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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2010-12-22 17:23:57 +0100
committerFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2010-12-22 17:23:57 +0100
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[versel] ajout étiquette + changement notations
E(𝐙/n) → E_n et E(𝐙/p) → E_[1], en espérant que cela soit un progrès...
-rw-r--r--verselles.tex73
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index 3fe7419..00e68ad 100644
--- a/verselles.tex
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@@ -1441,17 +1441,25 @@ du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, \cite{First@Lam},
\subsection{Interprétation géométrique}
Nous allons maintenant énoncer un corollaire important du théorème
-de la base normale.
+de la base normale.
-\begin{théorème2}\label{base normale géométrique}
+\subsubsection{}\label{notations base normale géométrique}
Soient $G$ un groupe fini et $k$ un corps.
-Posons
-\[EG=k[x_g:g∈G][\det\big( (x_{g ′g})_{(g ′,g)∈G²}\big)^{-1}]\]
-et
-\[BG=\Fix_G(EG),\]
-où $g∈G$ agit $k$-linéairement sur $EG$ par $g\cdot x_{h}=x_{gh}$.
+On note
+\[
+EG=k[x_g:g∈G][\det\big( (x_{g ′g})_{(g
+′,g)∈G²}\big)^{-1}]
+\]
+et
+\[BG=\Fix_G(EG),\]
+où $g∈G$ agit $k$-linéairement sur $EG$ par $g\cdot
+x_{h}=x_{gh}$.
+
+Avec ces notations, on a le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}\label{base normale géométrique}
Pour toute extension finie galoisienne $L\bo K$ de groupe $G$,
-où $K$ est une extension de $k$, il existe un morphisme de $k$-algèbres $BG→K$ tel que
+où $K$ est une extension de $k$, il existe un morphisme de $k$-algèbres $BG→K$ tel que
la $K$-algèbre $L$ soit isomorphe à $EG⊗_{BG} K$.
En d'autres termes, le morphisme $BG→EG$ est \emph{versel} pour
les extensions de groupe $G$.
@@ -1635,34 +1643,37 @@ l'algèbre $A[T]/(T^n-1)$ est canoniquement isomorphe à l'algèbre
L'isomorphisme (dit canonique) envoyant (la classe de) $T$
sur la famille $(ζ)_{ζ ∈ μ} ∈ A^μ$.
Passant aux unités, il en résulte
-que l'algèbre $E 𝐙/n$ représente le foncteur
+que l'algèbre $E 𝐙/n$, que nous noterons dorénavant $E_n$ dans
+ce paragraphe, représente le foncteur
$\Gm^μ:A ↦ (A^×)^ μ$. D'après le lemme de Yoneda et l'exemple ci-dessus
-on en déduit que $E 𝐙/n$ est canoniquement isomorphe au produit
-tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble
+on en déduit que $E_n$ est canoniquement isomorphe au produit
+tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble
à $n$ éléments $μ$), lui-même isomorphe à l'algèbre
$k[T_ζ^{±1}: ζ ∈ μ]$. Soit $ζ ∈ μ$ une racine primitive. La projection
$\pr_ζ:\Gm^μ→\Gm$ induit, via l'isomorphisme
-$E 𝐙/n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
-$E 𝐙/n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
+$E_n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
+$E_n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
si l'on fait agir $\sur{i} ∈ 𝐙/n$ sur $\Gm$ par multiplication
par la puissance $ζ^{\sur{i}}$ de $ζ$. Le morphisme composé
-de foncteurs $E 𝐙/n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$
+de foncteurs $E _n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$
étant $𝐙/n$-équivariant, où le second $\Gm$ est muni
-de l'action triviale, il se factorise
-à travers le morphisme de foncteurs $E 𝐙/n ^\japmath{田}→ B𝐙/n ^\japmath{田}$.
-Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E 𝐙/n$
+de l'action triviale, il se factorise
+à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^\japmath{田}→ B_n
+^\japmath{田}$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$.
+Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E_n$
correspondant est $𝐙/n$-équivariant où l'action est triviale à la source : son
-image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes $\Fix_{𝐙/n}(E 𝐙/n)=B 𝐙/n$.
-(En d'autres termes, « points fixes » et « quotient »
+image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes
+$\Fix_{𝐙/n}(E_n)=B_n$.
+(En d'autres termes, « points fixes » et « quotient »
se correspondent par le foncteur de Yoneda.)
Si $L \bo K$ est une extension galoisienne de groupe $𝐙/n$,
où $K$ est une extension de $k$, le diagramme de la démonstration du théorème
\ref{base normale géométrique} se complète
-donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres
+donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres
\[
\xymatrix{
-L & E 𝐙/n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
-K \ar[u] & B 𝐙/n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
+L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
+K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
}
\]
@@ -1675,7 +1686,7 @@ par extraction d'une racine $n$-ième d'un élément de $K^×$, dès lors que $K
contient exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité.}
\end{quote}
(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image
-de $X$ dans $k$ par le composé $k[X,X^{-1}] → B 𝐙/n → K$.)
+de $X$ dans $k$ par le composé $k[X,X^{-1}] → B _n → K$.)
Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie de Kummer}
qui sera étudiée en détail, et par d'autres techniques,
au chapitre [KAS].
@@ -1699,13 +1710,15 @@ a₀+a₁X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1} \mod X^p ∈ (A[X]/(X^p))^×↦ \frac{a₁}{a
sont $𝐙/p$-équivariants, où $𝐙/p$ agit par multiplication
par $1+X$ sur $(A[X]/(X^p))^×$ et par translation par $1$ sur $A$.
Ils définissent un morphisme de foncteurs
-$E𝐙/p^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$.
-Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par
-le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$,
-le morphisme composé $E𝐙/p^{\japmath{田}}→\Ga
-\dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme $B 𝐙/p^{\japmath{田}} → \Ga$.
+$E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$,
+où l'on écrit $E_{[1]}$ pour $E(𝐙/p¹)$.
+Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par
+le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$,
+le morphisme composé $E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga
+\dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme
+$B_{[1]}^{\japmath{田}} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yoneda —
-un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B 𝐙/p$.
+un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$.
Comme dans le cas précédent, ces faits, joints
au théorème \ref{base normale géométrique} entraînent :
@@ -1713,7 +1726,7 @@ au théorème \ref{base normale géométrique} entraînent :
entre corps de caractéristique $p>0$ est obtenue par extraction d'une racine $℘$-ième d'un élément de $K$.}
\end{quote}
(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image
-de $Y$ dans $K$ par le composé $k[Y] → B 𝐙/p → K$.)
+de $Y$ dans $K$ par le composé $k[Y] → B _{[1]} → K$.)
Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie
d'Artin-Schreier} qui sera étudiée en détail, et par d'autres techniques,
au chapitre [KAS].