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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 21:38:08 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 21:38:08 (GMT)
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Unicode : racines carrées (le caractère √ n'est pas actif).
-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex4
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-rw-r--r--chapitres/brauer.tex26
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--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -337,7 +337,7 @@ $ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$.
\end{proposition2}
\begin{exemple2}
-$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
+$ζ_{𝐐(\sqrt{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(\sqrt{m})}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
@@ -789,7 +789,7 @@ Cf. cours à Hyères (2008).
Utilise :
-— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;
+— $𝐐(j)=𝐐(\sqrt{3})$ est euclidien ;
— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;
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index a88d1e3..1b80e8c 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -575,8 +575,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour tout nombre premier $ℓ$, toute racine $ℓ$-ième
de l'unité dans $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$ et,
-\item toute racine primitive quatrième de l'unité $√{-1}$
-dans $K$ telle que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$
+\item toute racine primitive quatrième de l'unité $\sqrt{-1}$
+dans $K$ telle que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$
est en fait dans $k^×$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
@@ -614,10 +614,10 @@ Puisque $ℓ$ est premier à $r/(n,r)$, on en
tire $a ∈ {k^×}^ℓ$, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi $ℓ$ ne divise pas
$m$ et l'égalité $ζ_ℓ^m=λ^m a^{r/(n,r)} ∈ k^×$ entraîne l'appartenance
de $ζ_ℓ$ à $k^×$. Vérifions maintenant le critère (b) en supposant
-que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier
+que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier
que la caractéristique de $k$ est différente de deux, sans quoi il n'y a rien à
démontrer.) Écrivons comme précédemment
-\[1+√{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$.
+\[1+\sqrt{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$.
\begin{itemize}
\item [Cas où quatre divise $m$.] On obtient par élévation à la puissance $m$ l'égalité
@@ -633,16 +633,16 @@ Or, il résulte de notre hypothèse que si $s$ est un entier tel que
$4|ns$ et $a^s ∈ -4 {k^×}⁴$ alors $4|s$. En effet on aurait
dans le cas contraire soit $4|n$ et $a ∈ -4 {k^×}⁴$ (ce qui est exclu)
soit $2|n$ et $a² ∈ -4 {k^×}⁴$. Cette dernière possibilité est
-également exclue car on aurait alors $√{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$.
+également exclue car on aurait alors $\sqrt{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$.
Appliquant cette observation à $s=r/(n,r)$, on constate que
l'élément $a^{r/(n,r)}$ ne peut appartenir à l'ensemble $-4 {k^×}⁴$
si quatre ne divise pas $r/(n,r)$. Contradiction.
\end{itemize}
\item [Cas où quatre ne divise pas $m$.]
-Puisque $(1+√{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$,
-il en est de même de $√{-1}$ compte tenu du fait que
-$2^{-[m/2]}(1+√{-1})^m$ appartient à l'ensemble
-$\{±√{-1},±1±√{-1}\}$.
+Puisque $(1+\sqrt{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$,
+il en est de même de $\sqrt{-1}$ compte tenu du fait que
+$2^{-[m/2]}(1+\sqrt{-1})^m$ appartient à l'ensemble
+$\{±\sqrt{-1},±1±\sqrt{-1}\}$.
\end{itemize}
\end{démo}
@@ -721,7 +721,7 @@ conditions suivantes sont satisfaites :
\begin{itemize}
\item [si $ℓ≠2$ :] $x^ℓ$ appartient à $G_n$ ;
\item [si $ℓ=2$ :] $x²$ appartient à $G_n$ et, d'autre part, soit
-$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $√{-1}$ n'appartient pas à $k_n$.
+$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_n$.
\end{itemize}
\end{itemize}
Les énoncés $C₀$ et $D₀$ sont trivialement vrais. Supposons donc $n>0$.
@@ -781,35 +781,35 @@ $x²$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ \{0,1\}$
et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x²=g_n^s h$.
\begin{itemize}
\item[Cas $s=0$.] Même démonstration que ci-dessus. Observer
-que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient
-pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient
+que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
+pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
pas à $k_{n-1}$).
% changer l'étude de cas.
\item[Cas $s=1$.] Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà
que $N(g_n)=-g_{n}²$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est
$X²-g_n²$, de degré pair. L'égalité $x²=g_n h$ devient donc $N(x)²=-g_n² h²$ par application
-de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))√{-1}$.
+de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))\sqrt{-1}$.
Les deux éléments $h,N(x)$ appartenant à $k_{n-1}$ et $g_n$ à $k_n-k_{n-1}$,
-il en résulte que $√{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence,
-l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $√{-1}$.
-On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ √{-1}$
+il en résulte que $\sqrt{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence,
+l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $\sqrt{-1}$.
+On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ \sqrt{-1}$
où $λ$ et $μ$ appartiennent à $k_{n-1}$. Par élévation au carré,
-on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) √{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$
-appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ √{-1}$ (cf. \emph{supra}),
+on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) \sqrt{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$
+appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ \sqrt{-1}$ (cf. \emph{supra}),
on a $λ=± μ$, c'est-à-dire :
\[
-x=λ(1±√{-1}).
+x=λ(1±\sqrt{-1}).
\]
En élevant à la puissance quatrième, on obtient $x⁴=(-4) ⋅ λ ⁴$. Comme $x²$
appartient à $G_n$, son carré $x^4$ appartient à $G_{n-1}$, de même que $λ⁴$.
(Rappelons que $-4 ∈ k^×=G₀$.)
En appliquant l'hypothèse de récurrence $(D_{n-1})$ à l'élément $λ²$,
-et en se souvenant que $√{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$,
+et en se souvenant que $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$,
on en déduit que $λ²$ appartient au groupe $G_{n-1}$. Une nouvelle
application de l'hypothèse de récurrence montre que $λ$ appartient également
-à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±√{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc
-$1±√{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors
-$√{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD.
+à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±\sqrt{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc
+$1±\sqrt{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors
+$\sqrt{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{démo}
@@ -2195,14 +2195,14 @@ correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un
élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que
$K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps
-$k(√[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
+$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
-à $W_{[q]}(k(√[℘]{f}))$.
-\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(√[℘]{f}) \bo k$
+à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$.
+\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$
est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$
avec égalité si et seulement si le premier coefficient
de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre
-part, $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
+part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
par les coefficients de Witt d'un élément
quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
\end{enumerate}
@@ -2217,10 +2217,10 @@ posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass
les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
(Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image
de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique
-$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps
+$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
-et d'autre part que le corps $k(√[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
-l'extension $k(√[℘]{f})\bo k$ est donc
+et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
+l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc
algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}.
Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
$σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation
@@ -2229,7 +2229,7 @@ d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$.
Il en résulte que $σ (g_ζ)=g_ζ ⊕ ζ_σ$ pour tout $ζ$ car $σ$ commute
à l'addition dans les vecteurs de Witt tronqués et
agit trivialement sur $W_{[q]}(𝐅_p)$.
-Ainsi, $σ$ préserve $K=k(√[℘]{f})$, de sorte
+Ainsi, $σ$ préserve $K=k(\sqrt[℘]{f})$, de sorte
que l'extension $K \bo k$ est galoisienne,
et $σ ∈ G=\Gal(K\bo k) ↦ ζ_σ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$
est une injection. D'après \ref{calcul W(Fp)},
@@ -2239,7 +2239,7 @@ Soit $f ′$ (resp. $g₀ ′$) l'image de $f$ (resp. $g₀$) dans $W_{[1]}(k)
($W_{[1]}(K) = K$) par la surjection canonique $W_{[q]} ↠W_{[1]}$.
Le morphisme $℘$ commute à cette projection de sorte que
$℘_{W_{[1]}}(g₀ ′)=f ′ $. Le corps $K$ contient donc le sous-corps
-$K ′ =k(√[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
+$K ′ =k(\sqrt[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
l'action d'un élément $σ ∈ G$ sur $K ′$ se factorise
à travers le quotient $W_{[q]}(𝐅_p) ↠ W_{[1]}(𝐅_p)=𝐅_p$ :
la réduction de l'égalité $σ(g₀)= g₀ ⊕_{W_{[q]}(K)} ζ_σ$
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index a78b2dc..27aeaa9 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -57,7 +57,7 @@ AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension fi
non nécessairement commutative, telle qu'il existe
une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$
et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier
-$√{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$
+$\sqrt{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$
et on dit que l'extension $K\bo k$ \emph{trivialise} $A$.
\end{définition2}
@@ -212,7 +212,7 @@ est de la forme $m ↦ xm-mx=[x,m]$ pour une matrice $x ∈ 𝐌_n(k)$
Ceci nous permettra de donner au chapitre \refext{descente}{}
une description « cohomologique » des $K\bo k$-formes de $𝐌_n$
quand on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ séparable
-mais de la forme $K=k(√[p]{a₁},…,√[p]{a_n})$
+mais de la forme $K=k(\sqrt[p]{a₁},…,\sqrt[p]{a_n})$
où $p>0$ est la caractéristique
de $k$ et les $a_i$ appartiennent à $k$. (Une telle
extension est dite « radicielle de hauteur $1$ », \refext{RT}{}.)
@@ -717,7 +717,7 @@ Il résulte donc du lemme précédent qu'une algèbre de quaternions est une alg
rang deux : quitte à extraire une racine carrée, elle devient triviale.
Supposons pour fixer les idées que $a$ ne soit pas un carré et
que $K$ soit de caractéristique différente de deux. Le corps
-$K_a=K(√{a})$ est une extension étale quadratique de $K$
+$K_a=K(\sqrt{a})$ est une extension étale quadratique de $K$
et l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ définit donc un élément de
$H¹(K_a \bo K,\PGL₂(K_a))$ que nous allons maintenant expliciter.
Soit $φ: 𝐌_2(K_a) ⥲ \quater{a,b}{K}⊗_K K_a$ l'inverse de l'isomorphisme
@@ -766,7 +766,7 @@ la proposition suivante.
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
non nuls. Si $a$ n'est pas un carré, l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ est triviale,
c'est-à-dire $K$-isomorphe à l'algèbre $𝐌₂(K)$ des matrices $2×2$,
-si et seulement si $b∈\N_{K(√{a})\bo K}\left(K(√{a})\right)$.
+si et seulement si $b∈\N_{K(\sqrt{a})\bo K}\left(K(\sqrt{a})\right)$.
\end{proposition2}
On renvoie le lecteur à \cite[2.2]{seisuuron@Saito} pour une démonstration plus
@@ -779,7 +779,7 @@ sont triviales.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y√{a} ∈ K_a=K(√{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$
+En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y\sqrt{a} ∈ K_a=K(\sqrt{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$
de sorte que $-a$ et $1-a$ appartiennent à $\N_a(K_a)$.
\end{démo}
@@ -836,7 +836,7 @@ sur $1$.
\begin{corollaire2}\label{produit tensoriel algèbres quaternions}
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b,b ′$ trois éléments
-non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(√{a})\bo K)$, on a
+non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(\sqrt{a})\bo K)$, on a
l'égalité :
\[
[\quater{a,b}{K}] ⋅ [\quater{a,b ′}{K}]=[\quater{a,b b ′}{K}].
@@ -874,13 +874,13 @@ Nous allons donner ici une démonstration \emph{ad hoc} de ce fait
dans le cas particulier qui nous occupe ; un énoncé général sera donné
en \ref{H2mun=Brn}. Supposons que $b²$ n'appartient pas à $K_a$ sans quoi il n'y a rien
à démontrer (cf. \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales}).
-L'extension $K_{a,b}=K(√{a},√{b})$ de $K$ est alors galoisienne
+L'extension $K_{a,b}=K(\sqrt{a},\sqrt{b})$ de $K$ est alors galoisienne
de groupe $Π_{a,b}$ isomorphe au groupe de Klein\footnote{Cf. \ref{groupe de Klein et quaternions} \emph{infra}
pour d'autres liens entre les quaternions et ce groupe.}
$V₄=𝐙/2× 𝐙/2$. Nous notons $τ_a$ et $τ_b$ les générateurs définis
-par les conditions $τ_a(√{a})=-√{a}$
-(resp. $τ_b(√{b})=-√{b}$) et $τ_a(√{b})=√{b}$ (resp.
-$τ_b(√{a})=√{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$.
+par les conditions $τ_a(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$
+(resp. $τ_b(\sqrt{b})=-\sqrt{b}$) et $τ_a(\sqrt{b})=\sqrt{b}$ (resp.
+$τ_b(\sqrt{a})=\sqrt{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$.
Notons également $c ′_{a,b}$ le $2$-cocycle de $Π_{a,b}$ à valeurs dans $K_{a,b}^×$
déduit de $c_{a,b}$ par composition avec la surjection canonique $Π_{a,b} ↠ Π_a$.
@@ -911,8 +911,8 @@ ne dépend pas du choix des représentants $γ₁$ et $γ₂$.
Reprenons les notations de \ref{notations quaternions=H2mu2} et posons
de plus $μ₂=\{±1\}$. Notons $(a) ∈ H¹(Π_{a,b}, μ₂)=\Hom(Π_{a,b}, μ₂)$
-(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(√{a})}{√{a}}$
-(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(√{b})}{√{b}}$).
+(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}$
+(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$).
Le $2$-cocycle $c^∪_{a,b}$ n'est autre que le produit $(a) ∪ (b)$.
\begin{lemme2}\label{quaternions=H2mu2}
@@ -929,7 +929,7 @@ une fonction $λ: Π_{a,b} → K_{a,b}^×$ telle $c ′_{a,b}(σ,τ)=λ_σ ⋅ {
Écrivons pour simplifier $λ_a$ pour $λ_{τ_a}$, $\N_a$ pour $\tiret ⋅ {^{τ_a} (\tiret)}$, etc.
On vérifie immédiatement en les écrivant que ces seize équations se
réécrivent : $λ_1=1$, $\N_a(λ_a)=b$, $\N_b(λ_b)=1$, $λ_c=-λ_a ⋅ {^{τ_a} λ_b}=λ_b ⋅ {^{τ_b} λ_a}$.
-Il suffit de poser $λ_a=√{b}$ et $λ_b=1$.
+Il suffit de poser $λ_a=\sqrt{b}$ et $λ_b=1$.
\end{démo}
\begin{exercice2}
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index bcd8903..7d9b0b4 100644
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+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -301,9 +301,9 @@ quotient $K⊗_{k'} K$.
\begin{exemples2}
\begin{enumerate}
-\item La sous-extension $𝐐(√[3]{2})\bo 𝐐$ de $𝐂$ n'est \emph{pas} normale :
-les éléments $j√[3]{2}$ et $√[3]{2}$ ont même polynôme minimal
-$X³-2$ sur $𝐐$ mais $j√[3]{2}∉𝐐(√[3]{2})$.
+\item La sous-extension $𝐐(\sqrt[3]{2})\bo 𝐐$ de $𝐂$ n'est \emph{pas} normale :
+les éléments $j\sqrt[3]{2}$ et $\sqrt[3]{2}$ ont même polynôme minimal
+$X³-2$ sur $𝐐$ mais $j\sqrt[3]{2}∉𝐐(\sqrt[3]{2})$.
\item Par définition, toute extension de décomposition d'un polynôme $f∈k[X]$
est normale.
\item L'extension $Ω\bo k$ est normale.
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index 13fd723..7879305 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -940,7 +940,7 @@ et $+∞$ sinon.
Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
\subsubsection{}On suppose choisie une fois pour toute une orientation
-sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
+sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=\sqrt{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 π i x)=e^{2 π i x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
De même, \mbox{$p>0$} étant implicitement fixé, on note $ψ_{𝐅_p}$
@@ -1155,7 +1155,7 @@ $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{-½n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
-\item $μ_{ψ_a}=√{|a|} μ_ψ$.
+\item $μ_{ψ_a}=\sqrt{|a|} μ_ψ$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -1233,7 +1233,7 @@ L'existence et l'unicité en découle.
Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
-dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
+dans $𝐙[1/ \sqrt{q}]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
\begin{exemple2}
\label{exemple Fourier et Gauss}
@@ -1485,7 +1485,7 @@ D'autre part, il résulte de la formule de Poisson
∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n)
\]
appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que
-$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ où
+$θ(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} θ(\frac{1}{t})$ où
$θ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$.
En appliquant la transformation de Mellin à cette
équation fonctionnelle (due à Jacobi),
@@ -1694,10 +1694,10 @@ et
ζ_𝐂(s):=ζ(g_𝐂,1,s)=2(2 π)^{-s} Γ(s).
\]
Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
-$x=√r$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
+$x=\sqrt{r}$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π x²} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}.
-\]} ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas
+\]} ou $x=\sqrt{r} e^{i θ}$ dans le cas
complexe\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐂(s)
@@ -4486,7 +4486,7 @@ a la formule (globale)
ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭_𝒪.
\]
Cette égalité est le pendant adélique de l'équation fonctionnelle
-$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}.
+$θ(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}.
Elle nous servira également à établir les équations fonctionnelles des
fonctions $ζ$ de corps globaux.
@@ -4504,8 +4504,8 @@ $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
=
\begin{cases}
-\displaystyle √{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
+\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
@@ -4825,7 +4825,7 @@ f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y)
\[
\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j).
\]
-\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=√{6 ζ(2)}$.
+\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=\sqrt{6 ζ(2)}$.
\item Montrer que
\[
∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= (1-¼)ζ(2).
@@ -5264,7 +5264,7 @@ le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
\subsubsection{Exemple : $𝐐(i)$}
-$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
+$ζ_{𝐐(\sqrt{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(\sqrt{m})}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
\section{Fonctions $L$}
@@ -5279,7 +5279,7 @@ $𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.
\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
-√{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
+\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}
@@ -5305,7 +5305,7 @@ Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -5313,8 +5313,8 @@ L'inégalité en résulte immédiatement.
Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
-2\big(√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
-√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
+2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
@@ -5328,8 +5328,8 @@ f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
-√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
-√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
+\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
@@ -5494,7 +5494,7 @@ montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1
L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant.
\begin{théorème2}[Weil]
-Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, le module (usuel) du nombre complexe $α_i$ est $√q$.
+Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, le module (usuel) du nombre complexe $α_i$ est $\sqrt{q}$.
De façon équivalente, on a
\[
|N(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2}
@@ -5541,10 +5541,10 @@ Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$,
satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$.
Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
\[
-\# \Fix \big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q},
+\# \Fix \big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) \sqrt{q},
\]
où l'on note $\Frob^σ_k=σ^{-1}\Frob_k$.
-En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)√{q}$.
+En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)\sqrt{q}$.
\end{théorème2}
L'existence d'une $k$-place dans $X(k)$ est équivalente à l'existence
@@ -5688,7 +5688,7 @@ Cf. cours à Hyères (2008).
Utilise :
-— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;
+— $𝐐(j)=𝐐(\sqrt{3})$ est euclidien ;
— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;
diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex
index bdc44b1..00a3181 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -370,20 +370,20 @@ sur $k$.
On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $x²=:ε∈k$ et
$y²=a+bx∈k₂$,
$a,b∈k$. Réciproquement, considérons $ε∈k∖k²$ et
-$k₂=k(√{ε})$
+$k₂=k(\sqrt{ε})$
l'extension quadratique de $k$ associée. À toute paire
d'éléments
$(a,b)$ de $k$, on associe le corps
-$k₄=k₂(√{a+b√{ε}})$.
+$k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$.
\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b√{ε})=a²-εb²$ est
+d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est
de la forme $εc²$ pour
un $c∈k^×$.
-\item Une extension quadratique $k(√{ε})$ se plonge
+\item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge
dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre
quatre \ssi $ε$ est une somme
de deux carrés dans $k$.
@@ -403,7 +403,7 @@ du polynôme
X⁴+2aX²+(a²-εb²).
\]
Nécessairement $b≠0$ sans quoi $k₄$ serait
-$k(√{ε},√{a})$,
+$k(\sqrt{ε},\sqrt{a})$,
dont le groupe de Galois sur $k$ est de $2$-torsion. Ainsi,
l'égalité
$y²=a+bx$ entraîne $x∈k(y)$ : le corps $k₄$ est
@@ -456,16 +456,16 @@ soit pas un carré et $u∈k$ est non nul.
\begin{démo}
Soient $t∈k$ tel que $ε=1+t²$ ne soit pas un carré.
-Considérons $y=ε+√{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$
-de sorte que l'extension $k(√{y})\bo k$ est
+Considérons $y=ε+\sqrt{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$
+de sorte que l'extension $k(\sqrt{y})\bo k$ est
galoisienne, cyclique de degré quatre. Il en est plus généralement
-de même de l'extension $k(√{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$
+de même de l'extension $k(\sqrt{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$
car $\N(uy)=u²\N(y)$.
Réciproquement, il résulte de la proposition suivante
-que toutes les extensions de $k(√{ε})$ de groupe $𝐙/4$
+que toutes les extensions de $k(\sqrt{ε})$ de groupe $𝐙/4$
sur $k$ s'obtiennent ainsi.
-L'élément $y=√{u(ε+√{ε})}$ satisfait l'équation
+L'élément $y=\sqrt{u(ε+\sqrt{ε})}$ satisfait l'équation
$(y^2-uε)²=u²ε$ ; son polynôme minimal est donc celui de
l'énoncé.
\end{démo}
@@ -479,10 +479,10 @@ Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ :
1 → 𝐙/2 → E → G → 1,
\]
où $E ↠ G$ n'a pas de section.
-Soient $L₁=K(√{y₁})\bo K$ et $L₂=K(√{y₂})\bo K$
+Soient $L₁=K(\sqrt{y₁})\bo K$ et $L₂=K(\sqrt{y₂})\bo K$
deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$
soient galoisiennes de groupe isomorphe à $E$.
-Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(√{λ y₁})$.
+Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(\sqrt{λ y₁})$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -498,13 +498,13 @@ Soit $τ₁ ∈ E×_G E$ (resp. $τ₂$) le générateur du sous-groupe
d'ordre deux $1× 𝐙/2$ (resp. $𝐙/2×1$) de sorte que
$L_i=\Fix_{⟨τ_i⟩}(M)$. Soit $Δ:E → E×_G E$ le morphisme diagonal
et $k′=\Fix_{Δ(E)}(M)$. C'est une extension quadratique de $k$, car
-$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(√{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$.
-Posons $L₁′=K(√{\vphantom{y₁}λ}√{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale
-de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(√{λ})=Kk ′$
+$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(\sqrt{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$.
+Posons $L₁′=K(\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale
+de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(\sqrt{λ})=Kk ′$
et $E → G$ serait alors scindée (cf. \emph{loc. cit.}).
D'autre part $k ′$ n'est pas contenu dans $L₁$ ni $L₂$ car $Δ(E)$ ne contient
-ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $√{λ} ↦ -√{λ}$.
-Comme il agit de même sur $√{y₁}$, il fixe $√{\vphantom{y₁}λ}√{\vphantom{λ}y₁})$
+ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $\sqrt{λ} ↦ -\sqrt{λ}$.
+Comme il agit de même sur $\sqrt{y₁}$, il fixe $\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$
donc $L₁′$. Par la théorie de Galois, les corps $L₂$ et $L₁ ′$ coïncident. CQFD.
\end{démo}
@@ -547,19 +547,19 @@ sur $k$.
On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $℘(x):=x²+x=ε∈k$ et
$℘(y)=a+bx∈k₂$.
Réciproquement, considérons $ε∈k∖℘(k)$ et
-$k₂=k(√[℘]{ε})$ l'extension
+$k₂=k(\sqrt[℘]{ε})$ l'extension
quadratique de $k$ associée. À toute paire d'éléments
$(a,b)$ de $k$,
-on associe le corps $k₄=k₂(√[℘]{a+b√[℘]{ε}})$.
+on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$.
\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b√[℘]{ε})=b$ est
+d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est
de la forme
$ε+℘(c)$ pour un $c∈k$.
-\item Une extension quadratique $k(√[℘]{ε})$ se plonge
+\item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge
toujours dans une extension galoisienne de groupe cyclique
d'ordre
quatre.
@@ -574,7 +574,7 @@ quatre.
(i) Supposons $k₄\bo k$ galoisienne de groupe isomorphe à
$C₄$.
Soient $x$ et $y$ comme ci-dessus. Nécessairement $b≠0$
-sans quoi $k₄$ serait $k(√[℘]{ε},√[℘]{a})$ dont le
+sans quoi $k₄$ serait $k(\sqrt[℘]{ε},\sqrt[℘]{a})$ dont le
groupe
de Galois sur $k$ est de $2$-torsion.
L'élément $y$ est racine du polynôme
@@ -587,7 +587,7 @@ obtenu en écrivant
\]
L'égalité $y²+y=x$ montre que $x∈k(y)$ si bien
que $k₄$ est un corps de rupture du polynôme ci-dessus.
-Le conjugué de $x=√[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués
+Le conjugué de $x=\sqrt[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués
de $y$ sont donc $y,y+1,y'$ et $y'+1$ où $℘(y')=x+1$.
Soit $σ∈\Gal(k₄\bo k)$ tel que $σ(y)=y'$. On a alors
nécessairement
@@ -708,7 +708,7 @@ extension de $V₄$ par $\{±1\}$ — est rappelée en \refext{Azu}{quaternions
est noté $Q₈$.
\begin{corollaire2}
-Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(√{a})\bo k$ se plonge
+Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(\sqrt{a})\bo k$ se plonge
dans une extension quaternionique, l'élément $a$ est une somme de trois
carrés dans $k$.
\end{corollaire2}
@@ -734,16 +734,16 @@ P=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1/6\\ -1 & 1 & -1/6 \\ 0 & 1 & 1/3
nous permet de retrouver, pour $λ=6$, l'extension
de $𝐐$ construite par Dedekind (\cite{}) :
\[
-𝐐(√{6+3√{2}+2√{3}+2√{6}})=𝐐(√{(2+√{2})(3+√{6})}).
+𝐐(\sqrt{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}})=𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})}).
\]
En effet, il résulte de \refext{Azu}{norme spinorielle}
-que l'on a dans $𝐐(√{2},√{3})^×/{𝐐(√{2},√{3})^×}²$ l'égalité
+que l'on a dans $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×/{𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×}²$ l'égalité
\[
-\NSpin\big(P⋅\diag(1/√{2},1/√{3},√{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/√{2},1/√{3},√{6})\big)+1
-=1+1/√{2}+1/√{3}+√{6}/3.\]
+\NSpin\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)+1
+=1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+\sqrt{6}/3.\]
-Le fait que $𝐐(√{(2+√{2})(3+√{6})})$ coïncide
-avec le corps $𝐐(√{2},√{3},√{(2+√{2})(3+√{6})})$, \emph{a
+Le fait que $𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$ coïncide
+avec le corps $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$, \emph{a
priori} plus gros,
est un fait général, expliqué à la fin de la démonstration de l'implication (i)⇒(ii).
\end{exemple2}
@@ -870,7 +870,7 @@ Ceci achève la démonstration de l'implication (ii)⇒(i).
Pour conclure il nous faut comprendre quelles sont les
classes $x$ dans $k_{V₄}^×/{k_{V₄}^×}²$ telles
-que $k_{V₄}(√{x})$ soit quaternionique sur $k$.
+que $k_{V₄}(\sqrt{x})$ soit quaternionique sur $k$.
Il résulte de la démonstration précédente que si $P$
est comme dans l'énoncé, la classe $\NSpin(m_P)=\NSpin(m_P^{-1})$ convient.
Ce n'est autre que la classe de l'énoncé, pour $λ=1$.
@@ -1018,7 +1018,7 @@ Le lemme \ref{décomposition classe quaternionique}
donne donc une décomposition de $∂[k_{V₄}]$ en produits de $1$-cocycles.
Il nous faut comprendre quelle est l'image de $[\pr_\i],[\pr_\j] ∈ H¹(V₄,𝐅₂)$ dans $H¹(Π_k,𝐅₂)$
par $[k_{V₄}]:Π_k → V₄$. Rappelons (\ref{notations Witt non 2}) que si
-$k_{V₄}=k(√{b_\i},√{b_\j},√{b_\k})$,
+$k_{V₄}=k(\sqrt{b_\i},\sqrt{b_\j},\sqrt{b_\k})$,
où les $b_μ$ sont comme en \ref{notations Witt non 2}, on note $σ_\i$
l'unique $k$-automorphisme non trivial de $k_{V₄}$
tel que $σ_\i(b_\i)=b_\i$ ; on a alors nécessairement $σ_\i(b_\j)=-b_\j$
@@ -1041,7 +1041,7 @@ l'unique caractère tel que pour tout $σ ∈ Π_k$
et tout choix d'une racine carrée de $a$ dans $k\sep$,
on ait
\[
-\frac{σ(√{a})}{√{a}}=(-1)^{(a)(σ)}.
+\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}=(-1)^{(a)(σ)}.
\]