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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-21 21:08:52 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-21 21:08:52 +0100
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index 540680d..5c2a6b6 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -241,10 +241,14 @@ Image d'un morphisme plat de type fini (sur nœthérien)
est ouverte.
\end{corollaire2}
+\section{Quelques conditions de finitude}
+
+fini, type fini, présentation finie.
+
\section{Éléments et morphismes entiers}
-\section{Définitions et premières propriétés}
+\subsection{Définitions et premières propriétés}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
Pour tout élément $b$ de $B$, notons
$A[b]$ le sous-ensemble
@@ -258,10 +262,10 @@ Plus généralement, pour toute partie $S$ de $B$ on note $A[S]$ l'image
de l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X_s, s∈S]→B$ envoyant $X_s$
sur $s$, qui est aussi l'intersection dans $B$ de toutes les $A$-algèbres contenant $S$.
-\begin{définition}\label{element-entier}
+\begin{définition2}\label{element-entier}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
-\end{définition}
+\end{définition2}
\begin{exemples}
Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad
@@ -274,9 +278,9 @@ complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$.
Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.
-\begin{définition}\label{morphisme-fini}
+\begin{définition2}\label{morphisme-fini}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $B$
-est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition}
+est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition2}
On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le
morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à
@@ -284,11 +288,11 @@ confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entend
Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi
l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente.
-\begin{lemme}\label{composé de finis=fini}
+\begin{lemme2}\label{composé de finis=fini}
Le composé de deux morphismes finis est fini.
Plus généralement, si $A$ est un anneau, $B$ une $A$-algèbre \emph{finie}
et $M$ un $B$-module de type fini, le $A$-module $M$ est de type fini.
-\end{lemme}
+\end{lemme2}
\begin{démo}
Par hypothèse, il existe deux entiers $r,r'$ et
@@ -298,7 +302,7 @@ $(A^r)^{r'}↠M$. Puisque $(A^r)^{r'}$ est $A$-isomorphe à
$A^{rr'}$, la conclusion en résulte.
\end{démo}
-\begin{proposition}\label{caracterisation-entiers}
+\begin{proposition2}\label{caracterisation-entiers}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
Considérons un élément $b∈B$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
@@ -308,7 +312,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
que $P(b)=0$ ;
\item \label{3} il existe un sous-$A$-\emph{algèbre} de $B$ \emph{finie} sur $A$, contenant $b$.
\end{enumerate}
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
En particulier, si $B$ est finie sur $A$, tout élément de $B$ est entier sur
$A$.
@@ -372,9 +376,9 @@ l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul.
La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{corollaire}
+\begin{corollaire2}
Tout élément de $𝐐$ entier sur $𝐙$ appartient à $𝐙$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
\begin{démo}
En effet, si $r=x/y\in \QQ$, où $x,y\in \ZZ-\{0\}$ sont premiers
@@ -387,10 +391,10 @@ que $y$ divise $x$. Compte tenu de l'hypothèse faite, on a $y=±1$
et finalement $r∈𝐙$.
\end{démo}
-\begin{proposition}\label{entiers=sous-algebre}
+\begin{proposition2}\label{entiers=sous-algebre}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est une sous-$A$-algèbre.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
En d'autres termes, si $b$ et $b'$ sont deux éléments de $B$ entiers
sur $A$, les éléments $b+b'$, $bb'$, et les $ab$ pour tout
@@ -454,34 +458,34 @@ sont donc entiers sur $A$ en vertu de \ref{caracterisation-entiers}, \ref{3}.
\end{démo}
-\begin{remarque}
+\begin{remarque2}
La définition \ref{element-entier} et la proposition
\ref{caracterisation-entiers} s'étendent
au cas où $B$ n'est pas nécessairement commutative.
Cependant, la démonstration montre seulement
que la somme (resp. le produit)
de deux éléments entiers \emph{permutables} est entier.
-\end{remarque}
+\end{remarque2}
-\begin{définition}\label{entiere}
+\begin{définition2}\label{entiere}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
Si tout élément de $B$ est entier sur $A$, on dit que $B$ est une
\emph{$A$-algèbre entière} ou encore que le morphisme $A→B$ est
\emph{entier}. \index{morphisme entier}
-\end{définition}
+\end{définition2}
-\begin{proposition}\label{entier-sur-entier}
+\begin{proposition2}\label{entier-sur-entier}
Le composé de deux morphismes entiers est entier.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
En d'autres termes, si $B$ est une $A$-algèbre entière et $C$
une $B$-algèbre entière, alors $C$ est entier
sur $A$ (pour la structure d'algèbre définie par composition).
%De la proposition triviale \ref{epi=fini} on tire le corollaire suivant.
-%\begin{corollaire}\label{quotient-fini=fini}
+%\begin{corollaire2}\label{quotient-fini=fini}
%Tout quotient d'une algèbre entière (resp. finie) est entière (resp. finie).
-%\end{corollaire}
+%\end{corollaire2}
\begin{démo}
Soient $A,B$ et $C$ comme dans la glose suivant l'énoncé.
@@ -530,9 +534,9 @@ $A→C$ est donc de type fini.
On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
Réciproquement :
-\begin{proposition}\label{fini=entier+tf}
+\begin{proposition2}\label{fini=entier+tf}
Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
\begin{démo}[Première démonstration]
@@ -555,13 +559,13 @@ Chaque $A[b_i]$ est un $A$-\emph{module} de type fini ; il en
est de même de leur produit tensoriel.
\end{démo}
-\begin{proposition}\label{localisation-entier=entier}
+\begin{proposition2}\label{localisation-entier=entier}
Soient $A→B$ un morphisme entier (resp. fini) et $S$ une partie
de $A$. Le morphisme induit $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$
entre les anneaux de fractions associés
(\refext{Spec}{Spec-localisation})
est entier (resp. fini).
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
Cette proposition est un cas particulier de
\ref{cb-entier}.
@@ -592,12 +596,12 @@ sont générateurs sur $A[S^{-1}]$.
\begin{facultatif}
-\section{Intégrité et changement de base}
+\subsection{Intégrité et changement de base}
Les résultats de cette section ne seront pas utilisé dans la
suite de ce chapitre.
-\begin{proposition}\label{stabilite-type-fini}
+\begin{proposition2}\label{stabilite-type-fini}
\begin{enumerate}
\item Le produit tensoriel de deux morphismes de type fini est de type fini :
si $A→B₁$ et $A→B₂$ sont de type fini, le morphisme canonique $A→B₁⊗_A B₂$
@@ -606,7 +610,7 @@ est de type fini.
type fini et $A→A'$ est un morphisme, le morphisme canonique $A'→B⊗_A A'$ est de
type fini.
\end{enumerate}
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
(i) Soient $A→B₁$ et $A→B₂$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé.
@@ -622,10 +626,10 @@ de $A'$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A A'⭇A'[X₁,\dots,X_r]$.
\end{démo}
-\begin{proposition}\label{cb-entier}
+\begin{proposition2}\label{cb-entier}
Soit $A→B$ un morphisme entier (resp. fini). Alors, pour toute $A$-algèbre $A'$,
la $A'$-algèbre $B⊗_A A'$ est entière (resp. finie).
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
D'après \ref{stabilite-type-fini} et \ref{fini=entier+tf}, il suffit de
@@ -642,10 +646,10 @@ $\gtilde{C}$ est un quotient de $C'=C⊗_A A'$ qui est fini sur $A'$ (comme
module) car $C$ l'est sur $A$.
\end{démo}
-\begin{corollaire}\label{pdt-tens-entiers}
+\begin{corollaire2}\label{pdt-tens-entiers}
Soient $A$ un anneau et $B₁,B₂$ deux $A$-algèbres entières (resp. finies).
Le produit tensoriel $B₁⊗_A B₂$ est entier (resp. fini) sur $A$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
\begin{démo}
Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}.
@@ -654,11 +658,11 @@ Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}.
La généralisation suivante du corollaire précédent est également
utile.
-\begin{corollaire}\label{produit-tensoriel-d-entiers}
+\begin{corollaire2}\label{produit-tensoriel-d-entiers}
Soient $k$ un anneau, $A₁$ et $A₂$ deux $k$-algèbres.
Si $A₁→B₁$ et $A₂→B₂$ sont deux morphismes entiers (resp. finis), le morphisme
$A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ qui s'en déduit est également entier (resp. fini).
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
\begin{démo}
D'après \ref{cb-entier}, les morphismes $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k A₂$ et $B₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
@@ -669,21 +673,21 @@ B₂$ l'est aussi.
\end{facultatif}
-\section{Clôture intégrale, anneaux normaux}
+\subsection{Clôture intégrale, anneaux normaux}
-\begin{définition}\label{normalisation,normal}
+\begin{définition2}\label{normalisation,normal}
Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre
$A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation}
de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle,
entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
\emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}.
-\end{définition}
+\end{définition2}
-\begin{définition}\label{fermeture-integrale}
+\begin{définition2}\label{fermeture-integrale}
L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est appelé \emph{fermeture
intégrale de $A$ dans $B$}\index{fermeture intégrale}.
-\end{définition}
+\end{définition2}
\begin{lemme2}
\label{intégralement clos préserve irréductibilité}
@@ -703,21 +707,18 @@ reste irréductible dans $B[X]$.
Contre-exemple non japonais.
+\subsection{Relèvements des idéaux premiers}
-
-
-\section{Relèvements des idéaux premiers}
-
-\begin{théorème}\label{relèvement idéaux}
+\begin{théorème2}\label{relèvement idéaux}
Soit $A↪B$ un morphisme \emph{injectif} entier. L'application
canonique $\Spec(B)→\Spec(A)$, $𝔮↦𝔮∩A$, est surjective.
-\end{théorème}
+\end{théorème2}
-\begin{corollaire}
+\begin{corollaire2}
Soit $A→B$ un morphisme entier. L'image du morphisme
$\Spec(B)→\Spec(A)$ est l'ensemble des idéaux premiers de $A$
contenant $\Ker(A→B)$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
\begin{démo}[Démonstration du corollaire]
En effet, le morphisme $A'=A/\Ker(A→B)→B$ déduit
@@ -765,10 +766,10 @@ injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme
ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{lemme}
+\begin{lemme2}
Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres.
L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps.
-\end{lemme}
+\end{lemme2}
\begin{démo}
Le fait que $B$ soit un corps si $A$ l'est est
@@ -781,7 +782,7 @@ par $a^{n-1}$, on obtient $b∈A$. L'élément
$a$ est donc inversible \emph{dans $A$}.
\end{démo}
-\begin{définition}\label{idéal dessus-dessous}
+\begin{définition2}\label{idéal dessus-dessous}
Soient $A→B$ un morphisme d'anneaux et $𝔞$ un idéal de $A$.
On dit qu'un idéal $𝔟$ de $B$ est \emph{au-dessus} de $𝔞$ ou
encore est un \emph{relèvement} de $𝔞$ si l'image inverse
@@ -789,14 +790,14 @@ $𝔟∩A$ de $𝔟$ dans $A$ est égale à $𝔞$ (cf.
\refext{Spec}{convention image inverse idéal}).
Si cette relation est satisfaite, on dit également
que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$.
-\end{définition}
+\end{définition2}
-\begin{corollaire}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
+\begin{corollaire2}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et
$𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal
\ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
\begin{démo}
Le premier point résulte du fait que le morphisme $A'=A/𝔭→B'=B/𝔮$ est entier et
@@ -807,11 +808,11 @@ supposer $A$ local. Il résulte du premier point que $𝔮$ et $𝔮'$ sont
alors maximaux donc égaux.
\end{démo}
-\begin{corollaire}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires}
+\begin{corollaire2}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires}
Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔞⊆𝔭$ deux idéaux de $A$
et $𝔟$ un idéal de $B$ au-dessus de $𝔞$. Si $𝔭$ est premier,
il existe un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$ et au-dessus de $𝔭$.
-\end{corollaire}
+\end{corollaire2}
\begin{démo}
Le morphisme $A/𝔞→B/𝔟$ étant entier et injectif, il résulte de
@@ -821,7 +822,7 @@ correspond à un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$,
au-dessus de $𝔭$ (cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient}).
\end{démo}
-\section{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini}
+\subsection{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini}
Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant
sur $B$ par automorphismes, et $A=\Fix_G(B)$ le sous-anneau de
@@ -832,7 +833,7 @@ associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses,
l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$,
\cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
-\subsection{Intégralité et finitude}
+\subsubsection{Intégralité et finitude}
\begin{proposition2}\label{quotient par groupe fini est entier}
Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant
@@ -882,7 +883,7 @@ de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini
sur $k$ si $k$ est nœthérien.
\end{démo}
-\subsection{Commutation à la localisation}
+\subsubsection{Commutation à la localisation}
Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe agissant par automorphismes
sur $B$ et $T$ une partie multiplicative de $B$ stable par l'action de
@@ -1217,8 +1218,7 @@ Soit $P ∈ 𝐂[X,Y]$ un polynôme irréductible. Le fermé $𝒵=\{(x,y)
%de Zariski non vide $U=𝐂-S$. Soit $𝒲$ une composante connexe de
%$π^{-1}(U)$. La fonction $𝐂-S → 𝐂[T]$, $x ↦ ∏_{z ∈ 𝒲_x} (T-z)$
%appartient à $H_S[T]$.
-%On utilise alors \refext{Ent}{intégralement clos préserve
-%irréductibilité}. \XXX
+%On utilise alors \ref{intégralement clos préserve irréductibilité}. \XXX
%\end{démo}
Plus généralement :
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index 685810e..37ef526 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -109,7 +109,7 @@ déduit des inclusions $k$-linéaires $K_i→{K_i}_A$ est un
(i) Pour toute partie finie $J⊆I$, l'anneau $B_J$ est plat sur $A_J$ :
cela résulte de \ref{produit-tensoriel-plats}. Comme une colimite de morphismes plats
est plat, cf. \ref{colimite de plats}, on a le résultat souhaité. Le fait que
-$A→B$ soit entier se démontre de même en utilisant \refext{Ent}{produit-tensoriel-d-entiers}
+$A→B$ soit entier se démontre de même en utilisant \refext{AC}{produit-tensoriel-d-entiers}
et la proposition \ref{union-entiers=entier} ci-dessous.
(ii) Cela résulte de \ref{chapitre produit tensoriel}.
@@ -126,7 +126,7 @@ morphisme $f=\colim_{i∈I} f_i:\colim_{i∈I} A_i→ \colim_{i∈I} B_i$ qui s'
entier.
\end{proposition}
-Observons que ce résultat généralise \refext{Ent}{pdt-tens-entiers}.
+Observons que ce résultat généralise \refext{AC}{pdt-tens-entiers}.
\XXX La démonstration ci-dessous est moche.
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index 25ab348..de37610 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -2130,7 +2130,7 @@ appartient à l'image de l'application
Si $A$ est un anneau commutatif et $a$ un élément
de $A$, on note $A[a^{-1}]$ la $A$-algèbre $A[X]/(1-aX)$
dans laquelle $a$ devient tautologiquement inversible.
-(Voir \refext{Ent}{Spec-localisation} pour une discussion
+(Voir \refext{AC}{Spec-localisation} pour une discussion
générale de ce procédé dit de \emph{localisation}.)
Fixons $M$ et vérifions l'assertion précédente.
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index eb68046..c81ab46 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -709,7 +709,7 @@ du $XX$e siècle, on trouve parfois
les lettres $Z$ (« Zerlegung ») et $T$ (« Trägheit »)
au lieu de $D$ et $I$ respectivement.
-On trouvera en \refext{Ent}{décomposition-inertie et quotient} une
+On trouvera en \refext{AC}{décomposition-inertie et quotient} une
application de cette construction à l'étude
de la « spécialisation » du groupe de Galois (généralisation
des résultats de \ref{réduction mod p} ci-après).
@@ -1233,7 +1233,7 @@ contient des sous-groupes isomorphes ou bien se surjectant
sur le groupe de Galois de l'équation modulo $p$.
\begin{remarque2}Nous verrons en
-\refext{Ent}{specialisation galois cas general} une
+\refext{AC}{specialisation galois cas general} une
généralisation de ce théorème pour des polynômes à coefficients
dans des anneaux quelconques. Dans ce même chapitre,
on trouvera des démonstrations des deux corollaires précédents
@@ -1791,7 +1791,7 @@ aux corps résiduels de cet anneau, il suffit pour démontrer (i) de vérifier q
$G$ agit transitivement sur $\Spec(K⊗_k k')$.
Soit ${k'}\alg$ une clôture algébrique de $k'$. Le morphisme
$\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif
-(\refext{Ent}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude})
+(\refext{AC}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude})
et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos.
Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie
d'une action de $G$, à $\Hom_\cont(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 0571b6e..00e4eeb 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -557,7 +557,7 @@ On rappelle que, dans ce chapitre, on note $k$ un corps.
\subsection{Premières définitions et propriétés}
Les résultats de cette section sont pour une grande part des cas
-particuliers de résultats de \refext{Ent}{}. Pour la commodité
+particuliers de résultats de \refext{AC}{}. Pour la commodité
du lecteur, nous présentons une partie des résultats de
\emph{loc. cit.} dans le cadre moins général de ce chapitre.
@@ -579,7 +579,7 @@ algébrique sur $k$. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{entière}
si tout élément de $A$ est entier sur $k$.
\end{définitionrestreinte2}
-(Comparer avec \refext{Ent}{element-entier}.)
+(Comparer avec \refext{AC}{element-entier}.)
\begin{proposition2}\label{polynome-minimal}
\begin{enumerate}
@@ -727,7 +727,7 @@ est entière.
\end{proposition2}
Ce résultat est un cas particulier de
-\refext{Ent}{cb-entier}. Nous nous contentons
+\refext{AC}{cb-entier}. Nous nous contentons
donc ici d'une simple
\begin{démo}[Esquisse de démonstration]
@@ -740,7 +740,7 @@ donc entiers sur $k$, sont — \emph{a fortiori} — entiers sur $K$.
Les calculs ci-dessus montrent en toute généralité
que la somme et le produit de deux éléments
entiers d'une algèbre sur un corps sont également
-entiers. (Pour les détails, cf. \refext{Ent}{entiers=sous-algebre},
+entiers. (Pour les détails, cf. \refext{AC}{entiers=sous-algebre},
première démonstration).
\end{démo}
@@ -875,7 +875,8 @@ il en est de même de chaque $u(λ)$ sur $k$ et, \emph{a fortiori},
des $u(λ)$ sur $u ′(K ′)$. D'après, \ref{entiers sur corps=sous-corps},
l'ensemble des éléments de $E$ algébriques sur $K ′$ est un sous-corps. Comme il
contient les $u(λ)$, c'est $E$ tout entier.
-Ce lemme est également un corollaire de \ref{entier sur corps stable par cb} et \refext{Ent}{cb-entier}.
+Ce lemme est également un corollaire de \ref{entier sur
+corps stable par cb} et \refext{AC}{cb-entier}.
\end{démo}