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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-21 13:24:40 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-21 13:24:40 (GMT)
commit4c6ee3731d3b1bde832c063d9a2c9dfb7e245aa4 (patch)
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[Gröbner] Ajout d'une remarque plus explicite sur la dimension de l'algèbre de décomposition universelle (et sa base).
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex29
1 files changed, 22 insertions, 7 deletions
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index 2404b5d..0de4e80 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1749,17 +1749,32 @@ les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de
\end{definition2}
\begin{corollaire2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie}
-Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire. Si
-$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle
-définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle},
-alors celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel
-(l'idéal $I$ est de dimension $0$).
+Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire de
+degré $d$. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de
+décomposition universelle définie
+en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors
+celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel (l'idéal
+$I$ est de dimension $0$).
+
+Plus précisément, la dimension de $k$ comme $k$-espace vectoriel
+(c'est-à-dire, le degré de $I$) vaut $d!$, et une base comme
+$k$-espace vectoriel en est donnée par les (classes modulo $I$ des)
+monômes $Z_1^{j_1} Z_2^{j_2} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$ avec $j_i \leq
+d-i$.
\end{corollaire2}
-\commentaire{de degré $d!$ ?}
\begin{proof}
-Ceci découle immédiatement de
+L'affirmation du premier paragraphe découle immédiatement de
\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} appliqué à la base de
Gröbner donnée par la proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}.
+
+Pour ce qui est du second paragraphe, il suffit
+(cf. \ref{algorithmes-fondamentaux-anneau-quotient}) de se rappeler
+que la base de Gröbner trouvée est formée de polynômes
+$q_1,\ldots,q_d$ où le terme initial de $q_i$ est $Z_{d-i+1}^i$ : les
+monômes qui ne sont divisibles par aucun $Z_{d-i+1}^i$ (c'est-à-dire
+par aucun $Z_i^{d-i+1}$) sont précisément les $Z_1^{j_1}
+Z_2^{j_2} \cdots Z_{d-1}^{j_{d-1}}$ avec $j_i < d-i+1$ pour
+chaque $i$.
\end{proof}
\subsubsection{} Probablement, on peut vérifier que