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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:54:39 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:54:39 (GMT)
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Unicode : remplacement des tirets par des tirets Unicode partout.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex8
-rw-r--r--chapitres/corps-c1.tex12
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index 26a16a0..02484b5 100644
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+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -360,7 +360,7 @@ $$
⨂_{i,\,\bo K}\,{L_i}_K.
$$
Il en résulte d'une part que chaque ${L_i}_K=L_i⊗_{K_i} K$ est un corps
-(car intègre --- c'est un facteur d'un produit tensoriel intègre --- et entier sur $K$)
+(car intègre — c'est un facteur d'un produit tensoriel intègre — et entier sur $K$)
et que ces $K$-extensions sont
linéairement disjointes. D'après \ref{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
et \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii), l'extension ${L_i}_K\bo K$ est galoisienne de groupe $\Gal(L_i\bo K_i)$
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index 8b6279b..67c48c3 100644
--- a/chapitres/algo-corps-finis.tex
+++ b/chapitres/algo-corps-finis.tex
@@ -45,7 +45,7 @@ $a \in \FF_q^{\times2}$ si et seulement si $a^{(q-1)/2} = +1$ (tandis
que si $a \in \FF_q^\times$ n'est pas un carré alors $a^{(q-1)/2} =
-1$), et que de plus $\#\FF_q^{\times2} = \frac{q-1}{2}$.
-\XXX --- Revoir les propositions suivantes maintenant que les faits de
+\XXX — Revoir les propositions suivantes maintenant que les faits de
base sur le caractère quadratique et la réciprocité quadratique ont
été avancés dans le chapitre sur les corps finis.
@@ -171,8 +171,8 @@ théorème chinois assure que $\FF_q[X]/(X^2-uX+D)$ est isomorphe à un
produit $\FF_q \times \FF_q$ en envoyant la classe $x$ de $X$ sur $a$
dans le premier facteur et $a'$ dans le second : par conséquent
$x^{(q-1)/2}$ vaut $\pm 1$ (à savoir $+1$ si $a$ et $a'$ sont tous
-deux des carrés --- ils doivent l'être ensemble puisque leur produit
-est un carré --- et $-1$ si $a$ et $a'$ ne sont pas des carrés), et
+deux des carrés — ils doivent l'être ensemble puisque leur produit
+est un carré — et $-1$ si $a$ et $a'$ ne sont pas des carrés), et
$x^{(q+1)/2}$ vaut alors $\pm x$. Reste enfin le cas où
$(u^2-4D)^{(q-1)/2} = 0$, c'est-à-dire $u = 2d$ avec $d$ une racine
carrée de $D$ : alors $X^2-uX+D = (X-d)^2$ ; la valeur de
@@ -592,7 +592,7 @@ et tous les autres $g_s$ non calculés valent $1$.
Dans l'application de cet algorithme, rien n'oblige de diviser par les
pgcd avec $X^{q^r}-X$ dans l'ordre $r=1,2,3,\ldots$ : la seule chose
-nécessaire est que chaque $r$ soit visité après tous ses diviseurs ---
+nécessaire est que chaque $r$ soit visité après tous ses diviseurs —
n'importe quel ordre total prolongeant l'ordre partiel de divisibilité
convient.
@@ -863,7 +863,7 @@ Un isomorphisme $\psi \colon \FF_q[X]/(f) \to \FF_{q^s}[X]/(h)$ est
aisé à décrire : donné $a \in \FF_q[X]$, on définit $\psi(\bar a)$
comme la classe de $a$ (vu dans $\FF_{q^s}[X]$) modulo $h$,
c'est-à-dire concrètement le reste de la division euclidienne de $a$
-par $h$ --- il est évident que ceci définit bien un morphisme
+par $h$ — il est évident que ceci définit bien un morphisme
d'anneaux, qui est injectif puisque tout élément de $\FF_q[X]$
multiple de $h$ dans $\FF_{q^s}[X]$ est multiple de $f$ car ce dernier
est irréductible, et par comparaison des cardinaux ce $\psi$ et bien
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index 3bb2a1f..f9e8db7 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -263,7 +263,7 @@ Le morphisme $S_e$, appelé « substitution de Kronecker »,
a été introduit par Kronecker en 1882.
% cf. Schinzel
-\XXX --- Faut-il mentionner ici le fait qu'une extension algébrique
+\XXX — Faut-il mentionner ici le fait qu'une extension algébrique
finie séparable (par un polynôme explicite) d'un corps dans lequel on
sait algorithmiquement factoriser les polynômes possède la même
propriété ? (Cf.  Fried \& Jarden, lemme 19.2.2.) En revanche, sans
@@ -430,7 +430,7 @@ Soit $P \in k[X]$ un polynôme unitaire à coefficients dans un
corps $k$ : on notera $k(x) = k[X]/(P)$ l'algèbre quotient, où $x$
désigne la classe dans $k[X]/(P)$ de l'indéterminée $X$. On appelle
\emph{transformation de Tschirnhaus} sur $P$ un élément $y$ de $k(x)$
-dont le polynôme minimal $Q$ sur $k$ soit du même degré que $P$ ---
+dont le polynôme minimal $Q$ sur $k$ soit du même degré que $P$ —
c'est-à-dire que les puissances $1,y,y^2,\ldots,y^{\deg P-1}$ forment
une base de la $k$-algèbre $k(x)$ de dimension $\deg P$. On
représentera la transformation sous la forme $U(x)$ avec $U \in k[X]$
@@ -805,7 +805,7 @@ $(\lambda,\mu) = (\frac{b^2+4c}{b^2-4c}, \frac{4bc}{b^2-4c})$.
Autrement dit, si $P$ est irréductible, son groupe de Galois est
$\ZZ/2\ZZ$, ce qu'on savait bien sûr déjà. (Lorsque $b^2-4c = 0$, en
revanche, les transformations de Tschirnhaus de $P$ en $P$ sont tous
-les $(\lambda,\mu)$ tels que $\mu = \frac{b}{2}(\lambda-1)$ --- \XXX
+les $(\lambda,\mu)$ tels que $\mu = \frac{b}{2}(\lambda-1)$ — \XXX
revérifier ce truc.)
\end{exemple2}
@@ -1792,7 +1792,7 @@ invariant par $\mathfrak{S}_d$, il doit donner, une fois réduit
modulo $B$, un résultat indépendant de $Z_1,\ldots,Z_d$, qui est le
$R_P(f) \in K[X]$ recherché.
-\XXX (2012-10-12) --- Quel est le rapport entre ce calcul et celui
+\XXX (2012-10-12) — Quel est le rapport entre ce calcul et celui
d'un idéal d'élimination sur la variable $Y$ de $Y - P$ ? Éclaircir
cette question.
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index 127a601..c5ea353 100644
--- a/chapitres/corps-c1.tex
+++ b/chapitres/corps-c1.tex
@@ -340,8 +340,8 @@ Cf. \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r}.
\begin{proposition2}
Soit $k$ un corps fortement $C_r$ (resp. fortement $C'_r$), et $K$ une
extension finie de $k$. Alors $K$ est un corps fortement $C_r$
-(resp. fortement $C'_r$). (\XXX Ce résultat est peut-être faux ---
-Lang est obscur dans sa façon de dire les choses --- mais je ne
+(resp. fortement $C'_r$). (\XXX Ce résultat est peut-être faux —
+Lang est obscur dans sa façon de dire les choses — mais je ne
comprends pas où la démonstration échoue. À vérifier soigneusement,
donc.)
\end{proposition2}
@@ -667,9 +667,9 @@ d'entre eux ne soient jamais alignés.
\item Si $A,B,C$ sont trois points alignés, et $A',B',C'$ trois autres
points alignés, et si on note $A''$ (resp. $B''$, resp. $C''$)
l'intersection des droites $BC'$ et $CB'$ (resp. $AC'$ et $CA'$,
-resp. $AB'$ et $BA'$) --- ce qui sous-entend que $B$ est distinct de
+resp. $AB'$ et $BA'$) — ce qui sous-entend que $B$ est distinct de
$C'$ et $C$ de $B'$ et que la droite $BC'$ est distincte de la droite
-$CB'$ (resp...) --- alors les points $A'',B'',C''$ sont
+$CB'$ (resp...) — alors les points $A'',B'',C''$ sont
alignés. \emph{(Théorème de Pappus.)}
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -698,7 +698,7 @@ a-b&a'-b'&aa'-bb'\\
\end{matrix}
\right|
\]
---- qui se vérifie aisément.
+— qui se vérifie aisément.
\end{proof}
\begin{definition2}
@@ -922,7 +922,7 @@ est \emph{extérieur} ou \emph{intérieur} à la conique $C$ selon qu'il
existe $2$ ou $0$ tangentes à $C$ passant par $P$. (Sur le corps
$\RR$ des réels, la notion ainsi définie est bien celle qu'on a
l'habitude de désigner par là, au moins dans le cas où on pense à une
-ellipse --- c'est-à-dire que la conique ne croise pas la droite à
+ellipse — c'est-à-dire que la conique ne croise pas la droite à
l'infini. La terminologie est cependant désagréable en général :
ainsi, sur un corps algébriquement clos, une conique n'a jamais
d'intérieur. On se contentera de l'utiliser ci-dessous dans le cas
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 693586b..0e78c6c 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -1397,7 +1397,7 @@ respectifs $d_1,\ldots,d_r$, de $f_p$. Le
théorème \ref{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire} permet de
conclure.
-(\XXX --- Il faudrait mieux intégrer ce corollaire avec ce qui
+(\XXX — Il faudrait mieux intégrer ce corollaire avec ce qui
l'entoure, et donner des références. Le fait que le groupe de Galois
d'une extension de corps finis soit engendré par le Frobenius devrait
apparaître ailleurs, comme son action sur les racines ; la remarque
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index bb590e6..793d4b4 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -40,7 +40,7 @@
Le but de ce chapitre est d'illustrer certaines des méthodes
permettant de calculer un groupe de Galois, et spécifiquement celui
-d'un polynôme à racines simples sur $\QQ$ --- ou du moins de démontrer
+d'un polynôme à racines simples sur $\QQ$ — ou du moins de démontrer
que tel groupe annoncé est bien le groupe de Galois.
Les arguments peuvent généralement se diviser en deux sortes : ceux
@@ -266,7 +266,7 @@ X - 1$ que nous venons d'expliquer peut se constater à leur réduction
modulo divers nombres premiers : quel que soit le nombre premier $p$
modulo lequel on réduit $g$, le polynôme $g_p$ ainsi réduit ne peut
jamais avoir une factorisation « $1+2$ », c'est-à-dire comme produit
-d'un facteur linéaire et d'un facteur quadratique irréductible --- en
+d'un facteur linéaire et d'un facteur quadratique irréductible — en
effet, une telle factorisation donnerait un élément d'ordre $2$
de $\Gal(g_p)$ donc de $\Gal(g)$ d'après le
théorème \refext{CG}{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire}, ou plus
@@ -1001,7 +1001,7 @@ Soit $d = \#I$. Pour tout $0\leq r\leq d$, le groupe
$\mathfrak{S}(I)$ et, pour $d\geq 3$, le groupe $\mathfrak{A}(I)$,
opère transitivement sur les parties à $r$ éléments de $I$. La donnée
de $H$ est donc déterminée par l'ensemble $\%(H)$ des entiers $0\leq
-r\leq d$ tels que $H$ contienne un parmi --- et donc tous --- les éléments
+r\leq d$ tels que $H$ contienne un parmi — et donc tous — les éléments
de $\{\pm 1\}^I$ dont $r$ coordonnées valent $-1$. On a toujours
$0 \in \%(H)$. Si $r,r' \in \%(H)$ avec $r\geq r'$ alors
manifestement $r-r' \in \%(H)$ (en écrivant le produit d'un élément
@@ -1074,7 +1074,7 @@ fait que tout élément $\tilde\sigma \in G$ au-dessus du produit
de deux transpositions disjointes est d'ordre $4$.
\end{itemize}
\end{proposition2}
-\XXX --- trouver une référence.
+\XXX — trouver une référence.
\begin{lemme2}\label{lemme-sous-groupes-produit-en-couronne-de-pm1-par-s-n}
Soit $H \leq \{\pm 1\}^I$ un sous-groupe de $\{\pm 1\}^I$ (où $I$ est
@@ -1211,8 +1211,8 @@ signes sur les $\xi_i$. Or $h$ a quatre racines réelles dont deux
négatives : ceci prouve que la conjugaison complexe réalise deux
changements de signes, et puisque $Q = \mathfrak{S}_4$ (en
particulier, il est $2$-transitif) ces changements de signes peuvent
-être quelconques, et $H$ est exactement le noyau --- isomorphe à
-$\{\pm\}^3$ --- de $\{\pm 1\}^4 \to \{\pm 1\}$ envoyant $\varepsilon$
+être quelconques, et $H$ est exactement le noyau — isomorphe à
+$\{\pm\}^3$ — de $\{\pm 1\}^4 \to \{\pm 1\}$ envoyant $\varepsilon$
sur $\prod_{i=1}^4 \varepsilon_i$.
Puisque $H$ est plus petit que $\{\pm 1\}^4$, il n'est plus évident
diff --git a/chapitres/groupes-permutations.tex b/chapitres/groupes-permutations.tex
index 799e94c..029d099 100644
--- a/chapitres/groupes-permutations.tex
+++ b/chapitres/groupes-permutations.tex
@@ -376,7 +376,7 @@ naturelle sur cinq objets) et celui d'une partie à deux éléments
éléments des cinq objets naturels), mais aussi les conjugués du
sous-groupe à $20$ éléments donné par toutes les applications affines
$t \mapsto at+b$ (pour $a \in (\ZZ/5\ZZ)^\times$ et $b \in \ZZ/5\ZZ$)
-de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ --- ceci définissant l'action
+de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ — ceci définissant l'action
de $\mathfrak{S}_5$ sur les $6$ façons de considérer $\{1,\ldots,5\}$
comme une droite affine sur $\FF_5$.
\end{remarques2}
@@ -1191,7 +1191,7 @@ suivantes est vraie :
\end{itemize}
\end{theoreme2}
-\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
+\XXX — Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
\begin{corollaire2}\label{o-nan-scott-sous-groupes-maximaux-de-s-n}
Un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$ est d'un des types
diff --git a/chapitres/krull.tex b/chapitres/krull.tex
index b5147f2..bf41a2f 100644
--- a/chapitres/krull.tex
+++ b/chapitres/krull.tex
@@ -468,9 +468,9 @@ Un morphisme entre groupes profinis n'est pas nécessairement
continu :
on a vu en \ref{exemple-Kummerien} qu'il existe des
morphismes
-non continus entre $\FF₂^𝐍$ --- muni de la topologie
-produit, profinie ---
-et $\FF₂$ --- muni de la topologie discrète, profinie.
+non continus entre $\FF₂^𝐍$ — muni de la topologie
+produit, profinie —
+et $\FF₂$ — muni de la topologie discrète, profinie.
De même, un groupe abstrait peut-être le groupe sous-jacent
à des groupes topologiques profinis non homéomorphes, cf.
exercice \refext{CG}{isom-non-cont}.
diff --git a/chapitres/produit-tensoriel.tex b/chapitres/produit-tensoriel.tex
index c231f83..a786888 100644
--- a/chapitres/produit-tensoriel.tex
+++ b/chapitres/produit-tensoriel.tex
@@ -1069,7 +1069,7 @@ $A$-linéaire $\tilde f \colon P \to T$ telle que $f = \tilde f \circ
Autrement dit, lorsque $(P,\varphi)$ est un produit tensoriel de
$(M_i)_{i\in I}$, l'application (visiblement $A$-linéaire)
$\Hom_A(P,T) \to \MHom_A((M_i)_{i\in I}; T)$ donnée par $\tilde f
-\mapsto \tilde f\circ\varphi$ est \emph{bijective} --- c'est donc un
+\mapsto \tilde f\circ\varphi$ est \emph{bijective} — c'est donc un
isomorphisme de $A$-modules.
Pour éclaircir le rapport entre les notions de produit tensoriel
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 94afc43..9f95216 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -77,7 +77,7 @@ est injectif puisque $F = k(\zeta)$ (ce qui assure qu'un élément
$\sigma \in \Gal(F\bo k)$ est déterminé par son image sur $\zeta$).
\end{proof}
-\XXX --- Elle n'était pas déjà quelque part, cette proposition ?
+\XXX — Elle n'était pas déjà quelque part, cette proposition ?
Sinon, il faut peut-être la déplacer ailleurs.
\begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux}
@@ -514,7 +514,7 @@ exemple $n-1$) d'un élément de $\QQ(\zeta)$ à calculer explicitement.
Pour justifier ce fait, il est naturel d'invoquer le fait que
$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
-Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), avec
+Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX — référence ?), avec
pour générateur $\sigma \colon \omega\mapsto \omega^g$, de sorte que
$\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$, et $\sigma(a_j) = a_j$ si
$a_j = (\alpha_j)^{n-1}$. En vérité, on n'a pas vraiment besoin
@@ -696,7 +696,7 @@ Ici, cette expression est moins plaisante que celle calculée
ci-dessus, mais pour de plus grandes valeurs de $n$ ce ne sera pas
forcément le cas.
-\XXX --- Y a-t-il moyen plus intelligent d'« expliquer » le fait que
+\XXX — Y a-t-il moyen plus intelligent d'« expliquer » le fait que
$\root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} =
\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ ?
@@ -1125,7 +1125,7 @@ ses variables. On a de plus $Z_i = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1}
C'est évident.
\end{proof}
-\XXX --- C'est une trivialité, mais où est-ce que je veux en venir, au
+\XXX — C'est une trivialité, mais où est-ce que je veux en venir, au
juste ?
\begin{proposition2}\label{resolution-equations-cycliques-cas-artin-schreier}
diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex
index a6dcaef..3c707a7 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -1391,7 +1391,7 @@ que les $\{g(x)\}_{g∈G}$ sont liés.
\subsubsection{Stratégie}
Nous allons procéder par « changement de base » (on dit aussi
« localisation (étale) » ) : on « monte » en tensorisant par $K$ sur
-$k$ --- la situation devenant alors limpide --- puis on « redescend » à $k$.
+$k$ — la situation devenant alors limpide — puis on « redescend » à $k$.
L'ingrédient essentiel de la première étape est la proposition \refext{CG}{galois=autodiag}.
Une autre méthode, relativement proche, consiste à démontrer
par changement de base l'indépendance algébrique des caractères