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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-21 19:56:50 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-21 19:56:50 (GMT)
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[AC, Ent] copié-collé massif de Ent dans AC
Je ne vois plus de raison de séparer le chapitre sur les entiers du chapitre d'algèbre commutative (et moins encore de le placer en première position).
-rw-r--r--chapitres/AC.tex979
-rw-r--r--chapitres/entiers.tex970
-rw-r--r--decorum/plan-bouquin.tex18
-rw-r--r--livre/livre.tex3
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index e876df9..540680d 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -46,6 +46,120 @@ Notions d'algèbre commutative
%%% À faire·:
+\section{Localisation}
+
+\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation}
+
+\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative »
+si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
+de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
+Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
+plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$
+contenant $S$ et multiplicative.
+
+Si $S$ est une partie multiplicative,
+la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
+$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
+tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
+$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
+On vérifie immédiatement que les opérations
+\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et
+\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$
+d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
+$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
+Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
+$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
+\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
+$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
+de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
+localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble
+$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt
+$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé
+de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre,
+le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$.
+
+\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé}
+Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
+Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit
+une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$
+d'image
+\[
+\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}.
+\]
+\end{proposition2}
+
+En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$,
+le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$
+car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$.
+L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
+maximal.
+
+\begin{démo}
+On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
+$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
+Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
+réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
+car tout élément de $S$ est envoyé
+par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible
+et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments.
+Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→
+\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection.
+Nous allons vérifier ci-dessous que l'application
+envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur
+l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$
+en est l'inverse. Fixons $𝔭$.
+Commençons par observer que tout élément de $𝔮$
+est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$.
+(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$
+se met au même dénominateur.)
+Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier.
+Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$,
+où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau
+des fractions, il existe $t∈S$ tel que
+\[(ts'')(aa')=(tss')x.\]
+Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
+Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à
+$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
+Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
+$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
+de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
+D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
+que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable
+et, finalement, $a∈𝔭$.
+Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout
+$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori}
+$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$
+et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à
+l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre
+que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$.
+\end{démo}
+
+Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$,
+on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$
+défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$.
+
+Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant,
+qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude}
+(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}).
+
+\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation}
+Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
+Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau,
+le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$,
+est également injectif.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau.
+Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$.
+Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que
+$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
+finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
+son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
+\end{démo}
+
+
+
\section{L'espace topologique $\Spec(A)$}
\subsection{Premières propriétés}
@@ -127,6 +241,871 @@ Image d'un morphisme plat de type fini (sur nœthérien)
est ouverte.
\end{corollaire2}
+\section{Éléments et morphismes entiers}
+
+
+\section{Définitions et premières propriétés}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
+Pour tout élément $b$ de $B$, notons
+$A[b]$ le sous-ensemble
+$$
+\{∑_{i=0}^r a_i b^i; a_i∈ A, r∈ 𝐍\}
+$$
+de $B$, que l'on peut également définir comme l'image de
+l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X]→B$ envoyant $X$ sur $b$
+ou bien comme la plus petite sous-$A$-algèbre de $B$ contenant l'élément $b$.
+Plus généralement, pour toute partie $S$ de $B$ on note $A[S]$ l'image
+de l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X_s, s∈S]→B$ envoyant $X_s$
+sur $s$, qui est aussi l'intersection dans $B$ de toutes les $A$-algèbres contenant $S$.
+
+\begin{définition}\label{element-entier}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
+est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
+\end{définition}
+
+\begin{exemples}
+Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad
+dans l'image du morphisme structural $A→B$, est entier sur $A$.
+Moins trivialement, il résulte de la proposition
+\ref{caracterisation-entiers} ci-dessous que le nombre
+complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$.
+\end{exemples}
+
+
+Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.
+
+\begin{définition}\label{morphisme-fini}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $B$
+est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition}
+
+On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le
+morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à
+confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu : sur $A$).
+Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi
+l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente.
+
+\begin{lemme}\label{composé de finis=fini}
+Le composé de deux morphismes finis est fini.
+Plus généralement, si $A$ est un anneau, $B$ une $A$-algèbre \emph{finie}
+et $M$ un $B$-module de type fini, le $A$-module $M$ est de type fini.
+\end{lemme}
+
+\begin{démo}
+Par hypothèse, il existe deux entiers $r,r'$ et
+des surjections $A^r↠B$ ($A$-linéaire) et $B^{r'}↠M$ ($B$-linéaire).
+Par composition, on en déduit une surjection $A$-linéaire
+$(A^r)^{r'}↠M$. Puisque $(A^r)^{r'}$ est $A$-isomorphe à
+$A^{rr'}$, la conclusion en résulte.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition}\label{caracterisation-entiers}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
+Considérons un élément $b∈B$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item \label{1} $b$ est entier sur $A$ ;
+\item \label{2} il existe un polynôme \emph{unitaire} $P∈ A[X]$ tel
+que $P(b)=0$ ;
+\item \label{3} il existe un sous-$A$-\emph{algèbre} de $B$ \emph{finie} sur $A$, contenant $b$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+En particulier, si $B$ est finie sur $A$, tout élément de $B$ est entier sur
+$A$.
+
+Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée
+une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients
+dans $A$.
+
+\begin{miseengarde}
+L'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence
+d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$.
+C'est cependant vrai si $A$ est \emph{nœthérien}.
+
+Considérons la sous-$𝐐$-algèbre $A$ de $𝐐[X,Y]$
+engendrée par les monômes $X^nY^{n+1}=Y(XY)^n$ pour $n≥0$.
+La sous-$A$-algèbre $B=𝐐[XY,Y]$ de $𝐐[X,Y]$
+est contenue dans le $A$-\emph{module} de type fini $A+A\cdot X$.
+Cependant, l'élément $XY$ n'est \emph{pas} entier
+sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans
+$A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$
+de sorte que $P(XY)≠0$.
+% = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$).
+\end{miseengarde}
+
+\XXX La démonstration ci-dessous est moche.
+
+\begin{démo}
+Montrons que \ref{1} implique \ref{2}. Sous l'hypothèse \ref{1},
+il existe des polynômes $P₁,\dots,P_n∈A[X]$ tels que les
+$P_i(b)$ ($1≤i≤n$) engendrent $A[b]$ comme $A$-module. Si $N$ est un
+entier strictement supérieur aux degrés de ces polynômes, l'inclusion
+évidente $∑_{i≤n} A\,P_i(b)⊆∑_{α<N} A\,b^α$ entraîne
+l'égalité $A[b]=∑_{α<N} Ab^α$. En particulier, $b^N∈∑_{α<N} Ab^α$.
+Il existe donc un polynôme unitaire de degré $N$ à coefficients dans
+$A$ s'annulant en $b$.
+Montrons que \ref{2} implique \ref{1}. Soit $P$ comme dans l'énoncé ;
+notons $d$ son degré. Soit $x=f(b)∈A[b]$ où $f∈A[X]$. Le polynôme $P$
+étant unitaire, on peut faire la division euclidienne de $f$ par $P$ :
+il existe une unique paire $(Q,R)∈A[X]²$ telle que $\deg(R)<d$ et
+$f=PQ+R$. Ainsi $x=P(b)Q(b)+R(b)=R(b)$. Il en résulte que $x∈∑_{i<d} A\,b^i$.
+Finalement, $A[b]=∑_{i<d} A\,b^i$ est finie sur $A$.
+Il est tautologique que \ref{1} entraîne \ref{3}. Il nous
+suffit donc pour conclure de vérifier que \ref{3} entraîne
+\ref{2}. Soit $C$ une sous-$A$-algèbre de $B$ contenant $b$, finie sur $A$.
+Par hypothèse, il existe une surjection $A$-linéaire $s:A^n↠C$.
+Observons que l'endomorphisme $A$-linéaire de $C$
+défini par la multiplication par $b$ se \emph{relève}, non canoniquement, en
+un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
+$$
+\xymatrix{
+A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
+C \ar[r]^{b} & C
+}
+$$
+En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et
+que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$
+tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir
+$u$ par la matrice $(a_{ij})$. Soit $χ_u(X)=\det(\mathrm{Id}-Xu)∈A[X]$.
+C'est un polynôme \emph{unitaire}, tel que — par Cayley-Hamilton —
+l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul.
+La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire}
+Tout élément de $𝐐$ entier sur $𝐙$ appartient à $𝐙$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+En effet, si $r=x/y\in \QQ$, où $x,y\in \ZZ-\{0\}$ sont premiers
+entre eux, satisfait la relation
+$$
+(\frac{x}{y})^n+a_{n-1}(\frac{x}{y})^{n-1}+\cdots+a_1 \frac{x}{y}+a_0=0,
+$$
+où les coefficients sont entiers, on voit par multiplication par $y^{n}$
+que $y$ divise $x$. Compte tenu de l'hypothèse faite, on a $y=±1$
+et finalement $r∈𝐙$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition}\label{entiers=sous-algebre}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
+L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est une sous-$A$-algèbre.
+\end{proposition}
+
+En d'autres termes, si $b$ et $b'$ sont deux éléments de $B$ entiers
+sur $A$, les éléments $b+b'$, $bb'$, et les $ab$ pour tout
+$a∈A$, sont également entiers sur $A$.
+
+\begin{démo}[Première démonstration]
+(La démonstration qui suit est une généralisation des calculs
+\refext{Ext}{exemple somme algébriques=algébrique}.)
+Soient $b$ et $b'$ comme dans l'énoncé, et
+$P=T^n-∑_{0}^{n-1}β_i T^i$ et $Q=T^m-∑_{0}^{m-1}β'_j T^j$
+des polynômes unitaires s'annulant respectivement
+en $b$ et $b'$. Considérons les endomorphismes $u$ et $v$
+du sous-$A$-module libre de $A[X,Y]$ de base les mônomes
+$X^iY^j$ où $0≤i≤n-1$ et $0≤j≤m-1$, définis par :
+$u(X^i Y^j)=X^{i+1}Y^j$ si $i≠n-1$ et
+$u(X^{n-1}Y^j)=∑_0^{n-1} β_i X^i Y^i$
+(resp. $v(X^i Y^j)=X^{i}Y^{j+1}$ si $j≠m-1$
+et $v(X^{i}Y^{m-1})=∑_0^{m-1} β'_j X^i Y^j$).
+Ces endomorphismes commutent.
+Soit $R∈A[X,Y]$. Par construction, le diagramme
+d'application $A$-linéaires
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+X^iY^j & A^{nm} & A^{nm} \\ b^i {b'}^j & A[b,b'] & A[b,b'] \\};
+\draw[|->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$R(u,v)$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$×R(b,b')$} (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+est commutatif. (Il suffit de le vérifier pour $R(X,Y)=X$ et
+$R(X,Y)=Y$.) De ce fait joint au fait que l'unité
+de $B$ appartienne à l'image de $A^{nm}→A[b,b']$,
+il suit que toute relation $R(u,v)=0$ entraîne $R(b,b')=0$.
+Il résulte alors du théorème de Cayley-Hamilton
+que le polynôme caractéristique de $u+v$ (resp. $uv$),
+unitaire à coefficients dans $A$, s'annule en $b+b'$ (resp. $bb'$).
+(Comparer avec \ref{caracterisation-entiers}, démonstration,
+(iii)⇒(ii).)
+\end{démo}
+
+En utilisant le produit tensoriel d'algèbres sur
+un anneau quelconque (\refext{Tens}{Tens-produit tensoriel algèbres}),
+il est possible de donner une version « abstraite »
+de la démonstration précédente.
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
+Soient $b$ et $b'$ comme dans l'énoncé. La multiplication
+dans $B$ induit un morphisme de $A$-algèbres
+$$
+A[b]⊗_A A[b'] → B,
+$$
+dont l'image est la sous-$A$-algèbre $A[b,b']$ de $B$. Les $A$-algèbres
+$A[b]$ et $A[b']$ étant finies, il en est de même de leur produit tensoriel
+$A[b]⊗_A A[b']$ (\refext{Tens}{produit tensoriel fini=fini}), et du quotient $A[b,b']$ de ce
+dernier. (Tout quotient d'un module de type fini est de type fini.)
+Finalement, $b+b'$, $bb'$ et les $ab$, qui appartiennent à $A[b,b']$,
+sont donc entiers sur $A$ en vertu de \ref{caracterisation-entiers}, \ref{3}.
+\end{démo}
+
+
+\begin{remarque}
+La définition \ref{element-entier} et la proposition
+\ref{caracterisation-entiers} s'étendent
+au cas où $B$ n'est pas nécessairement commutative.
+Cependant, la démonstration montre seulement
+que la somme (resp. le produit)
+de deux éléments entiers \emph{permutables} est entier.
+\end{remarque}
+
+\begin{définition}\label{entiere}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
+Si tout élément de $B$ est entier sur $A$, on dit que $B$ est une
+\emph{$A$-algèbre entière} ou encore que le morphisme $A→B$ est
+\emph{entier}. \index{morphisme entier}
+\end{définition}
+
+\begin{proposition}\label{entier-sur-entier}
+Le composé de deux morphismes entiers est entier.
+\end{proposition}
+
+En d'autres termes, si $B$ est une $A$-algèbre entière et $C$
+une $B$-algèbre entière, alors $C$ est entier
+sur $A$ (pour la structure d'algèbre définie par composition).
+
+%De la proposition triviale \ref{epi=fini} on tire le corollaire suivant.
+%\begin{corollaire}\label{quotient-fini=fini}
+%Tout quotient d'une algèbre entière (resp. finie) est entière (resp. finie).
+%\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+Soient $A,B$ et $C$ comme dans la glose suivant l'énoncé.
+Soit $c∈C$ ; on veut montrer qu'il est entier sur $A$.
+Par hypothèse $c$ est racine d'un polynôme unitaire
+$P=X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots+b₀∈B[X]$. Considérons
+la sous-$A$-algèbre $B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$ de $B$.
+Elle est finie sur $A$ d'après \ref{composé de finis=fini}
+car chacun des morphismes $A→A[b₀]$, $A[b₀]→A[b₀,b₁]$,
+..., $A[b₀,\dots,b_{n-2}]→B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$
+sont finis. (Ils sont en effet de la forme
+$D→D[d]$ où $d$ est entier sur $D$.)
+Puisque $P∈B'[X]$, on voit que
+la sous-$A$-algèbre $B'[c]$ de $C$ est finie sur $B'$. Il résulte
+de \emph{loc. cit.} que $B'[c]$ est
+finie sur $A$ et finalement (d'après \ref{caracterisation-entiers}, (iii)) que
+$c$ est entier sur $A$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Morphismes de type fini}
+
+Rappelons la définition suivante.
+
+\begin{définition2}\label{algèbre de type fini}
+Soit $A$ un anneau. Une $A$-\emph{algèbre} $B$ est dite \emph{de type fini} s'il existe un
+entier $r$ et un épimorphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]↠B$.
+\end{définition2}
+
+On prendra garde de ne pas confondre cette notion avec celle
+de $A$-\emph{module} de type fini, correspondant à la notion
+de $A$-algèbre finie.
+
+\begin{proposition2}\label{composé-type-fini}
+Le composé de deux morphismes de type fini est de type fini :
+si $A→B$ et $B→C$ sont de type fini, le composé $A→C$ est de type fini.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Notons $A→B$ et $B→C$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé.
+Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ ($X_i↦x_i$) et $B[Y₁,\dots,Y_s]↠C$ ($Y_j↦y_j$) sont les épimorphismes dont on suppose
+l'existence, le morphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r,Y₁,\dots,Y_s]→C$
+défini par $X_i↦x_i$, $Y_j↦y_j$ est également surjectif : le morphisme composé
+$A→C$ est donc de type fini.
+\end{démo}
+
+On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
+Réciproquement :
+
+\begin{proposition}\label{fini=entier+tf}
+Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini.
+\end{proposition}
+
+
+\begin{démo}[Première démonstration]
+Un morphisme fini est entier et de type fini car une $A$-algèbre
+finie en tant que $A$-module l'est \emph{a fortiori} en tant
+qu'algèbre. Démontrons la réciproque. Soient $B$ une $A$-algèbre entière
+et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres. Notons $b_i$
+les images des $X_i$ par ce morphisme, de sorte que
+$B=A[b_1,\dots,b_r]$. Le morphisme $A→B$ est donc
+fini (cf. \ref{entier-sur-entier}, démonstration).
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
+Soient $B$ une $A$-algèbre entière et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres.
+Montrons que $B$ est finie sur $A$. Notons $b_i$
+les images des $X_i$ par ce morphisme, qui se factorise donc à travers
+un épimorphisme $A[b₁]⊗_A\cdots⊗_A A[b_r]↠B$ car
+$A[X₁,\dots,X_r]≃A[X₁]⊗_A\cdots⊗_A A[X_r]$ (\refext{Tens}{}).
+Chaque $A[b_i]$ est un $A$-\emph{module} de type fini ; il en
+est de même de leur produit tensoriel.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition}\label{localisation-entier=entier}
+Soient $A→B$ un morphisme entier (resp. fini) et $S$ une partie
+de $A$. Le morphisme induit $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$
+entre les anneaux de fractions associés
+(\refext{Spec}{Spec-localisation})
+est entier (resp. fini).
+\end{proposition}
+
+Cette proposition est un cas particulier de
+\ref{cb-entier}.
+
+\begin{démo}
+Quitte à remplacer $S$ par la partie multiplicative
+engendrée, on peut supposer $S$ multiplicative.
+Supposons $A→B$ entier et considérons $b/s∈B[S^{-1}]$.
+On veut montrer qu'il est entier sur $A[S^{-1}]$.
+Par hypothèse, il existe une relation de dépendance
+intégrale $b^n+a₁ b^{n-1}+\cdots+a_n=0$. En multipliant
+l'image de cette relation dans $B[S^{-1}]$ par $1/s^n$,
+on en tire :
+\[
+(b/s)^n+(a₀/s)(b/s)^{n-1}+\cdots+(a_n/s^n)=0.
+\]
+En d'autres termes, $b/s$ est entier sur $A[S^{-1}]$.
+Pour traiter le cas des morphismes finis, il suffit de vérifier
+que si $A→B$ est de type fini, il en est de même de
+$A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$. Or, si $b₁,\dots,b_n$ sont des générateurs
+de $B$ comme $A$-module, il résulte immédiatement
+de l'égalité $(∑_1^n a_i b_i)/s=∑_1^n (a_i/s)(b_i/1)$
+pour tout $n$-uplet $(a_i)$ de $A$ que les éléments
+$b₁/1,\dots,b_n/1$ de $B[S^{-1}]$
+sont générateurs sur $A[S^{-1}]$.
+\end{démo}
+
+
+\begin{facultatif}
+
+\section{Intégrité et changement de base}
+
+Les résultats de cette section ne seront pas utilisé dans la
+suite de ce chapitre.
+
+\begin{proposition}\label{stabilite-type-fini}
+\begin{enumerate}
+\item Le produit tensoriel de deux morphismes de type fini est de type fini :
+si $A→B₁$ et $A→B₂$ sont de type fini, le morphisme canonique $A→B₁⊗_A B₂$
+est de type fini.
+\item Un morphisme de type fini reste après changement de base : si $A→B$ est de
+type fini et $A→A'$ est un morphisme, le morphisme canonique $A'→B⊗_A A'$ est de
+type fini.
+\end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{démo}
+(i) Soient $A→B₁$ et $A→B₂$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé.
+Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B₁$ est un épimorphisme, le morphisme $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A B₂↠B₁⊗_A B₂$
+obtenu par changement de base l'est également
+(\refext{Tens}{produit-tens-exact-a-droite}). Puisqu'un quotient d'une $A$-algèbre de
+type finie est de type fini, on peut supposer que $B₁$ est une algèbre de
+polynômes en un nombre fini de variables. De même pour $B₂$. Le résultat est
+alors trivial car $A[X₁,\cdots,X_r]⊗_A A[Y₁,\dots,Y_s]$ est $A$-isomorphe
+à $A[Z₁,\dots,Z_{rs}]$ (\refext{Tens}{}).
+(ii) Même démonstration, où l'on utilise cette fois-ci l'isomorphisme
+de $A'$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A A'⭇A'[X₁,\dots,X_r]$.
+\end{démo}
+
+
+\begin{proposition}\label{cb-entier}
+Soit $A→B$ un morphisme entier (resp. fini). Alors, pour toute $A$-algèbre $A'$,
+la $A'$-algèbre $B⊗_A A'$ est entière (resp. finie).
+\end{proposition}
+
+\begin{démo}
+D'après \ref{stabilite-type-fini} et \ref{fini=entier+tf}, il suffit de
+démontrer la proposition dans le cas des morphismes entiers.
+Pour toute sous-$A$-algèbre finie $C$ de $B$, notons $\gtilde{C}$ l'image de $C⊗_A A'$ dans $B'=B⊗_A A'$.
+Observons que $B'=⋃\gtilde{C}$ où $C$ parcourt l'ensemble des sous-$A$-algèbres
+finies de $B$. En effet, tout élément $b'$ de $B'$ est somme (finie) de tenseurs
+purs : $b'=∑_{i∈I} b_i⊗a'_i$, où $b_i∈B$ et $a'_i∈A'$
+de sorte que $b'$ appartient $\gtilde{C}$ où $C$ est
+la sous-$A$-algèbre finie $C=A[(b_i)_{i∈I}]$ de $B$. Pour conclure,
+il suffit de montrer que chaque $\gtilde{C}$ est entier sur $A'$.
+Une telle sous-$A'$-algèbre de $B'$ est même finie :
+$\gtilde{C}$ est un quotient de $C'=C⊗_A A'$ qui est fini sur $A'$ (comme
+module) car $C$ l'est sur $A$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire}\label{pdt-tens-entiers}
+Soient $A$ un anneau et $B₁,B₂$ deux $A$-algèbres entières (resp. finies).
+Le produit tensoriel $B₁⊗_A B₂$ est entier (resp. fini) sur $A$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}.
+\end{démo}
+
+La généralisation suivante du corollaire précédent est également
+utile.
+
+\begin{corollaire}\label{produit-tensoriel-d-entiers}
+Soient $k$ un anneau, $A₁$ et $A₂$ deux $k$-algèbres.
+Si $A₁→B₁$ et $A₂→B₂$ sont deux morphismes entiers (resp. finis), le morphisme
+$A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ qui s'en déduit est également entier (resp. fini).
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+D'après \ref{cb-entier}, les morphismes $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k A₂$ et $B₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
+B₂$ sont entiers ; d'après \ref{entier-sur-entier} le composé $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
+B₂$ l'est aussi.
+\end{démo}
+
+\end{facultatif}
+
+
+\section{Clôture intégrale, anneaux normaux}
+
+\begin{définition}\label{normalisation,normal}
+Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre
+$A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
+intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation}
+de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle,
+entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
+\emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}.
+\end{définition}
+
+\begin{définition}\label{fermeture-integrale}
+L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est appelé \emph{fermeture
+intégrale de $A$ dans $B$}\index{fermeture intégrale}.
+\end{définition}
+
+\begin{lemme2}
+\label{intégralement clos préserve irréductibilité}
+Soit $A ⊆ B$ une inclusion d'anneaux intègres. On suppose
+que $A$ est intégralement clos dans $B$.
+Alors, tout polynôme $P ∈ A[X]$ irréductible unitaire
+reste irréductible dans $B[X]$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\XXX
+
+\subsection{Normalisation dans une extension séparable}
+
+Contre-exemple non japonais.
+
+
+
+
+\section{Relèvements des idéaux premiers}
+
+\begin{théorème}\label{relèvement idéaux}
+Soit $A↪B$ un morphisme \emph{injectif} entier. L'application
+canonique $\Spec(B)→\Spec(A)$, $𝔮↦𝔮∩A$, est surjective.
+\end{théorème}
+
+\begin{corollaire}
+Soit $A→B$ un morphisme entier. L'image du morphisme
+$\Spec(B)→\Spec(A)$ est l'ensemble des idéaux premiers de $A$
+contenant $\Ker(A→B)$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}[Démonstration du corollaire]
+En effet, le morphisme $A'=A/\Ker(A→B)→B$ déduit
+de $A→B$ par passage au quotient est entier, injectif
+et $\Spec(A')$ est le sous-ensemble de $\Spec(A)$ décrit
+dans l'énoncé.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Démonstration du théorème]
+(Le lecteur qui le souhaite pourra supposer pour simplifier que les
+anneaux $A$ et $B$ sont intègres.)
+Soit $𝔭∈\Spec(A)$. Rappelons que l'on note $A_𝔭$
+l'anneau des fractions $A[(A-𝔭)^{-1}]$ (cf.
+\refext{Spec}{Spec-localisation}).
+Si $A$ est intègre, c'est le sous-anneau
+du corps des fractions $\Frac(A)$ constitué
+des éléments pouvant s'écrire avec
+un dénominateur n'appartenant pas à $𝔭$.
+D'après \ref{localisation-entier=entier} (resp.
+\refext{Spec}{Spec-cas particulier platitude localisation}),
+le morphisme $A_𝔭→B_𝔭=B[(A-𝔭)^{-1}]$ est entier (resp. injectif).
+D'autre part, $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$ (resp. $\Spec(B_𝔭)→\Spec(B)$)
+s'identifie à l'inclusion $\{𝔭'∈\Spec(A):𝔭'⊆𝔭\}↪\Spec(A)$
+(resp. $\{𝔮∈\Spec(B):𝔮∩A⊆𝔭\}↪\Spec(B)$), cf. \refext{Spec}{Spec-spectre du
+localisé}.
+Le diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Spec(B) & \Spec(A)\\ \Spec(B_𝔭) & \Spec(A_𝔭)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+étant commutatif, et $𝔭∈\Spec(A)$ appartenant à l'image
+de l'application $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$,
+on peut remplacer $A$ par $A_𝔭$ et $B$ par $B_𝔭$.
+En d'autre termes, on peut supposer $A$ \emph{local},
+\cad ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
+Soit $𝔮∈\Specmax(B)$ arbitraire et $𝔭=A∩𝔮$
+son image réciproque dans $\Spec(A)$. Le morphisme composé $A↪B↠B/𝔮$ induit une
+injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme
+ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme}
+Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres.
+L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps.
+\end{lemme}
+
+\begin{démo}
+Le fait que $B$ soit un corps si $A$ l'est est
+une reformulation de \refext{Alg}{Spec=Specmax-cas-part}.
+Réciproquement, si $B$ est un corps et $a∈A-\{0\}$,
+l'inverse $b$ de $a$ dans $B$ est entier sur $A$ :
+$b^n+a₀b^{n-1}+\cdots+a_n=0$ pour un choix convenable
+d'éléments $a_i$ de $A$. Multipliant cette égalité
+par $a^{n-1}$, on obtient $b∈A$. L'élément
+$a$ est donc inversible \emph{dans $A$}.
+\end{démo}
+
+\begin{définition}\label{idéal dessus-dessous}
+Soient $A→B$ un morphisme d'anneaux et $𝔞$ un idéal de $A$.
+On dit qu'un idéal $𝔟$ de $B$ est \emph{au-dessus} de $𝔞$ ou
+encore est un \emph{relèvement} de $𝔞$ si l'image inverse
+$𝔟∩A$ de $𝔟$ dans $A$ est égale à $𝔞$ (cf.
+\refext{Spec}{convention image inverse idéal}).
+Si cette relation est satisfaite, on dit également
+que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$.
+\end{définition}
+
+\begin{corollaire}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
+Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et
+$𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal
+\ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
+de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+Le premier point résulte du fait que le morphisme $A'=A/𝔭→B'=B/𝔮$ est entier et
+injectif. Démontrons que l'égalité $𝔭=𝔮∩A=𝔮'∩A$ jointe à l'inclusion
+$𝔮⊆𝔮'$ force l'égalité $𝔮=𝔮'$. Les applications de localisation
+$A→A_𝔭$ et $B→B_𝔭$ induisant des injections croissantes sur les spectres, on peut
+supposer $A$ local. Il résulte du premier point que $𝔮$ et $𝔮'$ sont
+alors maximaux donc égaux.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires}
+Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔞⊆𝔭$ deux idéaux de $A$
+et $𝔟$ un idéal de $B$ au-dessus de $𝔞$. Si $𝔭$ est premier,
+il existe un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$ et au-dessus de $𝔭$.
+\end{corollaire}
+
+\begin{démo}
+Le morphisme $A/𝔞→B/𝔟$ étant entier et injectif, il résulte de
+\ref{relèvement idéaux} qu'il existe un idéal premier de $B/𝔟$
+relevant l'idéal premier $\sur{𝔭}=𝔭/𝔞$ de $A/𝔞$. Un tel idéal
+correspond à un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$,
+au-dessus de $𝔭$ (cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient}).
+\end{démo}
+
+\section{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini}
+
+Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant
+sur $B$ par automorphismes, et $A=\Fix_G(B)$ le sous-anneau de
+$B$ constitué des invariants.
+Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux propriétés du morphisme
+$A→B$ ainsi qu'à celles de l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$
+associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses,
+l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$,
+\cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
+
+\subsection{Intégralité et finitude}
+
+\begin{proposition2}\label{quotient par groupe fini est entier}
+Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant
+sur $B$ par automorphismes.
+Le morphisme $A=\Fix_G(B)→B$ est \emph{entier}.
+\end{proposition2}
+
+Il résulte du théorème \ref{relèvement idéaux} que l'application
+$Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$ est \emph{surjective}.
+Observons que l'action de $G$ sur $B$
+induit une action sur $Y$
+et que l'application ci-dessus est $G$-équivariante,
+l'ensemble $X$ étant muni, tout comme $A$, de l'action triviale
+de $G$.
+
+\begin{démo}
+Soit $b∈B$ et considérons le polynôme \emph{unitaire}
+$P_b(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)$. Il s'annule en $b$
+et ses coefficients sont $G$-invariants donc dans $A$.
+L'élément $b$ est donc entier sur $A$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Nous allons maintenant énoncer un théorème
+de finitude, fondamental pour la théorie des invariants.
+
+Nous verrons dans un chapitre ultérieur
+un autre résultat de cette nature, mais de démonstration plus
+délicate (\refext{}{second théorème quotient fini}).
+
+\begin{théorème2}\label{premier théorème quotient fini}
+Soient $k$ un anneau, $B$ une $k$-algèbre de type fini,
+$G$ un groupe fini agissant sur $B$ par $k$-automorphismes
+et $A=\Fix_G(B)$. Le morphisme $A→B$ est \emph{fini}. De plus, si $k$ est
+\emph{nœthérien}, $A$ est une $k$-algèbre de type fini.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Soient $b₁,\dots,b_n$ des générateurs de $B$ en tant que $k$-algèbre :
+$B=k[b₁,\dots,b_n]$. Considérons la sous-$k$-algèbre $C$ de $B$
+engendrée par les coefficients des polynômes $P_{b_i}$, $1≤i≤n$,
+(cf. \ref{quotient par groupe fini est entier}, démonstration).
+Il résulte de \emph{loc. cit.} que $C$ est contenu dans $A$ et que chaque $b_i$ est
+entier sur $C$. Il en résulte que $B$ est \emph{fini} sur $C$
+(\ref{fini=entier+tf}) donc sur $A$.
+Enfin, $A$ étant une sous-$k$-algèbre
+de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini
+sur $k$ si $k$ est nœthérien.
+\end{démo}
+
+\subsection{Commutation à la localisation}
+
+Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe agissant par automorphismes
+sur $B$ et $T$ une partie multiplicative de $B$ stable par l'action de
+$G$. L'anneau localisé $B[T^{-1}]$ (\refext{Spec}{Spec-localisation})
+est naturellement muni d'une action de $G$ de sorte que le morphisme
+canonique $B→B[T^{-1}]$ soit $G$-équivariant : on pose
+$g(b/t)=g(b)/g(t)$. Posons $A=\Fix_G(B)$ ;
+le sous-ensemble $S=\Fix_G(T)$ de $A$ est une partie multiplicative.
+
+\begin{proposition2}\label{invariants et localisation}
+Supposons $G$ fini.
+Le morphisme canonique $A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ est injectif
+et induit un isomorphisme
+\[A[S^{-1}]→\Fix_G(B[T^{-1}]).\]
+\end{proposition2}
+
+En d'autres termes, le passage aux invariants commute à la
+localisation.
+
+\begin{démo}
+Il est clair que l'image de $A[S^{-1}]$ dans $B[T^{-1}]$
+est fixe sous l'action de $G$. Vérifions l'injectivité.
+Si $a/s$ est d'image nulle dans $B[T^{-1}]$,
+il existe $t∈T$ tel que $ta=0$. Quitte à symétriser
+$t$, \cad considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
+$t∈S$. Ainsi, $a/s=0$ dans $A[S^{-1}]$.
+Vérifions la surjectivité. Soit $y∈\Fix_G(B[T^{-1}])$ ;
+on veut montrer qu'il existe $s∈S$ et $a∈A$ tels que
+$y=a/s$. Quitte à multiplier $y$ par le symétrisé
+d'un de ses dénominateurs, on peut supposer que
+$y=b/1$ pour un élément $b∈B$. Puisqu'il est fixe sous
+l'action de $G$, il existe pour tout $g∈G$ un élément $t_g$ de $T$
+tel que $t_g(g(b)-b)=0$. Soit $s$ le symétrisé du produit
+$t=∏_{g} t_g∈T$. Pour tout $g∈G$, on a $g(sb)-sb=s(g(b)-b)=0$.
+Ainsi $a=sb$ appartient à $A$ et $y=a/s$.
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}
+Trouver un triplet $(B,T,G)$ pour lequel l'application
+$A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ de la proposition \ref{invariants et localisation}
+n'est pas pas injective. \XXX.
+\end{exercice2}
+
+
+\subsection{Groupes de décomposition et d'inertie ; action de $G$
+sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(A)$}\label{décomposition-inertie et quotient}
+
+\begin{théorème2}
+Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par
+automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. L'action de $G$ est transitive sur les fibres
+de l'application $\Spec(B)→\Spec(A)$ : pour toute paire idéaux
+premiers $𝔮$ et $𝔮'$ de $B$ au-dessus d'un même idéal premier
+$𝔭$ de $A$, il existe $g∈G$ tel que $g.𝔮=𝔮'$.
+\end{théorème2}
+
+Rappelons que par définition, $𝔮∩A=𝔭=𝔮'∩A$ et que $g.𝔮$
+désigne l'idéal $g^{-1}(𝔮)$ (cf. \refext{Spec}{fonctorialite-spectre}).
+
+\begin{démo}
+Soit $y∈𝔮$ et soit $x∈A$ son multiple $∏_{g∈G}g(y)$. Puisque $x∈𝔮∩A=𝔮'∩A$,
+il appartient en particulier à l'idéal $𝔮'$. Celui-ci étant un idéal
+\emph{premier}, il existe un $g∈G$ tel que $g(y)∈𝔮'$ ou encore
+$y∈g.𝔮'$. On donc démontré l'inclusion $𝔮⊆⋃_g g.𝔮'$.
+Chacun des idéaux $g.𝔮'$ étant premier, il résulte du lemme ci-dessous
+que l'on a $𝔮⊆g.𝔮'$ pour un $g∈G$ convenable.
+Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers} que
+$𝔮=g.𝔮'$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{idéal dans réunion de premiers}
+Soient $C$ un anneau, $𝔞$ un idéal et $𝔭₁,\dots,𝔭_r$ des idéaux
+premiers tels que $𝔞⊆⋃_1^r 𝔭_i$. Il existe alors un indice
+$i$ tel que $𝔞⊆𝔭_i$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On raisonne par récurrence sur $r$, le cas $r=1$ étant
+trivial. Supposons $r≥2$. S'il existe un indice
+$j$ tel que $𝔞∩𝔭_j⊆⋃_{i≠j} 𝔭_i$, il résulte
+de l'égalité $𝔞=⋃_i (𝔞∩𝔭_i)$ que l'idéal
+$𝔞$ est alors contenu dans la réunion $⋃_{i≠j} 𝔭_i$,
+auquel cas l'hypothèse de récurrence permet de conclure.
+Supposons donc par l'absurde que pour chaque indice $j$, il existe un élément
+$x_j∈(𝔞∩𝔭_j)-⋃_{i≠j} 𝔭_i$. Posons $\chap{x_j}=∏_{i≠j} x_j$ et
+considérons l'élément $y=∑_j \chap{x_j}$ de $𝔞$.
+Soit $i$ tel que $y∈𝔭_i$. Pour chaque $j≠i$, $\chap{x_j}∈𝔭_i$
+de sorte que finalement $\chap{x_i}$ appartient également
+à $𝔭_i$. Il en est donc ainsi d'au moins un de ses facteurs
+$x_j$ ($j≠i$), ce qui est absurde.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}Il résulte du théorème précédent
+qu'à conjugaison près, les sous-groupes $D(𝔮)$ et
+$I(𝔮)$ de $G$ définis en \refext{CG}{décomposition-inertie}
+ne dépendent que de $𝔭=𝔮∩A$. En effet, si
+$g∈G$, on a $D(g.𝔮)=gD(𝔮)g^{-1}$ (resp. $I(g.𝔮)=gI(𝔮)g^{-1}$). On note
+parfois $D(𝔭)$ (resp. $I(𝔭)$) une telle classe de conjugaison
+de sous-groupes.
+\end{remarque2}
+
+Par construction l'action de $G$ sur $B$ induit une action
+$A/𝔮$-linéaire de $D(𝔮)$ sur $B/𝔮$, qui se factorise
+à travers le quotient $D(𝔮)/I(𝔮)$. (Le morphisme $A/𝔭→B/𝔮$ est
+injectif car $𝔭=𝔮∩A$.)
+
+\begin{miseengarde2}
+L'inclusion $A/𝔭⊆\Fix_{D(𝔮)/I(𝔮)}(B/𝔮)$ n'est pas en général
+une égalité. Exemple \XXX.
+\end{miseengarde2}
+
+Le théorème ci-dessous est un substitut utile à ce défaut
+de commutation des invariants par passage au quotient.
+
+\begin{théorème2}\label{specialisation galois cas general}
+Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par
+automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. Soit $𝔮$ un idéal premier de $B$
+au-dessus de l'idéal premier $𝔭$ de $A$.
+L'extension $κ(𝔮)\bo κ(𝔭)$ est \emph{normale}
+et le morphisme canonique
+\[D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{κ(𝔭)}(κ(𝔮)),\]
+\[gI(𝔮)↦\big(x \mod 𝔮↦g(x) \mod 𝔮\big)\]
+est un \emph{isomorphisme}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Réductions.
+Il résulte de \ref{invariants et localisation} que
+$\Fix_G(B_𝔭)=A_𝔭$. D'autre part l'idéal premier $𝔮$ de $B$
+est l'image d'un (unique) idéal premier $𝔮_𝔭$ de $B_𝔮$
+par l'application $\Spec(B_𝔭)↪\Spec(B)$ et les corps résiduels
+$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (\cad : les morphismes
+canoniques $κ(𝔭)→κ(𝔭_𝔭)$ et $κ(𝔮)→κ(𝔮_𝔭)$, où
+$𝔭_𝔭$ est l'idéal maximal de $A_𝔭$, sont des isomorphismes).
+Enfin l'action de $D(𝔮)$ sur $\Spec(B)$
+laisse invariant $\Spec(B_𝔭)$, sur lequel il agit comme
+$D(𝔮_𝔭)$. On peut donc supposer $A$ local d'idéal maximal
+$𝔭$. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers}
+que $𝔮$ est alors maximal également.
+
+Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, \cad que pour tout
+$β∈l=B/𝔮$, il existe un polynôme à coefficients dans $k$, scindé sur
+$l$ et s'annulant en $β$. (Cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (iv)).
+Soit $b$ un relèvement de $β$ dans $B$ et considérons
+$P(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)∈A[X]$. Il est scindé dans $B[X]$
+et s'annule en $b$. Son image $p∈k[X]$ déduite de la projection $A↠k$
+est un polynôme scindé dans $l[X]$ s'annulant en $β$.
+
+Vérifions maintenant que le morphisme $ρ:D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{k}(l)$
+est un isomorphisme. Il est injectif par définition de $I(𝔮)$.
+
+Cas particulier où l'extension $l\bo k$ est séparable.
+Elle est finie. \XXX
+Soit $β$ un élément primitif \refext{Alg}{element-primitif}.
+Tout élément $σ$ de $\Aut_k(l)$ est donc caractérisé par l'image
+$σ(β)$ de $β$. Par définition du morphisme $ρ$, il nous faut montrer
+que pour tout $σ$, il existe $g∈D(𝔮)$ et un relèvement $b$ de $β$
+tel que $g(b)-b∈𝔮$.
+Les idéaux $g.𝔮$ pour $g∉D(𝔮)$ étant maximaux et différents
+de $𝔮$, il résulte du lemme de Bézout qu'il existe un élément
+$b∈B$ tel que $b≡β\,\mod𝔮$ et $b∈g.𝔮=g^{-1}(𝔮)$ pour $g∉D(𝔮)$.
+Pour un tel élément, considérons $P(X)=∏_{g∈D(𝔮)}
+\big(X-g(b)\big)∈A[X]$ et $p∈k[X]$ sa réduction modulo $𝔮$.
+Au vu de notre choix de $b$, le polynôme $p$, vu dans $l[X]$,
+se factorise sous la forme
+\[
+p=X^{\# G-D(𝔮)}∏_{g∈D(𝔮)}\big(X-(g(b)\,\mod 𝔮)\big).
+\]
+Le second facteur appartient donc à $k[X]$ et s'annule
+en $β$. L'élément $σ(β)$ est donc l'une de ses racines.
+CQFD.
+
+Cas général. Soit $l\bo k$ comme dans l'énoncé et $σ∈\Aut_k(l)$.
+Elle est algébrique. \XXX
+Considérons la plus grand sous-$k$-extension séparable
+$k'$ de $k$ ; elle est stable par tout automorphisme
+de $l$ sur $k$. La démonstration ci-dessus montre que
+$k'\bo k$ est nécessairement finie, donc admet un élément primitif,
+et que si $σ'∈\Aut_k(k')$ est la restriction de $σ$ à $k'$,
+il existe $g∈D(𝔮)/I(𝔮)$ induisant l'automorphisme $σ'$ sur $k'$.
+Il résulte du lemme ci-dessous que $g$ induit l'automorphisme $σ$ sur
+$l$ tout entier.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme3}
+Deux automorphismes d'une extension algébrique coïncident
+\ssi ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
+\end{lemme3}
+
+Ce lemme est un cas particulier de \refext{RT}{}.
+
+\begin{démo}
+Soient $L\bo K$ l'extension et $σ,τ∈\Aut_K(L)$ les automorphismes.
+Supposons que pour tout élément $x∈L$ séparable sur $K$, on ait
+l'égalité $σ(x)=τ(x)$. Montrons que $σ=τ$. Soit $K'$ la clôture
+séparable de $K$ dans $L$, c'est-à-dire le sous-corps (cf. \XXX)
+de $L$ consituté des éléments séparables. On va montrer par récurrence
+sur le degré inséparable $[K'[x]:K']$ de $x$ que $σ(x)=τ(x)$
+pour tout $x∈L$. Si $[K'[x]:K']=1$, c'est hypothèse.
+Supposons $[K'[x]:K']=n>1$. Le polynôme minimal de $x$ sur $K'$
+n'étant pas séparable, il est donc de la forme
+$f(T^p)$ où $p$ est la caractéristique de $K$,
+nécessairement non nulle (cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}).
+Ainsi, $x^p$ est racine du polynôme $f(T)$, irréductible sur
+$K'$. Il en résulte que $[K'[x^p]:K']=n/p<n$ donc, par hypothèse
+de récurrence, $σ(x^p)=τ(x^p)$. En conséquence, $σ(x)^p=τ(x)^p$
+et, finalement, $σ(x)=τ(x)$ car l'élévation à la puissance $p$
+est injective en caractéristique $p>0$.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque3}
+On montrera plus tard que pour toute $A$-algèbre $A'$,
+le morphisme $A'→\Fix_G(B⊗_A A')$ est un isomorphisme
+si $A→A'$ est \emph{plat} et même dans les cas
+où ce morphisme n'est pas un isomorphisme,
+l'application induite sur les spectres
+$\Spec(\Fix_G(B⊗_A A'))⥲\Spec(A')$ est néanmoins
+une bijection.
+%Voir aussi Liu, « Quotient maps and base change ».
+\end{remarque3}
+
+
+
+
\section{Théorie de la dimension}
\subsection{Généralités}
diff --git a/chapitres/entiers.tex b/chapitres/entiers.tex
index 0b08b9a..ed18c2f 100644
--- a/chapitres/entiers.tex
+++ b/chapitres/entiers.tex
@@ -34,976 +34,6 @@
\fi
-\section{Définitions et premières propriétés}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
-Pour tout élément $b$ de $B$, notons
-$A[b]$ le sous-ensemble
-$$
-\{∑_{i=0}^r a_i b^i; a_i∈ A, r∈ 𝐍\}
-$$
-de $B$, que l'on peut également définir comme l'image de
-l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X]→B$ envoyant $X$ sur $b$
-ou bien comme la plus petite sous-$A$-algèbre de $B$ contenant l'élément $b$.
-Plus généralement, pour toute partie $S$ de $B$ on note $A[S]$ l'image
-de l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X_s, s∈S]→B$ envoyant $X_s$
-sur $s$, qui est aussi l'intersection dans $B$ de toutes les $A$-algèbres contenant $S$.
-
-\begin{définition}\label{element-entier}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
-est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
-\end{définition}
-
-\begin{exemples}
-Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad
-dans l'image du morphisme structural $A→B$, est entier sur $A$.
-Moins trivialement, il résulte de la proposition
-\ref{caracterisation-entiers} ci-dessous que le nombre
-complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$.
-\end{exemples}
-
-
-Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.
-
-\begin{définition}\label{morphisme-fini}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $B$
-est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition}
-
-On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le
-morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à
-confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu : sur $A$).
-Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi
-l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente.
-
-\begin{lemme}\label{composé de finis=fini}
-Le composé de deux morphismes finis est fini.
-Plus généralement, si $A$ est un anneau, $B$ une $A$-algèbre \emph{finie}
-et $M$ un $B$-module de type fini, le $A$-module $M$ est de type fini.
-\end{lemme}
-
-\begin{démo}
-Par hypothèse, il existe deux entiers $r,r'$ et
-des surjections $A^r↠B$ ($A$-linéaire) et $B^{r'}↠M$ ($B$-linéaire).
-Par composition, on en déduit une surjection $A$-linéaire
-$(A^r)^{r'}↠M$. Puisque $(A^r)^{r'}$ est $A$-isomorphe à
-$A^{rr'}$, la conclusion en résulte.
-\end{démo}
-
-\begin{proposition}\label{caracterisation-entiers}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
-Considérons un élément $b∈B$.
-Les conditions suivantes sont équivalentes :
-\begin{enumerate}
-\item \label{1} $b$ est entier sur $A$ ;
-\item \label{2} il existe un polynôme \emph{unitaire} $P∈ A[X]$ tel
-que $P(b)=0$ ;
-\item \label{3} il existe un sous-$A$-\emph{algèbre} de $B$ \emph{finie} sur $A$, contenant $b$.
-\end{enumerate}
-\end{proposition}
-
-En particulier, si $B$ est finie sur $A$, tout élément de $B$ est entier sur
-$A$.
-
-Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée
-une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients
-dans $A$.
-
-\begin{miseengarde}
-L'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence
-d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$.
-C'est cependant vrai si $A$ est \emph{nœthérien}.
-
-Considérons la sous-$𝐐$-algèbre $A$ de $𝐐[X,Y]$
-engendrée par les monômes $X^nY^{n+1}=Y(XY)^n$ pour $n≥0$.
-La sous-$A$-algèbre $B=𝐐[XY,Y]$ de $𝐐[X,Y]$
-est contenue dans le $A$-\emph{module} de type fini $A+A\cdot X$.
-Cependant, l'élément $XY$ n'est \emph{pas} entier
-sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans
-$A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$
-de sorte que $P(XY)≠0$.
-% = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$).
-\end{miseengarde}
-
-\XXX La démonstration ci-dessous est moche.
-
-\begin{démo}
-Montrons que \ref{1} implique \ref{2}. Sous l'hypothèse \ref{1},
-il existe des polynômes $P₁,\dots,P_n∈A[X]$ tels que les
-$P_i(b)$ ($1≤i≤n$) engendrent $A[b]$ comme $A$-module. Si $N$ est un
-entier strictement supérieur aux degrés de ces polynômes, l'inclusion
-évidente $∑_{i≤n} A\,P_i(b)⊆∑_{α<N} A\,b^α$ entraîne
-l'égalité $A[b]=∑_{α<N} Ab^α$. En particulier, $b^N∈∑_{α<N} Ab^α$.
-Il existe donc un polynôme unitaire de degré $N$ à coefficients dans
-$A$ s'annulant en $b$.
-Montrons que \ref{2} implique \ref{1}. Soit $P$ comme dans l'énoncé ;
-notons $d$ son degré. Soit $x=f(b)∈A[b]$ où $f∈A[X]$. Le polynôme $P$
-étant unitaire, on peut faire la division euclidienne de $f$ par $P$ :
-il existe une unique paire $(Q,R)∈A[X]²$ telle que $\deg(R)<d$ et
-$f=PQ+R$. Ainsi $x=P(b)Q(b)+R(b)=R(b)$. Il en résulte que $x∈∑_{i<d} A\,b^i$.
-Finalement, $A[b]=∑_{i<d} A\,b^i$ est finie sur $A$.
-Il est tautologique que \ref{1} entraîne \ref{3}. Il nous
-suffit donc pour conclure de vérifier que \ref{3} entraîne
-\ref{2}. Soit $C$ une sous-$A$-algèbre de $B$ contenant $b$, finie sur $A$.
-Par hypothèse, il existe une surjection $A$-linéaire $s:A^n↠C$.
-Observons que l'endomorphisme $A$-linéaire de $C$
-défini par la multiplication par $b$ se \emph{relève}, non canoniquement, en
-un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
-$$
-\xymatrix{
-A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
-C \ar[r]^{b} & C
-}
-$$
-En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et
-que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$
-tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir
-$u$ par la matrice $(a_{ij})$. Soit $χ_u(X)=\det(\mathrm{Id}-Xu)∈A[X]$.
-C'est un polynôme \emph{unitaire}, tel que — par Cayley-Hamilton —
-l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul.
-La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD.
-\end{démo}
-
-\begin{corollaire}
-Tout élément de $𝐐$ entier sur $𝐙$ appartient à $𝐙$.
-\end{corollaire}
-
-\begin{démo}
-En effet, si $r=x/y\in \QQ$, où $x,y\in \ZZ-\{0\}$ sont premiers
-entre eux, satisfait la relation
-$$
-(\frac{x}{y})^n+a_{n-1}(\frac{x}{y})^{n-1}+\cdots+a_1 \frac{x}{y}+a_0=0,
-$$
-où les coefficients sont entiers, on voit par multiplication par $y^{n}$
-que $y$ divise $x$. Compte tenu de l'hypothèse faite, on a $y=±1$
-et finalement $r∈𝐙$.
-\end{démo}
-
-\begin{proposition}\label{entiers=sous-algebre}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
-L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est une sous-$A$-algèbre.
-\end{proposition}
-
-En d'autres termes, si $b$ et $b'$ sont deux éléments de $B$ entiers
-sur $A$, les éléments $b+b'$, $bb'$, et les $ab$ pour tout
-$a∈A$, sont également entiers sur $A$.
-
-\begin{démo}[Première démonstration]
-(La démonstration qui suit est une généralisation des calculs
-\refext{Ext}{exemple somme algébriques=algébrique}.)
-Soient $b$ et $b'$ comme dans l'énoncé, et
-$P=T^n-∑_{0}^{n-1}β_i T^i$ et $Q=T^m-∑_{0}^{m-1}β'_j T^j$
-des polynômes unitaires s'annulant respectivement
-en $b$ et $b'$. Considérons les endomorphismes $u$ et $v$
-du sous-$A$-module libre de $A[X,Y]$ de base les mônomes
-$X^iY^j$ où $0≤i≤n-1$ et $0≤j≤m-1$, définis par :
-$u(X^i Y^j)=X^{i+1}Y^j$ si $i≠n-1$ et
-$u(X^{n-1}Y^j)=∑_0^{n-1} β_i X^i Y^i$
-(resp. $v(X^i Y^j)=X^{i}Y^{j+1}$ si $j≠m-1$
-et $v(X^{i}Y^{m-1})=∑_0^{m-1} β'_j X^i Y^j$).
-Ces endomorphismes commutent.
-Soit $R∈A[X,Y]$. Par construction, le diagramme
-d'application $A$-linéaires
-\begin{center}
-\begin{tikzpicture}[auto]
-\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
-X^iY^j & A^{nm} & A^{nm} \\ b^i {b'}^j & A[b,b'] & A[b,b'] \\};
-\draw[|->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
-\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
-\draw[->] (diag-1-2) -- node{$R(u,v)$} (diag-1-3);
-\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
-\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$×R(b,b')$} (diag-2-3);
-\end{tikzpicture}
-\end{center}
-est commutatif. (Il suffit de le vérifier pour $R(X,Y)=X$ et
-$R(X,Y)=Y$.) De ce fait joint au fait que l'unité
-de $B$ appartienne à l'image de $A^{nm}→A[b,b']$,
-il suit que toute relation $R(u,v)=0$ entraîne $R(b,b')=0$.
-Il résulte alors du théorème de Cayley-Hamilton
-que le polynôme caractéristique de $u+v$ (resp. $uv$),
-unitaire à coefficients dans $A$, s'annule en $b+b'$ (resp. $bb'$).
-(Comparer avec \ref{caracterisation-entiers}, démonstration,
-(iii)⇒(ii).)
-\end{démo}
-
-En utilisant le produit tensoriel d'algèbres sur
-un anneau quelconque (\refext{Tens}{Tens-produit tensoriel algèbres}),
-il est possible de donner une version « abstraite »
-de la démonstration précédente.
-
-\begin{démo}[Seconde démonstration]
-Soient $b$ et $b'$ comme dans l'énoncé. La multiplication
-dans $B$ induit un morphisme de $A$-algèbres
-$$
-A[b]⊗_A A[b'] → B,
-$$
-dont l'image est la sous-$A$-algèbre $A[b,b']$ de $B$. Les $A$-algèbres
-$A[b]$ et $A[b']$ étant finies, il en est de même de leur produit tensoriel
-$A[b]⊗_A A[b']$ (\refext{Tens}{produit tensoriel fini=fini}), et du quotient $A[b,b']$ de ce
-dernier. (Tout quotient d'un module de type fini est de type fini.)
-Finalement, $b+b'$, $bb'$ et les $ab$, qui appartiennent à $A[b,b']$,
-sont donc entiers sur $A$ en vertu de \ref{caracterisation-entiers}, \ref{3}.
-\end{démo}
-
-
-\begin{remarque}
-La définition \ref{element-entier} et la proposition
-\ref{caracterisation-entiers} s'étendent
-au cas où $B$ n'est pas nécessairement commutative.
-Cependant, la démonstration montre seulement
-que la somme (resp. le produit)
-de deux éléments entiers \emph{permutables} est entier.
-\end{remarque}
-
-\begin{définition}\label{entiere}
-Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
-Si tout élément de $B$ est entier sur $A$, on dit que $B$ est une
-\emph{$A$-algèbre entière} ou encore que le morphisme $A→B$ est
-\emph{entier}. \index{morphisme entier}
-\end{définition}
-
-\begin{proposition}\label{entier-sur-entier}
-Le composé de deux morphismes entiers est entier.
-\end{proposition}
-
-En d'autres termes, si $B$ est une $A$-algèbre entière et $C$
-une $B$-algèbre entière, alors $C$ est entier
-sur $A$ (pour la structure d'algèbre définie par composition).
-
-%De la proposition triviale \ref{epi=fini} on tire le corollaire suivant.
-%\begin{corollaire}\label{quotient-fini=fini}
-%Tout quotient d'une algèbre entière (resp. finie) est entière (resp. finie).
-%\end{corollaire}
-
-\begin{démo}
-Soient $A,B$ et $C$ comme dans la glose suivant l'énoncé.
-Soit $c∈C$ ; on veut montrer qu'il est entier sur $A$.
-Par hypothèse $c$ est racine d'un polynôme unitaire
-$P=X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots+b₀∈B[X]$. Considérons
-la sous-$A$-algèbre $B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$ de $B$.
-Elle est finie sur $A$ d'après \ref{composé de finis=fini}
-car chacun des morphismes $A→A[b₀]$, $A[b₀]→A[b₀,b₁]$,
-..., $A[b₀,\dots,b_{n-2}]→B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$
-sont finis. (Ils sont en effet de la forme
-$D→D[d]$ où $d$ est entier sur $D$.)
-Puisque $P∈B'[X]$, on voit que
-la sous-$A$-algèbre $B'[c]$ de $C$ est finie sur $B'$. Il résulte
-de \emph{loc. cit.} que $B'[c]$ est
-finie sur $A$ et finalement (d'après \ref{caracterisation-entiers}, (iii)) que
-$c$ est entier sur $A$.
-\end{démo}
-
-\subsection{Morphismes de type fini}
-
-Rappelons la définition suivante.
-
-\begin{définition2}\label{algèbre de type fini}
-Soit $A$ un anneau. Une $A$-\emph{algèbre} $B$ est dite \emph{de type fini} s'il existe un
-entier $r$ et un épimorphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]↠B$.
-\end{définition2}
-
-On prendra garde de ne pas confondre cette notion avec celle
-de $A$-\emph{module} de type fini, correspondant à la notion
-de $A$-algèbre finie.
-
-\begin{proposition2}\label{composé-type-fini}
-Le composé de deux morphismes de type fini est de type fini :
-si $A→B$ et $B→C$ sont de type fini, le composé $A→C$ est de type fini.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-Notons $A→B$ et $B→C$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé.
-Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ ($X_i↦x_i$) et $B[Y₁,\dots,Y_s]↠C$ ($Y_j↦y_j$) sont les épimorphismes dont on suppose
-l'existence, le morphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r,Y₁,\dots,Y_s]→C$
-défini par $X_i↦x_i$, $Y_j↦y_j$ est également surjectif : le morphisme composé
-$A→C$ est donc de type fini.
-\end{démo}
-
-On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
-Réciproquement :
-
-\begin{proposition}\label{fini=entier+tf}
-Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini.
-\end{proposition}
-
-
-\begin{démo}[Première démonstration]
-Un morphisme fini est entier et de type fini car une $A$-algèbre
-finie en tant que $A$-module l'est \emph{a fortiori} en tant
-qu'algèbre. Démontrons la réciproque. Soient $B$ une $A$-algèbre entière
-et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres. Notons $b_i$
-les images des $X_i$ par ce morphisme, de sorte que
-$B=A[b_1,\dots,b_r]$. Le morphisme $A→B$ est donc
-fini (cf. \ref{entier-sur-entier}, démonstration).
-\end{démo}
-
-\begin{démo}[Seconde démonstration]
-Soient $B$ une $A$-algèbre entière et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres.
-Montrons que $B$ est finie sur $A$. Notons $b_i$
-les images des $X_i$ par ce morphisme, qui se factorise donc à travers
-un épimorphisme $A[b₁]⊗_A\cdots⊗_A A[b_r]↠B$ car
-$A[X₁,\dots,X_r]≃A[X₁]⊗_A\cdots⊗_A A[X_r]$ (\refext{Tens}{}).
-Chaque $A[b_i]$ est un $A$-\emph{module} de type fini ; il en
-est de même de leur produit tensoriel.
-\end{démo}
-
-\begin{proposition}\label{localisation-entier=entier}
-Soient $A→B$ un morphisme entier (resp. fini) et $S$ une partie
-de $A$. Le morphisme induit $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$
-entre les anneaux de fractions associés
-(\refext{Spec}{Spec-localisation})
-est entier (resp. fini).
-\end{proposition}
-
-Cette proposition est un cas particulier de
-\ref{cb-entier}.
-
-\begin{démo}
-Quitte à remplacer $S$ par la partie multiplicative
-engendrée, on peut supposer $S$ multiplicative.
-Supposons $A→B$ entier et considérons $b/s∈B[S^{-1}]$.
-On veut montrer qu'il est entier sur $A[S^{-1}]$.
-Par hypothèse, il existe une relation de dépendance
-intégrale $b^n+a₁ b^{n-1}+\cdots+a_n=0$. En multipliant
-l'image de cette relation dans $B[S^{-1}]$ par $1/s^n$,
-on en tire :
-\[
-(b/s)^n+(a₀/s)(b/s)^{n-1}+\cdots+(a_n/s^n)=0.
-\]
-En d'autres termes, $b/s$ est entier sur $A[S^{-1}]$.
-Pour traiter le cas des morphismes finis, il suffit de vérifier
-que si $A→B$ est de type fini, il en est de même de
-$A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$. Or, si $b₁,\dots,b_n$ sont des générateurs
-de $B$ comme $A$-module, il résulte immédiatement
-de l'égalité $(∑_1^n a_i b_i)/s=∑_1^n (a_i/s)(b_i/1)$
-pour tout $n$-uplet $(a_i)$ de $A$ que les éléments
-$b₁/1,\dots,b_n/1$ de $B[S^{-1}]$
-sont générateurs sur $A[S^{-1}]$.
-\end{démo}
-
-
-\begin{facultatif}
-
-\section{Intégrité et changement de base}
-
-Les résultats de cette section ne seront pas utilisé dans la
-suite de ce chapitre.
-
-\begin{proposition}\label{stabilite-type-fini}
-\begin{enumerate}
-\item Le produit tensoriel de deux morphismes de type fini est de type fini :
-si $A→B₁$ et $A→B₂$ sont de type fini, le morphisme canonique $A→B₁⊗_A B₂$
-est de type fini.
-\item Un morphisme de type fini reste après changement de base : si $A→B$ est de
-type fini et $A→A'$ est un morphisme, le morphisme canonique $A'→B⊗_A A'$ est de
-type fini.
-\end{enumerate}
-\end{proposition}
-
-\begin{démo}
-(i) Soient $A→B₁$ et $A→B₂$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé.
-Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B₁$ est un épimorphisme, le morphisme $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A B₂↠B₁⊗_A B₂$
-obtenu par changement de base l'est également
-(\refext{Tens}{produit-tens-exact-a-droite}). Puisqu'un quotient d'une $A$-algèbre de
-type finie est de type fini, on peut supposer que $B₁$ est une algèbre de
-polynômes en un nombre fini de variables. De même pour $B₂$. Le résultat est
-alors trivial car $A[X₁,\cdots,X_r]⊗_A A[Y₁,\dots,Y_s]$ est $A$-isomorphe
-à $A[Z₁,\dots,Z_{rs}]$ (\refext{Tens}{}).
-(ii) Même démonstration, où l'on utilise cette fois-ci l'isomorphisme
-de $A'$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A A'⭇A'[X₁,\dots,X_r]$.
-\end{démo}
-
-
-\begin{proposition}\label{cb-entier}
-Soit $A→B$ un morphisme entier (resp. fini). Alors, pour toute $A$-algèbre $A'$,
-la $A'$-algèbre $B⊗_A A'$ est entière (resp. finie).
-\end{proposition}
-
-\begin{démo}
-D'après \ref{stabilite-type-fini} et \ref{fini=entier+tf}, il suffit de
-démontrer la proposition dans le cas des morphismes entiers.
-Pour toute sous-$A$-algèbre finie $C$ de $B$, notons $\gtilde{C}$ l'image de $C⊗_A A'$ dans $B'=B⊗_A A'$.
-Observons que $B'=⋃\gtilde{C}$ où $C$ parcourt l'ensemble des sous-$A$-algèbres
-finies de $B$. En effet, tout élément $b'$ de $B'$ est somme (finie) de tenseurs
-purs : $b'=∑_{i∈I} b_i⊗a'_i$, où $b_i∈B$ et $a'_i∈A'$
-de sorte que $b'$ appartient $\gtilde{C}$ où $C$ est
-la sous-$A$-algèbre finie $C=A[(b_i)_{i∈I}]$ de $B$. Pour conclure,
-il suffit de montrer que chaque $\gtilde{C}$ est entier sur $A'$.
-Une telle sous-$A'$-algèbre de $B'$ est même finie :
-$\gtilde{C}$ est un quotient de $C'=C⊗_A A'$ qui est fini sur $A'$ (comme
-module) car $C$ l'est sur $A$.
-\end{démo}
-
-\begin{corollaire}\label{pdt-tens-entiers}
-Soient $A$ un anneau et $B₁,B₂$ deux $A$-algèbres entières (resp. finies).
-Le produit tensoriel $B₁⊗_A B₂$ est entier (resp. fini) sur $A$.
-\end{corollaire}
-
-\begin{démo}
-Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}.
-\end{démo}
-
-La généralisation suivante du corollaire précédent est également
-utile.
-
-\begin{corollaire}\label{produit-tensoriel-d-entiers}
-Soient $k$ un anneau, $A₁$ et $A₂$ deux $k$-algèbres.
-Si $A₁→B₁$ et $A₂→B₂$ sont deux morphismes entiers (resp. finis), le morphisme
-$A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ qui s'en déduit est également entier (resp. fini).
-\end{corollaire}
-
-\begin{démo}
-D'après \ref{cb-entier}, les morphismes $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k A₂$ et $B₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
-B₂$ sont entiers ; d'après \ref{entier-sur-entier} le composé $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
-B₂$ l'est aussi.
-\end{démo}
-
-\end{facultatif}
-
-
-\section{Clôture intégrale, anneaux normaux}
-
-\begin{définition}\label{normalisation,normal}
-Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre
-$A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
-intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation}
-de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle,
-entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
-\emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}.
-\end{définition}
-
-\begin{définition}\label{fermeture-integrale}
-L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est appelé \emph{fermeture
-intégrale de $A$ dans $B$}\index{fermeture intégrale}.
-\end{définition}
-
-\begin{lemme2}
-\label{intégralement clos préserve irréductibilité}
-Soit $A ⊆ B$ une inclusion d'anneaux intègres. On suppose
-que $A$ est intégralement clos dans $B$.
-Alors, tout polynôme $P ∈ A[X]$ irréductible unitaire
-reste irréductible dans $B[X]$.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-\end{démo}
-
-\XXX
-
-\subsection{Normalisation dans une extension séparable}
-
-Contre-exemple non japonais.
-
-
-
-
-\section{Relèvements des idéaux premiers}
-
-\begin{théorème}\label{relèvement idéaux}
-Soit $A↪B$ un morphisme \emph{injectif} entier. L'application
-canonique $\Spec(B)→\Spec(A)$, $𝔮↦𝔮∩A$, est surjective.
-\end{théorème}
-
-\begin{corollaire}
-Soit $A→B$ un morphisme entier. L'image du morphisme
-$\Spec(B)→\Spec(A)$ est l'ensemble des idéaux premiers de $A$
-contenant $\Ker(A→B)$.
-\end{corollaire}
-
-\begin{démo}[Démonstration du corollaire]
-En effet, le morphisme $A'=A/\Ker(A→B)→B$ déduit
-de $A→B$ par passage au quotient est entier, injectif
-et $\Spec(A')$ est le sous-ensemble de $\Spec(A)$ décrit
-dans l'énoncé.
-\end{démo}
-
-\begin{démo}[Démonstration du théorème]
-(Le lecteur qui le souhaite pourra supposer pour simplifier que les
-anneaux $A$ et $B$ sont intègres.)
-Soit $𝔭∈\Spec(A)$. Rappelons que l'on note $A_𝔭$
-l'anneau des fractions $A[(A-𝔭)^{-1}]$ (cf.
-\refext{Spec}{Spec-localisation}).
-Si $A$ est intègre, c'est le sous-anneau
-du corps des fractions $\Frac(A)$ constitué
-des éléments pouvant s'écrire avec
-un dénominateur n'appartenant pas à $𝔭$.
-D'après \ref{localisation-entier=entier} (resp.
-\refext{Spec}{Spec-cas particulier platitude localisation}),
-le morphisme $A_𝔭→B_𝔭=B[(A-𝔭)^{-1}]$ est entier (resp. injectif).
-D'autre part, $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$ (resp. $\Spec(B_𝔭)→\Spec(B)$)
-s'identifie à l'inclusion $\{𝔭'∈\Spec(A):𝔭'⊆𝔭\}↪\Spec(A)$
-(resp. $\{𝔮∈\Spec(B):𝔮∩A⊆𝔭\}↪\Spec(B)$), cf. \refext{Spec}{Spec-spectre du
-localisé}.
-Le diagramme
-\begin{center}
-\begin{tikzpicture}[auto]
-\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
-\Spec(B) & \Spec(A)\\ \Spec(B_𝔭) & \Spec(A_𝔭)\\};
-\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
-\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
-\draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
-\draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
-\end{tikzpicture}
-\end{center}
-étant commutatif, et $𝔭∈\Spec(A)$ appartenant à l'image
-de l'application $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$,
-on peut remplacer $A$ par $A_𝔭$ et $B$ par $B_𝔭$.
-En d'autre termes, on peut supposer $A$ \emph{local},
-\cad ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
-Soit $𝔮∈\Specmax(B)$ arbitraire et $𝔭=A∩𝔮$
-son image réciproque dans $\Spec(A)$. Le morphisme composé $A↪B↠B/𝔮$ induit une
-injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme
-ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD.
-\end{démo}
-
-\begin{lemme}
-Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres.
-L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps.
-\end{lemme}
-
-\begin{démo}
-Le fait que $B$ soit un corps si $A$ l'est est
-une reformulation de \refext{Alg}{Spec=Specmax-cas-part}.
-Réciproquement, si $B$ est un corps et $a∈A-\{0\}$,
-l'inverse $b$ de $a$ dans $B$ est entier sur $A$ :
-$b^n+a₀b^{n-1}+\cdots+a_n=0$ pour un choix convenable
-d'éléments $a_i$ de $A$. Multipliant cette égalité
-par $a^{n-1}$, on obtient $b∈A$. L'élément
-$a$ est donc inversible \emph{dans $A$}.
-\end{démo}
-
-\begin{définition}\label{idéal dessus-dessous}
-Soient $A→B$ un morphisme d'anneaux et $𝔞$ un idéal de $A$.
-On dit qu'un idéal $𝔟$ de $B$ est \emph{au-dessus} de $𝔞$ ou
-encore est un \emph{relèvement} de $𝔞$ si l'image inverse
-$𝔟∩A$ de $𝔟$ dans $A$ est égale à $𝔞$ (cf.
-\refext{Spec}{convention image inverse idéal}).
-Si cette relation est satisfaite, on dit également
-que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$.
-\end{définition}
-
-\begin{corollaire}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
-Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et
-$𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal
-\ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
-de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$.
-\end{corollaire}
-
-\begin{démo}
-Le premier point résulte du fait que le morphisme $A'=A/𝔭→B'=B/𝔮$ est entier et
-injectif. Démontrons que l'égalité $𝔭=𝔮∩A=𝔮'∩A$ jointe à l'inclusion
-$𝔮⊆𝔮'$ force l'égalité $𝔮=𝔮'$. Les applications de localisation
-$A→A_𝔭$ et $B→B_𝔭$ induisant des injections croissantes sur les spectres, on peut
-supposer $A$ local. Il résulte du premier point que $𝔮$ et $𝔮'$ sont
-alors maximaux donc égaux.
-\end{démo}
-
-\begin{corollaire}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires}
-Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔞⊆𝔭$ deux idéaux de $A$
-et $𝔟$ un idéal de $B$ au-dessus de $𝔞$. Si $𝔭$ est premier,
-il existe un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$ et au-dessus de $𝔭$.
-\end{corollaire}
-
-\begin{démo}
-Le morphisme $A/𝔞→B/𝔟$ étant entier et injectif, il résulte de
-\ref{relèvement idéaux} qu'il existe un idéal premier de $B/𝔟$
-relevant l'idéal premier $\sur{𝔭}=𝔭/𝔞$ de $A/𝔞$. Un tel idéal
-correspond à un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$,
-au-dessus de $𝔭$ (cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient}).
-\end{démo}
-
-\section{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini}
-
-Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant
-sur $B$ par automorphismes, et $A=\Fix_G(B)$ le sous-anneau de
-$B$ constitué des invariants.
-Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux propriétés du morphisme
-$A→B$ ainsi qu'à celles de l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$
-associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses,
-l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$,
-\cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
-
-\subsection{Intégralité et finitude}
-
-\begin{proposition2}\label{quotient par groupe fini est entier}
-Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant
-sur $B$ par automorphismes.
-Le morphisme $A=\Fix_G(B)→B$ est \emph{entier}.
-\end{proposition2}
-
-Il résulte du théorème \ref{relèvement idéaux} que l'application
-$Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$ est \emph{surjective}.
-Observons que l'action de $G$ sur $B$
-induit une action sur $Y$
-et que l'application ci-dessus est $G$-équivariante,
-l'ensemble $X$ étant muni, tout comme $A$, de l'action triviale
-de $G$.
-
-\begin{démo}
-Soit $b∈B$ et considérons le polynôme \emph{unitaire}
-$P_b(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)$. Il s'annule en $b$
-et ses coefficients sont $G$-invariants donc dans $A$.
-L'élément $b$ est donc entier sur $A$. CQFD.
-\end{démo}
-
-Nous allons maintenant énoncer un théorème
-de finitude, fondamental pour la théorie des invariants.
-
-Nous verrons dans un chapitre ultérieur
-un autre résultat de cette nature, mais de démonstration plus
-délicate (\refext{}{second théorème quotient fini}).
-
-\begin{théorème2}\label{premier théorème quotient fini}
-Soient $k$ un anneau, $B$ une $k$-algèbre de type fini,
-$G$ un groupe fini agissant sur $B$ par $k$-automorphismes
-et $A=\Fix_G(B)$. Le morphisme $A→B$ est \emph{fini}. De plus, si $k$ est
-\emph{nœthérien}, $A$ est une $k$-algèbre de type fini.
-\end{théorème2}
-
-\begin{démo}
-Soient $b₁,\dots,b_n$ des générateurs de $B$ en tant que $k$-algèbre :
-$B=k[b₁,\dots,b_n]$. Considérons la sous-$k$-algèbre $C$ de $B$
-engendrée par les coefficients des polynômes $P_{b_i}$, $1≤i≤n$,
-(cf. \ref{quotient par groupe fini est entier}, démonstration).
-Il résulte de \emph{loc. cit.} que $C$ est contenu dans $A$ et que chaque $b_i$ est
-entier sur $C$. Il en résulte que $B$ est \emph{fini} sur $C$
-(\ref{fini=entier+tf}) donc sur $A$.
-Enfin, $A$ étant une sous-$k$-algèbre
-de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini
-sur $k$ si $k$ est nœthérien.
-\end{démo}
-
-\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation}
-
-\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative »
-si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
-de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
-Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
-plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$
-contenant $S$ et multiplicative.
-
-Si $S$ est une partie multiplicative,
-la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
-$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
-tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
-$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
-On vérifie immédiatement que les opérations
-\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et
-\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$
-d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
-$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
-Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
-$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
-\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
-$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
-de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
-localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble
-$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt
-$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé
-de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre,
-le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$.
-
-\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé}
-Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
-Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit
-une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$
-d'image
-\[
-\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}.
-\]
-\end{proposition2}
-
-En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$,
-le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$
-car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$.
-L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
-maximal.
-
-\begin{démo}
-On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
-$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
-Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
-réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
-car tout élément de $S$ est envoyé
-par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible
-et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments.
-Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→
-\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection.
-Nous allons vérifier ci-dessous que l'application
-envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur
-l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$
-en est l'inverse. Fixons $𝔭$.
-Commençons par observer que tout élément de $𝔮$
-est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$.
-(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$
-se met au même dénominateur.)
-Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier.
-Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$,
-où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau
-des fractions, il existe $t∈S$ tel que
-\[(ts'')(aa')=(tss')x.\]
-Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
-Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à
-$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
-Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
-$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
-de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
-D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
-que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable
-et, finalement, $a∈𝔭$.
-Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout
-$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori}
-$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$
-et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à
-l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre
-que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$.
-\end{démo}
-
-Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$,
-on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$
-défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$.
-
-Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant,
-qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude}
-(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}).
-
-\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation}
-Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
-Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau,
-le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$,
-est également injectif.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau.
-Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$.
-Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que
-$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
-finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
-son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
-\end{démo}
-
-\subsection{Commutation à la localisation}
-
-Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe agissant par automorphismes
-sur $B$ et $T$ une partie multiplicative de $B$ stable par l'action de
-$G$. L'anneau localisé $B[T^{-1}]$ (\refext{Spec}{Spec-localisation})
-est naturellement muni d'une action de $G$ de sorte que le morphisme
-canonique $B→B[T^{-1}]$ soit $G$-équivariant : on pose
-$g(b/t)=g(b)/g(t)$. Posons $A=\Fix_G(B)$ ;
-le sous-ensemble $S=\Fix_G(T)$ de $A$ est une partie multiplicative.
-
-\begin{proposition2}\label{invariants et localisation}
-Supposons $G$ fini.
-Le morphisme canonique $A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ est injectif
-et induit un isomorphisme
-\[A[S^{-1}]→\Fix_G(B[T^{-1}]).\]
-\end{proposition2}
-
-En d'autres termes, le passage aux invariants commute à la
-localisation.
-
-\begin{démo}
-Il est clair que l'image de $A[S^{-1}]$ dans $B[T^{-1}]$
-est fixe sous l'action de $G$. Vérifions l'injectivité.
-Si $a/s$ est d'image nulle dans $B[T^{-1}]$,
-il existe $t∈T$ tel que $ta=0$. Quitte à symétriser
-$t$, \cad considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
-$t∈S$. Ainsi, $a/s=0$ dans $A[S^{-1}]$.
-Vérifions la surjectivité. Soit $y∈\Fix_G(B[T^{-1}])$ ;
-on veut montrer qu'il existe $s∈S$ et $a∈A$ tels que
-$y=a/s$. Quitte à multiplier $y$ par le symétrisé
-d'un de ses dénominateurs, on peut supposer que
-$y=b/1$ pour un élément $b∈B$. Puisqu'il est fixe sous
-l'action de $G$, il existe pour tout $g∈G$ un élément $t_g$ de $T$
-tel que $t_g(g(b)-b)=0$. Soit $s$ le symétrisé du produit
-$t=∏_{g} t_g∈T$. Pour tout $g∈G$, on a $g(sb)-sb=s(g(b)-b)=0$.
-Ainsi $a=sb$ appartient à $A$ et $y=a/s$.
-\end{démo}
-
-\begin{exercice2}
-Trouver un triplet $(B,T,G)$ pour lequel l'application
-$A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ de la proposition \ref{invariants et localisation}
-n'est pas pas injective. \XXX.
-\end{exercice2}
-
-
-\subsection{Groupes de décomposition et d'inertie ; action de $G$
-sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(A)$}\label{décomposition-inertie et quotient}
-
-\begin{théorème2}
-Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par
-automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. L'action de $G$ est transitive sur les fibres
-de l'application $\Spec(B)→\Spec(A)$ : pour toute paire idéaux
-premiers $𝔮$ et $𝔮'$ de $B$ au-dessus d'un même idéal premier
-$𝔭$ de $A$, il existe $g∈G$ tel que $g.𝔮=𝔮'$.
-\end{théorème2}
-
-Rappelons que par définition, $𝔮∩A=𝔭=𝔮'∩A$ et que $g.𝔮$
-désigne l'idéal $g^{-1}(𝔮)$ (cf. \refext{Spec}{fonctorialite-spectre}).
-
-\begin{démo}
-Soit $y∈𝔮$ et soit $x∈A$ son multiple $∏_{g∈G}g(y)$. Puisque $x∈𝔮∩A=𝔮'∩A$,
-il appartient en particulier à l'idéal $𝔮'$. Celui-ci étant un idéal
-\emph{premier}, il existe un $g∈G$ tel que $g(y)∈𝔮'$ ou encore
-$y∈g.𝔮'$. On donc démontré l'inclusion $𝔮⊆⋃_g g.𝔮'$.
-Chacun des idéaux $g.𝔮'$ étant premier, il résulte du lemme ci-dessous
-que l'on a $𝔮⊆g.𝔮'$ pour un $g∈G$ convenable.
-Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers} que
-$𝔮=g.𝔮'$. CQFD.
-\end{démo}
-
-\begin{lemme2}\label{idéal dans réunion de premiers}
-Soient $C$ un anneau, $𝔞$ un idéal et $𝔭₁,\dots,𝔭_r$ des idéaux
-premiers tels que $𝔞⊆⋃_1^r 𝔭_i$. Il existe alors un indice
-$i$ tel que $𝔞⊆𝔭_i$.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-On raisonne par récurrence sur $r$, le cas $r=1$ étant
-trivial. Supposons $r≥2$. S'il existe un indice
-$j$ tel que $𝔞∩𝔭_j⊆⋃_{i≠j} 𝔭_i$, il résulte
-de l'égalité $𝔞=⋃_i (𝔞∩𝔭_i)$ que l'idéal
-$𝔞$ est alors contenu dans la réunion $⋃_{i≠j} 𝔭_i$,
-auquel cas l'hypothèse de récurrence permet de conclure.
-Supposons donc par l'absurde que pour chaque indice $j$, il existe un élément
-$x_j∈(𝔞∩𝔭_j)-⋃_{i≠j} 𝔭_i$. Posons $\chap{x_j}=∏_{i≠j} x_j$ et
-considérons l'élément $y=∑_j \chap{x_j}$ de $𝔞$.
-Soit $i$ tel que $y∈𝔭_i$. Pour chaque $j≠i$, $\chap{x_j}∈𝔭_i$
-de sorte que finalement $\chap{x_i}$ appartient également
-à $𝔭_i$. Il en est donc ainsi d'au moins un de ses facteurs
-$x_j$ ($j≠i$), ce qui est absurde.
-\end{démo}
-
-\begin{remarque2}Il résulte du théorème précédent
-qu'à conjugaison près, les sous-groupes $D(𝔮)$ et
-$I(𝔮)$ de $G$ définis en \refext{CG}{décomposition-inertie}
-ne dépendent que de $𝔭=𝔮∩A$. En effet, si
-$g∈G$, on a $D(g.𝔮)=gD(𝔮)g^{-1}$ (resp. $I(g.𝔮)=gI(𝔮)g^{-1}$). On note
-parfois $D(𝔭)$ (resp. $I(𝔭)$) une telle classe de conjugaison
-de sous-groupes.
-\end{remarque2}
-
-Par construction l'action de $G$ sur $B$ induit une action
-$A/𝔮$-linéaire de $D(𝔮)$ sur $B/𝔮$, qui se factorise
-à travers le quotient $D(𝔮)/I(𝔮)$. (Le morphisme $A/𝔭→B/𝔮$ est
-injectif car $𝔭=𝔮∩A$.)
-
-\begin{miseengarde2}
-L'inclusion $A/𝔭⊆\Fix_{D(𝔮)/I(𝔮)}(B/𝔮)$ n'est pas en général
-une égalité. Exemple \XXX.
-\end{miseengarde2}
-
-Le théorème ci-dessous est un substitut utile à ce défaut
-de commutation des invariants par passage au quotient.
-
-\begin{théorème2}\label{specialisation galois cas general}
-Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par
-automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. Soit $𝔮$ un idéal premier de $B$
-au-dessus de l'idéal premier $𝔭$ de $A$.
-L'extension $κ(𝔮)\bo κ(𝔭)$ est \emph{normale}
-et le morphisme canonique
-\[D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{κ(𝔭)}(κ(𝔮)),\]
-\[gI(𝔮)↦\big(x \mod 𝔮↦g(x) \mod 𝔮\big)\]
-est un \emph{isomorphisme}.
-\end{théorème2}
-
-\begin{démo}
-Réductions.
-Il résulte de \ref{invariants et localisation} que
-$\Fix_G(B_𝔭)=A_𝔭$. D'autre part l'idéal premier $𝔮$ de $B$
-est l'image d'un (unique) idéal premier $𝔮_𝔭$ de $B_𝔮$
-par l'application $\Spec(B_𝔭)↪\Spec(B)$ et les corps résiduels
-$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (\cad : les morphismes
-canoniques $κ(𝔭)→κ(𝔭_𝔭)$ et $κ(𝔮)→κ(𝔮_𝔭)$, où
-$𝔭_𝔭$ est l'idéal maximal de $A_𝔭$, sont des isomorphismes).
-Enfin l'action de $D(𝔮)$ sur $\Spec(B)$
-laisse invariant $\Spec(B_𝔭)$, sur lequel il agit comme
-$D(𝔮_𝔭)$. On peut donc supposer $A$ local d'idéal maximal
-$𝔭$. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers}
-que $𝔮$ est alors maximal également.
-
-Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, \cad que pour tout
-$β∈l=B/𝔮$, il existe un polynôme à coefficients dans $k$, scindé sur
-$l$ et s'annulant en $β$. (Cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (iv)).
-Soit $b$ un relèvement de $β$ dans $B$ et considérons
-$P(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)∈A[X]$. Il est scindé dans $B[X]$
-et s'annule en $b$. Son image $p∈k[X]$ déduite de la projection $A↠k$
-est un polynôme scindé dans $l[X]$ s'annulant en $β$.
-
-Vérifions maintenant que le morphisme $ρ:D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{k}(l)$
-est un isomorphisme. Il est injectif par définition de $I(𝔮)$.
-
-Cas particulier où l'extension $l\bo k$ est séparable.
-Elle est finie. \XXX
-Soit $β$ un élément primitif \refext{Alg}{element-primitif}.
-Tout élément $σ$ de $\Aut_k(l)$ est donc caractérisé par l'image
-$σ(β)$ de $β$. Par définition du morphisme $ρ$, il nous faut montrer
-que pour tout $σ$, il existe $g∈D(𝔮)$ et un relèvement $b$ de $β$
-tel que $g(b)-b∈𝔮$.
-Les idéaux $g.𝔮$ pour $g∉D(𝔮)$ étant maximaux et différents
-de $𝔮$, il résulte du lemme de Bézout qu'il existe un élément
-$b∈B$ tel que $b≡β\,\mod𝔮$ et $b∈g.𝔮=g^{-1}(𝔮)$ pour $g∉D(𝔮)$.
-Pour un tel élément, considérons $P(X)=∏_{g∈D(𝔮)}
-\big(X-g(b)\big)∈A[X]$ et $p∈k[X]$ sa réduction modulo $𝔮$.
-Au vu de notre choix de $b$, le polynôme $p$, vu dans $l[X]$,
-se factorise sous la forme
-\[
-p=X^{\# G-D(𝔮)}∏_{g∈D(𝔮)}\big(X-(g(b)\,\mod 𝔮)\big).
-\]
-Le second facteur appartient donc à $k[X]$ et s'annule
-en $β$. L'élément $σ(β)$ est donc l'une de ses racines.
-CQFD.
-
-Cas général. Soit $l\bo k$ comme dans l'énoncé et $σ∈\Aut_k(l)$.
-Elle est algébrique. \XXX
-Considérons la plus grand sous-$k$-extension séparable
-$k'$ de $k$ ; elle est stable par tout automorphisme
-de $l$ sur $k$. La démonstration ci-dessus montre que
-$k'\bo k$ est nécessairement finie, donc admet un élément primitif,
-et que si $σ'∈\Aut_k(k')$ est la restriction de $σ$ à $k'$,
-il existe $g∈D(𝔮)/I(𝔮)$ induisant l'automorphisme $σ'$ sur $k'$.
-Il résulte du lemme ci-dessous que $g$ induit l'automorphisme $σ$ sur
-$l$ tout entier.
-\end{démo}
-
-\begin{lemme3}
-Deux automorphismes d'une extension algébrique coïncident
-\ssi ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
-\end{lemme3}
-
-Ce lemme est un cas particulier de \refext{RT}{}.
-
-\begin{démo}
-Soient $L\bo K$ l'extension et $σ,τ∈\Aut_K(L)$ les automorphismes.
-Supposons que pour tout élément $x∈L$ séparable sur $K$, on ait
-l'égalité $σ(x)=τ(x)$. Montrons que $σ=τ$. Soit $K'$ la clôture
-séparable de $K$ dans $L$, c'est-à-dire le sous-corps (cf. \XXX)
-de $L$ consituté des éléments séparables. On va montrer par récurrence
-sur le degré inséparable $[K'[x]:K']$ de $x$ que $σ(x)=τ(x)$
-pour tout $x∈L$. Si $[K'[x]:K']=1$, c'est hypothèse.
-Supposons $[K'[x]:K']=n>1$. Le polynôme minimal de $x$ sur $K'$
-n'étant pas séparable, il est donc de la forme
-$f(T^p)$ où $p$ est la caractéristique de $K$,
-nécessairement non nulle (cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}).
-Ainsi, $x^p$ est racine du polynôme $f(T)$, irréductible sur
-$K'$. Il en résulte que $[K'[x^p]:K']=n/p<n$ donc, par hypothèse
-de récurrence, $σ(x^p)=τ(x^p)$. En conséquence, $σ(x)^p=τ(x)^p$
-et, finalement, $σ(x)=τ(x)$ car l'élévation à la puissance $p$
-est injective en caractéristique $p>0$.
-\end{démo}
-
-\begin{remarque3}
-On montrera plus tard que pour toute $A$-algèbre $A'$,
-le morphisme $A'→\Fix_G(B⊗_A A')$ est un isomorphisme
-si $A→A'$ est \emph{plat} et même dans les cas
-où ce morphisme n'est pas un isomorphisme,
-l'application induite sur les spectres
-$\Spec(\Fix_G(B⊗_A A'))⥲\Spec(A')$ est néanmoins
-une bijection.
-%Voir aussi Liu, « Quotient maps and base change ».
-\end{remarque3}
-
-
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
diff --git a/decorum/plan-bouquin.tex b/decorum/plan-bouquin.tex
index 9897cc6..7dcdceb 100644
--- a/decorum/plan-bouquin.tex
+++ b/decorum/plan-bouquin.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[10pt]{article}
+\documentclass[9pt]{article}
\usepackage[francais,english]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
@@ -154,15 +154,6 @@ irreductibilis}. (D) [cf. partiel 2006 Rosso])
\item Facultatif : théorème de Lindemann (énoncer Schanuel), lunules. (D)
\end{enumerate}
-\item Éléments entiers sur un anneau. \texttt{entiers.tex} [Ent] (F).
-\begin{enumerate}
-\item ✓ Définition, premières propriétés, permanence.
-\item Anneaux intégralement clos.
-\item ✓ Relèvement des idéaux premiers (Cohen-Seidenberg).
-\item ✓ Anneaux d'invariants sous un groupe fini.
-\item (en cours) Spécialisation du groupe de Galois.
-\item Normalisation dans une extension séparable. (Donner un contre-exemple non japonais)
-\end{enumerate}
\item $\Omega^1$ \texttt{omega.tex} [Om]
\begin{enumerate}
@@ -181,10 +172,15 @@ irreductibilis}. (D) [cf. partiel 2006 Rosso])
\item Théorème de Lüroth. (Version constructive par Schinzel ?)
\end{enumerate}
-\item Algèbre commutative. \texttt{AC.tex} [AC]
+\item Notions d'algèbre commutative. \texttt{AC.tex} [AC] (F.)
\begin{enumerate}
\item topologie sur $\Spec(A)$
\item foncteur $A↦T(A)$ ; th. de constructibilité de Chevalley. ([Olivier 1978], « Anneau absolument plat universel etc. ».)
+\item ✓ Éléments entiers sur un anneau.
+\item ✓ Relèvement des idéaux premiers (Cohen-Seidenberg).
+\item ✓ Anneaux d'invariants sous un groupe fini.
+\item (en cours) Spécialisation du groupe de Galois.
+\item Normalisation dans une extension séparable. (Donner un contre-exemple non japonais)
\item théorie de la dimension
\item Lemme de normalisation de Noether.
\item Nullstellensatz, anneaux de Jacobson
diff --git a/livre/livre.tex b/livre/livre.tex
index 9f6339d..54d9b0d 100644
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+++ b/livre/livre.tex
@@ -22,7 +22,6 @@
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-
\title{Théorie de Galois et ses ramifications}
\begin{document}
@@ -51,7 +50,7 @@ David Madore et Fabrice Orgogozo
\input{../chapitres/groupes-permutations}
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\appendix
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