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authorFabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-08 09:17:59 (GMT)
committerFabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-08 09:17:59 (GMT)
commit47f7fa0b17862f63035e1369bb53c93a69c34a82 (patch)
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[Alg] clarifications (?) sur calcul polynôme annulateur
-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex41
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index bd5b7a3..d6af8f1 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -681,35 +681,32 @@ rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$,
appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique
sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur
non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme.
-Soit $V$ le $𝐐$-espace vectoriel de dimension $6$ de base des éléments
-notés, à des fins mnémotechniques, $e,X,X^2,Y,XY$ et $X^2Y$. Notons $x$ (resp. $y$) l'endomorphisme de $V$
-défini par $x(e)=X$, $x(X)=X²$, $x(X²)=2e$, $x(Y)=XY$, $x(XY)=X²Y$
-et $x(X²Y)=3Y$ (resp. $y(e)=Y$, $y(X)=XY$, $y(X²)=X²Y$, $y(Y)=3e$,
-$y(XY)=3X$ et $y(X²Y)=3X²$).
-De toute évidence, les polynômes $T³-2$ et $T²-3$
-sont les polynômes annulateurs de ces endomorphismes.
-(Il suffit pour l'argument qui suit de savoir qu'ils
-annulent $x$ et $y$.) Observons que la matrice $x$ (resp. $y$)
-est le produit de Kronecker (\ref{pdt tens indépendant des bases}, démonstration)
+Soient $A$ la $𝐐$-algèbre $Q[X,Y]/(X²-3,Y³-2)$ et $x,y$ les
+classes respectives de $X$ et $Y$. C'est une algèbre de
+dimension $6$ — dont on ne sait pas encore si c'est un corps —
+dont les $e_{i,j}=x^i y^j$, $0 ≤ i ≤ 1$, $0 ≤ j ≤ 2$ forment une
+base. La multiplication par $x+y$ est un endomorphisme
+de $V$ dont on calcule sans difficulté la matrice dans la
+base $(e_{i,j})$ : la matrice de la multiplication
+par $x$ (resp. $y$) est le produit de Kronecker (\ref{pdt tens indépendant des bases}, démonstration)
de la matrice compagnon du polynôme $T³-2$ et de la matrice identité $2×2$
(resp. de la matrice identité $3×3$ et de la matrice compagnon du polynôme $T²-3$).
-
-Dans la base ci-dessus, la matrice de l'endomorphisme $x+y$
-est
+La matrice de l'endomorphisme est donc
$$
\left( \begin {array}{cccccc} 0&0&2&3&0&0\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&3&0\\\noalign{\medskip}0&1&0&0&0&3\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&0&2\\\noalign{\medskip}0&1&0
&1&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0&1&0\end {array} \right).
$$
-
On vérifie par le calcul que son polynôme caractéristique
-$\det\big(T\Id_V-(x+y)\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$.
-Par construction, $√{3}$ (resp. $√[3]{2}$) est une valeur
-propre de $x$ (resp. $y$). Ces endomorphismes commutent,
-de sorte qu'ils sont codiagonalisables sur $𝐂$. La somme
-$α=√{3}+√[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme
-\commentaire{Pas hyper clair : un « conjugué » l'est a priori}
-somme $x+y$, et est donc une racine du polynôme ci-dessus.
-La réduction modulo $7$ de ce polynôme étant irréductible
+$\det\big(T\Id_A-m_{(x+y)}\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$.
+D'après le théorème de Cayley-Hamilton on a donc, dans $A$,
+$(x+y)⁶-9(x+y)⁴+\cdots=0$. En d'autres termes,
+le polynôme en deux variables $(X+Y)⁶-9(X+Y)⁴+\cdots
+∈ 𝐐[X,Y]$ appartient à l'idéal $(X²-3,Y³-2)$.
+En particulier, sa valeur en $α=√{3}+√[3]{2}$
+est nulle.
+
+Vérifions maintenant que ce polynôme est le polynôme
+\emph{minimal} de $α$. Sa réduction modulo $7$ étant irréductible
(cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}),
il est irréductible sur $𝐐$.
Il en résulte que $[𝐐(√{3}+√[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(√{3}):𝐐][𝐐(√[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général