[Gröbner] Proposition : si les monômes initiaux sont deux à deux premiers entre eux, on a une base de Gröbner. + Utilisation.

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@@ -255,8 +255,8 @@ peut considérer « multidegré » comme simplement synonyme de « monôme
 Si $f,g$ sont deux polynômes, alors $\initial(gf) =
 \initial(g)\,\initial(f)$ : en effet, les propriétés d'un ordre
 admissible (\ref{definition-ordres-admissibles}) font que le monôme
-d'aucun terme de $gf$ ne peut être plus grand que celui produit du
-terme de tête de $g$ et de celui de $f$.
+d'aucun terme de $gf$ ne peut être plus grand que le produit du monôme
+initial de $g$ et de celui de $f$.
 
 En particulier, si $cs$ est un terme (avec $c \in k$ une constante et
 $s$ un monôme), alors pour tout polynôme $f$ on a $\initial(csf) =
@@ -973,6 +973,47 @@ devrait être combinaison des $\sigma^{(i,j)}$, donc la relation
 d'origine aussi.
 \end{proof}
 
+\begin{proposition2}\label{division-avec-termes-de-tete-premiers-entre-eux}
+(A) Les notations étant comme en \ref{definition-s-polynome}, si
+  $\initial{f_1}$ et $\initial{f_2}$ sont premiers entre eux
+  (c'est-à-dire qu'ils n'ont aucune variable en commun :
+  $\pgcd(\initial(f_1),\initial(f_2)) = 1$), alors il existe une
+  écriture standard (au sens de \ref{algorithme-division}) de
+  $S(f_1,f_2) = \initial(f_2)\,f_1 - \initial(f_1)\,f_2$ dont le reste
+  $\rho$ est nul.
+
+(B) Par conséquent, dans le critère \ref{critere-de-buchberger}, on
+  peut se contenter de tester la valeur de $\rho_{i,j}$ pour les
+  paires $f_i,f_j$ telles que $\initial{f_i}$ et $\initial{f_j}$ ne
+  soient pas premiers entre eux.
+
+(C) Notamment, si $f_1,\ldots,f_r$ sont tels que les $\initial{f_i}$
+  sont premiers entre eux deux à deux, alors ils sont une base de
+  Gröbner de l'idéal qu'ils engendrent.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Seul le (A) nécessite une démonstration, les autres affirmation en
+étant une conséquence immédiate (compte tenu
+de \ref{critere-de-buchberger}).
+
+On a $S(f_1,f_2) = \initial(f_2)\,f_1 - \initial(f_1)\,f_2 = (f_1 -
+\initial(f_1))\,f_2 - (f_2 - \initial(f_2))\,f_1 = p_2 f_1 - p_1 f_2$
+où $p_i = f_i - \initial(f_i)$.  Ainsi, $\initial(p_i) \prec
+\initial(f_i)$.  Les monômes initiaux de $p_2 f_1$ et $p_1 f_2$ ne
+peuvent pas être les mêmes : en effet, les monômes initiaux de $f_1$
+et $f_2$ sont premiers entre eux, donc une égalité ne serait possible
+que si $\initial(p_i)$ était divisible par $\initial(f_i)$, ce qui
+n'est pas le cas.  Supposons sans perte de généralité que
+$\initial(p_1 f_2) \prec \initial(p_2 f_1)$ : alors le monôme
+initial de $p_2 f_1 - p_1 f_2$ est celui de $p_1 f_2$, et l'écriture
+$p_2 f_1 - p_1 f_2$ est une écriture standard (avec reste nul) au sens
+de \ref{algorithme-division}, comme on le voulait.
+
+\XXX --- Cette démonstration est-elle bien complète ?  Pourquoi
+Eisenbud, dans la solution de l'exercice 15.20 (dernière phrase)
+suggère-t-il de faire une sorte de récurrence ?
+\end{proof}
+
 \begin{algorithme2}[algorithme de Buchberger]\label{algorithme-de-buchberger}
 Donné $f_1,\ldots,f_r \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$, on peut calculer
 effectivement une base de Gröbner de l'idéal qu'ils engendrent.
@@ -1679,14 +1720,16 @@ $\ZZ[E_1,\ldots,E_d,T_1,\ldots,T_d,X]$) on remplace chaque $E_i$ par
 $(-1)^i a_i$ et chaque $T_i$ par $Z_i$, on trouve $f(X) = q_d +
 (X-Z_1)\, q_{d-1} + \cdots + (X-Z_1)\cdots(X-Z_{d-1})\, q_1 +
 (X-Z_1)\cdots(X-Z_d)$.  En particulier, dans $B$, on a $f(X) = (X-Z_1)
-\cdot (X-Z_d)$, c'est-à-dire que $e_i(Z_1,\ldots,Z_d) = (-1)^i a_i$,
+\cdots (X-Z_d)$, c'est-à-dire que $e_i(Z_1,\ldots,Z_d) = (-1)^i a_i$,
 ou encore que cette relation est dans $J$.  On vient donc de montrer
 $I \subseteq J$.
 
 À ce stade, nous savons que $I$ coïncide avec l'idéal $J$ engendré par
 $q_1,\ldots,q_d$.  Il reste encore à montrer que ceux-ci en sont une
-base de Gröbner.  \XXX : ceci va résulter du fait que leurs termes de
-tête, $Z_{d-i+1}^i$ sont premiers entre eux.
+base de Gröbner.  Mais le terme initial de $q_i$ vaut $Z_{d-i+1}^i$,
+ces monômes sont deux à deux premiers entre eux, et
+\ref{division-avec-termes-de-tete-premiers-entre-eux} permet de
+conclure qu'ils forment une base de Gröbner.
 \end{proof}
 
 \begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe}