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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 23:45:03 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 23:45:03 (GMT)
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index 2814569..2ad3f9b 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -1,27 +1,9 @@
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+\title{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
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@@ -31,20 +13,16 @@
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\begin{document}
-\begin{center}
-Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
\fi
+\newcommand{\deuxdeux}[4]{\left(\begin{matrix}#1&#3\\#2&#4\end{matrix}\right)}
+\newcommand\troistrois[9]{\left(\begin{matrix}#1&#4&#7\\#2&#5&#8\\#3&#6&#9\end{matrix}\right)}
+
\section{Algèbres d'Azumaya}
\subsection{Définition et interprétation cohomologique}
@@ -53,7 +31,7 @@ Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer
d'Azumaya}
Soit $k$ un corps. Une \emph{algèbre
d'Azumaya}\footnote{D'après le mathématicien japonais
-AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension finie $A$,
+AZUMAYA Gorô {\IPAMincho 東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension finie $A$,
non nécessairement commutative, telle qu'il existe
une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$
et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier
@@ -1146,7 +1124,7 @@ Si l'inclusion ${K^×}²⊆ N(𝐇^×(K))$ est une égalité, il existe pour cha
$q ∈ 𝐇^×(K)$ un scalaire $λ ∈ K^×$ tel que $q/λ ∈ 𝐇^{N=1}$.
La surjectivité du morphisme $𝐇^{N=1} → \SOrth₃$ dans ce cas en découle.
-\paragraph{Norme spinorielle}
+\subsubsection{Norme spinorielle}
Soit $m ∈ \SOrth₃(K)$. D'après ce qui précède, cette matrice possède
un relèvement $q$ dans $𝐇^×(K)$, bien défini à multiplication par un scalaire près.
La norme de ce relèvement est donc bien définie à multiplication par un carré près.
@@ -1166,12 +1144,12 @@ n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^
déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
\XXX
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Montrer que si $m ∈ \SOrth₃(K)$, $\det\big((1+g_μm)(1+m)^{-1}\big)$ est un carré
en utilisant la transformation de Cayley.
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Soit $𝒫$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de rang $1$
de $K^{\{1,\i,\j,\k\}}$. Montrer que $𝒫 ⥲ \SOrth₃(K)$.
(cf. matrice de la transformation de Cayley ou, mieux,
@@ -1180,7 +1158,7 @@ que l'application $𝐇^× → 𝒫$, $(x₁,x_\i,x_\j,x_\k) ↦ \frac{1}{∑
x_μ²}\big(x_μ x_ν \big)$ a $4$ sections sur les ouverts
[...]. En déduire une nouvelle démonstration de la surjection
de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
\subsubsection{Seconde démonstration du théorème \ref{parametrisation
Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions}
@@ -2154,7 +2132,7 @@ Chacun d'eux est représentable : si l'on pose
\[
R_{ij}=k[t,x_{αβ}:1≤ α,β ≤n]/(x_{ij}-1,\det(x_{αβ})t-1),
\]
-pour toute $k$-algèbre $A$, l'application $R_{ij}^\japmath{田}(A) → 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)$
+pour toute $k$-algèbre $A$, l'application $R_{ij}^田(A) → 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)$
envoyant $f:R_{ij}→A$ sur la droite $A⋅(f(x_{αβ}))⊆𝐌_n(A)$
est une bijection fonctorielle (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}).
D'après le lemme de Yoneda, l'inclusion $𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)↪𝐏⁰(𝐌_n)$
@@ -2209,16 +2187,16 @@ toutes ses lignes sauf la première nulles. Il en résulte que $p(A)=A⋅p(e₁)
\begin{proposition2}\label{famille Z-couvrante et injectivité}
Soit $A → A_i$ ($1≤i≤N$) une famille finie de $k$-algèbre
-telle que les foncteurs $A_i^\japmath{田} → A^\japmath{田}$ correspondants soient Zariski-couvrants.
+telle que les foncteurs $A_i^田 → A^田$ correspondants soient Zariski-couvrants.
Alors, l'application $A → ∏_i A_i$ est \emph{injective}.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Considérons l'identité $\Id∈\Hom_k(A,A)=A^\japmath{田}(A)$.
+Considérons l'identité $\Id∈\Hom_k(A,A)=A^田(A)$.
Par hypothèse, il existe une famille d'éléments $(a₁,…,a_r)$
engendrant l'idéal unité de $A$ tels que pour chaque $α∈\{1,…,r\}$
l'application canonique $A → A[a_α^{-1}]$ — qui n'est autre que l'image de l'identité
-par l'application $A^\japmath{田}(A) →A^\japmath{田}(A[a_α^{-1}])$ —
+par l'application $A^田(A) →A^田(A[a_α^{-1}])$ —
se factorise à travers $A → A_{i_α}$ pour un indice $i_α ∈ \{1,…,N\}$
convenable. Soit maintenant $a$ dans le noyau de $A → ∏_i A_i$.
Il résulte de ce qui précède que $a$ appartient également
diff --git a/chapitres/corps-c1.tex b/chapitres/corps-c1.tex
index c5ea353..b3b20ad 100644
--- a/chapitres/corps-c1.tex
+++ b/chapitres/corps-c1.tex
@@ -1,26 +1,12 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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\title{Corps $C_1$}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{correspondance-galois}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex
index 6705890..bad6d72 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -1,38 +1,15 @@
-%%% vim: set textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-\usepackage{stmaryrd}
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-\hoffset-1.5cm
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Formes tordues}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
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\externaldocument{KAS}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{spectre}
-%\makeindex
-
-\title{Formes tordues}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -146,7 +123,7 @@ sur $\ev_A(a)$ via isomorphisme $π₀$ et $K$-points...
Soit $K\bo k$ une extension finie étale de groupe
de Galois $Π$.
\begin{enumerate}
-\item Les applications $A↦ A^{\japmath{田}}(K)$ et $X↦k_X$ induisent
+\item Les applications $A↦ A^{田}(K)$ et $X↦k_X$ induisent
des bijections entre l'ensemble des classes d'isomorphismes
de $k$-algèbres étales trivialisées par $K\bo k$
et l'ensemble des classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles
@@ -158,25 +135,25 @@ suivant :
\item pour toute $k$-algèbre étale $A$ trivialisée par $K\bo
k$,
l'application d'évaluation
-\[\ev_A:A→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(A^\japmath{田}(K),K)=k_{A^\japmath{田}(K)}\]
+\[\ev_A:A→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(A^田(K),K)=k_{A^田(K)}\]
\[a↦\big((f:A→K)↦f(a)\big)\]
est un isomorphisme de $k$-algèbres ;
\item pour tout $Π$-ensemble $X$, l'application
-d'évaluation \[\ev_X:X→\Hom_k(k_X,K)={k_X}^\japmath{田}(K)\]
+d'évaluation \[\ev_X:X→\Hom_k(k_X,K)={k_X}^田(K)\]
\[x↦\big((f:X→K)↦f(x)\big)\] est une bijection
$Π$-équivariante.
\end{enumerate}
\item Pour toute paire de $k$-algèbres étales diagonalisées
par $K\bo
k$ et toute paire de $Π$-ensembles finis, les applications
-\[\Hom_k(A,B)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(B^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)\]
+\[\Hom_k(A,B)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(B^田(K),A^田(K)\big)\]
et
\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,Y)→\Hom_k(k_Y,k_X)\]
sont des \emph{bijections}.
\item (Lien avec correspondance de Galois classique)
Soit $H$ un sous-groupe de $Π$ et soit $k'$ une sous-$k$-extension de $K$.
L'algèbre $k_{Π/H}$ est naturellement isomorphe au
-\emph{corps} $\Fix_H(K)$ et le $Π$-ensemble ${k ′}^\japmath{田}(K)$
+\emph{corps} $\Fix_H(K)$ et le $Π$-ensemble ${k ′}^田(K)$
à l'ensemble quotient $Π/\Gal(K\bo k ′)$.
Plus précisément :
\begin{enumerate}
@@ -186,7 +163,7 @@ Plus précisément :
où $Π/H$ désigne l'ensemble $\{σH\}$ des classes à gauche
suivant $H$, est un isomorphisme.
\item Le morphisme de $Π$-ensembles
-\[Π/\Gal(K\bo k')→{k'}^\japmath{田}(K)\]
+\[Π/\Gal(K\bo k')→{k'}^田(K)\]
\[σ\Gal(K\bo k')↦\big(k'→K,x'↦σ(x')\big)\]
est un isomorphisme.
\end{enumerate}
@@ -196,7 +173,7 @@ est un isomorphisme.
On peut essentiellement paraphraser (i)-(iii) en disant,
suivant (\refext{Cat}{definition-equivalence-categories}), que les
catégories des $k$-algèbres étales diagonalisées par $K\bo k$ et des $Π$-ensembles finis sont
-anti-\emph{équivalentes}, les foncteurs $A↦ A^{\japmath{田}}(K)$ et $X↦k_X$
+anti-\emph{équivalentes}, les foncteurs $A↦ A^{田}(K)$ et $X↦k_X$
étant \emph{quasi}-inverses l'un de l'autre.
Une démonstration « cohomologique » d'une partie de cette proposition
@@ -209,10 +186,10 @@ de Galois classique.
(iv). Pour tout $Π$-ensemble $Y$, l'application
$\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(Π/H,Y)→\Fix_H(Y)$, $f↦f(H)$
est une bijection. Le a) en découle. Vérifions b). Soit $ι$ l'injection
-$k'↪K$ vue comme élément de ${k'}^\japmath{田}(K)$. Il est
+$k'↪K$ vue comme élément de ${k'}^田(K)$. Il est
tautologique que le stabilisateur $\Stab_Π(ι)$ de $ι$ est
le sous-groupe $\Gal(K\bo k')$ de $Π$. Pour démontrer b), il
-suffit donc de vérifier que l'action de $Π$ sur ${k'}^\japmath{田}(K)$
+suffit donc de vérifier que l'action de $Π$ sur ${k'}^田(K)$
est \emph{transitive}. Or, si $ι₁$ et $ι₂$ sont deux
$k$-plongements
$k'→K$, ils se prolongent en des $k$-automorphismes $σ_1$ et
@@ -220,10 +197,10 @@ $σ₂$ de $K$. L'élément $σ=σ_1σ₂^{-1}$ envoie $ι₂$ sur $ι₁$.
(ii). Soient $X$ un $Π$-ensemble et $A$ une
$k$-algèbre.
-Puisque $k_{X∐Y}$ (resp. $(A×B)^\japmath{田}(K)$) est naturellement
-isomorphe à $k_X×k_Y$ (resp. $A^\japmath{田}(K)∐B^\japmath{田}(K)$), et que ces
+Puisque $k_{X∐Y}$ (resp. $(A×B)^田(K)$) est naturellement
+isomorphe à $k_X×k_Y$ (resp. $A^田(K)∐B^田(K)$), et que ces
isomorphismes sont compatibles aux applications d'évaluations, on peut supposer
-que $X$ est \emph{connexe}, \cad que l'action de $Π$ sur $X$ est
+que $X$ est \emph{connexe}, c'est-à-dire que l'action de $Π$ sur $X$ est
transitive, et d'autre part que $A$ est un corps.
Quitte à remplacer $X$ (resp. $A$) par un $Π$-ensemble
(resp. une $k$-algèbre) isomorphe, on peut supposer que
@@ -232,20 +209,20 @@ $X=Π/H$ (resp. $A=k'$) où $H$ est un sous-groupe de $Π$
(\refext{Alg}{diagonalisable implique sous-truc}) que toute $k$-\emph{extension}
trivialisée par $K$ se plonge dans $K$.) Vérifions le point a).
Comme nous l'avons vu en (iv), le $Π$-ensemble
-${k'}^\japmath{田}(K)=\Hom_k(k',K)$ et la $k$-algèbre $k_{Π/\Gal(K\bo k')}$ sont respectivement
+${k'}^田(K)=\Hom_k(k',K)$ et la $k$-algèbre $k_{Π/\Gal(K\bo k')}$ sont respectivement
isomorphes à $Π/\Gal(K\bo k')$ et $k'$. On vérifie immédiatement que
-l'isomorphisme $k'⥲k_{{k'}^\japmath{田}(K)}$ obtenu ainsi par composition n'est autre
+l'isomorphisme $k'⥲k_{{k'}^田(K)}$ obtenu ainsi par composition n'est autre
que le morphisme d'évaluation de l'énoncé. La démonstration du b) est semblable.
Seconde démonstration de a) n'utilisant pas la correspondance de Galois
classique.
On souhaite montrer que le morphisme d'évaluation
-$A → \Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est un isomorphisme.
+$A → \Fix_Π(\Hom_\Ens(A^田(K),K))$ est un isomorphisme.
Comme l'algèbre $A$ est supposée étale sur $k$, trivialisée par $K$, on
-a égalité $\#A^\japmath{田}(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension
-du $K$-espace vectoriel $\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est $n$. Il résulte
+a égalité $\#A^田(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension
+du $K$-espace vectoriel $\Hom_\Ens(A^田(K),K))$ est $n$. Il résulte
du lemme \ref{lemme de Speiser} ci-dessous que le $k$-espace vectoriel
-$\Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est également de dimension $n$.
+$\Fix_Π(\Hom_\Ens(A^田(K),K))$ est également de dimension $n$.
Pour montrer que le morphisme $\ev_A$ est un isomorphisme il suffit donc de vérifier
qu'il est injectif. Si $a$ est dans le noyau, on a $f(a)=0$ pour tout
$k$-morphisme $f:A → K$. Il en résulte que les $K$-morphismes $A_K=A ⊗_k K →
@@ -254,20 +231,20 @@ la considération des $n$ projections montre que $a ⊗ 1=0$ et, finalement, $a=
(iii). Soient $L$ une sous-$k$-extension de $K$ et $A$ une
$k$-algèbre étale diagonalisée par $K\bo k$.
-L'isomorphisme (iv.b) $Π/\Gal(K\bo L)⥲L^\japmath{田}(K)$ induit une
+L'isomorphisme (iv.b) $Π/\Gal(K\bo L)⥲L^田(K)$ induit une
bijection
-\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)⥲
-\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(Π/\Gal(K\bo L),A^\japmath{田}(K)\big).\]
+\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^田(K),A^田(K)\big)⥲
+\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(Π/\Gal(K\bo L),A^田(K)\big).\]
Par composition avec l'isomorphisme
\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(Π/\Gal(K\bo L),\tiret)⥲
\Fix_{\Gal(K\bo L)}(\tiret)\] on en déduit
un isomorphisme
-\(\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)⥲\Fix_{Π/\Gal(K\bo
-L)}\big(A^\japmath{田}(K)\big)\).
+\(\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^田(K),A^田(K)\big)⥲\Fix_{Π/\Gal(K\bo
+L)}\big(A^田(K)\big)\).
Ce dernier ensemble n'est autre que $\Hom_k(A,L)$ car
$\Fix_{Π/\Gal(K\bo L)}(K)=L$. On vérifie sans peine que la
bijection ainsi obtenue est l'inverse de l'application
-$\Hom_k(A,L)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)$
+$\Hom_k(A,L)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^田(K),A^田(K)\big)$
de l'énoncé. Le cas d'une $k$-algèbre étale $B$
diagonalisable sur $K$ se ramène à ce cas particulier par « dévissage »
(décomposition en produit de corps).
@@ -606,7 +583,7 @@ est une bijection.
\begin{démo}
Soit $A$ une $K\bo k$-forme de $k^n$ et
-considérons le $Π$-ensemble fini $A^\japmath{田}(K)$ où $σ∈Π$ agit par
+considérons le $Π$-ensemble fini $A^田(K)$ où $σ∈Π$ agit par
composition :
$σ⋅x=g∘x$. Par hypothèse, cet ensemble est de cardinal $n$.
D'après la correspondance de Galois-Grothendieck
@@ -644,28 +621,28 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre de rang $n$ trivialisée par $K\bo
k$.
Le morphisme d'évaluation (cf. \refext{Alg}{consequences
lemme chinois})
-$A_K→ K^{A_K^\japmath{田}(K)}$ est un isomorphisme. Rappelons que
+$A_K→ K^{A_K^田(K)}$ est un isomorphisme. Rappelons que
$A_K=A⊗_k K$ (par définition) et que l'application de
restriction
-$A_K^\japmath{田}(K)→A^\japmath{田}(K)$ des $K$-morphismes de $A_K$ dans $K$
+$A_K^田(K)→A^田(K)$ des $K$-morphismes de $A_K$ dans $K$
vers les $k$-morphismes de $A$ dans $K$ est une bijection
(\refext{Alg}{critere-numerique-diagonalisable}).
-Notons $\ev:A_K⥲K^{A^\japmath{田}(K)}$ l'isomorphisme ainsi obtenu
+Notons $\ev:A_K⥲K^{A^田(K)}$ l'isomorphisme ainsi obtenu
et $φ$ son inverse. On vérifie immédiatement que $\ev$
-envoie $b=a⊗λ$ sur $x∈A^\japmath{田}(K)↦λx(a)∈K$.
+envoie $b=a⊗λ$ sur $x∈A^田(K)↦λx(a)∈K$.
Soit $σ∈Π=\Gal(K\bo k)$. Son action sur $A_K$ est
caractérisée par
$σ_A⋅a⊗λ=a⊗σ(λ)$ tandis que son action sur l'algèbre
diagonale
-$K^{A^\japmath{田}(K)}$ se fait coordonnées par coordonnées :
-$σ⋅(λ_x)_{x∈A^\japmath{田}(K)}=(σ(λ_x))_{x∈A^\japmath{田}(K)}$.
+$K^{A^田(K)}$ se fait coordonnées par coordonnées :
+$σ⋅(λ_x)_{x∈A^田(K)}=(σ(λ_x))_{x∈A^田(K)}$.
Ainsi,
\[\big(σ∘\ev∘σ_A^{-1}∘{\ev}^{-1}\big)\big(x↦λx(a)\big)=(x↦λ
\big(σ∘x)(a)\big).\]
Par définition, l'automorphisme $σ∘\ev∘σ_A^{-1}∘{\ev}^{-1}$
est l'\emph{inverse} du $K$-automorphisme $c_{φ}(σ)$ de
-$K^{A^\japmath{田}(K)}$ ;
-d'après ce qui précède, la permutation de $A^\japmath{田}(K)$
+$K^{A^田(K)}$ ;
+d'après ce qui précède, la permutation de $A^田(K)$
induite par $c_φ$ en prenant le spectre n'est autre que
l'application $x↦σ∘x$.
(Prendre garde que si $σ$ est une permutation d'un ensemble
@@ -700,7 +677,7 @@ Supposons que l'algèbre $A$ soit un corps. Elle est alors $k$-isomorphe à un q
où $f ∈ k[X]$ est un polynôme séparable de degré $n$, scindé sur $K$.
Il est essentiellement tautologique (cf. \refext{CG}{definition discriminant et
2-distinguant}) de vérifier que l'algèbre étale de rang $2$ obtenue
-est $k[T]/(T²-Δ(f))$ si $\car(k)≠2$ et $k[T]/(T²-T-\japmath{別}₂(f))$ sinon.
+est $k[T]/(T²-Δ(f))$ si $\car(k)≠2$ et $k[T]/(T²-T-別₂(f))$ sinon.
\end{remarque2}
\subsection{Torseurs sur $k$ sous un groupe fini $G$}\label{G-torseurs sur k}
@@ -740,7 +717,7 @@ où $G$ agit sur lui-même par translation à droite : $g ⋅h=hg^{-1}$. L'alg
il résulte de l'exercice \refext{Alg}{algebres finies via
idempotents} que l'application $G → \Spec(K^G)$ $g ↦ \Ann(e_g)$ est
une bijection\footnote{On obtient une seconde démonstration de ce fait en observant que
-$\Ann(e_g)=\Ker(\pr_g)$ et en utilisant \refext{Alg}{ideaux-k-X}}.
+$\Ann(e_g)=\Ker(\mathrm{pr}_g)$ et en utilisant \refext{Alg}{ideaux-k-X}}.
L'isomorphisme $G ⥲ \Spec(K^G)$
ainsi obtenu est $G$-équivariant, si l'on fait agir $G$ sur le spectre de
la manière naturelle, c'est-à-dire par $g ⋅ 𝔭=g(𝔭)$.
@@ -852,7 +829,7 @@ Cependant, à tout tel torseur $B$, on peut associer l'algèbre
des points fixes $A=\Fix_{𝔖_{n-1}}(B)$ où $𝔖_{n-1}$ agit par l'injection
canonique $𝔖_{n-1} ↪ 𝔖_n$. L'algèbre $A$ étale de rang $n$ sur $k$ et
trivialisée par $K\bo k$. Réciproquement, si $A$ est une algèbre étale de rang
-$n$ trivialisée par $K\bo k$, posons $X=A^{\japmath{田}}(K)$ (cf. p. ex.
+$n$ trivialisée par $K\bo k$, posons $X=A^{田}(K)$ (cf. p. ex.
\ref{notations Galois-Grothendieck}) et $Y⊆X^n$ le sous-ensemble de $n$-uplets
à coordonnées toutes distinctes. Il est naturellement muni d'une action du
groupe de permutation $𝔖_n$ ; il en est donc de même de l'algèbre $k_Y$.
@@ -1226,7 +1203,7 @@ En d'autres termes, la $k$-algèbre
\[A_{X,e}=k[T_{i,j},U]/\big((g_α(T_{i,j}))_{1≤ α ≤N},\det(T_{i,j})U-1\big)\]
\emph{représente} le foncteur $G_{X}$ :
les applications $(f_{i,j}) ↦ f$ induisent un isomorphisme
-de foncteur $A_{X,e}^\japmath{田} ⥲ G_{X}$. En particulier,
+de foncteur $A_{X,e}^田 ⥲ G_{X}$. En particulier,
il résulte du lemme de Yoneda (\refext{Cat}{lemme-de-yoneda})
que la $k$-algèbre $A_{X,e}$ est bien définie à $k$-isomorphisme près ;
nous la noterons $A_{X}$ voire $A$ pour alléger les notations.
@@ -1258,7 +1235,7 @@ isomorphe à $A_{L'}$ — car $K$ est contenu dans $L'$ —,
donc réduit par hypothèse sur $A_X$. On utilise alors le théorème \refext{AC}{}
d'après lequel une $k$-algèbre de type fini non nulle et géométriquement
réduite a un point dans une extension étale. Si $k'\bo k$
-est une telle extension, l'inégalité $B^\japmath{田}(k')≠ ∅$
+est une telle extension, l'inégalité $B^田(k')≠ ∅$
signifie que $I_{X,Y}(k')$ est non vide : $X$ et $Y$ sont isomorphes
sur $k'$. CQFD.
\end{démo}
@@ -1278,7 +1255,7 @@ Moins formellement :
\begin{corollaire2}
Il existe une $k$-algèbre de type fini $B$ telle
-que pour toute extension $K\bo k$, l'ensemble $B^{\japmath{田}}(K)=\Hom_K(X_{\bo K}, Y_{\bo
+que pour toute extension $K\bo k$, l'ensemble $B^{田}(K)=\Hom_K(X_{\bo K}, Y_{\bo
K})$ soit non vide si et seulement si il existe un $K$-isomorphisme
entre $X_{\bo K}$ et $Y_{\bo K}$.
\end{corollaire2}
@@ -1299,20 +1276,20 @@ D'après ce qui précède, il suffit de démontrer le lemme suivant.
\begin{lemme2}
Soit $B$ une $k$-algèbre de type finie et soit $K\bo k$ une extension
-telle que l'ensemble $B^{\japmath{田}}(K)$ soit non vide. Alors, il existe
+telle que l'ensemble $B^{田}(K)$ soit non vide. Alors, il existe
une extension \emph{finie} $k ′ \bo k$ telle que $B(k ′)≠ ∅$.
\end{lemme2}
\begin{démo}[Démonstration dans le cas particulier où $K\bo k$ est algébrique]
Comme expliqué par exemple en \refext{Spec}{points-quotient}, un élément
-de $B^{\japmath{田}}(K)$ correspond — via le choix d'une « présentation » de $B$ — à
+de $B^{田}(K)$ correspond — via le choix d'une « présentation » de $B$ — à
un point $x=(x₁, …, x_n)$ d'un espace affine $K^n$ satisfaisant un nombre fini d'équations
polynomiales. Le sous-corps $k ′=k(x₁, … ,x_n)$ de $K$, algébrique sur $k$,
convient.
\end{démo}
\begin{démo}[Cas général]
-L'ensemble $B^{\japmath{田}}(K)$ étant non vide, l'anneau $B$ est non nul.
+L'ensemble $B^{田}(K)$ étant non vide, l'anneau $B$ est non nul.
Soit donc $𝔪$ un idéal \emph{maximal} de $B$ (\refext{Spec}{Krull}).
Le quotient $B/𝔪$ est une $k$-algèbre de type fini qui est un corps. D'après
\refext{}{} \XXX, l'extension $B/ 𝔪 \bo k$ est \emph{finie}.
diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex
index e1a96e5..a88c2f6 100644
--- a/config/macros.tex
+++ b/config/macros.tex
@@ -44,9 +44,14 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\dec}{\mathrm}{déc}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Gal}{\mathrm}{Gal}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Result}{\mathrm}{Résult}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Br}{\mathrm}{Br}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Azu}{\mathrm}{Azu}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Tr}{\mathrm}{Tr}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Trd}{\mathrm}{Trd}
\DeclareMathOperatorWithFont{\N}{\mathrm}{N}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Nrd}{\mathrm}{Nrd}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\NSpin}{\mathrm}{N\!S}
\DeclareMathOperatorWithFont{\ev}{\mathrm}{ev}
@@ -59,6 +64,10 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\Orth}{\mathrm}{O}
\DeclareMathOperatorWithFont{\SOrth}{\mathrm}{SO}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\degtr}{\mathrm}{deg.tr}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\diag}{\mathrm}{diag}
+
% Exposants
\newcommand{\op}{^{\mathsf{op}}}
\newcommand{\sep}{^{\mathrm{sép}}}
@@ -73,6 +82,8 @@
\newcommand{\PP}{\mathbf{P}}
\newcommand{\FF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\GG}{\mathbf{G}}
+\newcommand{\Gm}{\mathbf{G}_{\mathrm{m}}}
+\newcommand{\Ga}{\mathbf{G}_{\mathrm{a}}}
%% Divers (choses qu'on pourrait vouloir changer)
@@ -82,6 +93,12 @@
% Symbole de Legendre
\newcommand{\Legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}
+% Quaternions
+\def\quater#1#2{\left(\frac{#1}{#2}\right)_{\mathbf{H}}}
+
+% Transposée
+\def\transpose#1{{^{\mathrm{t}}{#1}}}
+
% Pourquoi a-t-on fait ça ?
\newcommand{\MM}{\mathfrak{m}}