diff options
author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-02-28 21:26:47 +0100 |
---|---|---|
committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-02-28 21:26:47 +0100 |
commit | 44bba0f3c7ab539d2ffe5e0e3ae53df955c5515d (patch) | |
tree | 8097881966e3f444053e5db5721a37f06f031360 | |
parent | f3a862ff2b1c832b2274a6b260cb6be5392348a6 (diff) | |
download | galois-44bba0f3c7ab539d2ffe5e0e3ae53df955c5515d.tar.gz galois-44bba0f3c7ab539d2ffe5e0e3ae53df955c5515d.tar.bz2 galois-44bba0f3c7ab539d2ffe5e0e3ae53df955c5515d.zip |
Unicode : changement utilisations de divers caractères Unicode.
-rw-r--r-- | chapitres/extensions-algebriques.tex | 60 |
1 files changed, 30 insertions, 30 deletions
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index 04cc780..78739e9 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -150,7 +150,7 @@ Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}. \begin{enumerate} \item Les trois ensembles $田A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont finis ; ils satisfont la condition suivante : -\[♯ 田A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\] +\[\# 田A(k) ≤ \# π₀(A)= \# \Spec(A) ≤ [A:k].\] \item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$. Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et reçoit naturellement $田A(k)$. @@ -160,7 +160,7 @@ reçoit naturellement $田A(k)$. surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit. \item Le morphisme d'évaluation $A → k^{田A(k)}$ est surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si on a égalité : -\[♯ 田A(k)=[A:k].\] +\[\# 田A(k)=[A:k].\] \end{enumerate} \end{théorème2} @@ -205,8 +205,8 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{田A(k)}$ est un isomorphisme ; -\item l'inégalité \emph{a priori} $♯田A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ; -\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ; +\item l'inégalité \emph{a priori} $\#田A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ; +\item l'inégalité \emph{a priori} $\# π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ; \item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ; \item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}. \item l'injection $田A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection @@ -219,11 +219,11 @@ et $A$ est réduit. (ii) ⇒ (iii). Résulte de \ref{k-algebres-finies} (iii). (iii) ⇒ (iv). Si $A=∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$, on a $[A:k]=∑_𝔵 [A_𝔵:k]$, où chaque entier $[A_𝔵:k]$ est supérieur ou égal à un. -L'égalité $♯ π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque +L'égalité $\# π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$, le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$ -est au moins égal à $[k^X:k]=♯X$. Ceci résulte de l'existence des projections +est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections $\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres @@ -647,16 +647,16 @@ Donnons une application « numérique » de la proposition et du corollaire précédents. \subsubsection{Exemple numérique}\label{exemple somme algébriques=algébrique}Soient -$√{3}$ et $√[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$ +$\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$ et $T³-2$ respectivement. Ces polynômes de petit degré étant sans racine dans $𝐐$, -ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(√{3}):𝐐]=2$ -et $[𝐐(√[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$ -engendrés par ces racines : $K=𝐐(√{3})$ et $L=K(√[3]{2})$. -Comme $√[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans +ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(\sqrt{3}):𝐐]=2$ +et $[𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$ +engendrés par ces racines : $K=𝐐(\sqrt{3})$ et $L=K(\sqrt[3]{2})$. +Comme $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans $K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité si et seulement si $T³-2$ est irréductible dans $K$. De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients -rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$, +rationnels en $\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$, par exemple $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$, appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme. @@ -681,19 +681,19 @@ D'après le théorème de Cayley-Hamilton on a donc, dans $A$, $(x+y)⁶-9(x+y)⁴+\cdots=0$. En d'autres termes, le polynôme en deux variables $(X+Y)⁶-9(X+Y)⁴+\cdots ∈ 𝐐[X,Y]$ appartient à l'idéal $(X²-3,Y³-2)$. -En particulier, sa valeur en $α=√{3}+√[3]{2}$ +En particulier, sa valeur en $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ est nulle. Vérifions maintenant que ce polynôme est le polynôme \emph{minimal} de $α$. Sa réduction modulo $7$ étant irréductible (cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}), il est irréductible sur $𝐐$. -Il en résulte que $[𝐐(√{3}+√[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(√{3}):𝐐][𝐐(√[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général +Il en résulte que $[𝐐(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(\sqrt{3}):𝐐][𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général en ce sens, cf. \ref{application-de-Galois-deg(x+y)=produit-si-premiers-entre-eux}.) De la même façon, on vérifie par le calcul que -$√{3}√[3]{2}$, ou plus généralement -tout élément de $𝐐[√{3},√[3]{2}]=\{P(√{3},√[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$, +$\sqrt{3}\sqrt[3]{2}$, ou plus généralement +tout élément de $𝐐[\sqrt{3},\sqrt[3]{2}]=\{P(\sqrt{3},\sqrt[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$, est algébrique sur $𝐐$. @@ -810,12 +810,12 @@ u(λ)u'(λ')$ est un idéal \emph{premier}, car $E$ est intègre, mais non nécessairement maximal. Cela est lié au fait que l'image de $u\star u'$ n'est \emph{a priori} qu'une sous-$k$-\emph{algèbre} (cf. \ref{extension-composee=corps-engendre}). \item Deux extensions composées ne sont pas nécessairement isomorphes. -Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[√[3]{2}]⊂𝐂$ de degré +Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2}]⊂𝐂$ de degré $3$ de $𝐐$, l'anneau $K⊗_𝐐 K$ se surjecte sur $K$, par l'application évidente $λ⊗μ\mapsto λμ$, -mais aussi sur l'extension $𝐐[√[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par -l'application envoyant $√[3]{2}⊗1$ sur $√[3]{2}$ et -$1⊗√[3]{2}$ sur $j√[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice +mais aussi sur l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par +l'application envoyant $\sqrt[3]{2}⊗1$ sur $\sqrt[3]{2}$ et +$1⊗\sqrt[3]{2}$ sur $j\sqrt[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice \ref{non unicite composition} ci-dessous.) En particulier, la notation $K K'$ pour une extension composée de $K\bo k$ et $K'\bo k$ n'est raisonnable que si l'on s'est auparavant @@ -1463,8 +1463,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : diagonalisable ; \item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ; \item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ; -\item $♯\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ; -\item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$. +\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ; +\item $\# π₀(A_Ω)=[A:k]$. \end{enumerate} De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v) par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait @@ -1486,14 +1486,14 @@ de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ ( par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie} de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion \emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection. -Ainsi, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et +Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et $A$ est diagonalisable sur $k_A$. (ii)⇒(iii). Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$ et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable, comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$. -%En effet, si $♯ \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $♯ \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=♯\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$ +%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$ %est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}). %On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii). (iii)⇒(i) : évident. @@ -1926,7 +1926,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : \item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ; \item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme $A ⥲ A^{\vee}$ ; -\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$. +\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$. \end{enumerate} \end{théorème2} @@ -1943,11 +1943,11 @@ On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale. \begin{définition2}\label{degre separable} On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre -finie $A$ l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est +finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$. \end{définition2} -Le fait que l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant +Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$ est étale si et seulement si $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)). @@ -2062,7 +2062,7 @@ Le fait que $k'\bo k$ soit séparable est trivial : tout élément de $k'$ appartient à $k''$ donc est séparable sur $k$. Soit $x∈k''$. Il est séparable sur $k$ donc sur $k'$ car si le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est sans facteur carré, le polynôme -$μ_{x,k'}$ --- qui le divise --- est également sans facteur carré. +$μ_{x,k'}$ — qui le divise — est également sans facteur carré. \end{démo} Réciproquement. @@ -2629,8 +2629,8 @@ toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les autres racines sont des nombres complexes de module strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle \[ -√[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}+ -√[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960 +\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+ +\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960 \] (cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit nombre de Pisot.}. |