[Gröbner] Un lemme sur les modules de Cauchy qui devrait permettre de démerdifier tout ça.

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@@ -1522,6 +1522,50 @@ alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$.
 
 \subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle}
 
+\begin{lemme2}\label{lemme-modules-de-cauchy}
+Soit $\mathfrak{F}(Z_1,\ldots,Z_d|T) = \prod_{i=1}^d(T-Z_i) \in
+\ZZ[Z_1,\ldots,Z_d,T]$, et définissons par récurrence sur $i$
+\[
+\begin{array}{c}
+\mathfrak{F}_1(\underline{Z}|T_1) =
+\mathfrak{F}(\underline{Z}|T_1)\\[.75ex]
+\displaystyle
+\mathfrak{F}_{i+1}(\underline{Z}|T_1,\ldots,T_{i+1})
+= \frac{\mathfrak{F}_i(\underline{Z}|T_1,\ldots,T_{i-1},T_i) -
+  \mathfrak{F}_i(\underline{Z}|T_1,\ldots,T_{i-1},T_{i+1})}{T_i - T_{i+1}}
+\end{array}
+\]
+(où $\underline{Z}$ est une abréviation pour $Z_1,\ldots,Z_d$).  Alors
+$\mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | T_1,\ldots,T_i)$ (défini pour $1\leq
+i \leq d$) est un polynôme à coefficients entiers en les variables
+$Z_1,\ldots,Z_d$ et $T_1,\ldots,T_i$, et il est complètement
+symétrique en chacun de ces jeux de variables.  On a exactement
+\[
+\mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | T_1,\ldots,T_i)
+= \sum_{j=0}^{d-i+1} (-1)^j e_j(Z_1,\ldots,Z_d)\, h_{d-i+1-j}(T_1,\ldots,T_i)
+\]
+où $e_j$ désigne le $j$-ième polynôme symétrique élémentaire (et $e_0
+= 1$) et $h_j$ le $j$-ième polynôme symétrique complet (c'est-à-dire
+la somme de tous les monômes de degré $j$ en ses variables ; on pose
+notamment $h_0 = 1$).
+
+De plus, si $u_1,\ldots,u_i$ sont deux à deux distincts, alors
+$\mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | Z_{u_1},\ldots,Z_{u_i}) = 0$.
+
+Enfin, l'unique polynôme $\mathfrak{C}_i(E_1,\ldots,E_d |
+T_1,\ldots,T_i)$ à coefficients entiers en les variables
+$E_1,\ldots,E_d$ et $T_1,\ldots,T_i$ qui vérifie
+$\mathfrak{C}_i(e_1(\underline{Z}),\ldots,e_d(\underline{Z}) |
+T_1,\ldots,T_i) = \mathfrak{F}_i(Z_1,\ldots,Z_d | T_1,\ldots,T_i)$ est
+donné par
+\[
+\mathfrak{C}_i(E_1,\ldots,E_d | T_1,\ldots,T_i)
+= h_{d-i+1}(T_1,\ldots,T_i) +
+\sum_{j=1}^{d-i+1} (-1)^j E_j \, h_{d-i+1-j}(T_1,\ldots,T_i)
+\]
+\end{lemme2}
+\XXX
+
 \begin{proposition2}\label{relations-algebre-de-decomposition-universelle}
 Soit $k$ un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire, disons $f =
 X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d$.  On considère l'idéal $I$ de