Merge gitosis@git.madore.org:galois

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@@ -609,17 +609,26 @@ $G$ a alors un élément d'ordre $5$.  Un tel élément, vu comme
 permutation, est nécessairement un $5$-cycle.  (De façon équivalente,
 on peut conclure que $G_f$ contient un $5$-cycle directement à partir
 du corollaire \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles} si on a
-remarqué que $f_3$ était irréductible.)  Par ailleurs, comme $f$
-possède exactement trois racines réelles (donc une paire de racines
-complexes conjuguées), la conjugaison complexe se restreint (une fois
-choisi un plongement quelconque de $\dec(f)$ dans $\CC$) en un
-automorphisme de $\dec(f)$ sur $\QQ$ qui échange deux racines de $f$
-et laisse les trois autres fixes.  Ainsi, le groupe de Galois $G$
-de $f$ peut se voir comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_5$ qui
+remarqué que $f_3$ était irréductible.)
+
+Par ailleurs, $f$ possède exactement trois racines réelles (donc une
+paire de racines complexes conjuguées) comme on le voit facilement
+avec un tableau de variation (ou en utilisant l'algorithme de
+Sturm-Liouville, cf. \XXX) : la conjugaison complexe se restreint donc
+(une fois choisi un plongement quelconque de $\dec(f)$ dans $\CC$) en
+un automorphisme de $\dec(f)$ sur $\QQ$ qui échange deux racines
+de $f$ et laisse les trois autres fixes.  Ainsi, le groupe de Galois
+$G$ de $f$ peut se voir comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_5$ qui
 contient un $5$-cycle et une transposition : un tel sous-groupe est
 nécessairement $\mathfrak{S}_5$ tout entier.  Le groupe de Galois
 de $f$ est donc $\mathfrak{S}_5$.
 
+(Plutôt que d'invoquer les racines réelles, on pouvait aussi faire
+appel à la factorisation de $f$ modulo $257$, à savoir $f_{257} = (X +
+91)\, (X - 53)\, (X - 31)\, (X^2 - 7 X - 118)$, qui d'après le
+corollaire \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles} permet
+également de conclure à l'existence d'une transposition dans $G$.)
+
 \subsubsection{}\label{exemple-galois-quintique-alterne} Considérons le polynôme $f = X^5 + 20X + 16$ sur $\QQ$.
 Il est irréductible parce que sa réduction modulo $p=3$ est
 irréductible : comme précédemment, on en déduit que son groupe de
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+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -457,9 +457,9 @@ l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de l'unité $\omega$, on
 peut décrire l'algorithme précédent de la manière suivante, en
 supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de l'unité $\zeta$ :
 poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ (on a
-alors $\omega = \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer $a_j :=
-(\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$ uniquement.
-Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
+alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer
+$a_j := (\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$
+uniquement.  Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
 $\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
 Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), mais
 en fait on peut aussi simplement affirmer qu'on fait les calculs dans
@@ -483,7 +483,7 @@ ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les choses
 différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des $\alpha_j$
 avec $j$ pair uniquement (c'est-à-dire qu'on peut se contenter des
 racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité) : on a $\gamma =
-\sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$.
+\frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$.
 
 Une fois calculé $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ (en
 radicaux), on peut éventuellement en déduire une expression (toujours
@@ -498,7 +498,7 @@ le bon choix de $\omega$, alors on vérifie facilement que $\gamma^2 +
 comme élément de degré $2$ au-dessus de l'extension engendrée
 par $\gamma$ et appliquer la technique générale.
 
-\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$}
+\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$ et $\sin\frac{2\pi}{n}$}
 
 \subsubsection{} Nous nous proposons dans cette section de calculer
 les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins
@@ -511,7 +511,8 @@ d'égalité (qui se produit uniquement si $n$ est pair et $x$ réel
 négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on cherche à
 exprimer, avec cette notation, le nombre $\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est
 défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n + \omega_n^{-1})$, voire le nombre
-$e^{2 i \pi/n} = \omega_n$, où $\omega_n$ est la racine primitive
+$e^{2 i \pi/n} = \omega_n = \cos\frac{2\pi}{n} +
+\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{n}$, où $\omega_n$ est la racine primitive
 $n$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie
 imaginaire positive.
 
@@ -565,7 +566,9 @@ Ou bien on peut, de façon plus systématique mais moins commode,
 calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1
 = \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}}$, et de même $\alpha_3 =
 \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}}$.  On a alors $\omega =
-\frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$.
+\frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$.  Dans ce cas,
+on trouve $\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \root4\of{-15 +
+  20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} \big)$.
 
 \XXX --- Il faudrait « expliquer » le fait que $\root4\of{-15 +
   20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 +
@@ -577,13 +580,13 @@ $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$.  (Citées dans cet ordre car
 avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle
 qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire
 positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine
-sixième principale est $-zeta^2$.)
+sixième principale est $-\zeta^2$.)
 
 \subsubsection{$n=7$} Si $\omega$ désigne une racine
 primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités
-$\alpha_j := \sum_{i=0}^6 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est
-une racine cubique primitive de l'unité.  On a bien sûr $\alpha_0 =
--1$.
+$\alpha_j := \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est
+une racine cubique primitive de l'unité (et donc $-\zeta^2$ une racine
+primitive $6$-ième de l'unité).  On a bien sûr $\alpha_0 = -1$.
 
 Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
 \omega^{-1})$.  Comme on l'a expliqué, pour ce faire, on va calculer
@@ -593,7 +596,8 @@ haut avec nos conventions sur les déterminations principales, on peut
 écrire $\alpha_2 = \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$.
 De même (ou en appliquant la conjugaison complexe), on a $\alpha_4 =
 \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$.  Ceci conduit déjà à
-l'expression suivante pour $\gamma$ :
+l'expression suivante pour $\gamma = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 +
+\alpha_4)$ :
 \[
 \cos\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
 -1 + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
@@ -607,20 +611,119 @@ $\alpha_5$.  On peut calculer $(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta =
 -\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 =
 -\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même,
 $\alpha_5 = \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$.  Au
-final, on obtient l'expression suivante de $\omega$ :
+final, on obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 +
+\cdots + \alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \,
+\sin\frac{2\pi}{7}$ où :
 \[
-\begin{array}{rl}
-\displaystyle e^{2i\pi/7} &\displaystyle = \frac{1}{6}\Big(
--1 + \sqrt{-7} + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
-+ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}\\\noalign{\vskip.5ex}
-&\displaystyle\hphantom{= \frac{1}{6}\Big(}
-+ \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
+\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
+\sqrt{-7} + \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
 - \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
-\Big)\\
+\Big)
+\]
+
+Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7}
+= \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne
+semble pas plus agréable que celle obtenue ci-dessus.
+
+\subsubsection{$n=11$} Maintenant $\omega$ désigne une racine
+primitive $11$-ième de l'unité.  On considère les quantités $\alpha_j
+:= \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij} \omega^{2^i}$ où $\zeta$ est une
+racine primitive $5$-ième de l'unité (et donc $-\zeta^3$ une racine
+primitive $10$-ième de l'unité, et précisément $e^{i \pi/5}$ si $\zeta
+= e^{2 i \pi/5}$), qu'on a vu ci-dessus qu'on pouvait écrire
+$\frac{1}{4}\big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\big)$.  On a bien
+sûr $\alpha_0 = -1$.
+
+Pour calculer $\cos\frac{2\pi}{11}$, on calculera d'abord
+$(\alpha_2)^5 = -286 - 220 \zeta + 165 \zeta^2 - 110 \zeta^3$ : on
+voudra surtout réexprimer cette quantité sur la $\QQ$-base de
+$\QQ(\zeta)$ donnée par $1, \sqrt{5}, \penalty-100
+\sqrt{-10+2\sqrt{5}}, \penalty-100 \sqrt{-10-2\sqrt{5}}$ (soit $1,
+-1-2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2 +
+4\zeta + 2\zeta^2 + 2\zeta^3$) : on trouve $(\alpha_2)^5 =
+\frac{11}{4}(-89 - 25\sqrt{5} + \penalty-100 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
+\penalty-100 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$.  En ajoutant la bonne puissance
+de $\zeta$ pour trouver la valuation principale choisie, on peut alors
+écrire : $\alpha_2 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0
+\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}}
+\penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
+  20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$.  Des calculs analogues donnent : $\alpha_4
+= \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big)
+\penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 +
+  25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$,
+$\alpha_6 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0
+\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}}
+\penalty-100 \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} +
+  25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$, et $\alpha_8 = \frac{1}{4} \big(
+-1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root
+5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} -
+  25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$.  Finalement, pour
+$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{11} =
+\frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4 + \alpha_6 + \alpha_8)$,
+on trouve :
+\[
+\begin{array}{rl}
+\rlap{$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; -\frac{1}{10} \;\;\;
++ \;\;\; \frac{1}{40} \, \root5\of{\frac{11}{4}} \;\; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
+&\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}
+\rlap{\;\;\Bigg)}
 \end{array}
 \]
 
-\XXX --- On doit pouvoir écrire ça un peu autrement (comme pour $n=5$).
+Le calcul de $\omega = e^{2i\pi/11}$ peut se faire de façon analogue :
+on calcule par exemple $(\alpha_1)^{10} = \frac{11}{4}(51\,061 +
+2\,725\sqrt{5} + \penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
+\penalty-100 6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$, ce qui permet d'écrire
+$\alpha_1 = \frac{1}{4} \big( 1-\sqrt{5} + \penalty0
+\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root {10}\of{\frac{11}{4}}
+\penalty-100 \root{10}\of{\Big(} 51\,061 + 2\,725\sqrt{5} +
+\penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - \penalty-100
+6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \overline{\Big)}$.  Les cas de
+$\alpha_3,\alpha_7,\alpha_9$ sont analogues.  Quant à $\alpha_5$, il
+vaut $\sqrt{-11}$.  On obtient finalement :
+\[\footnotesize
+\begin{array}{rl}
+\rlap{$\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; \frac{\sqrt{-11}}{10} \;\;\;
++\;\; \frac{1}{40}\, \root{10}\of{\frac{11}{4}} \; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
+&\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \hphantom{-}\Big( 1-\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} + 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
+\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \hphantom{-}\Big( 1+\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big)
+\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} - 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
++ &\displaystyle \Big( -1-\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big)
+\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} + 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}
+\rlap{\;\;\Bigg)}\\
+\end{array}
+\]
+
+\subsubsection{$n=13$} \XXX
+
+\[
+\begin{array}{rl}
+\displaystyle\cos\frac{2\pi}{13}
+&\displaystyle= - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} \, \sqrt{13} + \frac{1}{24} {\left(-1 + \sqrt{-3}\right)} \, \root3\of{-\frac{65}{2} - \frac{39}{2} \, \sqrt{-3}}
+- \frac{1}{24} \, {\left(1 + \sqrt{-3}\right)} \root3\of{-\frac{65}{2} + \frac{39}{2} \, \sqrt{-3}}\\
+&\displaystyle + \frac{1}{24} {\left(1 + \sqrt{-3}\right)} \, \root6\of{-\frac{4381}{2} - \frac{195}{2} \, \sqrt{-3}} - \frac{1}{24} \, {\left(-1 + \sqrt{-3}\right)} \root6\of{-\frac{4381}{2} + \frac{195}{2} \, \sqrt{-3}}\\
+\end{array}
+\]
+
+\subsubsection{$n=17$} \XXX
+
+\[
+\begin{array}{rl}
+\displaystyle\cos\frac{2\pi}{17}
+&\displaystyle= - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \, \sqrt{17} + \frac{1}{8} \, \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}\\
+&\displaystyle + \frac{1}{4} \, \sqrt{\frac{17}{4} + \frac{3}{4} \, \sqrt{17} - \frac{1}{2} \, \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}}
+\end{array}
+\]
 
 
 
diff --git a/divers/sageries/racine-13e-de-1 b/divers/sageries/racine-13e-de-1
new file mode 100644
index 0000000..e0b40eb
--- /dev/null
+++ b/divers/sageries/racine-13e-de-1
@@ -0,0 +1,18 @@
+K.<a> = CyclotomicField(156)
+omega = a^12
+zeta = a^13
+alpha = [sum([zeta^(i*j)*omega^(2^i) for i in range(12)]) for j in range(13)]
+powtab = [NN(12/gcd(i,12)) for i in range(12)]
+atab = [alpha[i]^powtab[i] for i in range(12)]
+atab_on_zeta_basis = [(QQ^4)((zeta.coordinates_in_terms_of_powers())(x)) for x in atab]
+sqrtm3 = 2*zeta^2-1
+nice_basis = [1, sqrtm3, zeta, -zeta*sqrtm3]
+m = Matrix(QQ, 4, 4, [(QQ^4)((zeta.coordinates_in_terms_of_powers())(x)) for x in nice_basis])
+atab_on_nice_basis = [v * m.inverse() for v in atab_on_zeta_basis]
+zetab = [ZZ(floor(arg(CC(N(alpha[i])/N(atab[i]^(1/powtab[i]))))/arg(zeta)+0.5)) for i in range(12)]
+btab = [zeta^zetab[i] for i in range(12)]
+btab_on_zeta_basis = [(QQ^4)((zeta.coordinates_in_terms_of_powers())(x)) for x in btab]
+btab_on_nice_basis = [v * m.inverse() for v in btab_on_zeta_basis] 
+symbolic_basis = [1, sqrt(-3), sqrt((1/2)*(1+sqrt(-3))),  sqrt(-(3/2)*(1+sqrt(-3)))]
+symbolic_zeta = sum([sum([btab_on_nice_basis[i][j]*symbolic_basis[j] for j in range(4)])*(sum([atab_on_nice_basis[i][j]*symbolic_basis[j] for j in range(4)]))^(1/powtab[i]) for i in range(12)])/12
+symbolic_cos = sum([sum([btab_on_nice_basis[i][j]*symbolic_basis[j] for j in range(4)])*(sum([atab_on_nice_basis[i][j]*symbolic_basis[j] for j in range(4)]))^(1/powtab[i]) for i in range(0,12,2)])/12
diff --git a/divers/sageries/racine-17e-de-1 b/divers/sageries/racine-17e-de-1
new file mode 100644
index 0000000..31af5b9
--- /dev/null
+++ b/divers/sageries/racine-17e-de-1
@@ -0,0 +1,32 @@
+K.<omega> = CyclotomicField(17)
+sqrt17 = sum([(-1)^i*omega^(3^i) for i in range(16)])
+sub2 = [sum([(-1)^i*omega^(3^j*9^i) for i in range(8)]) for j in range(2)]
+sub4 = [sum([(-1)^i*omega^(3^j*13^i) for i in range(4)]) for j in range(4)]
+sub8 = [sum([(-1)^i*omega^(3^j*16^i) for i in range(2)]) for j in range(8)]
+nice_basis = [1, sqrt17] + sub2 + sub4 + sub8
+for i in range(16):
+    z = CC(nice_basis[i])
+    if z.real_part()<=-0.0001 or (abs(z.real_part())<0.0001 and z.imag_part()<0):
+        nice_basis[i] = -nice_basis[i]
+
+sub2 = nice_basis[2:4]
+sub4 = nice_basis[4:8]
+sub8 = nice_basis[8:16]
+m = Matrix(QQ, 16, 16, [(QQ^16)((omega.coordinates_in_terms_of_powers())(x)) for x in nice_basis])
+def on_nice_basis(x):
+    return (QQ^16)((omega.coordinates_in_terms_of_powers())(x)) * m.inverse()
+
+symbolic_sqrt17 = sqrt(17)
+symbolic_basis = [1, symbolic_sqrt17]
+def symbolicize(x):
+    v = on_nice_basis(x)
+    return sum([v[i]*symbolic_basis[i] for i in range(16) if v[i]!=0])
+
+symbolic_sub2 = [sqrt(symbolicize(x^2)) for x in sub2]
+symbolic_basis = symbolic_basis + symbolic_sub2
+symbolic_sub4 = [sqrt(symbolicize(x^2)) for x in sub4]
+symbolic_basis = symbolic_basis + symbolic_sub4
+symbolic_sub8 = [sqrt(symbolicize(x^2)) for x in sub8]
+symbolic_basis = symbolic_basis + symbolic_sub8
+symbolic_cos = symbolicize((omega+omega^-1)/2)
+symbolic_omega = symbolicize(omega)