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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-24 10:56:42 +0100 |
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[ucs,KASW,Azu,Alg,versel] unicodification de la racine ;)
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diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex index 609016d..029cbc8 100644 --- a/chapitres/KASW.tex +++ b/chapitres/KASW.tex @@ -570,8 +570,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item pour tout nombre premier $ℓ$, toute racine $ℓ$-ième de l'unité dans $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$ et, -\item toute racine primitive quatrième de l'unité $\sqrt{-1}$ -dans $K$ telle que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$ +\item toute racine primitive quatrième de l'unité $√{-1}$ +dans $K$ telle que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$. \end{enumerate} \end{enumerate} @@ -609,10 +609,10 @@ Puisque $ℓ$ est premier à $r/(n,r)$, on en tire $a ∈ {k^×}^ℓ$, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi $ℓ$ ne divise pas $m$ et l'égalité $ζ_ℓ^m=λ^m a^{r/(n,r)} ∈ k^×$ entraîne l'appartenance de $ζ_ℓ$ à $k^×$. Vérifions maintenant le critère (b) en supposant -que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier +que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier que la caractéristique de $k$ est différente de deux, sans quoi il n'y a rien à démontrer.) Écrivons comme précédemment -\[1+\sqrt{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$. +\[1+√{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$. \begin{itemize} \item [Cas où quatre divise $m$.] On obtient par élévation à la puissance $m$ l'égalité @@ -628,16 +628,16 @@ Or, il résulte de notre hypothèse que si $s$ est un entier tel que $4|ns$ et $a^s ∈ -4 {k^×}⁴$ alors $4|s$. En effet on aurait dans le cas contraire soit $4|n$ et $a ∈ -4 {k^×}⁴$ (ce qui est exclu) soit $2|n$ et $a² ∈ -4 {k^×}⁴$. Cette dernière possibilité est -également exclue car on aurait alors $\sqrt{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$. +également exclue car on aurait alors $√{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$. Appliquant cette observation à $s=r/(n,r)$, on constate que l'élément $a^{r/(n,r)}$ ne peut appartenir à l'ensemble $-4 {k^×}⁴$ si quatre ne divise pas $r/(n,r)$. Contradiction. \end{itemize} \item [Cas où quatre ne divise pas $m$.] -Puisque $(1+\sqrt{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$, -il en est de même de $\sqrt{-1}$ compte tenu du fait que -$2^{-[m/2]}(1+\sqrt{-1})^m$ appartient à l'ensemble -$\{±\sqrt{-1},±1±\sqrt{-1}\}$. +Puisque $(1+√{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$, +il en est de même de $√{-1}$ compte tenu du fait que +$2^{-[m/2]}(1+√{-1})^m$ appartient à l'ensemble +$\{±√{-1},±1±√{-1}\}$. \end{itemize} \end{démo} @@ -716,7 +716,7 @@ conditions suivantes sont satisfaites : \begin{itemize} \item [si $ℓ≠2$ :] $x^ℓ$ appartient à $G_n$ ; \item [si $ℓ=2$ :] $x²$ appartient à $G_n$ et, d'autre part, soit -$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_n$. +$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $√{-1}$ n'appartient pas à $k_n$. \end{itemize} \end{itemize} Les énoncés $C₀$ et $D₀$ sont trivialement vrais. Supposons donc $n>0$. @@ -776,35 +776,35 @@ $x²$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ \{0,1\}$ et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x²=g_n^s h$. \begin{itemize} \item[Cas $s=0$.] Même démonstration que ci-dessus. Observer -que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient -pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient +que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient +pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$). % changer l'étude de cas. \item[Cas $s=1$.] Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà que $N(g_n)=-g_{n}²$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est $X²-g_n²$, de degré pair. L'égalité $x²=g_n h$ devient donc $N(x)²=-g_n² h²$ par application -de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))\sqrt{-1}$. +de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))√{-1}$. Les deux éléments $h,N(x)$ appartenant à $k_{n-1}$ et $g_n$ à $k_n-k_{n-1}$, -il en résulte que $\sqrt{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence, -l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $\sqrt{-1}$. -On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ \sqrt{-1}$ +il en résulte que $√{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence, +l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $√{-1}$. +On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ √{-1}$ où $λ$ et $μ$ appartiennent à $k_{n-1}$. Par élévation au carré, -on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) \sqrt{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$ -appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ \sqrt{-1}$ (cf. \emph{supra}), +on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) √{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$ +appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ √{-1}$ (cf. \emph{supra}), on a $λ=± μ$, c'est-à-dire : \[ -x=λ(1±\sqrt{-1}). +x=λ(1±√{-1}). \] En élevant à la puissance quatrième, on obtient $x⁴=(-4) ⋅ λ ⁴$. Comme $x²$ appartient à $G_n$, son carré $x^4$ appartient à $G_{n-1}$, de même que $λ⁴$. (Rappelons que $-4 ∈ k^×=G₀$.) En appliquant l'hypothèse de récurrence $(D_{n-1})$ à l'élément $λ²$, -et en se souvenant que $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$, +et en se souvenant que $√{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$, on en déduit que $λ²$ appartient au groupe $G_{n-1}$. Une nouvelle application de l'hypothèse de récurrence montre que $λ$ appartient également -à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±\sqrt{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc -$1±\sqrt{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors -$\sqrt{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD. +à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±√{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc +$1±√{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors +$√{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD. \end{itemize} \end{itemize} \end{démo} @@ -2191,14 +2191,14 @@ correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$. cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que $K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps -$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les +$k(√[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent -à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$. -\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$ +à $W_{[q]}(k(√[℘]{f}))$. +\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(√[℘]{f}) \bo k$ est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$ avec égalité si et seulement si le premier coefficient de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre -part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré +part, $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt d'un élément quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$. \end{enumerate} @@ -2213,10 +2213,10 @@ posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$. (Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique -$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps +$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple) -et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ : -l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc +et d'autre part que le corps $k(√[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ : +l'extension $k(√[℘]{f})\bo k$ est donc algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}. Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant $σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation @@ -2225,7 +2225,7 @@ d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$. Il en résulte que $σ (g_ζ)=g_ζ ⊕ ζ_σ$ pour tout $ζ$ car $σ$ commute à l'addition dans les vecteurs de Witt tronqués et agit trivialement sur $W_{[q]}(𝐅_p)$. -Ainsi, $σ$ préserve $K=k(\sqrt[℘]{f})$, de sorte +Ainsi, $σ$ préserve $K=k(√[℘]{f})$, de sorte que l'extension $K \bo k$ est galoisienne, et $σ ∈ G=\Gal(K\bo k) ↦ ζ_σ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$ est une injection. D'après \ref{calcul W(Fp)}, @@ -2235,7 +2235,7 @@ Soit $f ′$ (resp. $g₀ ′$) l'image de $f$ (resp. $g₀$) dans $W_{[1]}(k) ($W_{[1]}(K) = K$) par la surjection canonique $W_{[q]} ↠W_{[1]}$. Le morphisme $℘$ commute à cette projection de sorte que $℘_{W_{[1]}}(g₀ ′)=f ′ $. Le corps $K$ contient donc le sous-corps -$K ′ =k(\sqrt[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part, +$K ′ =k(√[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part, l'action d'un élément $σ ∈ G$ sur $K ′$ se factorise à travers le quotient $W_{[q]}(𝐅_p) ↠ W_{[1]}(𝐅_p)=𝐅_p$ : la réduction de l'égalité $σ(g₀)= g₀ ⊕_{W_{[q]}(K)} ζ_σ$ diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex index de37610..6cb8fd6 100644 --- a/chapitres/brauer.tex +++ b/chapitres/brauer.tex @@ -56,7 +56,7 @@ AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension fi non nécessairement commutative, telle qu'il existe une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$ et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier -$\sqrt{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$ +$√{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$ et on dit que l'extension $K\bo k$ \emph{trivialise} $A$. \end{définition2} @@ -211,7 +211,7 @@ est de la forme $m ↦ xm-mx=[x,m]$ pour une matrice $x ∈ 𝐌_n(k)$ Ceci nous permettra de donner au chapitre \refext{descente}{} une description « cohomologique » des $K\bo k$-formes de $𝐌_n$ quand on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ séparable -mais de la forme $K=k(\sqrt[p]{a₁},…,\sqrt[p]{a_n})$ +mais de la forme $K=k(√[p]{a₁},…,√[p]{a_n})$ où $p>0$ est la caractéristique de $k$ et les $a_i$ appartiennent à $k$. (Une telle extension est dite « radicielle de hauteur $1$ », \refext{RT}{}.) @@ -716,7 +716,7 @@ Il résulte donc du lemme précédent qu'une algèbre de quaternions est une alg rang deux : quitte à extraire une racine carrée, elle devient triviale. Supposons pour fixer les idées que $a$ ne soit pas un carré et que $K$ soit de caractéristique différente de deux. Le corps -$K_a=K(\sqrt{a})$ est une extension étale quadratique de $K$ +$K_a=K(√{a})$ est une extension étale quadratique de $K$ et l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ définit donc un élément de $H¹(K_a \bo K,\PGL₂(K_a))$ que nous allons maintenant expliciter. Soit $φ: 𝐌_2(K_a) ⥲ \quater{a,b}{K}⊗_K K_a$ l'inverse de l'isomorphisme @@ -765,7 +765,7 @@ la proposition suivante. Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments non nuls. Si $a$ n'est pas un carré, l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ est triviale, c'est-à-dire $K$-isomorphe à l'algèbre $𝐌₂(K)$ des matrices $2×2$, -si et seulement si $b∈\N_{K(\sqrt{a})\bo K}\left(K(\sqrt{a})\right)$. +si et seulement si $b∈\N_{K(√{a})\bo K}\left(K(√{a})\right)$. \end{proposition2} On renvoie le lecteur à \cite[2.2]{seisuuron@Saito} pour une démonstration plus @@ -778,7 +778,7 @@ sont triviales. \end{corollaire2} \begin{démo} -En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y\sqrt{a} ∈ K_a=K(\sqrt{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$ +En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y√{a} ∈ K_a=K(√{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$ de sorte que $-a$ et $1-a$ appartiennent à $\N_a(K_a)$. \end{démo} @@ -835,7 +835,7 @@ sur $1$. \begin{corollaire2}\label{produit tensoriel algèbres quaternions} Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b,b ′$ trois éléments -non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(\sqrt{a})\bo K)$, on a +non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(√{a})\bo K)$, on a l'égalité : \[ [\quater{a,b}{K}] ⋅ [\quater{a,b ′}{K}]=[\quater{a,b b ′}{K}]. @@ -873,13 +873,13 @@ Nous allons donner ici une démonstration \emph{ad hoc} de ce fait dans le cas particulier qui nous occupe ; un énoncé général sera donné en \ref{H2mun=Brn}. Supposons que $b²$ n'appartient pas à $K_a$ sans quoi il n'y a rien à démontrer (cf. \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales}). -L'extension $K_{a,b}=K(\sqrt{a},\sqrt{b})$ de $K$ est alors galoisienne +L'extension $K_{a,b}=K(√{a},√{b})$ de $K$ est alors galoisienne de groupe $Π_{a,b}$ isomorphe au groupe de Klein\footnote{Cf. \ref{groupe de Klein et quaternions} \emph{infra} pour d'autres liens entre les quaternions et ce groupe.} $V₄=𝐙/2× 𝐙/2$. Nous notons $τ_a$ et $τ_b$ les générateurs définis -par les conditions $τ_a(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$ -(resp. $τ_b(\sqrt{b})=-\sqrt{b}$) et $τ_a(\sqrt{b})=\sqrt{b}$ (resp. -$τ_b(\sqrt{a})=\sqrt{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$. +par les conditions $τ_a(√{a})=-√{a}$ +(resp. $τ_b(√{b})=-√{b}$) et $τ_a(√{b})=√{b}$ (resp. +$τ_b(√{a})=√{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$. Notons également $c ′_{a,b}$ le $2$-cocycle de $Π_{a,b}$ à valeurs dans $K_{a,b}^×$ déduit de $c_{a,b}$ par composition avec la surjection canonique $Π_{a,b} ↠ Π_a$. @@ -910,8 +910,8 @@ ne dépend pas du choix des représentants $γ₁$ et $γ₂$. Reprenons les notations de \ref{notations quaternions=H2mu2} et posons de plus $μ₂=\{±1\}$. Notons $(a) ∈ H¹(Π_{a,b}, μ₂)=\Hom(Π_{a,b}, μ₂)$ -(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}$ -(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$). +(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(√{a})}{√{a}}$ +(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(√{b})}{√{b}}$). Le $2$-cocycle $c^∪_{a,b}$ n'est autre que le produit $(a) ∪ (b)$. \begin{lemme2}\label{quaternions=H2mu2} @@ -928,7 +928,7 @@ une fonction $λ: Π_{a,b} → K_{a,b}^×$ telle $c ′_{a,b}(σ,τ)=λ_σ ⋅ { Écrivons pour simplifier $λ_a$ pour $λ_{τ_a}$, $\N_a$ pour $\tiret ⋅ {^{τ_a} (\tiret)}$, etc. On vérifie immédiatement en les écrivant que ces seize équations se réécrivent : $λ_1=1$, $\N_a(λ_a)=b$, $\N_b(λ_b)=1$, $λ_c=-λ_a ⋅ {^{τ_a} λ_b}=λ_b ⋅ {^{τ_b} λ_a}$. -Il suffit de poser $λ_a=\sqrt{b}$ et $λ_b=1$. +Il suffit de poser $λ_a=√{b}$ et $λ_b=1$. \end{démo} \begin{exercice2} diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index b246206..4b26512 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -668,16 +668,16 @@ Donnons une application « numérique » de la proposition et du corollaire précédents. \subsubsection{Exemple numérique}\label{exemple somme algébriques=algébrique}Soient -$\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$ +$√{3}$ et $√[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$ et $T³-2$ respectivement. Ces polynômes de petit degré étant sans racine dans $𝐐$, -ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(\sqrt{3}):𝐐]=2$ -et $[𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$ -engendrés par ces racines : $K=𝐐(\sqrt{3})$ et $L=K(\sqrt[3]{2})$. -Comme $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans +ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(√{3}):𝐐]=2$ +et $[𝐐(√[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$ +engendrés par ces racines : $K=𝐐(√{3})$ et $L=K(√[3]{2})$. +Comme $√[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans $K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité \ssi $T³-2$ est irréductible dans $K$. De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients -rationnels en $\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$, par exemple $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$, +rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$, appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme. @@ -703,20 +703,20 @@ $$ On vérifie par le calcul que son polynôme caractéristique $\det\big(T\Id_V-(x+y)\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$. -Par construction, $\sqrt{3}$ (resp. $\sqrt[3]{2}$) est une valeur +Par construction, $√{3}$ (resp. $√[3]{2}$) est une valeur propre de $x$ (resp. $y$). Ces endomorphismes commutent, de sorte qu'ils sont codiagonalisables sur $𝐂$. La somme -$α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme +$α=√{3}+√[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme somme $x+y$, et est donc une racine du polynôme ci-dessus. La réduction modulo $7$ de ce polynôme étant irréductible (cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}), il est irréductible sur $𝐐$. -Il en résulte que $[𝐐(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(\sqrt{3}):𝐐][𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général +Il en résulte que $[𝐐(√{3}+√[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(√{3}):𝐐][𝐐(√[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général en ce sens, cf. \ref{application-de-Galois-deg(x+y)=produit-si-premiers-entre-eux}.) De la même façon, on vérifie par le calcul que -$\sqrt{3}\sqrt[3]{2}$, ou plus généralement -tout élément de $𝐐[\sqrt{3},\sqrt[3]{2}]=\{P(\sqrt{3},\sqrt[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$, +$√{3}√[3]{2}$, ou plus généralement +tout élément de $𝐐[√{3},√[3]{2}]=\{P(√{3},√[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$, est algébrique sur $𝐐$. @@ -833,12 +833,12 @@ u(λ)u'(λ')$ est un idéal \emph{premier}, car $E$ est intègre, mais non nécessairement maximal. Cela est lié au fait que l'image de $u\star u'$ n'est \emph{a priori} qu'une sous-$k$-\emph{algèbre} (cf. \ref{extension-composee=corps-engendre}). \item Deux extensions composées ne sont pas nécessairement isomorphes. -Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2}]⊂𝐂$ de degré +Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[√[3]{2}]⊂𝐂$ de degré $3$ de $𝐐$, l'anneau $K⊗_𝐐 K$ se surjecte sur $K$, par l'application évidente $λ⊗μ\mapsto λμ$, -mais aussi sur l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par -l'application envoyant $\sqrt[3]{2}⊗1$ sur $\sqrt[3]{2}$ et -$1⊗\sqrt[3]{2}$ sur $j\sqrt[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice +mais aussi sur l'extension $𝐐[√[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par +l'application envoyant $√[3]{2}⊗1$ sur $√[3]{2}$ et +$1⊗√[3]{2}$ sur $j√[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice \ref{non unicite composition} ci-dessous.) En particulier, la notation $K K'$ pour une extension composée de $K\bo k$ et $K'\bo k$ n'est raisonnable que si l'on s'est auparavant @@ -2625,8 +2625,8 @@ toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les autres racines sont des nombres complexes de module strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle \[ -\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+ -\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960 +√[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}+ +√[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960 \] (cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit nombre de Pisot.}. diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex index 8cfeef3..4b62ba2 100644 --- a/chapitres/verselles.tex +++ b/chapitres/verselles.tex @@ -369,20 +369,20 @@ sur $k$. On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $x²=:ε∈k$ et $y²=a+bx∈k₂$, $a,b∈k$. Réciproquement, considérons $ε∈k∖k²$ et -$k₂=k(\sqrt{ε})$ +$k₂=k(√{ε})$ l'extension quadratique de $k$ associée. À toute paire d'éléments $(a,b)$ de $k$, on associe le corps -$k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$. +$k₄=k₂(√{a+b√{ε}})$. \begin{théorème2} \begin{enumerate} \item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique -d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est +d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b√{ε})=a²-εb²$ est de la forme $εc²$ pour un $c∈k^×$. -\item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge +\item Une extension quadratique $k(√{ε})$ se plonge dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre quatre \ssi $ε$ est une somme de deux carrés dans $k$. @@ -402,7 +402,7 @@ du polynôme X⁴+2aX²+(a²-εb²). \] Nécessairement $b≠0$ sans quoi $k₄$ serait -$k(\sqrt{ε},\sqrt{a})$, +$k(√{ε},√{a})$, dont le groupe de Galois sur $k$ est de $2$-torsion. Ainsi, l'égalité $y²=a+bx$ entraîne $x∈k(y)$ : le corps $k₄$ est @@ -455,16 +455,16 @@ soit pas un carré et $u∈k$ est non nul. \begin{démo} Soient $t∈k$ tel que $ε=1+t²$ ne soit pas un carré. -Considérons $y=ε+\sqrt{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$ -de sorte que l'extension $k(\sqrt{y})\bo k$ est +Considérons $y=ε+√{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$ +de sorte que l'extension $k(√{y})\bo k$ est galoisienne, cyclique de degré quatre. Il en est plus généralement -de même de l'extension $k(\sqrt{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$ +de même de l'extension $k(√{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$ car $\N(uy)=u²\N(y)$. Réciproquement, il résulte de la proposition suivante -que toutes les extensions de $k(\sqrt{ε})$ de groupe $𝐙/4$ +que toutes les extensions de $k(√{ε})$ de groupe $𝐙/4$ sur $k$ s'obtiennent ainsi. -L'élément $y=\sqrt{u(ε+\sqrt{ε})}$ satisfait l'équation +L'élément $y=√{u(ε+√{ε})}$ satisfait l'équation $(y^2-uε)²=u²ε$ ; son polynôme minimal est donc celui de l'énoncé. \end{démo} @@ -478,10 +478,10 @@ Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ : 1 → 𝐙/2 → E → G → 1, \] où $E ↠ G$ n'a pas de section. -Soient $L₁=K(\sqrt{y₁})\bo K$ et $L₂=K(\sqrt{y₂})\bo K$ +Soient $L₁=K(√{y₁})\bo K$ et $L₂=K(√{y₂})\bo K$ deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$ soient galoisiennes de groupe isomorphe à $E$. -Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(\sqrt{λ y₁})$. +Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(√{λ y₁})$. \end{proposition2} \begin{démo} @@ -497,13 +497,13 @@ Soit $τ₁ ∈ E×_G E$ (resp. $τ₂$) le générateur du sous-groupe d'ordre deux $1× 𝐙/2$ (resp. $𝐙/2×1$) de sorte que $L_i=\Fix_{⟨τ_i⟩}(M)$. Soit $Δ:E → E×_G E$ le morphisme diagonal et $k′=\Fix_{Δ(E)}(M)$. C'est une extension quadratique de $k$, car -$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(\sqrt{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$. -Posons $L₁′=K(\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale -de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(\sqrt{λ})=Kk ′$ +$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(√{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$. +Posons $L₁′=K(√{\vphantom{y₁}λ}√{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale +de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(√{λ})=Kk ′$ et $E → G$ serait alors scindée (cf. \emph{loc. cit.}). D'autre part $k ′$ n'est pas contenu dans $L₁$ ni $L₂$ car $Δ(E)$ ne contient -ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $\sqrt{λ} ↦ -\sqrt{λ}$. -Comme il agit de même sur $\sqrt{y₁}$, il fixe $\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$ +ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $√{λ} ↦ -√{λ}$. +Comme il agit de même sur $√{y₁}$, il fixe $√{\vphantom{y₁}λ}√{\vphantom{λ}y₁})$ donc $L₁′$. Par la théorie de Galois, les corps $L₂$ et $L₁ ′$ coïncident. CQFD. \end{démo} @@ -546,19 +546,19 @@ sur $k$. On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $℘(x):=x²+x=ε∈k$ et $℘(y)=a+bx∈k₂$. Réciproquement, considérons $ε∈k∖℘(k)$ et -$k₂=k(\sqrt[℘]{ε})$ l'extension +$k₂=k(√[℘]{ε})$ l'extension quadratique de $k$ associée. À toute paire d'éléments $(a,b)$ de $k$, -on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$. +on associe le corps $k₄=k₂(√[℘]{a+b√[℘]{ε}})$. \begin{théorème2} \begin{enumerate} \item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique -d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est +d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b√[℘]{ε})=b$ est de la forme $ε+℘(c)$ pour un $c∈k$. -\item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge +\item Une extension quadratique $k(√[℘]{ε})$ se plonge toujours dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre quatre. @@ -573,7 +573,7 @@ quatre. (i) Supposons $k₄\bo k$ galoisienne de groupe isomorphe à $C₄$. Soient $x$ et $y$ comme ci-dessus. Nécessairement $b≠0$ -sans quoi $k₄$ serait $k(\sqrt[℘]{ε},\sqrt[℘]{a})$ dont le +sans quoi $k₄$ serait $k(√[℘]{ε},√[℘]{a})$ dont le groupe de Galois sur $k$ est de $2$-torsion. L'élément $y$ est racine du polynôme @@ -586,7 +586,7 @@ obtenu en écrivant \] L'égalité $y²+y=x$ montre que $x∈k(y)$ si bien que $k₄$ est un corps de rupture du polynôme ci-dessus. -Le conjugué de $x=\sqrt[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués +Le conjugué de $x=√[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués de $y$ sont donc $y,y+1,y'$ et $y'+1$ où $℘(y')=x+1$. Soit $σ∈\Gal(k₄\bo k)$ tel que $σ(y)=y'$. On a alors nécessairement @@ -707,7 +707,7 @@ extension de $V₄$ par $\{±1\}$ — est rappelée en \refext{Azu}{quaternions est noté $Q₈$. \begin{corollaire2} -Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(\sqrt{a})\bo k$ se plonge +Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(√{a})\bo k$ se plonge dans une extension quaternionique, l'élément $a$ est une somme de trois carrés dans $k$. \end{corollaire2} @@ -733,16 +733,16 @@ P=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1/6\\ -1 & 1 & -1/6 \\ 0 & 1 & 1/3 nous permet de retrouver, pour $λ=6$, l'extension de $𝐐$ construite par Dedekind (\cite{}) : \[ -𝐐(\sqrt{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}})=𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})}). +𝐐(√{6+3√{2}+2√{3}+2√{6}})=𝐐(√{(2+√{2})(3+√{6})}). \] En effet, il résulte de \refext{Azu}{norme spinorielle} -que l'on a dans $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×/{𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×}²$ l'égalité +que l'on a dans $𝐐(√{2},√{3})^×/{𝐐(√{2},√{3})^×}²$ l'égalité \[ -\NSpin\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)+1 -=1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+\sqrt{6}/3.\] +\NSpin\big(P⋅\diag(1/√{2},1/√{3},√{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/√{2},1/√{3},√{6})\big)+1 +=1+1/√{2}+1/√{3}+√{6}/3.\] -Le fait que $𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$ coïncide -avec le corps $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$, \emph{a +Le fait que $𝐐(√{(2+√{2})(3+√{6})})$ coïncide +avec le corps $𝐐(√{2},√{3},√{(2+√{2})(3+√{6})})$, \emph{a priori} plus gros, est un fait général, expliqué à la fin de la démonstration de l'implication (i)⇒(ii). \end{exemple2} @@ -869,7 +869,7 @@ Ceci achève la démonstration de l'implication (ii)⇒(i). Pour conclure il nous faut comprendre quelles sont les classes $x$ dans $k_{V₄}^×/{k_{V₄}^×}²$ telles -que $k_{V₄}(\sqrt{x})$ soit quaternionique sur $k$. +que $k_{V₄}(√{x})$ soit quaternionique sur $k$. Il résulte de la démonstration précédente que si $P$ est comme dans l'énoncé, la classe $\NSpin(m_P)=\NSpin(m_P^{-1})$ convient. Ce n'est autre que la classe de l'énoncé, pour $λ=1$. @@ -1017,7 +1017,7 @@ Le lemme \ref{décomposition classe quaternionique} donne donc une décomposition de $∂[k_{V₄}]$ en produits de $1$-cocycles. Il nous faut comprendre quelle est l'image de $[\pr_\i],[\pr_\j] ∈ H¹(V₄,𝐅₂)$ dans $H¹(Π_k,𝐅₂)$ par $[k_{V₄}]:Π_k → V₄$. Rappelons (\ref{notations Witt non 2}) que si -$k_{V₄}=k(\sqrt{b_\i},\sqrt{b_\j},\sqrt{b_\k})$, +$k_{V₄}=k(√{b_\i},√{b_\j},√{b_\k})$, où les $b_μ$ sont comme en \ref{notations Witt non 2}, on note $σ_\i$ l'unique $k$-automorphisme non trivial de $k_{V₄}$ tel que $σ_\i(b_\i)=b_\i$ ; on a alors nécessairement $σ_\i(b_\j)=-b_\j$ @@ -1040,7 +1040,7 @@ l'unique caractère tel que pour tout $σ ∈ Π_k$ et tout choix d'une racine carrée de $a$ dans $k\sep$, on ait \[ -\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}=(-1)^{(a)(σ)}. +\frac{σ(√{a})}{√{a}}=(-1)^{(a)(σ)}. \] diff --git a/configuration/ucs_manquants.tex b/configuration/ucs_manquants.tex index 85a4e7d..a6abf24 100644 --- a/configuration/ucs_manquants.tex +++ b/configuration/ucs_manquants.tex @@ -36,6 +36,7 @@ \uc@dclc{8674}{default}{\ensuremath{\dashrightarrow}}% \uc@dclc{8694}{default}{\ensuremath{\overrightarrow{\rightrightarrows}}}% \uc@dclc{8718}{default}{$\blacksquare$}% +\uc@dclc{8730}{default}{\sqrt}% \uc@dclc{8788}{default}{\ensuremath{:=}}% \uc@dclc{8845}{default}{\ensuremath{\cupdot}}% \uc@dclc{9480}{default}{\ensuremath{\cdots}}% |