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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:26:47 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:26:47 (GMT)
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@@ -150,7 +150,7 @@ Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
\begin{enumerate}
\item Les trois ensembles $田A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
finis ; ils satisfont la condition suivante :
-\[♯ 田A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\]
+\[\# 田A(k) ≤ \# π₀(A)= \# \Spec(A) ≤ [A:k].\]
\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$.
Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et
reçoit naturellement $田A(k)$.
@@ -160,7 +160,7 @@ reçoit naturellement $田A(k)$.
surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit.
\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{田A(k)}$ est
surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si on a égalité :
-\[♯ 田A(k)=[A:k].\]
+\[\# 田A(k)=[A:k].\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -205,8 +205,8 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{田A(k)}$ est un isomorphisme ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $♯田A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $\#田A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $\# π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
\item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
\item l'injection $田A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
@@ -219,11 +219,11 @@ et $A$ est réduit.
(ii) ⇒ (iii). Résulte de \ref{k-algebres-finies} (iii).
(iii) ⇒ (iv). Si $A=∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$, on a $[A:k]=∑_𝔵 [A_𝔵:k]$,
où chaque entier $[A_𝔵:k]$ est supérieur ou égal à un.
-L'égalité $♯ π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
+L'égalité $\# π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est
isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
-est au moins égal à $[k^X:k]=♯X$. Ceci résulte de l'existence des projections
+est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections
$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v).
La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
@@ -647,16 +647,16 @@ Donnons une application « numérique » de la proposition et du
corollaire précédents.
\subsubsection{Exemple numérique}\label{exemple somme algébriques=algébrique}Soient
-$√{3}$ et $√[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$
+$\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$
et $T³-2$ respectivement. Ces polynômes de petit degré étant sans racine dans $𝐐$,
-ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(√{3}):𝐐]=2$
-et $[𝐐(√[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
-engendrés par ces racines : $K=𝐐(√{3})$ et $L=K(√[3]{2})$.
-Comme $√[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
+ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(\sqrt{3}):𝐐]=2$
+et $[𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
+engendrés par ces racines : $K=𝐐(\sqrt{3})$ et $L=K(\sqrt[3]{2})$.
+Comme $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité si et seulement si $T³-2$ est irréductible dans $K$.
De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au
plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients
-rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$,
+rationnels en $\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$, par exemple $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$,
appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique
sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur
non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme.
@@ -681,19 +681,19 @@ D'après le théorème de Cayley-Hamilton on a donc, dans $A$,
$(x+y)⁶-9(x+y)⁴+\cdots=0$. En d'autres termes,
le polynôme en deux variables $(X+Y)⁶-9(X+Y)⁴+\cdots
∈ 𝐐[X,Y]$ appartient à l'idéal $(X²-3,Y³-2)$.
-En particulier, sa valeur en $α=√{3}+√[3]{2}$
+En particulier, sa valeur en $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$
est nulle.
Vérifions maintenant que ce polynôme est le polynôme
\emph{minimal} de $α$. Sa réduction modulo $7$ étant irréductible
(cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}),
il est irréductible sur $𝐐$.
-Il en résulte que $[𝐐(√{3}+√[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(√{3}):𝐐][𝐐(√[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général
+Il en résulte que $[𝐐(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(\sqrt{3}):𝐐][𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général
en ce sens, cf. \ref{application-de-Galois-deg(x+y)=produit-si-premiers-entre-eux}.)
De la même façon, on vérifie par le calcul que
-$√{3}√[3]{2}$, ou plus généralement
-tout élément de $𝐐[√{3},√[3]{2}]=\{P(√{3},√[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$,
+$\sqrt{3}\sqrt[3]{2}$, ou plus généralement
+tout élément de $𝐐[\sqrt{3},\sqrt[3]{2}]=\{P(\sqrt{3},\sqrt[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$,
est algébrique sur $𝐐$.
@@ -810,12 +810,12 @@ u(λ)u'(λ')$ est un idéal \emph{premier}, car $E$ est intègre, mais non
nécessairement maximal. Cela est lié au fait que l'image de $u\star u'$ n'est
\emph{a priori} qu'une sous-$k$-\emph{algèbre} (cf. \ref{extension-composee=corps-engendre}).
\item Deux extensions composées ne sont pas nécessairement isomorphes.
-Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[√[3]{2}]⊂𝐂$ de degré
+Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2}]⊂𝐂$ de degré
$3$ de $𝐐$, l'anneau $K⊗_𝐐 K$ se
surjecte sur $K$, par l'application évidente $λ⊗μ\mapsto λμ$,
-mais aussi sur l'extension $𝐐[√[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par
-l'application envoyant $√[3]{2}⊗1$ sur $√[3]{2}$ et
-$1⊗√[3]{2}$ sur $j√[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice
+mais aussi sur l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par
+l'application envoyant $\sqrt[3]{2}⊗1$ sur $\sqrt[3]{2}$ et
+$1⊗\sqrt[3]{2}$ sur $j\sqrt[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice
\ref{non unicite composition} ci-dessous.)
En particulier, la notation $K K'$ pour une extension composée
de $K\bo k$ et $K'\bo k$ n'est raisonnable que si l'on s'est auparavant
@@ -1463,8 +1463,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
-\item $♯\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
-\item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$.
+\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
+\item $\# π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
@@ -1486,14 +1486,14 @@ de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (
par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie}
de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
\emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection.
-Ainsi, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
+Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
$A$ est diagonalisable sur $k_A$.
(ii)⇒(iii).
Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
-%En effet, si $♯ \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $♯ \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=♯\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
+%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
@@ -1926,7 +1926,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ;
\item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme
$A ⥲ A^{\vee}$ ;
-\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
+\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -1943,11 +1943,11 @@ On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale.
\begin{définition2}\label{degre separable}
On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre
-finie $A$ l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
+finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
\end{définition2}
-Le fait que l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
+Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
est étale si et seulement si $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
@@ -2062,7 +2062,7 @@ Le fait que $k'\bo k$ soit séparable est trivial : tout élément
de $k'$ appartient à $k''$ donc est séparable sur $k$.
Soit $x∈k''$. Il est séparable sur $k$ donc sur $k'$
car si le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est sans facteur carré, le polynôme
-$μ_{x,k'}$ --- qui le divise --- est également sans facteur carré.
+$μ_{x,k'}$ — qui le divise — est également sans facteur carré.
\end{démo}
Réciproquement.
@@ -2629,8 +2629,8 @@ toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers
dont les autres racines sont des nombres complexes de module
strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle
\[
-√[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}+
-√[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+
+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
\]
(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
nombre de Pisot.}.