[Alg] critère diagonalisabilité via ♯π₀

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index 2a4865a..70cd5ea 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -18,6 +18,7 @@
 
 %\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
 
+\synctex=1
 \textwidth16cm
 \hoffset-1.5cm
 
@@ -260,6 +261,7 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
 isomorphisme ;
 \item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme (d'algèbres) $A⥲k^X$ ;
 \item l'inégalité \emph{a priori} $\#A^\japmath{田}(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
 \item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈
 \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est
 \emph{codiagonalisable}.
@@ -274,9 +276,12 @@ est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$.
 Ceci résulte de l'existence des projections
 $\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
 étant un morphisme de $k^X$ vers $k$.
-(ii) ⇒ (iv). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
+(iv) ⇔ (ii) Résulte de \refext{Spec}{pi0 produit},
+\ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini} et
+\ref{pi0(artinien)=fini} \XXX.
+(ii) ⇒ (v). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
 des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
-(iv) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
+(v) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
 propres des endomorphismes de multiplication par les éléments $a$ d'une
 $k$-algèbre $A$, le morphisme $A → k^X$, $a ↦ (λ_x(a))_x$,
 où $a e_x=λ_x(a) e_x$, est un isomorphisme.