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authorFabrice (pi) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-22 09:49:26 +0100
committerFabrice (pi) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-22 09:49:26 +0100
commit3b542c1f9cea09a3585d390bd60a9dc4ca088ab3 (patch)
tree8c18ed21455fadaabd5090de66ea63a1ecd6e3ac
parent195db834096a2048f437a39684ae3921225e9fd6 (diff)
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Merge git.madore.org:galois
-rw-r--r--biblio/bibliographie-livre.bib14
-rw-r--r--chapitres/brauer.tex12
-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex15
3 files changed, 28 insertions, 13 deletions
diff --git a/biblio/bibliographie-livre.bib b/biblio/bibliographie-livre.bib
index 88db55c..f077c2c 100644
--- a/biblio/bibliographie-livre.bib
+++ b/biblio/bibliographie-livre.bib
@@ -57,6 +57,20 @@
isbn = {0-8218-4075-4}
}
+@book {GA@Artin,
+ AUTHOR = {Artin, Emil},
+ TITLE = {Geometric algebra},
+ SERIES = {Wiley Classics Library},
+ NOTE = {Réédition de l'édition de 1957},
+ PUBLISHER = {John Wiley \& Sons Inc.},
+ ADDRESS = {New York},
+ YEAR = {1988},
+ PAGES = {x+214},
+ ISBN = {0-471-60839-4},
+ DOI = {10.1002/9781118164518},
+ URL = {http://dx.doi.org/10.1002/9781118164518},
+}
+
@ARTICLE{Kennzeichnung@AS,
author = {Artin, Emil and Schreier, Otto},
title = {{Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper.}},
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index 0ea89e7..096b4e6 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -1066,10 +1066,9 @@ d'où, en considérant $X=-1$,
\]
Écrivons $A$ sous la forme
\[
-A=\troistrois{0}{-x_\k}{x_\j}{x_\k}{0}{-x_\i}{-x_\j}{x_\i}{0}.
+A=\troistrois{0}{-x_\k}{x_\j}{x_\k}{0}{-x_\i}{-x_\j}{x_\i}{0}
\]
-Calculons la transformée de Cayley de $A$ :
-on a
+et calculons sa transformée de Cayley. On a
\[
(1+A)^{-1}=\frac{1}{1+x_\i²+x_\j²+x_\k²}
\left( \begin {array}{ccc}
@@ -1082,8 +1081,9 @@ x_\k x_\i-x_\j & x_\j x_\k +x_\i& 1+x_\k²
expression que l'on peut obtenir en appliquant par exemple la formule de Cramer,
exprimant l'inverse d'une matrice en terme du déterminant et de la transposée de
sa comatrice ; en multipliant cette matrice par $1-A$,
-on obtient la matrice $c(1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k)$
-(cf. \ref{H vers special orthogonal}, démonstration).
+on obtient la matrice $c(1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k)$,
+image de $1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k$ par le morphisme
+$c: 𝐇^×(K) → \mathtextrm{SO}₃(K)$ (cf. \ref{H vers special orthogonal}, démonstration).
Il n'est maintenant pas difficile d'achever la démonstration du théorème.
Commençons par quelques notations : pour chaque $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$, notons $V_μ(K)$
@@ -1164,7 +1164,7 @@ de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX
\subsubsection{Seconde démonstration du théorème \ref{parametrisation
Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions}
Nous supposons maintenant que $K$ est un \emph{corps}.
-Il est bien connu (\cite{}) que tout élément du groupe
+Il est bien connu (\cite[théorème 3.20]{GA@Artin}) que tout élément du groupe
$\SOrth₃(K)=\SOrth(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement
du groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique non dégénérée,
est produit d'un nombre \emph{pair} de réflexions, c'est-à-dire d'éléments $s_r$ de la forme
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index deb3c59..d8b4efb 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -16,6 +16,7 @@
\externaldocument{produit-tensoriel}
\begin{document}
\maketitle
+Git: \showgitstatus
\tableofcontents
\else
\chapter{Correspondance de Galois}
@@ -1521,15 +1522,16 @@ Référence. Bourbaki, V, exercice §10, №23 et \cite{Involutions@KMRT}, chap.
\[別_2(f) = \frac{c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 + c_1^3 c_2 c_3 c_4 + c_1^4
c_4^2 + c_2^3 c_3^2 + c_1 c_2 c_3^3 + c_3^4}{c_1^2 c_2^2 c_3^2 + c_1^4 c_4^2 +
c_3^4}.\]
-\item Soit  $f=X⁵+aX+b$.
+\item Soit $f=X^n+aX+b$.
\[
-Δ(f)= 4⁴a⁵+5⁵b⁴.
+Δ(f)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\big( n^n b^{n-1} + (1-n)^{n-1}a^n\big).
\]
-\[別_2(f) = ...\]
-\XXX
-Plus généralement si $f=X^n + aX+b$.
-Cf. par exemple Lombardi-Quitté p. 156. \XXX
+\[別_2(f) = \XXX...\]
+En particulier,
+\[
+Δ(X⁵+aX+b)= 4⁴a⁵+5⁵b⁴.
+\]
\end{enumerate}
\end{exemples2}
@@ -2079,7 +2081,6 @@ conceptuelle, sur laquelle nous reviendrons.
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../biblio/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../biblio/style-bib-livre}
-Git: \showgitstatus
\end{document}
\else
\endgroup