[radicaux] Racines 5-ièmes de l'unité (mais ma rédaction est de plus en plus pourrie).

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@@ -417,11 +417,10 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) :
   à déterminer selon le choix de convention qui aurait été fait de la
   détermination de $\root m\of a_j$), et enfin retrouver $\gamma$ en
   inversant la matrice de Vandermonde $\zeta^{ij}$, c'est-à-dire
-  $\gamma = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \zeta^{-j} \alpha_j$).  Les
-  calculs des $a_j$ (puis des $\alpha_j$) pour différents $j$ peuvent
-  souvent se mener de façon commune lorsque le groupe de Galois des
-  racines $m$-ièmes de l'unité opère de façon agréable sur la
-  situation.
+  $\gamma = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j$).  Les calculs des
+  $a_j$ (puis des $\alpha_j$) pour différents $j$ peuvent souvent se
+  mener de façon commune lorsque le groupe de Galois des racines
+  $m$-ièmes de l'unité opère de façon agréable sur la situation.
 \item Si le groupe de Galois de $K \bo k$ est résoluble mais non
   cyclique, on commence par en trouver une suite de chaîne $G = G_0
   \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$, on appelle $k_i$ le corps
@@ -438,18 +437,19 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) :
 \subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{m}$}
 
 \subsubsection{} Nous nous proposons dans cette section de calculer
-les expressions en radicaux de $\cos\frac{2\pi}{m}$ pour quelques
-valeurs de $m$.  Pour rendre cette idée plus précise, on considère la
-clôture par radicaux $\QQ\resol$ de $\QQ$ dans $\CC$, en utilisant la
-notation $\root m \of x$ pour la « détermination principale » de la
-racine $m$-ième de $x$, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est
-la plus grande et, en cas d'égalité (qui se produit uniquement si $m$
-est pair et $x$ réel négatif), celle qui a la partie imaginaire
-positive ; et on cherche à exprimer, avec cette notation, le nombre
-$\cos\frac{2\pi}{m}$ qui est défini comme $\frac{1}{2}(\zeta_m +
-\zeta_m^{-1})$ où $\zeta_m$ est la racine primitive $m$-ième de
-l'unité de partie réelle la plus grande et de partie imaginaire
-positive.
+les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/m}$ ou au moins
+$\cos\frac{2\pi}{m}$ pour quelques valeurs de $m$.  Pour rendre cette
+idée plus précise, on considère la clôture par radicaux $\QQ\resol$ de
+$\QQ$ dans $\CC$, en utilisant la notation $\root m \of x$ pour la
+« détermination principale » de la racine $m$-ième de $x$,
+c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus grande et, en cas
+d'égalité (qui se produit uniquement si $m$ est pair et $x$ réel
+négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on cherche à
+exprimer, avec cette notation, le nombre $\cos\frac{2\pi}{m}$ qui est
+défini comme $\frac{1}{2}(\zeta_m + \zeta_m^{-1})$, voire le nombre
+$e^{2 i \pi/m} = \zeta_m$, où $\zeta_m$ est la racine primitive
+$m$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie
+imaginaire positive.
 
 \XXX --- Ce texte est tout pourri.  Le réécrire.
 
@@ -459,7 +459,53 @@ primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X +
 $\alpha := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $\alpha^2 = \omega^2 - 2 +
 \omega^{-1} = -3$.  Eu égard aux conventions que nous avons faites sur
 la détermination principale des racines, on peut écrire $\alpha =
-\sqrt{-3}$, de sorte que $\omega = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$.
+\sqrt{-3}$, de sorte que $\omega = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ :
+\[
+e^{2i\pi/3} = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})
+\]
+
+\subsubsection{$m=4$} Si $\omega$ désigne une racine
+primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_4 =
+X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$.  Eu égard aux conventions que
+nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut
+écrire $\omega = \sqrt{-1}$ :
+\[
+e^{i\pi/2} = \sqrt{-1}
+\]
+
+\subsubsection{$m=5$} Si $\omega$ désigne une racine
+primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_5 =
+X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités $\alpha_j
+:= \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$, c'est-à-dire :
+$\alpha_0 = \omega + \omega^2 + \omega^4 + \omega^3$ et $\alpha_1 =
+\omega + \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 - \sqrt{-1}\, \omega^3$ et
+$\alpha_2 = \omega - \omega^2 + \omega^4 - \omega^3$ et $\alpha_3 =
+\omega - \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 + \sqrt{-1}\, \omega^3$.  Il
+est clair que $\alpha_0 = -1$.  D'autre part, $(\alpha_2)^2 = 5$ comme
+on le calcule en développant, et compte tenus des choix de
+déterminations, $\alpha_2 = \sqrt{5}$.  Ceci permet déjà d'exprimer
+$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{5}$,
+puisque $\gamma = \frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_2)$, on a donc $\gamma
+= \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})$ :
+\[
+\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})
+\]
+
+Pour obtenir l'expression de $\omega$ lui-même, on peut bien sûr
+calculer $\sin\frac{2\pi}{5} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{5}} =
+\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$ et en déduire
+\[
+e^{2i\pi/5} = \frac{1}{4}\Big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\Big)
+\]
+Ou bien on peut, de façon plus systématique mais moins commode,
+calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1
+= \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}}$, et de même $\alpha_3 =
+\sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}}$.  On a alors $\omega =
+\frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$.
+
+\XXX --- Il faudrait « expliquer » le fait que $\root4\of{-15 +
+  20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 +
+  2\sqrt{5}}$.