premiers} \fi @@ -152,26 +131,26 @@ Ainsi, $xy∉𝔮$ et, \emph{a fortiori}, $xy∉𝔭$. \subsubsection{}\label{points-algebre}Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire un morphisme d'anneaux $k→A$. -Pour toute $k$-algèbre $T$, on notera souvent $A^\japmath{田}(T)$ -ou $\japmath{田}A(T)$ l'ensemble $\Hom_k(A,T)$\footnote{L'usage +Pour toute $k$-algèbre $T$, on notera souvent $A^田(T)$ +ou $田A(T)$ l'ensemble $\Hom_k(A,T)$\footnote{L'usage le plus courant est d'utiliser plutôt les lettres $h$ (« Hom ») ou -$y$ (« Yoneda ») au lieu de $\japmath{田}$.} +$y$ (« Yoneda ») au lieu de $田$.} En un sens qu'il n'est pas nécessaire de préciser ici, -la collection des $\japmath{田}A(T)$, pour $T$ variable, +la collection des $田A(T)$, pour $T$ variable, caractérise $A$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}). -L'ensemble $\japmath{田}A(k)$ joue souvent +L'ensemble $田A(k)$ joue souvent un rôle particulier ; c'est l'ensemble des \emph{points rationnels} \index{point rationnel} de $A$. %Remarquons que tout morphisme de $k$-algèbres %$A→k$ est surjectif car l'image est une sous-$k$-algèbre de $k$ %contenant l'unité. -Soit $f∈\japmath{田}A(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est +Soit $f∈田A(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est l'ensemble à un élément $\Spec(k)=\{(0)\}$. L'image de $\Spec(f)$ dans $\Spec(A)$ est, par définition, le singleton d'élément $f^{-1}(0)=\Ker(f)∈\Spec(A)$. \begin{lemme2}\label{points rationnels et ideaux maximaux} -L'application $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image +L'application $田A(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image contenue dans $\Specmax(A)$. Son image est l'ensemble des $𝔮$ dans $\Specmax(A)$ tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme. \end{lemme2} @@ -187,7 +166,7 @@ $\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme $A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle. -L'injectivité de l'application $\japmath{田}A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente : +L'injectivité de l'application $田A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente : le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où la seconde flèche est l'inverse de l'isomorphisme $k→A↠A/𝔭$. Il résulte de cette description que l'image de l'ensemble des points rationnels @@ -252,7 +231,7 @@ Pour tout anneau $A$, l'anneau quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$ est réduit. C'est le plus grand quotient réduit de $A$ : pour tout morphisme d'anneau $A→B$ avec $B$ réduit, il existe un unique morphisme $A_{\red}→B$ à travers lequel $A→B$ se factorise. En d'autres termes, si $B$ est un anneau réduit, -l'application injective $\japmath{田}A_{\red}(B)→\japmath{田}A(B)$ +l'application injective $田A_{\red}(B)→田A(B)$ déduite de la surjection $A↠A_{\red}$ est une bijection. \end{proposition2} @@ -517,10 +496,10 @@ que N. Bourbaki les appelle plutôt « anneaux booléiens ». D'après \ref{SpecBoole=HomF2} et \ref{points rationnels et ideaux maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc : \[ -π₀(A) = \japmath{田}\Idem(A)(𝐅₂), +π₀(A) = 田\Idem(A)(𝐅₂), \] où l'ensemble de droite est $\Hom_{𝐅₂}(\Idem(A),𝐅₂)$. -% ☡ la notation \japmath{田} s'accorde mal avec ⊞... +% ☡ la notation 田 s'accorde mal avec ⊞... \begin{proposition2} Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont @@ -935,13 +914,14 @@ des sous-anneaux de $A$, donc sont réduits. D'après \ref{artinien \section{Exercices} +\subsection{\XXX} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Soit $A$ un anneau. Montrer que $\Nilp(A[X])=\Nilp(A)[X]$ : tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement. -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} \label{ultrafiltres et produits infinis} Soit $X$ un ensemble non vide. Un \emph{ultrafiltre}\index{ultrafiltre} $𝔉$ sur $X$ est un ensemble de parties non vides de $X$ stable par intersection finie @@ -965,10 +945,10 @@ On peut alors montrer que l'espace \emph{topologique} $\Spec(k^X)$ est homéomorphe au compactifié de Stone-Čech $β(X)$ de l'espace topologique discret $X$, lui-même trivialement homéomorphe au coproduit $∐_{x ∈ X} \Spec(k)$. -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Soit $A$ un anneau. \begin{enumerate} \item Montrer que si $(e_x)_{x∈X}$ est une famille \emph{finie} @@ -980,9 +960,9 @@ La propriété $∑_x e_x=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idemp Comparer le résultat obtenu avec \ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}. \item Montrer que si $A$ est nœthérien, $π₀(A)$ est fini. \end{enumerate} -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} Soit $A$ l'anneau des suites de nombres rationnels constantes à partir d'un certain rang. \begin{enumerate} @@ -994,18 +974,18 @@ est un ensemble de fonctions nulles en un point fixé ou bien au voisinage de l'infini. Etc. À développer [David], cf. Gillman-Jerison. \XXX \end{enumerate} -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} \label{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent} Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau $A$. Montrer que si $I=I²$, il existe $e ∈ \Idem(A)$ tel que $I=(e)$. % 松村, exercice 2.1 % 中山 ⇒ ∃ i tel que (1-i)I=0$. OPS I principal et c'est alors facile -\end{exercice} +\end{exercice2} -\begin{exercice} +\begin{exercice2} \label{dévissage Hom(A,produit connexes)} Soit $k$ un corps et soient $A,B$ deux $k$-algèbres dont on note respectivement $X$ et $Y$ les ensembles de composantes @@ -1023,7 +1003,7 @@ avec l'ensemble Ainsi, le calcul d'ensembles d'homomorphismes se ramène au calcul d'ensembles de composantes connexes et et d'homomorphismes entre anneaux connexes. -\end{exercice} +\end{exercice2} \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex index 396b23e..12856bd 100644 --- a/config/macros.tex +++ b/config/macros.tex @@ -30,11 +30,21 @@ \DeclareMathOperatorWithFont{\car}{\mathrm}{car} \DeclareMathOperatorWithFont{\Frob}{\mathrm}{Frob} +\DeclareMathOperatorWithFont{\Spec}{\mathrm}{Spec} +\DeclareMathOperatorWithFont{\Specmax}{\mathrm}{Specmax} +\DeclareMathOperatorWithFont{\Frac}{\mathrm}{Frac} +\DeclareMathOperatorWithFont{\Nilp}{\mathrm}{Nilp} +\DeclareMathOperatorWithFont{\red}{\mathrm}{red} +\DeclareMathOperatorWithFont{\Idem}{\mathrm}{Idem} + \DeclareMathOperatorWithFont{\Tr}{\mathrm}{Tr} \DeclareMathOperatorWithFont{\N}{\mathrm}{N} +\DeclareMathOperatorWithFont{\ev}{\mathrm}{ev} + \DeclareMathOperatorWithFont{\ob}{\mathsf}{Ob} +% Exposants \newcommand{\op}{^{\mathsf{op}}} \newcommand{\sep}{^{\mathrm{sép}}} \newcommand{\alg}{^{\mathrm{alg}}} @@ -49,7 +59,7 @@ \newcommand{\FF}{\mathbf{F}} \newcommand{\GG}{\mathbf{G}} -%% Divers +%% Divers (choses qu'on pourrait vouloir changer) % Barre oblique apparaissant dans A/k \newcommand{\bo}{/} @@ -57,6 +67,9 @@ % Symbole de Legendre \newcommand{\Legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} +% Pourquoi a-t-on fait ça ? +\newcommand{\MM}{\mathfrak{m}} + % Police pour les catégories \newcommand{\categ}[1]{\mathtt{#1}} @@ -101,6 +114,7 @@ \let\chap\widehat \let\sur\overline \let\sous\underline +\let\dessusdessous\stackrel %% %% Environnements français @@ -144,6 +158,13 @@ \newcommand\XXX{\textcolor{Magenta}{(XXX)}} %% +%% Macros pourries +%% +\newcommand{\bbk}[5]{{\bf Bourbaki}, #1,~{\sc #2}, §#3, n°#4\,#5} +\newcommand{\bbkac}[4]{\bbk{A.C.}{#1}{#2}{#3}{#4}} +\newcommand{\bbka}[4]{\bbk{A.}{#1}{#2}{#3}{#4}} + +%% %% Paramétrages divers %% \setcounter{tocdepth}{2} |