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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-15 17:17:25 +0100 |
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[Gröbner] Élimination des hypothèses de perfection (début).
-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 133 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 968275d..bf2c0c8 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1115,6 +1115,21 @@ combinaison $\QQ[x,y]$-linéaire de ceux-ci. caractériser les idéaux $I$ tels qu'aucun sous-ensemble strict de la base de Gröbner réduite $B$ de $I$ n'engendre $I$ ? +\begin{proposition2}\label{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps} +Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $B$ une base de Gröbner +(resp. la base de Gröbner réduite) de $I$. Alors, pour n'importe +quelle extension de corps $K$ de $k$, l'idéal $I \cdot +K[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet +encore $B$ pour base de Gröbner (resp. base de Gröbner réduite). +\end{proposition2} +\begin{remarque2} +Il est clair que $B$ engendre $I \cdot K[Z_1,\ldots,Z_d]$ dans +$K[Z_1,\ldots,Z_d]$. Comme le critère de +Buchberger \ref{critere-de-buchberger} ne dépend pas du corps utilisé, +il s'agit encore d'une base de Gröbner, et de même elle est réduite +car cette condition ne dépend pas du corps utilisé. +\end{remarque2} + % \subsection{Algorithmes fondamentaux} @@ -1192,12 +1207,13 @@ possibles entre les $t$ variables restantes. (En admettant certains résultats de géométrie algébrique notamment le Nullstellensatz \XXX, lorsque $k$ est algébriquement clos, l'ensemble $\mathscr{Z}(J)$ des $t$-uplets $(z_1,\ldots,z_t)$ vérifiant les équations en question est -simplement la \emph{projection} sur les $t$ premières coordonnées de -l'ensemble $\mathscr{Z}(I)$ des $d$-uplets $(z_1,\ldots,z_d)$ -vérifiant $f_i(z_1,\ldots,z_d)=0$.) Ce problème de trouver des -générateurs de $J$ est le problème fondamental de la théorie de -l'élimination. Les bases de Gröbner fournissent un algorithme -permettant de le résoudre : +simplement l'adhérence pour la topologie de Zariski (c'est-à-dire le +plus petit $\mathscr{Z}(J)$ possible la contenant) de la projection +sur les $t$ premières coordonnées de l'ensemble $\mathscr{Z}(I)$ des +$d$-uplets $(z_1,\ldots,z_d)$ vérifiant $f_i(z_1,\ldots,z_d)=0$.) Ce +problème de trouver des générateurs de $J$ est le problème fondamental +de la théorie de l'élimination. Les bases de Gröbner fournissent un +algorithme permettant de le résoudre : \begin{proposition2}\label{base-de-groebner-elimination} Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I @@ -1253,6 +1269,17 @@ degré total en les seules variables $Z_1,\ldots,Z_t$ comme premier critère de comparaison, et en cas d'égalité comparer avec $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.) +\begin{corollaire2}\label{projection-et-extensions-de-corps} +Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I +\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors, pour n'importe quelle extension de +corps $K$ de $k$, on a $J \cdot K[Z_1,\ldots,Z_t] = (I \cdot +K[Z_1,\ldots,Z_d]) \cap K[Z_1,\ldots,Z_t]$. +\end{corollaire2} +\begin{proof} +C'est une conséquence immédiate de la proposition précédente et +de \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}. +\end{proof} + \section{Idéaux de dimension $0$} @@ -1484,17 +1511,31 @@ soit $n \in \NN$), autrement dit lorsque le quotient $A/J$ est réduit. Soit maintenant $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Si $I$ est à la fois radical et de dimension $0$, autrement dit si $A/I$ est réduit et artinien, d'après \refext{Spec}{artinien réduit=produit corps}, cet anneau est -un produit de corps, à savoir les $A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$ -parcourt les idéaux maximaux de $A$ contenant $I$, qui sont en nombre -fini et dont $I$ est l'intersection (\XXX). +un produit de corps (extensions finies de $k$), à savoir les +$A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$ parcourt les idéaux maximaux de $A$ +contenant $I$, qui sont en nombre fini et dont $I$ est +l'intersection (\XXX). + +Dans cette situation ($I$ un idéal de dimension $0$ de $A = +k[Z_1,\ldots,Z_d]$), on dira que $I$ est \emph{géométriquement + radical} lorsque $I$ est encore radical après passage à la clôture +algébrique $k'$ de $k$, c'est-à-dire que $I \cdot k'[Z_1,\ldots,Z_d]$ +est radical ; cela revient à demander la même chose pour $k'$ la +clôture parfaite de $k$ (\XXX). Cela équivaut à dire que $A/I$ est un +produit de corps qui soient des extensions (finies) \emph{séparables} +de $k$. On dit aussi que $A/I$ est \emph{géométriquement réduite}. \begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg]\label{critere-seidenberg-ideal-radical} Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (où $k$ est un corps) tel que, pour chaque $1\leq j\leq d$, l'idéal $I$ contienne un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne faisant intervenir que de la -variable $Z_j$) \emph{séparable}. Alors $I$ est radical. +variable $Z_j$) \emph{séparable}. Alors $I$ est géométriquement radical. \end{proposition2} \begin{proof} +Puisque l'hypothèse effectuée reste vérifiée si on remplace $k$ par sa +clôture algébrique (ou parfaite), il nous suffit de montrer que $I$ +est radical. + On va montrer que $I$ est intersection finie d'idéaux maximaux. On procède par récurrence sur $d$. Si $d=1$, comme tout diviseur d'un @@ -1529,18 +1570,13 @@ $\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_i)$, et comme $k[Z_1,\ldots,Z_d] / (puisque $\varphi$ est surjectif), ces idéaux sont maximaux. \end{proof} -\begin{remarque2}\label{remarque-separabilite-dans-critere-de-seidenberg} -En fait, on a prouvé que $I$ était \emph{géométriquement} radical, -c'est-à-dire qu'il est radical après passage à la clôture algébrique, -puisque l'hypothèse demeure vérifiée après ce passage. -\end{remarque2} - \begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite} Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire \emph{séparable}. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors -celle-ci est réduite (l'idéal $I$ est radical). +celle-ci est géométriquement réduite (l'idéal $I$ est géométriquement +radical). \end{proposition2} \begin{proof} La proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} et @@ -1562,53 +1598,72 @@ Galois, à rapprocher de \XXX. \end{remarque2} La réciproque de \ref{critere-seidenberg-ideal-radical} est également -vraie, modulo la -remarque \ref{remarque-separabilite-dans-critere-de-seidenberg} : +vraie : \begin{proposition2}\label{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque} -Soit $k$ un corps parfait, et soit $I$ un idéal radical de -dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors pour tout $1\leq j\leq -d$, l'idéal $I$ contient un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne faisant -intervenir que de la variable $Z_j$) séparable, autrement dit $I \cap -k[Z_j]$ est lui-même radical (i.e., engendré par un polynôme -séparable). +Soit $k$ un corps, et soit $I$ un idéal de dimension $0$ et +géométriquement radical de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors pour tout +$1\leq j\leq d$, l'idéal $I$ contient un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne +faisant intervenir que de la variable $Z_j$) séparable, autrement dit +$I \cap k[Z_j]$ est lui-même géométriquement radical (i.e., engendré +par un polynôme séparable). \end{proposition2} \begin{proof} Sans perte de généralité on peut supposer $j=1$. -D'après \ref{projection-de-dimension-0}, il existe un polynôme non nul -dans $I \cap k[Z_1]$. Si $g$ est sa partie sans facteur carré (i.e., -le produit de ses facteurs irréductibles distincts), alors $g^N \in I$ -pour $N$ assez grand, donc $g \in I$ puisque $I$ est radical. Comme -$k$ est parfait, $g$ est séparable. +D'après \ref{projection-de-dimension-0}, il existe un polynôme $g$ non +nul qui engendre $I \cap k[Z_1]$. + +Traitons d'abord le cas où $k$ est supposé \emph{parfait}. Si $g_1$ +est la partie sans facteur carré de $g$ (i.e., le produit de ses +facteurs irréductibles distincts), alors $g_1^N$ est multiple de $g$ +pour $N$ assez grand, donc $g_1^N \in I$, donc $g_1 \in I$ puisque $I$ +est radical. Ceci montre $g_1 \in I \cap k[Z_1]$, et comme $g$ était +censé engendrer $I \cap k[Z_1]$, on a $g = g_1$ sans facteur carré. +Comme $k$ était supposé parfait, $g$ est séparable. + +Si maintenant $k$ n'est plus supposé parfait, soit $k'$ sa clôture +algébrique ou sa clôture parfaite. +D'après \ref{projection-et-extensions-de-corps}, on a $(I\cdot +k'[Z_1,\ldots,Z_d]) \cap k'[Z_1] = (I\cap k[Z_1]) \cdot k'[Z_1]$. +Comme $I\cdot k'[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical (puisque $I$ est supposé +géométriquement radical), l'idéal $(I\cap k[Z_1]) \cdot k'[Z_1]$ est +donc radical, mais cet idéal vaut $g\cdot k'[Z_1]$ : donc $g$ est +séparable (dans $k'[Z_1]$ ou dans $k[Z_1]$, cela revient au même). \end{proof} -De façon plus concise, sur un corps parfait, un idéal de dimension $0$ -de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical si et seulement si tous ses idéaux -d'élimination à une seule variable le sont. +De façon plus concise, un idéal de dimension $0$ de +$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est géométriquement radical si et seulement si +tous ses idéaux d'élimination à une seule variable le sont. Ceci nous permet de donner une conséquence algorithmique : \begin{algorithme2}\label{algorithme-test-ideal-radical-dimension-0} Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de -$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait, on peut tester si $I$ est -radical, ou, s'il ne l'est pas, calculer son radical. +$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, on peut tester si $I$ est géométriquement +radical. De plus, si $k$ est parfait, on peut calculer le radical +de $I$. \end{algorithme2} \begin{proof}[Description de l'algorithme] Pour chaque $j$, utiliser \ref{base-de-groebner-elimination} pour calculer le générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ (c'est-à-dire une base de Gröbner réduite de cet idéal), et tester si ce générateur est -séparable. S'ils le sont tous, alors $I$ est radical, sinon, il ne -l'est pas. +séparable. S'ils le sont tous, alors $I$ est géométriquement radical, +sinon, il ne l'est pas. -Dans le cas où $I$ n'est pas radical, si $g_j$ désigne la partie sans +Dans le cas où $k$ est parfait, si $g_j$ désigne la partie sans facteur carré du générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ (qu'on peut calculer en évaluant de façon répétée des pgcd avec la dérivée \XXX), le radical de $I$ est l'idéal engendré par $I$ et tous les $g_j$. \end{proof} \begin{proof} +Le premier paragraphe ne fait que reformuler +\ref{critere-seidenberg-ideal-radical} et +\ref{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}. + Seule l'affirmation contenue dans le dernier paragraphe nécessite encore une démonstration. Chacun des $g_j$ est contenu dans le radical de $I$ (puisque $g_j^N$ pour $N$ assez grand). Si $J$ désigne l'idéal engendré par $I$ et tous les $g_j$, alors $J$ est radical -d'après \ref{critere-seidenberg-ideal-radical}, contient $I$, et est +d'après \ref{critere-seidenberg-ideal-radical} (puisque les $g_j$ sont +séparables, $k$ étant parfait) ; de plus $J$ contient $I$, et est contenu dans le radical de $I$. Il résulte que $J$ est le radical de $I$ (ce dernier étant le plus petit idéal radical contenant $I$). \end{proof} |