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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-01-18 18:18:54 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-01-18 18:22:09 +0100 |
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[Gröbner] Proposition : si les monômes initiaux sont deux à deux premiers entre eux, on a une base de Gröbner. + Utilisation.
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 6b99a29..1c21208 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -255,8 +255,8 @@ peut considérer « multidegré » comme simplement synonyme de « monôme Si $f,g$ sont deux polynômes, alors $\initial(gf) = \initial(g)\,\initial(f)$ : en effet, les propriétés d'un ordre admissible (\ref{definition-ordres-admissibles}) font que le monôme -d'aucun terme de $gf$ ne peut être plus grand que celui produit du -terme de tête de $g$ et de celui de $f$. +d'aucun terme de $gf$ ne peut être plus grand que le produit du monôme +initial de $g$ et de celui de $f$. En particulier, si $cs$ est un terme (avec $c \in k$ une constante et $s$ un monôme), alors pour tout polynôme $f$ on a $\initial(csf) = @@ -973,6 +973,47 @@ devrait être combinaison des $\sigma^{(i,j)}$, donc la relation d'origine aussi. \end{proof} +\begin{proposition2}\label{division-avec-termes-de-tete-premiers-entre-eux} +(A) Les notations étant comme en \ref{definition-s-polynome}, si + $\initial{f_1}$ et $\initial{f_2}$ sont premiers entre eux + (c'est-à-dire qu'ils n'ont aucune variable en commun : + $\pgcd(\initial(f_1),\initial(f_2)) = 1$), alors il existe une + écriture standard (au sens de \ref{algorithme-division}) de + $S(f_1,f_2) = \initial(f_2)\,f_1 - \initial(f_1)\,f_2$ dont le reste + $\rho$ est nul. + +(B) Par conséquent, dans le critère \ref{critere-de-buchberger}, on + peut se contenter de tester la valeur de $\rho_{i,j}$ pour les + paires $f_i,f_j$ telles que $\initial{f_i}$ et $\initial{f_j}$ ne + soient pas premiers entre eux. + +(C) Notamment, si $f_1,\ldots,f_r$ sont tels que les $\initial{f_i}$ + sont premiers entre eux deux à deux, alors ils sont une base de + Gröbner de l'idéal qu'ils engendrent. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Seul le (A) nécessite une démonstration, les autres affirmation en +étant une conséquence immédiate (compte tenu +de \ref{critere-de-buchberger}). + +On a $S(f_1,f_2) = \initial(f_2)\,f_1 - \initial(f_1)\,f_2 = (f_1 - +\initial(f_1))\,f_2 - (f_2 - \initial(f_2))\,f_1 = p_2 f_1 - p_1 f_2$ +où $p_i = f_i - \initial(f_i)$. Ainsi, $\initial(p_i) \prec +\initial(f_i)$. Les monômes initiaux de $p_2 f_1$ et $p_1 f_2$ ne +peuvent pas être les mêmes : en effet, les monômes initiaux de $f_1$ +et $f_2$ sont premiers entre eux, donc une égalité ne serait possible +que si $\initial(p_i)$ était divisible par $\initial(f_i)$, ce qui +n'est pas le cas. Supposons sans perte de généralité que +$\initial(p_1 f_2) \prec \initial(p_2 f_1)$ : alors le monôme +initial de $p_2 f_1 - p_1 f_2$ est celui de $p_1 f_2$, et l'écriture +$p_2 f_1 - p_1 f_2$ est une écriture standard (avec reste nul) au sens +de \ref{algorithme-division}, comme on le voulait. + +\XXX --- Cette démonstration est-elle bien complète ? Pourquoi +Eisenbud, dans la solution de l'exercice 15.20 (dernière phrase) +suggère-t-il de faire une sorte de récurrence ? +\end{proof} + \begin{algorithme2}[algorithme de Buchberger]\label{algorithme-de-buchberger} Donné $f_1,\ldots,f_r \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$, on peut calculer effectivement une base de Gröbner de l'idéal qu'ils engendrent. @@ -1679,14 +1720,16 @@ $\ZZ[E_1,\ldots,E_d,T_1,\ldots,T_d,X]$) on remplace chaque $E_i$ par $(-1)^i a_i$ et chaque $T_i$ par $Z_i$, on trouve $f(X) = q_d + (X-Z_1)\, q_{d-1} + \cdots + (X-Z_1)\cdots(X-Z_{d-1})\, q_1 + (X-Z_1)\cdots(X-Z_d)$. En particulier, dans $B$, on a $f(X) = (X-Z_1) -\cdot (X-Z_d)$, c'est-à-dire que $e_i(Z_1,\ldots,Z_d) = (-1)^i a_i$, +\cdots (X-Z_d)$, c'est-à-dire que $e_i(Z_1,\ldots,Z_d) = (-1)^i a_i$, ou encore que cette relation est dans $J$. On vient donc de montrer $I \subseteq J$. À ce stade, nous savons que $I$ coïncide avec l'idéal $J$ engendré par $q_1,\ldots,q_d$. Il reste encore à montrer que ceux-ci en sont une -base de Gröbner. \XXX : ceci va résulter du fait que leurs termes de -tête, $Z_{d-i+1}^i$ sont premiers entre eux. +base de Gröbner. Mais le terme initial de $q_i$ vaut $Z_{d-i+1}^i$, +ces monômes sont deux à deux premiers entre eux, et +\ref{division-avec-termes-de-tete-premiers-entre-eux} permet de +conclure qu'ils forment une base de Gröbner. \end{proof} \begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe} |