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author | Fabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-02-08 10:17:59 +0100 |
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committer | Fabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-02-08 10:17:59 +0100 |
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[Alg] clarifications (?) sur calcul polynôme annulateur
-rw-r--r-- | chapitres/extensions-algebriques.tex | 41 |
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index bd5b7a3..d6af8f1 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -681,35 +681,32 @@ rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$, appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme. -Soit $V$ le $𝐐$-espace vectoriel de dimension $6$ de base des éléments -notés, à des fins mnémotechniques, $e,X,X^2,Y,XY$ et $X^2Y$. Notons $x$ (resp. $y$) l'endomorphisme de $V$ -défini par $x(e)=X$, $x(X)=X²$, $x(X²)=2e$, $x(Y)=XY$, $x(XY)=X²Y$ -et $x(X²Y)=3Y$ (resp. $y(e)=Y$, $y(X)=XY$, $y(X²)=X²Y$, $y(Y)=3e$, -$y(XY)=3X$ et $y(X²Y)=3X²$). -De toute évidence, les polynômes $T³-2$ et $T²-3$ -sont les polynômes annulateurs de ces endomorphismes. -(Il suffit pour l'argument qui suit de savoir qu'ils -annulent $x$ et $y$.) Observons que la matrice $x$ (resp. $y$) -est le produit de Kronecker (\ref{pdt tens indépendant des bases}, démonstration) +Soient $A$ la $𝐐$-algèbre $Q[X,Y]/(X²-3,Y³-2)$ et $x,y$ les +classes respectives de $X$ et $Y$. C'est une algèbre de +dimension $6$ — dont on ne sait pas encore si c'est un corps — +dont les $e_{i,j}=x^i y^j$, $0 ≤ i ≤ 1$, $0 ≤ j ≤ 2$ forment une +base. La multiplication par $x+y$ est un endomorphisme +de $V$ dont on calcule sans difficulté la matrice dans la +base $(e_{i,j})$ : la matrice de la multiplication +par $x$ (resp. $y$) est le produit de Kronecker (\ref{pdt tens indépendant des bases}, démonstration) de la matrice compagnon du polynôme $T³-2$ et de la matrice identité $2×2$ (resp. de la matrice identité $3×3$ et de la matrice compagnon du polynôme $T²-3$). - -Dans la base ci-dessus, la matrice de l'endomorphisme $x+y$ -est +La matrice de l'endomorphisme est donc $$ \left( \begin {array}{cccccc} 0&0&2&3&0&0\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&3&0\\\noalign{\medskip}0&1&0&0&0&3\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&0&2\\\noalign{\medskip}0&1&0 &1&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0&1&0\end {array} \right). $$ - On vérifie par le calcul que son polynôme caractéristique -$\det\big(T\Id_V-(x+y)\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$. -Par construction, $√{3}$ (resp. $√[3]{2}$) est une valeur -propre de $x$ (resp. $y$). Ces endomorphismes commutent, -de sorte qu'ils sont codiagonalisables sur $𝐂$. La somme -$α=√{3}+√[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme -\commentaire{Pas hyper clair : un « conjugué » l'est a priori} -somme $x+y$, et est donc une racine du polynôme ci-dessus. -La réduction modulo $7$ de ce polynôme étant irréductible +$\det\big(T\Id_A-m_{(x+y)}\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$. +D'après le théorème de Cayley-Hamilton on a donc, dans $A$, +$(x+y)⁶-9(x+y)⁴+\cdots=0$. En d'autres termes, +le polynôme en deux variables $(X+Y)⁶-9(X+Y)⁴+\cdots +∈ 𝐐[X,Y]$ appartient à l'idéal $(X²-3,Y³-2)$. +En particulier, sa valeur en $α=√{3}+√[3]{2}$ +est nulle. + +Vérifions maintenant que ce polynôme est le polynôme +\emph{minimal} de $α$. Sa réduction modulo $7$ étant irréductible (cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}), il est irréductible sur $𝐐$. Il en résulte que $[𝐐(√{3}+√[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(√{3}):𝐐][𝐐(√[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général |