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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-31 22:02:19 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-31 22:02:19 +0100 |
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[Alg] critère diagonalisabilité via ♯π₀
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index 2a4865a..70cd5ea 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -18,6 +18,7 @@ %\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques} +\synctex=1 \textwidth16cm \hoffset-1.5cm @@ -260,6 +261,7 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont isomorphisme ; \item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme (d'algèbres) $A⥲k^X$ ; \item l'inégalité \emph{a priori} $\#A^\japmath{田}(k) ≤[A:k]$ est une égalité ; +\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ; \item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}. @@ -274,9 +276,12 @@ est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections $\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. -(ii) ⇒ (iv). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres +(iv) ⇔ (ii) Résulte de \refext{Spec}{pi0 produit}, +\ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini} et +\ref{pi0(artinien)=fini} \XXX. +(ii) ⇒ (v). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$. -(iv) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs +(v) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs propres des endomorphismes de multiplication par les éléments $a$ d'une $k$-algèbre $A$, le morphisme $A → k^X$, $a ↦ (λ_x(a))_x$, où $a e_x=λ_x(a) e_x$, est un isomorphisme. |