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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-12-20 19:08:38 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-12-20 19:08:38 +0100 |
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[Gröbner] Un lemme sur les modules de Cauchy qui devrait permettre de démerdifier tout ça.
-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 44 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 248eac5..cd17dd8 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1522,6 +1522,50 @@ alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$. \subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle} +\begin{lemme2}\label{lemme-modules-de-cauchy} +Soit $\mathfrak{F}(Z_1,\ldots,Z_d|T) = \prod_{i=1}^d(T-Z_i) \in +\ZZ[Z_1,\ldots,Z_d,T]$, et définissons par récurrence sur $i$ +\[ +\begin{array}{c} +\mathfrak{F}_1(\underline{Z}|T_1) = +\mathfrak{F}(\underline{Z}|T_1)\\[.75ex] +\displaystyle +\mathfrak{F}_{i+1}(\underline{Z}|T_1,\ldots,T_{i+1}) += \frac{\mathfrak{F}_i(\underline{Z}|T_1,\ldots,T_{i-1},T_i) - + \mathfrak{F}_i(\underline{Z}|T_1,\ldots,T_{i-1},T_{i+1})}{T_i - T_{i+1}} +\end{array} +\] +(où $\underline{Z}$ est une abréviation pour $Z_1,\ldots,Z_d$). Alors +$\mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | T_1,\ldots,T_i)$ (défini pour $1\leq +i \leq d$) est un polynôme à coefficients entiers en les variables +$Z_1,\ldots,Z_d$ et $T_1,\ldots,T_i$, et il est complètement +symétrique en chacun de ces jeux de variables. On a exactement +\[ +\mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | T_1,\ldots,T_i) += \sum_{j=0}^{d-i+1} (-1)^j e_j(Z_1,\ldots,Z_d)\, h_{d-i+1-j}(T_1,\ldots,T_i) +\] +où $e_j$ désigne le $j$-ième polynôme symétrique élémentaire (et $e_0 += 1$) et $h_j$ le $j$-ième polynôme symétrique complet (c'est-à-dire +la somme de tous les monômes de degré $j$ en ses variables ; on pose +notamment $h_0 = 1$). + +De plus, si $u_1,\ldots,u_i$ sont deux à deux distincts, alors +$\mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | Z_{u_1},\ldots,Z_{u_i}) = 0$. + +Enfin, l'unique polynôme $\mathfrak{C}_i(E_1,\ldots,E_d | +T_1,\ldots,T_i)$ à coefficients entiers en les variables +$E_1,\ldots,E_d$ et $T_1,\ldots,T_i$ qui vérifie +$\mathfrak{C}_i(e_1(\underline{Z}),\ldots,e_d(\underline{Z}) | +T_1,\ldots,T_i) = \mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | T_1,\ldots,T_i)$ est +donné par +\[ +\mathfrak{C}_i(E_1,\ldots,E_d | T_1,\ldots,T_i) += h_{d-i+1}(T_1,\ldots,T_i) + +\sum_{j=1}^{d-i+1} (-1)^j E_j \, h_{d-i+1-j}(T_1,\ldots,T_i) +\] +\end{lemme2} +\XXX + \begin{proposition2}\label{relations-algebre-de-decomposition-universelle} Soit $k$ un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire, disons $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d$. On considère l'idéal $I$ de |