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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 19:42:55 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 19:42:55 (GMT)
commit43103ad27581aa0cb7f75b728c8db6bc298bf7dd (patch)
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Transformation en LuaTeX: bases-groebner.tex, conversion des tirets.
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex64
-rw-r--r--chapitres/categories.tex24
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex20
-rw-r--r--config/macros.tex1
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 49be8ee..869468d 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1,38 +1,20 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
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-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{tikz}
-%\usetikzlibrary{matrix,arrows}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Bases de Gröbner et applications}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{calculs-galois}
-
-\synctex=1
-
-\title{Bases de Gr\"{o}bner et applications}
-
\begin{document}
\maketitle
-\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Bases de Gröbner et applications}
\fi
-\newcommand{\initial}{\mathop{\mathrm{in}}}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathrm}{in}
\section{Bases de Gröbner}
@@ -386,7 +368,7 @@ Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum
\ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ pour le \emph{plus petit} $i$ tel que
$\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, cet ordre trie en premier lieu
par degré total puis, en cas d'égalité, classe en premier les monômes
-ayant le plus grand degré dans la plus petite variable --- et non pas
+ayant le plus grand degré dans la plus petite variable — et non pas
comme le fait l'ordre lexicographique le plus petit degré dans la plus
grande variable. (Comme dans les cas précédents, cette définition est
faite relativement à l'ordre convenu sur les variables, et plus
@@ -479,7 +461,7 @@ coordonnées entières). On va poser $s \preceq s'$, avec $s =
Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et $s' = Z_1^{\ell'_1} \cdots
Z_d^{\ell'_d}$, lorsque $\lambda^{(j)}(\ell' - \ell) > 0$ pour le plus
petit $j$ tel que $\lambda^{(j)}(\ell' - \ell) \neq 0$ (en considérant
-$\ell$ et $\ell'$ comme des éléments de $\NN^d \subseteq \RR^d$) ---
+$\ell$ et $\ell'$ comme des éléments de $\NN^d \subseteq \RR^d$) —
autrement dit, on utilise successivement les formes linéaires
$\lambda^{(j)}$ pour comparer les vecteurs d'exposants, en donnant le
poids le plus fort aux premières. Cette définition conduit bien à un
@@ -583,7 +565,7 @@ Tout idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet une base de Gröbner (finie).
\begin{proof}
La propriété noethérienne assure que parmi les $\initial(f)$ pour
$f\in I$, qui par définition engendrent $\initial(I)$, on peut
-extraire un ensemble fini engendrant $\initial(I)$ --- il s'agit d'une
+extraire un ensemble fini engendrant $\initial(I)$ — il s'agit d'une
base de Gröbner de $I$.
\end{proof}
@@ -824,7 +806,7 @@ s_j/\pgcd(s_i,s_j) = \nu \sigma^{(i,j)}_i$.) Si on définit $\tilde
g_u$ par $\tilde g_u = g_u - b_i \nu \sigma^{(i,j)}_u$, alors $\tilde
g_i = 0$ et $\tilde g_u = g_u$ si $u\neq i,j$ : donc la relation
$(\tilde g_1,\ldots,\tilde g_r)$ a strictement moins de termes non
-nuls que $(g_1,\ldots,g_r)$ --- une récurrence évidente permet de
+nuls que $(g_1,\ldots,g_r)$ — une récurrence évidente permet de
conclure.
\end{proof}
@@ -1010,7 +992,7 @@ initial de $p_2 f_1 - p_1 f_2$ est celui de $p_1 f_2$, et l'écriture
$p_2 f_1 - p_1 f_2$ est une écriture standard (avec reste nul) au sens
de \ref{algorithme-division}, comme on le voulait.
-\XXX --- Cette démonstration est-elle bien complète ? Pourquoi
+\XXX — Cette démonstration est-elle bien complète ? Pourquoi
Eisenbud, dans la solution de l'exercice 15.20 (dernière phrase)
suggère-t-il de faire une sorte de récurrence ?
\end{proof}
@@ -1153,7 +1135,7 @@ continue d'engendrer le même idéal puisque $x^2$ s'exprime comme
combinaison $\QQ[x,y]$-linéaire de ceux-ci.
\end{remarque2}
-\XXX --- Question complètement gratuite, comme ça : peut-on
+\XXX — Question complètement gratuite, comme ça : peut-on
caractériser les idéaux $I$ tels qu'aucun sous-ensemble strict de la
base de Gröbner réduite $B$ de $I$ n'engendre $I$ ?
@@ -1218,8 +1200,8 @@ outre, d'écrire les coordonnées sur cette base de la classe modulo $I$
d'un polynôme $f$ quelconque.
Cette base n'est pas forcément finie ($k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ peut être
-de dimension finie ou non : en fait, il sera de dimension finie ---
-c'est-à-dire, artinien --- exactement lorsque $I$ sera « de
+de dimension finie ou non : en fait, il sera de dimension finie —
+c'est-à-dire, artinien — exactement lorsque $I$ sera « de
dimension $0$ » au sens de l'objet géométrique qu'il décrit), mais
même si elle est infinie, la base possède une description suffisamment
simple (il s'agit de $d$-uplets d'entiers naturels vérifiant une
@@ -1302,7 +1284,7 @@ et l'hypothèse faite sur $\preceq$ impose $f_i \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$,
c'est-à-dire $i\leq u$.
\end{proof}
-\XXX --- Eisenbud (proposition 15.29) prétend utiliser la
+\XXX — Eisenbud (proposition 15.29) prétend utiliser la
proposition \ref{inclusion-ideaux-et-egalite-ideaux-initiaux}
(lemme 15.5 chez lui). Je ne vois pas où ça sert : me suis-je trompé
dans cette démonstration ?
@@ -1328,7 +1310,7 @@ de \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}.
%
\subsection{Ajout d'une variable et calcul d'inverse}
-\XXX --- Il est tout pourri le titre de cette section !
+\XXX — Il est tout pourri le titre de cette section !
\begin{proposition2}\label{borne-degre-base-groebner-sur-une-variable-dominante}
Soit $\preceq$ un ordre monomial sur $k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tel que $Y$
@@ -1356,7 +1338,7 @@ terme initial est strictement inférieur à $\ppcm(\initial(h_i),
c'est le cas de $S(h_i,h_j)$.
\end{proof}
-\XXX --- Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas
+\XXX — Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas
la construction algorithmique.
\begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-inverse-algebre-de-type-fini}
@@ -1437,7 +1419,7 @@ Lorsque $I$ est l'idéal nul, la fonction de Hilbert-Samuel affine
de $I$ compte le nombre total de monômes de degré total $\leq\ell$
en $d$ variables, autrement dit, le nombre de $d$-uplets d'entiers
naturels de somme $\leq\ell$ : un raisonnement combinatoire classique
-(\XXX --- l'expliciter ?) montre que ce nombre vaut
+(\XXX — l'expliciter ?) montre que ce nombre vaut
$\frac{(\ell+d)!}{\ell!\,d!} =
\frac{1}{d!}\ell(\ell-1)\cdots(\ell-d+1)$, qui est un polynôme de
degré $d$ en $\ell$ et de terme dominant $\frac{1}{d!} \ell^d$.
@@ -1463,7 +1445,7 @@ et seulement si $I=0$, qui coïncide pour $\ell$ assez grand avec la
fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$.
\end{proposition2}
-\XXX --- Le prouver ?
+\XXX — Le prouver ?
\begin{definition2}\label{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Le polynôme (manifestement
@@ -1841,7 +1823,7 @@ Convenons de noter $e_i^{[d]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_d)$ et
$e_i^{[d-1]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_{d-1})$. On a $e_i^{[d]} =
e_i^{[d-1]} + Z_d e_{i-1}^{[d-1]}$ et $a_i = b_i - Z_d b_{i-1}$ : donc
$(e_i^{[d]} - (-1)^i a_i) = (e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i) + Z_d
-(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ --- ceci montre que les
+(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ — ceci montre que les
$e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i$ engendrent les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$ (la
relation $f(Z_d)$ sert lorsque $i=d$ pour annuler le terme $b_d$), et
réciproquement par récurrence que les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$
@@ -1852,7 +1834,7 @@ est elle-même, si on ne la trouve pas évidente, une réécriture de
l'égalité $\mathfrak{F}_1(Z_1,\ldots,Z_d|Z_d) = 0$ contenue dans le
lemme \ref{lemme-modules-de-cauchy}).
-\XXX --- Cette démonstration est complètement pourrie.
+\XXX — Cette démonstration est complètement pourrie.
\end{proof}
\begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines}
@@ -2429,7 +2411,7 @@ savoir s'il est premier en supposant qu'il est géométriquement
radical). Ce n'est pas un oubli : un tel algorithme n'existe pas, car
le problème est \emph{indécidable} au sens de Church-Turing.
-En effet, il existe (\XXX --- référencer Fröhlich \& Shepherdson
+En effet, il existe (\XXX — référencer Fröhlich \& Shepherdson
lemme 7.21 et th. 7.27) un corps $k$ de caractéristique $p>0$ tel
qu'on sache algorithmiquement factoriser les polynômes dans $k[X]$
mais que si $k' = k[Y]/(h)$ est une certaine extension algébrique
@@ -2481,7 +2463,7 @@ racines de $f$ dans $K$. Bref, $K$ est un corps extension de $k$ et
engendré au-dessus de $k$ par les $d$ racines du polynôme $f$ :
c'est-à-dire que c'est « le » corps de décomposition de $f$ sur $k$.
-Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX --- référence précise) le
+Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX — référence précise) le
groupe des automorphismes de $K$ au-dessus de $k$, il peut se voir
comme le groupe des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui laissent
l'idéal $J$ invariant ; connaissant une base de Gröbner de $J$, il est
@@ -2566,7 +2548,7 @@ dans le chapitre \refext{Radicaux}{} que prendre $P = \sum \zeta^{ij}
\xi_j$, où $\zeta$ est une racine $d$-ième de l'unité, peut s'avérer
intéressant.
-\XXX --- Tout ceci est assez vaseux.
+\XXX — Tout ceci est assez vaseux.
diff --git a/chapitres/categories.tex b/chapitres/categories.tex
index 9071c91..0fb6f36 100644
--- a/chapitres/categories.tex
+++ b/chapitres/categories.tex
@@ -296,7 +296,7 @@ diagramme commutatif, dans lequel intervient un objet terminal, le
remplacer par un autre (et composer les flèches en provenant ou y
aboutissant par l'unique isomorphisme entre les deux objets terminaux
en question) produira une affirmation également valable ou un
-diagramme également commutatif --- ce qui permet bien d'ignorer la
+diagramme également commutatif — ce qui permet bien d'ignorer la
différence entre les deux objets en question.
Ces remarques valent bien sûr également pour un objet initial ; mais,
@@ -723,7 +723,7 @@ F(X)&F(Y)\\G(X)&G(Y)\\};
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(z)$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
---- autrement dit, $G(z)\circ h(X) = h(Y)\circ F(z)$.
+— autrement dit, $G(z)\circ h(X) = h(Y)\circ F(z)$.
\end{definition2}
\begin{exemple2}
@@ -1189,8 +1189,8 @@ isomorphisme naturel (toujours d'après \ref{isomorphismes-naturels}).
\end{proof}
Cette démonstration prend plus de sens en remarquant que $G$ est, à
-isomorphisme près, uniquement déterminé par $F$ --- on dit qu'ils sont
-\emph{quasi-inverses} ---, et aussi que tout foncteur isomorphe à un
+isomorphisme près, uniquement déterminé par $F$ — on dit qu'ils sont
+\emph{quasi-inverses} —, et aussi que tout foncteur isomorphe à un
foncteur pleinement fidèle est lui-même pleinement fidèle.
On pourra désormais dire que deux catégories sont équivalentes quand
@@ -1227,7 +1227,7 @@ des ensembles est dit \emph{représentable} par un objet $X$
de $\categ{C}$ lorsqu'il existe un isomorphisme $h \colon
\Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$ (pour être plus précis, on
devrait dire que $F$ est représentable par l'objet $X$ et
-l'isomorphisme $h$ --- ou, comme on le verra
+l'isomorphisme $h$ — ou, comme on le verra
en \ref{foncteur-representable-element}, par l'élément $h(X)(\Id_X)
\in F(X)$). Un foncteur $F \colon \categ{C} \to \Ens$ covariant de
$\categ{C}$ vers les ensembles est dit représentable par un objet $X$
@@ -1435,7 +1435,7 @@ composition des flèches provenant de celle de $\categ{C}$) : avec
cette définition, un objet $X$ (ou plus exactement, une
donnée $(X,s)$) représentant $F$ est un objet initial de la catégorie
en question, et l'unicité qu'on vient d'affirmer n'est autre que
-l'unicité --- à isomorphisme unique près --- de l'objet universel.
+l'unicité — à isomorphisme unique près — de l'objet universel.
Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
justifie qu'on parle, dans ce cas de \emph{l}'objet représentant le
foncteur $F$. On peut évidemment faire les mêmes remarques pour la
@@ -1516,7 +1516,7 @@ terminal de base $P$.
La proposition \ref{unicite-objet-representant-foncteur} ou, compte
tenu de la description qu'on vient de faire de la limite comme un
objet terminal, l'unicité de l'objet terminal, permettent de dire que
-la limite --- comme toute solution de problème universel --- est
+la limite — comme toute solution de problème universel — est
unique à isomorphisme près, cet isomorphisme étant unique compte tenu
des contraintes imposées (en l'occurrence, les morphismes $P(i)$).
Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
@@ -2239,7 +2239,7 @@ Le paragraphe précédent prouve le « si » de la seconde affirmation
La proposition précédente se résume généralement par l'affirmation
(quelque peu elliptique) : $\yone(\prlim_{i\in \categ{I}} P(i)) =
-\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i))$ --- tout en retenant que,
+\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i))$ — tout en retenant que,
d'après \ref{limites-point-par-point}, on a aussi $(\prlim_{i\in
\categ{I}} \yone(P(i)))(T) = \prlim_{i\in \categ{I}}
(\yone(P(i))(T))$.
@@ -2455,8 +2455,8 @@ limites projectives. La raison de ce choix, qui permet de le retenir,
est qu'on souhaite obtenir des limites et colimites intéressantes
indicées par l'ensemble $\NN$ des entiers naturels, muni de son ordre
usuel (il s'agit donc que la catégorie par laquelle on indice ces
-limites et colimites --- puisqu'on a choisi de parler de limites et
-colimites pour des foncteurs covariants --- n'ait pas d'objet initial
+limites et colimites — puisqu'on a choisi de parler de limites et
+colimites pour des foncteurs covariants — n'ait pas d'objet initial
dans le cas des limites, et n'ait pas d'objet terminal dans le cas des
colimites ; ainsi, on doit inverser l'ordre dans un cas par rapport à
l'autre) ; dans tous les cas, on tâchera de rappeler la convention
@@ -2633,7 +2633,7 @@ spécifier la transformation naturelle $\theta$ on peut noter $F
\end{definition2}
Le corollaire \ref{yoneda-corollaire-isomorphismes} justifie qu'on
-parle parfois de \emph{l}'adjoint --- à gauche ou à droite --- d'un
+parle parfois de \emph{l}'adjoint — à gauche ou à droite — d'un
foncteur : par exemple, si $F$ et $F'$ sont deux adjoints à gauche
d'un même foncteur $G$, alors $\Hom(F\tiret,\tiret)$ et
$\Hom(F'\tiret,\tiret)$ sont isomorphes (tous deux étant isomorphes à
@@ -2861,7 +2861,7 @@ $(G\boxempty\varepsilon) \circ (\eta\boxempty G) = \Id_G$
(c'est-à-dire, pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$, que
$G(\varepsilon(Y)) \circ \eta(G(Y)) = \Id_{G(Y)}$) ; sous l'hypothèse
que $\eta$ est bien l'unité d'une adjonction $F\dashv G$, cette
-égalité caractérise la coünité $\varepsilon$ (\XXX --- mais
+égalité caractérise la coünité $\varepsilon$ (\XXX — mais
caractérise-t-elle l'unité si on sait que $\varepsilon$ est la coünité
d'une adjonction ?). On a aussi $(\varepsilon\boxempty F) \circ
(F\boxempty\eta) = \Id_F$, et sous l'hypothèse que $\varepsilon$ est
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 36eb5df..0156580 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -373,7 +373,7 @@ $\FF_q \subseteq
La seconde affirmation est alors claire : $\FF_q \cap \FF_{q'}$ est un
corps fini qui contient le corps fini à $p^{r_1}$ éléments si et
seulement si $r_1 | r$ et $r_1 | r'$, c'est-à-dire si et seulement si
-$r_1 | r_0$ où $r_0 = \pgcd(r,r')$ --- autrement dit, il s'agit
+$r_1 | r_0$ où $r_0 = \pgcd(r,r')$ — autrement dit, il s'agit
justement de $\FF_{q_0}$.
\end{proof}
@@ -435,7 +435,7 @@ corps de décomposition est $\FF_{q^r}$ où $r$ est le plus petit
commun multiple des degrés des facteurs irréductibles de $h$}.
De plus, on vient de voir que l'ordre de $\Frob_q$ agissant sur $x$
---- ou, par conséquent, sur $\FF_q(x)$ --- est exactement le degré $s$
+— ou, par conséquent, sur $\FF_q(x)$ — est exactement le degré $s$
de $x$ sur $\FF_q$. En utilisant le théorème de l'élément
primitif (\refext{Alg}{element-primitif}), on peut conclure que
$\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre exactement $r$ ; on
@@ -580,7 +580,7 @@ fixé), ce nombre vaut $\frac{1}{n} q^n + O(q^{n/2})$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
Pour ce qui est de la première affirmation, en notant $M(n)$ le nombre
---- qu'on cherche à calculer --- d'unitaires irréductibles de
+— qu'on cherche à calculer — d'unitaires irréductibles de
degré $n$ sur $\FF_q$, la formule d'inversion de Möbius montre qu'il
suffit de prouver $q^n = \sum_{d|n} d\,M(d)$ : or c'est justement la
deuxième affirmation de l'énoncé de la
@@ -590,7 +590,7 @@ Pour ce qui est de l'estimation asymptotique, remarquons que dans la
somme exacte, le terme $d=n$ vaut $\frac{1}{n} q^n$, le terme
$d=\frac{n}{2}$, s'il existe (c'est-à-dire, si $n$ est pair), vaut
$-\frac{1}{n} q^{n/2}$, et tous les autres termes, dont le nombre est
-au plus $n$, sont chacun $O(q^{n/3})$ --- leur somme est donc
+au plus $n$, sont chacun $O(q^{n/3})$ — leur somme est donc
bien $O(q^{n/2})$.
\end{proof}
@@ -807,7 +807,7 @@ h \equiv -2X^4 + X^2 - 3X - 2 \pmod{-2X^5 + 3X^4 - X^3 - X^2 + 2X}\\
-2 X^2 - 2 \equiv -3 \pmod{-2 X - 3}\\
\end{array}
\]
---- ce qui conclut la vérification du critère de Rabin. Tous ces
+— ce qui conclut la vérification du critère de Rabin. Tous ces
calculs montrent donc que $h = X^6 -2 X^4 + 3 X^3 - X^2 - X - 2$ est
irréductible dans $\FF_7[X]$.
@@ -894,7 +894,7 @@ coefficient constant non nul est premier avec un multiple nul de
l'indéterminée). On calcule alors la matrice de l'endomorphisme
$\Frob_7 - \Id$ sur la base $1, X, X^2, \ldots, X^5$ de
$\FF_7[X]/(h)$, en calculant successivement $X^7, X^{14}, \ldots,
-X^{35}$ modulo $h$ --- les calculs sont donc très semblables à ceux
+X^{35}$ modulo $h$ — les calculs sont donc très semblables à ceux
menés au début de \ref{exemple-numerique-critere-rabin} et conduisent
à :
\[
@@ -1264,7 +1264,7 @@ degré de $\Phi_n$ est $\varphi(n)$. La formule $\Phi_n(X)
= \prod_\zeta (X-\zeta)$ pour $\zeta$ parcourant l'ensemble des
racines primitives $n$-ièmes de l'unité est encore valable dans
n'importe quel corps, de caractéristique ne divisant pas $n$, où il
-existe une --- et donc $\varphi(n)$ --- racine primitive $n$-ième de
+existe une — et donc $\varphi(n)$ — racine primitive $n$-ième de
l'unité.
Si $q$ et $n$ sont premiers entre eux où $q$ est une puissance d'un
@@ -2102,7 +2102,7 @@ Soient $p,q$ deux nombres premiers impairs distincts. On a alors :
\[
\Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p} = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}
\]
---- c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si
+— c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si
$p,q \equiv 3 \pmod{4}$ auquel cas $\Legendre{q}{p} =
-\Legendre{p}{q}$.
\end{theoreme2}
@@ -2203,7 +2203,7 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. On a alors :
\[
\Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}
\]
---- c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et
+— c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et
$\Legendre{2}{p} = -1$ si $p\equiv 3,5 \pmod{8}$.
\end{proposition2}
\begin{proof}[Première démonstration]
@@ -3047,7 +3047,7 @@ ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi.
Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
(Le cas $m=0$, c'est-à-dire $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
-Selon la légende, c'est cette découverte --- sensationnelle à l'époque ---
+Selon la légende, c'est cette découverte — sensationnelle à l'époque —
qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste.
Sa démonstration est exposée en détail dans ses \emph{disquisitiones arithmeticæ} (recherches
arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même
diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex
index fb55872..396b23e 100644
--- a/config/macros.tex
+++ b/config/macros.tex
@@ -123,6 +123,7 @@
\newtheorem{exemple2}[subsubsection]{Exemple}
\newtheorem{exemples2}[subsubsection]{Exemples}
\newtheorem{exercice2}[subsubsection]{Exercice}
+\newtheorem{algorithme2}[subsubsection]{Algorithme}
\renewcommand{\proofname}{Démonstration}
% Ce qui suit définit l'environnement {démo} comme exactement synonyme de {proof}