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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-04 13:49:00 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-04 13:49:00 (GMT)
commit5b7fe0339d81316618d34337764d781c8b2dfada (patch)
tree3b92b88b506a2e83d3e128eb42fba089c797e9d5
parent7e0407b3475d64a212cfc600d8971070b4cebeaf (diff)
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[calculs] Autre exemple important de résolvante.
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex14
-rw-r--r--chapitres/exemples-galois.tex4
2 files changed, 15 insertions, 3 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 3ff94e7..35b5586 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1381,6 +1381,18 @@ symétriques élémentaires).
dans $\mathfrak{S}_d$, et $\mathfrak{S}_d/H$ s'identifie à
$\{1,\ldots,d\}$, si bien que $R_P(f)$ est simplement le polynôme
$f$ lui-même.
+\item Si $1\leq r \leq d$, le polynôme $P := Z_1 + \cdots + Z_r$ a
+ pour stabilisateur le sous-groupe $H$ de $\mathfrak{S}_d$
+ stabilisant la partie $A = \{1,\ldots,r\}$ de cardinal $r$. La
+ résolvante $R_P(f)$ a pour racines toutes les $\frac{d!}{r!(d-r)!}$
+ sommes de $r$ racines de $f$, et, à supposer que celles-ci soient
+ distinctes, étudier l'action du groupe de Galois de $f$ dessus
+ revient à étudier l'action de ce groupe de Galois sur les ensembles
+ de $r$ racines. Au chapitre \refext{ExG}{} (voir notamment les
+ exemples \refext{ExG}{exemple-galois-psl-3-f-2} et
+ \refext{ExG}{exemple-galois-m-12}), on a vu que l'étude de cette
+ action pouvait permettre de distinguer utilement des groupes de
+ Galois.
\end{itemize}
\end{exemples2}
@@ -1492,7 +1504,7 @@ d'un polynôme $f$ séparable irréductible de degré $d$ :
proposition \ref{factorisation-des-polynomes-est-algorithmique} nous
assure que ceci est algorithmique pour les polynômes sur les
rationnels : en pratique, il faut bien sûr chercher des
- algorithmiques plus efficaces que ceux, complètement théoriques,
+ algorithmes plus efficaces que ceux, complètement théoriques,
exposés dans la preuve de celle-ci), ou au moins en calculer les
racines dans $K$. Lorsque $R_P(f) \in K[X]$ est séparable (ce qui
est « le plus souvent » le cas), la
diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index 1aadf2f..fb2f3a8 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -1737,7 +1737,7 @@ $c(\tau)$.
\section{Autres exemples}
-\subsection{$PSL_3(\FF_2)$}
+\subsection{$PSL_3(\FF_2)$}\label{exemple-galois-psl-3-f-2}
Considérons le polynôme $f = X^7 - 7X + 3$ sur $\QQ$ : il est
irréductible car sa réduction modulo $2$ l'est. On va montrer que son
@@ -1886,7 +1886,7 @@ maximaux que d'ordres $24$ et $21$, donc le seul sous-groupe d'ordre
multiple de $28$ est $PSL_3(\FF_2)$ tout entier.
\end{proof}
-\subsection{$M_{12}$}
+\subsection{$M_{12}$}\label{exemple-galois-m-12}
%% R.<x> = ZZ['x']
%% f = x^12 - 375*x^8 - 3750*x^6 - 75000*x^3 + 228750*x^2 - 750000*x + 1265625