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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 01:31:15 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 01:31:15 (GMT)
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index 1a5474f..4fa0d39 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -153,7 +153,7 @@ d'Eisenstein.
\label{Sd-par-2-3-l}
Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique
-$\got{S}_d$.
+$\mathfrak{S}_d$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -284,10 +284,10 @@ De tels polynômes ont pour groupe de Galois $𝔖_d$ (cf. \ref{Sd-par-2-3-l})
\subsection{Énoncé du théorème}
\begin{définition2}
-Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
+Un ensemble $\mathscr{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
$\delta$ si
$$
-\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} → δ
+\frac{\sum_{p\in \mathscr{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} → δ
$$
en $s=1$.
\end{définition2}
@@ -299,8 +299,8 @@ Cf. chapitre précédent \refext{}{}.
\begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
-Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
-Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
+Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \mathfrak{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
+Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\mathfrak{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
une partition de $d$.
Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
$$
@@ -316,7 +316,7 @@ naturelle :
\begin{remarque2}
Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
de Čebotarëv. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
-de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
+de Frobenius non pas dans $\mathfrak{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
Elle sera démontrée plus loin dans ce chapitre. \XXX
%[DÉTAILLER]
@@ -389,9 +389,9 @@ et l'on a :
$$
\log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1).
$$
-Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
+Soit $\mathscr{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
-L'inclusion $A_F→ \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
+L'inclusion $A_F→ \mathscr{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près,
$\zeta_{A_F}$ coïncide
avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
@@ -410,11 +410,11 @@ on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des g
\begin{lemme2}\label{Frob_1}
Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines :
$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in
-\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \got{S}_d$,
+\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \mathfrak{S}_d$,
il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions
suivantes :
\begin{enumerate}
-\item Pour $s\in \got{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$.
+\item Pour $s\in \mathfrak{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$.
\item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq
s' S$.
\end{enumerate}
@@ -448,13 +448,13 @@ pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d
tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme.
\end{proof}
-\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \got{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
+\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \mathfrak{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
$$
-f_S:=\prod_{\sigma\in \got{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
+f_S:=\prod_{\sigma\in \mathfrak{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
$$
C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant
-les représentants de $\got{S}_d/S$ (classes à gauche).
+les représentants de $\mathfrak{S}_d/S$ (classes à gauche).
Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$
leurs discriminants respectifs.
Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
@@ -465,10 +465,10 @@ sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[
et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$
les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
-les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
+les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \mathfrak{S}_d/S$.
Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de
ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à
-une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
+une permutation des indices $F_p\in \mathfrak{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit :
$$
\begin{array}{ll}
@@ -480,7 +480,7 @@ $$
$$
On en tire :
$$
-N_p(f_S)=\{\sigma\in \got{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
+N_p(f_S)=\{\sigma\in \mathfrak{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
$$
Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal
de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également
@@ -489,58 +489,59 @@ que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités.
Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments
de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans
-$\got{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
+$\mathfrak{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
se réécrit :
$$
(\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}.
$$
\subsubsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$.
-Pour tout $S\leq \got{S}_d$, on a un diagramme :
-$$
-\xymatrix{
-\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
-& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
-\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] &
-}
-$$
+Pour tout $S\leq \mathfrak{S}_d$, on a un diagramme :
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
+%& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
+%\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] &
+%}
+%$$
En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si
il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$
est
$$
c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}.
$$
-%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \got{S}_d$ peut-être stricte :
-%un élément quelconque de $\got{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
+%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \mathfrak{S}_d$ peut-être stricte :
+%un élément quelconque de $\mathfrak{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
%de corps.
Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de
$\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont
des racines de $f_S$ :
$\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$,
-pour des $\sigma_i\in \got{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+pour des $\sigma_i\in \mathfrak{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1},
-pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\got{S}$.
+pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\mathfrak{S}$.
Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection.
En vertu de la formule précédente,
les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$
sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S=
\frac{g_f}{g_{e,S}}$.
Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$
-Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \got{S}_d$ cette égalité,
+Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \mathfrak{S}_d$ cette égalité,
on obtient :
$$
-\sum_{\sigma\in \got{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
+\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
$$
où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$.
En regroupant par type :
$$
\sum_{\lambda}
-\underbrace{\sum_{\sigma\in\got{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
+\underbrace{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
\textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}.
$$
où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont
les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$
-ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$
et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$.
@@ -575,14 +576,14 @@ $$
\subsubsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes
variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence.
-Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\got{S}_d$ :
+Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\mathfrak{S}_d$ :
$$
\lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient
l'inégalité opposée}.
$$
Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
maximal le type d'un $d$-cycle.
-Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
+Soient $s\in\mathfrak{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index eaffa31..817bf42 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\synctex=1
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
@@ -28,15 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Anneaux de Dedekind, corps globaux
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
@@ -68,14 +45,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
\begin{proposition2}
\XXX
-Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$
et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
-tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
-De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
-où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
-pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$
+De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$).
\end{proposition2}
\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
@@ -185,7 +162,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
\end{démo}
\begin{définition2}
-Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
+Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}$.
\end{définition2}
Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n}
@@ -193,7 +170,7 @@ p^{φ(n)/(p-1)}$.
\begin{lemme2}
\XXX
-Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
+Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -232,47 +209,47 @@ Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
\begin{theoreme2}
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
-des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
+des entiers $\mathscr{O}_K$ de $K$ est fini.
\end{theoreme2}
\begin{démo}
\XXX
-Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
-Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
+Chaque classe $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ est représentée par un idéal $\mathfrak{c}$ de $A$.
+Pour borner les possibilités sur $\mathfrak{c}$, il suffit de borner $N(\mathfrak{c}):=\#(𝒪_K/\mathfrak{c})$.
Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
-supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
-Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
+supposer $N(\mathfrak{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\mathfrak{c}$.
+Si $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\mathfrak{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
-il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
+il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
-Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
+Si $\mathfrak{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
-Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
-existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
+Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$, il
+existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\mathfrak{a})$.
\end{quote}
-Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
-et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
-un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
+Soit $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\mathfrak{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mathscr{O}_K$.
+et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \mathfrak{a}$, il existe
+un idéal $\mathfrak{c}$ de $\mathscr{O}_K$ tel que $(x)=\mathfrak{c}\mathfrak{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
-$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
+$\mathrm{N}(\mathfrak{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
-Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
+Soit $\mathfrak{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que
$$
-m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
+m^d\leq \mathrm{N}(\mathfrak{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
-appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
-$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
+appartient à $\mathfrak{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
+$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\mathfrak{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}
\begin{théorème2}
@@ -367,52 +344,53 @@ Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
-\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{théorème2}
\begin{démo}
\XXX
-Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
+Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\mathfrak{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
La correspondance
$$
-\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
+\mathfrak{a} \mapsto (\alpha_{\mathfrak{a}}):=\mathfrak{a}\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
$$
établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
$$
-\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
-|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
+\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \mathfrak{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
+|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}.
$$
Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
-quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
+quotient $P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}):=\mathfrak{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
-en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
+en effet les idéaux principaux contenus dans $\mathfrak{b}_\mathsf{C}$.
C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
-la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
se factorise.
Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
$$
-\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
-$$
-Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
-$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
-$$
-\xymatrix{
-\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
-X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
-}
-$$
-Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
+\{ x \in P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
+$$
+Soit $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \mathfrak{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
+$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})$ :
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%\mathfrak{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}) \\
+%X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
+%}
+%$$
+Le sous-ensemble $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
arbitraire.
On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
-$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
+$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
-que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
+que $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}=\mathfrak{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
@@ -434,7 +412,7 @@ que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
Ainsi, le logarithme induit une injection :
-$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
@@ -473,7 +451,7 @@ Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
\XXX
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
-est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+est un \emph{réseau}, c'est-à-dire un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
\end{lemme2}
@@ -585,7 +563,7 @@ $$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
-\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
conditions du lemme.
@@ -633,7 +611,7 @@ La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude
groupe de Picard.
Il suffit de démontrer l'inégalité :
$$
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
+\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
$$
où $n=[K:\QQ]$.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
@@ -648,7 +626,7 @@ Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -738,7 +716,7 @@ $$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
-la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index 02484b5..0959b50 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -1,33 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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-
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-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
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+\title{Extensions radicielles et transcendantes}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{KAS}
-%\makeindex
-
-\title{Extensions radicielles et transcendantes}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -169,7 +149,7 @@ et la proposition \ref{union-entiers=entier} ci-dessous.
(ii) Cela résulte de \ref{chapitre produit tensoriel}.
\end{démo}
- \begin{proposition}\label{union-entiers=entier}
+ \begin{proposition2}\label{union-entiers=entier}
Soient $A$ un anneau, $(A_i)_{i∈I}$ une famille de sous-anneaux telle que
$A=⋃_{i∈I} A_i$ et $B$ une $A$-algèbre telle que $B=⋃_{i∈I}B_i$
où chaque $B_i$ est une sous-$A_i$-algèbre \emph{entière} de $B$.
@@ -178,7 +158,7 @@ $(B_i,π'_{ij})_{i∈I}$ sont des systèmes inductifs d'anneaux, et $(f_i)_{i∈
morphisme entre ces deux systèmes tel que chaque $f_i$ soit \emph{entier}, le
morphisme $f=\colim_{i∈I} f_i:\colim_{i∈I} A_i→ \colim_{i∈I} B_i$ qui s'en déduit est également
entier.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
Observons que ce résultat généralise \refext{AC}{pdt-tens-entiers}.
@@ -220,7 +200,7 @@ composé $B→B'→B$ est l'identité. Le morphisme $B'→B$ est donc surjectif.
\begin{lemme2}\label{sorites-compose-generique}
\begin{enumerate}
-\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe \ssi toute
+\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe si et seulement si toute
sous-famille finie est linéairement disjointe.
\item L'extension composée générique d'une famille d'extensions linéairement disjointes
est la réunion filtrante des extensions composées génériques de ses sous-familles finies.
@@ -243,7 +223,7 @@ est également injectif. Si $A'$ est intègre, $A$ l'est aussi.
\begin{lemme2}\label{produit-tens-infini=corps}
Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille d'extensions \emph{algébriques}.
-Elle est linéairement disjointe \ssi le produit tensoriel
+Elle est linéairement disjointe si et seulement si le produit tensoriel
$⨂_{i∈I,\,\bo k}\, k_i$ est un \emph{corps}.
\end{lemme2}
@@ -369,7 +349,7 @@ nous donne un isomorphisme $G_{L\bo K}→∏G_{L_i\bo K_i}$, dont on vérifie
sans peine que c'est celui de l'énoncé du théorème.
\end{démo}
-\begin{lemme3}\label{frac-preserve-integrite}
+\begin{lemme2}\label{frac-preserve-integrite}
Soient $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$ et $B$ une $A$-algèbre
intègre.
\begin{enumerate}
@@ -377,7 +357,7 @@ intègre.
\item Si $A→B$ est entier et plat, l'application canonique $B→B_K$ est l'inclusion de
$B$ dans son corps des fractions.
\end{enumerate}
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\begin{démo}
(i) Cf. \ref{corollaire localisation}.
@@ -412,12 +392,12 @@ galoisienne de groupe $G$.
Soient $G=\prlim_{i∈I} G_i$ et $k$ comme dans l'énoncé.
Puisque $G$ est naturellement un fermé du produit $∏_i G_i$, il résulte
immédiatement de la théorie de Galois infinie que l'on peut supposer $G=∏_i G_i$.
-D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\got{S}_{n_i}$ (prendre
+D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\mathfrak{S}_{n_i}$ (prendre
$n_i=\# G_i$) donc il suffit de démontrer le théorème pour un groupe
-$G=∏_{i∈I} \got{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
+$G=∏_{i∈I} \mathfrak{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
des fractions rationnelles en $n_i$ indéterminées et
-$k_i=\Fix_{\got{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
-L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\got{S}_{n_i}$
+$k_i=\Fix_{\mathfrak{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
+L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\mathfrak{S}_{n_i}$
(\ref{exemple-galois-equation-generique}). D'autre part,
d'après \ref{transcendantes-pures=lin-disjointes}, les extensions $K_i$ sont
linéairement disjointes sur $k$ de sorte que l'on peut appliquer
diff --git a/chapitres/produit-tensoriel.tex b/chapitres/produit-tensoriel.tex
index a786888..42e1b3c 100644
--- a/chapitres/produit-tensoriel.tex
+++ b/chapitres/produit-tensoriel.tex
@@ -1,23 +1,10 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
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\title{Produit tensoriel}
-\setcounter{tocdepth}{3}
-%\setcounter{secnumdepth}{2}
-%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
-
+%%%
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -32,7 +19,7 @@
\subsubsection{Définition}
-\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire}
+\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $P$ un groupe abélien. On dit
qu'une application $f\colon M × N \to P$ est
@@ -45,9 +32,9 @@ $A$-\emph{bilinéaire} lorsque :
\item pour tous $x$ dans $M$, $y$ dans $N$ et $a$ dans $A$,
on a $f(xa,y) = f(x,ay)$.
\end{itemize}
-\end{definition3}
+\end{definition2}
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche. On dit qu'un groupe abélien $P$
muni d'une application $A$-bilinéaire $\varphi\colon M × N \to P$ est
@@ -57,7 +44,7 @@ groupe abélien $T$ quelconque il existe une unique application
additive $\tilde f \colon P \to T$ (c'est-à-dire morphisme de groupes
abéliens) telle que $f = \tilde f \circ \varphi$ (cette propriété
s'appelant la \emph{propriété universelle du produit tensoriel}).
-\end{definition3}
+\end{definition2}
Avant de prouver (dans la
proposition \ref{existence-produit-tensoriel} ci-dessous) que le
@@ -68,7 +55,7 @@ de leurs bases (on verra
en \ref{produit-tensoriel-et-puissance-directe} qu'il en va de même
des modules libres en général) :
-\begin{exemple3}
+\begin{exemple2}
Soit $k$ un corps (ce qui, par convention signifie : commutatif), $E$
et $F$ deux $k$-espaces vectoriels ayant pour bases respectivement
$(e_i)_{i \in I}$ et $(f_j)_{j \in J}$. Soit $E \otimes_k F$ l'espace
@@ -84,7 +71,7 @@ $k$-espace vectoriel quelconque, revient à se donner l'image de
$(e_i,f_j)$ par $b$ (dans $T$) pour chaque couple $(e_i,f_j)$, et se
donner une application $k$-linéaire $E \otimes_k F \to T$ revient
également à se donner l'image de chaque couple $(e_i,f_j)$.
-\end{exemple3}
+\end{exemple2}
(Remarquons par ailleurs que $E\otimes_k F$ n'est pas seulement un
groupe abélien mais même un $k$-espace vectoriel : ce phénomène sera
@@ -96,7 +83,7 @@ ces dimensions.)
\subsubsection{Existence et fonctorialité}
-\begin{proposition3}\label{existence-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}\label{existence-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche. Il existe un produit tensoriel
$(P,\varphi)$ de $M$ et $N$ au-dessus de $A$, et de plus si
@@ -104,7 +91,7 @@ $(P',\varphi')$ est un autre produit tensoriel, alors il existe un
isomorphisme de groupes abéliens $h\colon P \to P'$ tel que $\varphi'
= h \circ \varphi$ (et cet isomorphisme est unique sous cette
condition).
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
@@ -137,7 +124,7 @@ s'annule sur $F_0$ donc passe au quotient et définit un $\tilde b
\end{proof}
L'existence du produit tensoriel étant acquise, on peut convenir :
-\begin{convention3}[notation]\label{convention-produit-tensoriel}
+\begin{convention2}[notation]\label{convention-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche : on notera $M \otimes_A N$, ou
abusivement $M \otimes N$ s'il n'en résulte aucune ambiguïté, un
@@ -154,14 +141,14 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel}) dont l'existence et l'unicité
sont garanties par la définition du produit tensoriel. (Il s'agit de
l'unique application additive $M\otimes_A N \to T$ envoyant $x\otimes
y$ sur $f(x,y)$ pour tous $(x,y) \in M\times N$.)
-\end{convention3}
+\end{convention2}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche : alors $M \otimes_A N$ est
engendré, en tant que groupe abélien, par les éléments de la forme $x
\otimes y$ avec $x \in M$ et $y \in N$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Cela résulte par exemple de la construction faite de $M \otimes_A N$
dans la preuve de la proposition \ref{existence-produit-tensoriel}.
@@ -183,14 +170,14 @@ notant $\{e_1,e_2\}$ la base canonique de $k^2$.
On aura besoin de la notion de produit tensoriel d'applications
linéaires, qui traduit la \emph{fonctorialité} du produit tensoriel :
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules à droite, et
$g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules
à gauche. Alors il existe une unique application additive $h\colon
M\otimes_A N \to M'\otimes_A N'$ telle que $h(x\otimes y) = f(x)
\otimes g(y)$ pour tous $x\in M$ et $y\in N$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
L'application $M×N \to M'\otimes_A N'$ définie par $(x,y) \mapsto
f(x)\otimes g(y)$ est manifestement $A$-bilinéaire : la propriété
@@ -205,29 +192,29 @@ universelle du produit tensoriel, grâce à laquelle on n'a jamais à
revenir à la construction explicite qui a été donnée de l'objet en
question.)
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-applications}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-applications}
Dans les conditions et avec les notation de la
propositions \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, on notera $h =
f\otimes_A g$ (ou $f \otimes g$) et on l'appellera produit tensoriel
des morphismes $f$ et $g$. Lorsque de plus $g = \Id_N$, on note aussi
$f \otimes_A N$ (au lieu de $f \otimes_A \Id_N$), et de même si $f =
\Id_M$ on note aussi $M \otimes_A g$ (au lieu de $\Id_M \otimes_A N$).
-\end{definition3}
+\end{definition2}
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
et $f'\colon M'\to M''$ deux applications $A$-linéaire composables
entre $A$-modules à droite, et $g\colon N\to N'$ et $g'\colon N'\to
N''$ deux applications $A$-linéaires composables entre $A$-modules à
gauche. Alors $(f'\circ f) \otimes (g'\circ g) = (f'\otimes g') \circ
(f\otimes g)$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
d'applications.
\end{proof}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules
à droite, et $g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire
@@ -235,7 +222,7 @@ une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules
g$ est surjective. De plus, son noyau est engendré (en tant que
groupe abélien) par les éléments de la forme $x \otimes y$ où $x \in
\Ker f$ \emph{ou bien} $y \in \Ker g$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
On a vu en \ref{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs} que les
$x' \otimes y'$ avec $x' \in M'$ et $y' \in N'$ engendrent $M' \otimes
@@ -261,7 +248,7 @@ M'\otimes_A N' \to (M\otimes_A N)/T$, telle que $h'h =
\subsubsection{Cas des bimodules}
Pour cette section, nous rappelons la définition suivante :
-\begin{definition3}
+\begin{definition2}
Soient $A$ et $B$ deux anneaux non nécessairement commutatifs : un
\emph{$(A,B)$-bimodule} est la donnée d'une structure de $A$-module à
gauche et de $B$-module à droite sur un même groupe abélien $M$, qui
@@ -276,7 +263,7 @@ $A$-linéaire (pour la structure de $A$-modules à gauche de $M$ et $N$)
et $B$-linéaire (pour la structure de $B$-modules à droite de
$M$ et $N$). Un \emph{isomorphisme} de $(A,B)$-bimodules est une
application $(A,B)$-linéaire bijective entre eux.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
De même qu'un $\ZZ$-module à gauche (resp. à droite) n'est rien
d'autre qu'un groupe abélien, on voit que, pour tout anneau non
nécessairement commutatif $A$, un $(\ZZ,A)$-bimodule (resp. un
@@ -284,7 +271,7 @@ $(A,\ZZ)$-bimodule) n'est rien d'autre qu'un $A$-module à droite
(resp. un $A$-module à gauche), et une application $(\ZZ,A)$-linéaire
(resp. $(A,\ZZ)$-linéaire) n'est autre qu'une application $A$-linéaire.
-\begin{remarque3}\label{hom-bimodules}
+\begin{remarque2}\label{hom-bimodules}
Lorsque $N$ et $P$ sont respectivement un $(B,C)$-bimodule et un
$(A,C)$-bimodule (avec $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement
commutatifs), le groupe abélien $\Hom_C(N,P)$ des applications
@@ -299,9 +286,9 @@ structure de $(B,C)$-bimodule.
En revanche, si $M$ et $N$ sont deux $(A,B)$-bimodules, l'ensemble
$\Hom_{A,B}(M,N)$ des applications $(A,B)$-linéaires de $M$ vers $N$
n'a pas naturellement plus qu'une structure de groupe abélien.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
-\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire-bimodules}
+\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire-bimodules}
Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
$(A,B)$-bimodule, $N$ un $(B,C)$-bimodule et $P$ un $(A,C)$-bimodule :
on dit que $f\colon M\times N \to P$ est $(A,B,C)$-bilinéaire lorsque
@@ -317,9 +304,9 @@ en \ref{hom-bimodules}, ou encore que l'application $N \mapsto
\Hom_A(M,P)$ donnée par $y \mapsto (x \mapsto f(x,y))$ est
$(B,C)$-linéaire où $\Hom_A(M,P)$ est muni de la structure de
$(B,C)$-bimodule explicitée au même endroit.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules}
Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
$(A,B)$-bimodule et $N$ un $(B,C)$-bimodule. Il existe alors une
unique structure de $(A,C)$-bimodule sur le groupe abélien $M
@@ -333,7 +320,7 @@ de \ref{definition-application-bilineaire-bimodules}), alors
l'application $\tilde f\colon M\otimes_B N \to T$ vérifiant $\tilde
f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont l'existence et l'unicité sont garanties
par la définition du produit tensoriel) est $(A,C)$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour un $a\in A$, considérons l'application $M\otimes_B N \to
M\otimes_B N$ donnée par $x\otimes y \mapsto (ax)\otimes y$
@@ -365,7 +352,7 @@ droite de façon naturelle, et que le produit tensoriel sur $B$ d'un
$(A,B)$-bimodule et d'un $B$-module à gauche est un $A$-module à
gauche de façon naturelle.
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
On pourrait être tenté d'imaginer que si $M$ est un $(A,B)$-bimodule
et $N$ un $(B,C)$-bimodule, il existe sur $M\otimes_B N$ une structure
de module sur $B$ (que ce soit à gauche ou à droite) en tentant de
@@ -375,9 +362,9 @@ xb\otimes y = x \otimes by$ n'est en général pas $B$-bilinéaire (au
sens de \ref{definition-application-bilineaire}), donc il n'est pas
possible d'en déduire une application de multiplication par $B$ sur $M
\otimes_B N$.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications}
Soit $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, et $f\colon
M\to M'$ et $g\colon N\to N'$ deux applications respectivement
$(A,B)$-linéaire et $(B,C)$-linéaire entre des $(A,B)$-bimodules
@@ -385,7 +372,7 @@ $M$ et $M'$ et des $(B,C)$-bimodules $N$ et $N'$. Si l'on munit
$M\otimes_B N$ et $M'\otimes_B N'$ de la structure de $(A,C)$-bimodule
définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}, alors
$f\otimes_B g$ est $(A,C)$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Si on note $a_P$ la multiplication par $a$ dans un $A$-module $P$, on
a $a_{M\otimes_B N} = a_M \otimes_B \Id_N$ par définition de la
@@ -403,12 +390,12 @@ fait que $f \circ a_M = a_{M'} \circ f$. La $C$-linéarité de
$f\otimes_B g$ se démontre de même.
\end{proof}
-\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules}
+\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules}
Le produit tensoriel sur $B$ d'un $(A,B)$-bimodule et d'un
$(B,C)$-bimodule sera toujours implicitement muni de la structure de
$(A,C)$-bimodule définie par la
proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
\subsubsection{Suites de bimodules et associativité}\label{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel}
@@ -422,7 +409,7 @@ cela, on fait la définition suivante, qui généralise
\ref{definition-application-bilineaire} ainsi que la définition
utilisée dans l'énoncé \ref{produit-tensoriel-bimodules} :
-\begin{definition3}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire}
+\begin{definition2}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
On dit qu'une application $f\colon M_1\times \cdots \times M_n \to P$,
@@ -443,7 +430,7 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-\emph{séquentiellement multilinéaire} lorsque :
\item pour tout $a\in A_n$ et tous $(y_j) \in M_1\times \cdots \times
M_n$, on a $f(y_1,\ldots, y_n a) = f(y_1,\ldots, y_n) a$.
\end{itemize}
-\end{definition3}
+\end{definition2}
On notera $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ l'ensemble des
applications $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaires de
@@ -451,7 +438,7 @@ $M_1\times \cdots \times M_n$ vers $P$. Remarquons qu'utiliser $\ZZ$
pour $A_0$ ou $A_n$ permet d'éliminer l'avant-dernière ou la dernière
des conditions ci-dessus.
-\begin{remarque3}\label{multihom-bimodules}
+\begin{remarque2}\label{multihom-bimodules}
L'ensemble $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ comme ci-dessus
n'est naturellement muni que d'une structure de groupe abélien. En
revanche, si $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, l'ensemble
@@ -481,12 +468,12 @@ multilinéaire $M_{k+1} \times \cdots \times M_n \to
((x_1,\ldots,x_k) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n))$.
(Cf. \ref{definition-application-bilineaire-bimodules} pour le
cas $n=3$.)
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
La définition suivante généralise \ref{definition-produit-tensoriel}
et \ref{produit-tensoriel-bimodules}
(cf. \ref{convention-produit-tensoriel-bimodules}) :
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
On dit qu'un $(A_0,A_n)$-bimodule $P$ muni d'une application
@@ -497,14 +484,14 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaire $f \colon M_1 \times
\cdots \times M_n \to T$ vers un $(A_0,A_n)$-bimodule quelconque $T$
il existe une unique application $(A_0,A_n)$-linéaire $\tilde f \colon
P\to T$ telle que $f = \tilde f \circ \varphi$.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
Pour éclaircir le rapport entre les notions de produit tensoriel
introduites en \ref{definition-produit-tensoriel} et
\ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}, commençons par établir
le lemme suivant :
-\begin{lemme3}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}
+\begin{lemme2}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
Soit $k \in \{1,\ldots,n-1\}$. Si $(P',\varphi')$
@@ -518,7 +505,7 @@ M_1\times \cdots \times M_n \to P$ est donné par $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
\varphi'(x_1,\ldots,x_k) \otimes \varphi''(x_{k+1},\ldots,x_n)$, alors
$(P,\varphi)$ est un produit tensoriel (au sens
de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$.
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\begin{proof}
L'application $\varphi$ introduite est bien séquentiellement
multilinéaire puisque $\varphi'$ et $\varphi''$ le sont et que
@@ -592,7 +579,7 @@ peut dire qu'ils s'obtiennent comme composantes de l'opération $*$
définie par $(Y',Z')*(Y'',Z'') = (Y'\mathbin{\sharp}Y'',
Z'\mathbin{\flat}Z'')$.
-\begin{proposition3}[associativité séquentielle du produit tensoriel]
+\begin{proposition2}[associativité séquentielle du produit tensoriel]
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
Il existe un produit tensoriel $(P,\varphi)$ (au sens
@@ -610,7 +597,7 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel},
$\varphi \colon M_1 \times \cdots \times M_n \to P$ envoyant
$(x_1,\ldots,x_n)$ sur $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$ parenthésé
identiquement.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
@@ -646,7 +633,7 @@ M_n$ et $x_1\otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
$M_1,\ldots,M_n$.
\end{proof}
-\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel}
Cette proposition justifie d'écrire désormais $M_1\otimes_{A_1} \cdots
\otimes_{A_n} M_n$ pour un produit tensoriel quelconque (au sens
de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$,
@@ -665,9 +652,9 @@ l'application ($\tilde f$ avec les notatons
de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) dont l'existence et
l'unicité sont garanties par la définition du produit tensoriel dans
ce cadre.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ une application
$(A_{i-1},A_i)$-linéaire $f_i\colon M_i \to M'_i$ entre
@@ -682,7 +669,7 @@ $M'_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M'_n$ étaient vus comme des
parenthésages complets identiques des expressions formelles en
question, alors $h$ peut être décrit comme parenthésage identique de
l'expression formelle $f_1 \otimes \cdots \otimes f_n$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Comme en \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, la démonstration de la
@@ -704,7 +691,7 @@ connu pour les sous-expressions gauche et droite de ce parenthésage.
Cette proposition justifie d'écrire désormais $f_1\otimes \cdots
\otimes f_n$ pour un $h$ tel qu'elle définit.
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ deux applications
$(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i
@@ -712,7 +699,7 @@ $(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i
f_1) \otimes \cdots \penalty300 \otimes (f'_n \circ f_n) =
(f'_1\otimes \cdots \otimes f'_n) \circ \penalty0 (f_1\otimes \cdots
\otimes f_n)$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
d'applications.
@@ -728,7 +715,7 @@ supplémentaire de $(A_0,A_n)$-bimodule sur le produit tensoriel de
$M_1,\ldots,M_n$ sur $\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ$ (lequel fournit donc
le groupe abélien sous-jacent) :
-\begin{proposition3}
+\begin{proposition2}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs,
soit pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un
$(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$. Notons $P = M_1 \otimes \cdots
@@ -743,7 +730,7 @@ pour tous $a \in A_0$ et $(x_1,\ldots,x_n) \in M_1 \times \cdots
$(A_0,A_n)$-bimodule $P$ (toujours muni de $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
$M_1,\ldots,M_n$ sur $A_0,\ldots,A_n$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour un $a\in A_0$, considérons l'application $P \to P$ donnée par
$x_1\otimes \cdots \otimes x_n \mapsto (ax_1)\otimes \cdots \otimes
@@ -807,7 +794,7 @@ contrainte qu'on lui impose.
Lorsque $A$ est un anneau commutatif, les notions de $A$-module à
gauche, de $A$-module à droite, et de $(A,A)$-bimodule coïncident.
Les propositions précédentes permettent de conclure que :
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif}
Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $M$ et $N$ deux $A$-modules.
Il existe alors une unique structure de $A$-module sur le groupe
abélien $M \otimes_A N$ telle qu'on ait $a(x\otimes y) = (ax)\otimes
@@ -821,29 +808,29 @@ M\otimes_A N \to T$ vérifiant $\tilde f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont
l'existence et l'unicité sont garanties par la
définition \ref{definition-produit-tensoriel} du produit tensoriel)
est $A$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
\end{proof}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications}
Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $f\colon M\to M'$ et $g\colon
N\to N'$ deux applications $A$-linéaires entre $A$-modules. Si l'on
munit $M\otimes_A N$ et $M'\otimes_A N'$ de la structure de $A$-module
définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}, alors
$f\otimes_A g$ est $A$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules-applications}.
\end{proof}
-\begin{convention3}
+\begin{convention2}
Dans le contexte des anneaux commutatifs, le produit tensoriel de deux
modules sera toujours implicitement muni de la structure définie par
la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
Les résultats de la
section \ref{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel} permettent de
@@ -871,7 +858,7 @@ celui défini jusqu'à présent.
On rappelle :
-\begin{definition3}
+\begin{definition2}
Si $A$ est un anneau non nécessairement commutatif, une \emph{suite
exacte} de $A$-modules à gauche $M_0 \buildrel f_1\over\to M_1
\buildrel f_2\over\to \cdots \buildrel f_n\over\to M_n$ est la donnée
@@ -889,7 +876,7 @@ M_3 \to 0$.
On définit de façon analogue les notions de suite exacte de
$A$-modules à droite, de bimodules sur un couple d'anneaux non
nécessairement commutatifs.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
Lorsque $M_0 = 0$ (auquel cas il n'est pas nécessaire de spécifier
$f_1$ qui est nécessairement nul), l'exactitude en $M_1$ équivaut à
l'injectivité de $f_2$. Lorsque $M_n = 0$ (auquel cas il n'est pas
@@ -902,14 +889,14 @@ g = \Im f$.
Dans la proposition suivante, on attire l'attention sur l'absence
de $0$ à gauche de la seconde suite :
-\begin{proposition3}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}
Soit $M' \buildrel f\over\to M \buildrel g\over\to M'' \to 0$ une
suite exacte de modules à droite sur un anneau non nécessairement
commutatif. Alors pour tout $A$-module à gauche $N$, la suite
$M'\otimes_A N \buildrel f\otimes N\over \rightarrow M\otimes_A N
\buildrel g\otimes N\over \rightarrow M''\otimes_A N \to 0$ est
exacte.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Il s'agit donc de prouver que $g\otimes N$ est surjectif sous
l'hypothèse que $g$ l'est, et que son noyau est égal à l'image de
@@ -936,7 +923,7 @@ module \emph{plat}. \XXX
\subsubsection{Distributivité sur les sommes directes}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif et $N$ un
$A$-module à gauche. Alors :
\begin{itemize}
@@ -952,7 +939,7 @@ Ces isomorphismes se comprennent comme des isomorphismes de groupes
abéliens et, si $A$ est commutatif, de $A$-modules. De plus, on a les
mêmes résultats, \textit{mutatis mutandis} pour le facteur gauche du
produit tensoriel.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Montrons que l'application $\eta\colon N \to A\otimes_A N$ donnée par
$y \mapsto 1\otimes y$ est réciproque de l'application
@@ -980,7 +967,7 @@ $\eta\varepsilon = \Id_{(\bigoplus_i M_i)\otimes_A N}$.
La conséquence suivante est immédiate :
-\begin{corollaire3}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe}
+\begin{corollaire2}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $I$ un ensemble. Alors
l'application $(x_i) \otimes y \mapsto (x_i \otimes y)$ définit un
@@ -998,9 +985,9 @@ l'identification étant donnée par $e_i \otimes f_j \mapsto g_{i,j}$
sur les bases canoniques $(e_i)_{i\in I}$, $(f_j)_{j\in j}$ et
$(g_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$ respectives de $A^{(I)}$, $A^{(J)}$
et $A^{(I\times J)}$.
-\end{corollaire3}
+\end{corollaire2}
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
Si $(M_i)$ est une famille de $A$-modules à droite sur un anneau non
nécessairement commutatif $A$ et $N$ un $A$-module à gauche, on a
également une application naturelle $\left(\prod_i M_i\right)
@@ -1010,9 +997,9 @@ en \ref{produit-tensoriel-et-sommes-directes}. Cependant, même dans
le cas où tous les $M_i$ sont égaux à $A$ et où $A$ est commutatif,
l'application $A^I \otimes_A N \to N^I$ n'est pas nécessairement ni
surjective ni même injective. \XXX
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
Rappelons qu'une \emph{présentation} d'un $A$-module à droite $M$ est
la donnée d'une suite exacte $A^{(J)} \buildrel f\over\to A^{(I)}
\buildrel g\over\to M \to 0$ (c'est-à-dire d'une famille génératrice
@@ -1024,7 +1011,7 @@ que pour tout $A$-module à gauche $N$, le module $M \otimes_A N$ se
décrit (à isomorphisme près) comme le conoyau de l'application $f
\otimes N \colon N^{(J)} \to N^{(I)}$. Ceci fournit une méthode
systématique pour « calculer » les produits tensoriels.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
\subsection{Cas de familles de modules sur un anneau commutatif}\label{sous-section-produit-tensoriel-commutatif}
diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex
index d6685ff..fcd8f5d 100644
--- a/config/macros.tex
+++ b/config/macros.tex
@@ -11,6 +11,7 @@
\newcommand{#1}{\mathop{\kern0pt\relax#2{#3}}\nolimits}}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Hom}{\mathsf}{Hom}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\MHom}{\mathsf}{MHom}
\DeclareMathOperatorWithFont{\End}{\mathsf}{End}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Isom}{\mathsf}{Isom}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Aut}{\mathsf}{Aut}
@@ -207,6 +208,7 @@
\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname théorème2\endcsname\csname theoreme2\endcsname
\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname endthéorème2\endcsname\csname endtheoreme2\endcsname
\newtheorem{corollaire2}[subsubsection]{Corollaire}
+\newtheorem{sslmm2}[subsubsection]{Sous-lemme}
\newtheorem{definition2}[subsubsection]{Définition}
% Ce qui suit définit l'environnement {définition2} comme exactement synonyme de {definition2}
\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname définition2\endcsname\csname definition2\endcsname
diff --git a/decorum/leitfaden.tex b/decorum/leitfaden.tex
index 568590a..9c8dd43 100644
--- a/decorum/leitfaden.tex
+++ b/decorum/leitfaden.tex
@@ -1,31 +1,8 @@
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\synctex=1
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{arrows,matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
-
-\textwidth18cm
-\voffset-2cm
-\hoffset-3cm
-\textheight25cm
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\begin{document}
\fi
\begin{center}
diff --git a/decorum/plan-bouquin.tex b/decorum/plan-bouquin.tex
index 1405a82..cb31c21 100644
--- a/decorum/plan-bouquin.tex
+++ b/decorum/plan-bouquin.tex
@@ -1,28 +1,11 @@
-%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{article}
-\usepackage[francais,english]{babel}
-\usepackage[utf8x]{inputenc}
-\usepackage[T1]{fontenc}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-% A tribute to the worthy AMS:
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{amsfonts}
-\usepackage{amssymb}
-\usepackage{amsthm}
-\usepackage{mathrsfs}
-\usepackage{bm}
-%
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/ucs_manquants}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-%
-
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\begin{document}
-%\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
\fi
+
\begin{center}
Plan et avancement
\end{center}
@@ -35,7 +18,7 @@ Plan et avancement
\end{center}
\begin{enumerate}
-\item ✓ Spectre et idéaux premiers (appendice). \texttt{spectre.tex} [Spec] (F)
+\item ✔ Spectre et idéaux premiers (appendice). \texttt{spectre.tex} [Spec] (F)
\begin{enumerate}
\item Spectre, spectre maximal.
\item Lemme chinois.
@@ -43,7 +26,7 @@ Plan et avancement
\item Idempotents.
\end{enumerate}
-\item ✓ Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques. \texttt{extensions-algebriques.tex} [Alg] (F).
+\item ✔ Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques. \texttt{extensions-algebriques.tex} [Alg] (F).
\begin{enumerate}
\item Conséquences du lemme chinois.
\item Structures des algèbres de dimension finie sur un corps.
@@ -56,34 +39,34 @@ Plan et avancement
\item Corps finis. \texttt{corps-finis.tex} [Fin] (D).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Existence et unicité.
-\item ✓ Cyclicité du groupe multiplicatif.
+\item ✔ Existence et unicité.
+\item ✔ Cyclicité du groupe multiplicatif.
\item Sommes de Jacobi/Gauß ; hypersurfaces diagonales.
\end{enumerate}
\item Correspondance de Galois. \texttt{correspondance-galois.tex} [CG] (F).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Conjugués d'un élément, extensions normales, galoisiennes.
+\item ✔ Conjugués d'un élément, extensions normales, galoisiennes.
\item (en cours) ¶ Extension galoisiennes d'anneaux
-\item ✓ Groupe de Galois d'un polynôme. Réduction modulo $p$ (facile).
-\item ✓ Correspondance de Galois : le cas fini classique.
-\item ✓ Fonctorialité.
-\item ✓ $\mathbb{C}$ est algébriquement clos. Groupe de Galois de $\mathbb{C}/\mathbb{R}$. (F).
+\item ✔ Groupe de Galois d'un polynôme. Réduction modulo $p$ (facile).
+\item ✔ Correspondance de Galois : le cas fini classique.
+\item ✔ Fonctorialité.
+\item ✔ $\CC$ est algébriquement clos. Groupe de Galois de $\CC/\RR$. (F).
\item $\Gal(𝐐(\zeta_n)\bo 𝐐)=(𝐙/n)^×$ via théorème de spécialisation.
\end{enumerate}
\item Catégories (appendice). \texttt{categories.tex} [Cat] (D).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Catégories, foncteurs, transformations naturelles. (Exemples, dont
+\item ✔ Catégories, foncteurs, transformations naturelles. (Exemples, dont
ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
-\item ✓ Limites, colimites.
-\item ✓ Foncteurs représentables, lemme de Yoneda. (Objets compacts ?)
-\item ✓? Adjonctions de foncteurs.
+\item ✔ Limites, colimites.
+\item ✔ Foncteurs représentables, lemme de Yoneda. (Objets compacts ?)
+\item ✔? Adjonctions de foncteurs.
\end{enumerate}
\item Produit tensoriel (appendice). \texttt{produit-tensoriel.tex} [Tens] (D).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Produit tensoriel de modules.
+\item ✔ Produit tensoriel de modules.
\item Produit tensoriel d'algèbres. [dont produit tensoriel infini]
\end{enumerate}
@@ -96,13 +79,13 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{\value{valeur}}
-\item ✓ Algorithmiques des corps finis. \texttt{algo-corps-finis.tex} [ACF] (D).
+\item ✔ Algorithmiques des corps finis. \texttt{algo-corps-finis.tex} [ACF] (D).
\begin{enumerate}
\item Dénombrement des polynômes irréductibles, critères d'irréductibilité.
\item Algorithme(s) de factorisation.
\end{enumerate}
-\item ✓ Bases de Gröbner et applications. \texttt{bases-groebner.tex} [Groebner] (D).
+\item ✔ Bases de Gröbner et applications. \texttt{bases-groebner.tex} [Groebner] (D).
\begin{enumerate}
\item Monômes, idéaux monomiaux et ordres admissibles.
\item Bases de Gröbner.
@@ -112,21 +95,21 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\end{enumerate}
-\item ✓ Calculs de groupes de Galois : exemples. \texttt{exemples-galois.tex} [ExG] (D).
+\item ✔ Calculs de groupes de Galois : exemples. \texttt{exemples-galois.tex} [ExG] (D).
\begin{enumerate}
\item premiers exemples : équations explicites de petits degré. (D)
\item Polynômes en $t^2$. (D)
\item Groupe simple à 168 éléments etc. (D)
\end{enumerate}
-\item ✓ Algorithmes de calculs. \texttt{calculs-galois.tex} [calculs] (D).
+\item ✔ Algorithmes de calculs. \texttt{calculs-galois.tex} [calculs] (D).
\begin{enumerate}
\item Résolvantes.
\end{enumerate}
\item Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie. (D) \texttt{radicaux.tex} [radicaux]
\begin{enumerate}
-\item ✓ Résolubilité par radicaux.
+\item ✔ Résolubilité par radicaux.
\item th. Loewy/Hölder sur la résolubilité par radicaux réels  ; cas des racines de l'unité
\item Calculs explicites en degré $3$. (Y compris \textit{casus irreductibilis} [cf. partiel 2006 Rosso])
\item Calculs explicites en degré $4$.
@@ -154,19 +137,19 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\item Formes tordues. \texttt{formes-tordues.tex} [formes] (F).
\begin{enumerate}
\item (réécriture en cours) Galois-Grothendieck.
-\item ✓ Formes et cohomologie galoisienne.
-\item ✓ Hilbert 90.
+\item ✔ Formes et cohomologie galoisienne.
+\item ✔ Hilbert 90.
\item Torseurs.
\end{enumerate}
-\item ✓ Corps $C₁$. \texttt{corps-c1.tex} [C1] (D).
+\item ✔ Corps $C₁$. \texttt{corps-c1.tex} [C1] (D).
\begin{enumerate}
\item Définitions.
\item Chevalley-Warning et application aux coniques.
\item Tsen.
\end{enumerate}
-\item ✓ Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer. \texttt{brauer.tex} [Azu] (F).
+\item ✔ Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer. \texttt{brauer.tex} [Azu] (F).
\begin{enumerate}
\item Skolem-Nœther.
\item $\Azu_n=H¹(K\bo k,\PGL_n)$.
@@ -179,21 +162,21 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\item Équations verselles et petits degrés. \texttt{verselles.tex} [versel] (F).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/2$.
-\item ✓ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/3$. Extensions de degré $3$.
-\item ✓ Extensions de groupe $V_4$.
-\item ✓ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/4$.
-\item ✓ Extensions quaternioniques.
-\item ✓ Théorème de la base normale et $G$-algèbre galoisienne verselle
+\item ✔ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/2$.
+\item ✔ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/3$. Extensions de degré $3$.
+\item ✔ Extensions de groupe $V_4$.
+\item ✔ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/4$.
+\item ✔ Extensions quaternioniques.
+\item ✔ Théorème de la base normale et $G$-algèbre galoisienne verselle
\item Extension de degré $5$ (théorème d'Hermite)
\end{enumerate}
\item Théorie de Kummer et Artin-Schreier-Witt. (F) \texttt{KASW.tex} [KAS]
\begin{enumerate}
-\item ✓ Irréductibilité des $X^n-a$. Kummer.
-\item ✓ Artin-Schreier.
-\item ✓ Vecteurs de Witt.
-\item ✓ Artin-Schreier-Witt.
+\item ✔ Irréductibilité des $X^n-a$. Kummer.
+\item ✔ Artin-Schreier.
+\item ✔ Vecteurs de Witt.
+\item ✔ Artin-Schreier-Witt.
\item Algèbres simples centrales de degré $p^r$.
\item Facultatif : construction d'anneaux de Fontaine.
\end{enumerate}
@@ -211,7 +194,7 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\item Théorie de Galois infinie. \texttt{krull.tex} [Krull] (F).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Généralités.
+\item ✔ Généralités.
\item Équivalence de catégories entre $\mathrm{Rep}_{\mathbb{F}_p}(G_k)$ et $\varphi$-modules étales
si $k$ est un corps de caractéristique $p>0$.
\end{enumerate}
@@ -239,9 +222,9 @@ si $k$ est un corps de caractéristique $p>0$.
\begin{enumerate}
\item topologie sur $\Spec(A)$
\item foncteur $A↦T(A)$ ; th. de constructibilité de Chevalley. ([Olivier 1978], « Anneau absolument plat universel etc. ».)
-\item ✓ Éléments entiers sur un anneau.
-\item ✓ Relèvement des idéaux premiers (Cohen-Seidenberg).
-\item ✓ Anneaux d'invariants sous un groupe fini.
+\item ✔ Éléments entiers sur un anneau.
+\item ✔ Relèvement des idéaux premiers (Cohen-Seidenberg).
+\item ✔ Anneaux d'invariants sous un groupe fini.
\item (en cours) Spécialisation du groupe de Galois.
\item Normalisation dans une extension séparable. (Donner un contre-exemple non japonais)
\item théorie de la dimension
@@ -268,7 +251,7 @@ et densité des poins algébriques séparables dans un schéma lisse sur un corp
\item Krasner ; complétude $𝐂_p$.
\item Sous-groupes de ramification ; interprétation « géométrique »
\item Groupe de Galois de l'exponentielle tronquée (dont postulat de Bertrand).
-\item Automorphismes de $\mathbb{Q}_p$ sur $\mathbb{Q}$.
+\item Automorphismes de $\QQ_p$ sur $\QQ$.
\item Corps $p$-adiquement clos.
\item Anneaux de Dedekind : généralités
\item Différente, discriminant et ramification
@@ -279,15 +262,15 @@ et densité des poins algébriques séparables dans un schéma lisse sur un corp
\item Corps locaux, corps globaux. \texttt{locaux-globaux.tex} [LG]
\begin{enumerate}
-\item (esquisse ✓) définition, caractérisation
-\item (esquisse ✓) Analyse harmonique locale
-\item (esquisse ✓) Adèles et idèles ; lien avec le groupe de Picard etc.
+\item (esquisse ✔) définition, caractérisation
+\item (esquisse ✔) Analyse harmonique locale
+\item (esquisse ✔) Adèles et idèles ; lien avec le groupe de Picard etc.
\item théorie géométrique des nombres : théorème des unités, théorème de Minkowski, calculs de volumes
\item finitude du groupe de Picard ; formule dans le cas quadratique
-\item (esquisse ✓) Analyse harmonique globale : formule de Poisson-Riemann-Roch
-\item (esquisse ✓) Théorème de Riemann-Roch pour les courbes
+\item (esquisse ✔) Analyse harmonique globale : formule de Poisson-Riemann-Roch
+\item (esquisse ✔) Théorème de Riemann-Roch pour les courbes
\item (esquisse partielle) Équations fonctionnelles pour fonctions $L$ de Hecke : la méthode de Iwasawa-Tate.
-\item (esquisse ✓) Fonction $\zeta$ de Dedekind ; pôle en $1$.
+\item (esquisse ✔) Fonction $\zeta$ de Dedekind ; pôle en $1$.
\item Simple connexité de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$. Application : groupe de Galois de $X^n - X - 1$.
\item ¶ Hypothèse de Riemann pour les courbes : méthode de Bombieri.
\item fonction $\zeta$ sur $\mathbb{Z}$ de $x^3+y^3+z^3$.
@@ -297,7 +280,7 @@ et densité des poins algébriques séparables dans un schéma lisse sur un corp
\item Frobenius, \v{C}ebotarëv. \texttt{Cebotarev.tex} [modp]
\begin{enumerate}
-\item ✓ Rappels sur la réduction modulo $p$ ; th. de van der Waerden
+\item ✔ Rappels sur la réduction modulo $p$ ; th. de van der Waerden
\item Théorème de Frobenius : énoncé et démonstration
\item Applications
\item Exemples
@@ -331,7 +314,7 @@ Grothendieck et cas radiciel (cf. LNM 389).
[si elle existe] des polynômes de degré donné ayant exactement $r$-racines
réelles ?)
\item Groupes de Galois absolus finis (Artin-Schreier).
-\item Automorphismes de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{Q}$.
+\item Automorphismes de $\RR$ sur $\QQ$.
\end{enumerate}
\item Constructions « exotiques » de corps.
diff --git a/decorum/translitterations.tex b/decorum/translitterations.tex
index c6a5187..0bcca69 100644
--- a/decorum/translitterations.tex
+++ b/decorum/translitterations.tex
@@ -1,31 +1,21 @@
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\begin{document}
\begin{center}Orthographe originale des noms translittérés ; transcription\end{center}
\else
\chapter{Orthographe originale des noms translittérés ; transcription}
\fi
-AKIDUKI (AKIZUKI) \jap{秋月康夫} [API] ...
+AKIDUKI (AKIZUKI) {\IPAMincho 秋月康夫} [API] ...
-SAÏTÔ Takeshi \jap{斎藤毅} [API]
+SAÏTÔ Takeshi {\IPAMincho 斎藤毅} [API]
-IWASAWA Kenkiti \jap{岩沢健吉} [API] :) % être systématique mais ça vaut le coup : tout le monde dit IwaZawa
+IWASAWA Kenkiti {\IPAMincho 岩沢健吉} [API] :) % être systématique mais ça vaut le coup : tout le monde dit IwaZawa
-Lev PONTRÂGIN \russe{Понтрягин} [API] %Pontriaguine
+Lev PONTRÂGIN Понтрягин [API] %Pontriaguine
Vijayaraghavan %திருகண்ணபுரம் விஜயராகவன்
diff --git a/livre/livre.tex b/livre/livre.tex
index ec056b9..5e294c6 100644
--- a/livre/livre.tex
+++ b/livre/livre.tex
@@ -1,23 +1,8 @@
-\documentclass[9pt]{../configuration/amsbook}
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsbook}
\def\danslelivre{1}
-\usepackage{palatino,euler}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{arrows}
-\usetikzlibrary{calc}
-\usetikzlibrary{positioning}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
%\InputIfFileExists{../.cv.tex}{}{}