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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-12-22 18:26:42 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-12-22 18:26:42 +0100
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[calculs] Une tentative, probablement foireuse, pour énoncer O'Nan-Scott.
-rw-r--r--calculs-galois.tex46
1 files changed, 43 insertions, 3 deletions
diff --git a/calculs-galois.tex b/calculs-galois.tex
index db573a2..638eb11 100644
--- a/calculs-galois.tex
+++ b/calculs-galois.tex
@@ -1089,7 +1089,7 @@ Nous allons définir et décrire quelques actions de groupes importantes
qui, dans certains cas, seront primitives, et qui constitueront les
classes énumérées par le théorème de O'Nan-Scott.
-\subsubsection{Groupes de permutations de type affine} Soit $V
+\subsubsection{Groupes de permutations de type affine}\label{groupe-de-permutations-type-affine} Soit $V
= \FF_p^d$ un espace vectoriel de dimension finie $d\geq 1$ sur un
corps fini premier $\mathbb{F}_p$, et notons $\AGL(V) = \AGL_d(\FF_p)$
le groupe affine $V$, c'est-à-dire le produit semi-direct
@@ -1127,7 +1127,7 @@ de permutations primitif possède un socle abélien (i.e., il est
automatiquement de type affine). Par ailleurs, dans cette situation,
le socle est régulier ($V$ opère sur lui-même par translation).
-\subsubsection{Groupes de permutations de type diagonal} La
+\subsubsection{Groupes de permutations de type diagonal}\label{groupe-de-permutations-type-diagonal} La
construction qui va suivre, plus délicate que la précédente, possède
néanmoins quelques similarités. On peut l'imaginer intuitivement en
pensant que l'ensemble $\Omega$ ci-dessous est une sorte d'analogue de
@@ -1355,7 +1355,7 @@ l'image $M^*$ de $M$ sur les $r-1$ premières coordonnées
vaut $T^{r-1}$, il est désormais clair que $M = T^r$.
\end{proof}
-\subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple} Soit $T$
+\subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$
un groupe simple. Un groupe $G$ tel que $T = \Int(T) \leq G \leq
\Aut(T)$ est dit \emph{presque simple}. La donnée d'un sous-groupe
maximal $U$ de $G$ permet
@@ -1496,6 +1496,46 @@ groupes de permutations primitifs. Nous nous contenterons dans cet
ouvrage d'énoncer et de discuter ce théorème, pour la démonstration
duquel nous renvoyons le lecteur à \cite[chap. 4]{Dixon-Mortimer}.
+\begin{theoreme2}
+Soit $G$ un groupe de permutations dont on note $\Omega$ l'ensemble
+sur lequel il opère. Alors l'une des affirmations suivantes est
+vraie :
+\begin{itemize}
+\item $G$ est un groupe de permutations de type affine, tel que décrit
+ à la section \ref{groupe-de-permutations-type-affine}. Ceci se
+ produit si et seulement si le socle de $G$ est abélien, et dans ce
+ cas le socle est régulier.
+\item $G$ est presque simple
+ (cf. \ref{groupe-de-permutations-type-presque-simple}), c'est-à-dire
+ qu'on a $T \leq G \leq \Aut(T)$ pour un certain groupe simple fini
+ non-abélien $T$ (sans affirmation particulière sur la façon dont $G$
+ opère). Dans ce cas, le socle de $G$ est $T$, et il n'est pas
+ régulier.
+\item $G$ est un groupe de permutation de type diagonal, tel que
+ décrit à la section \ref{groupe-de-permutations-type-diagonal} (avec
+ $r\geq 2$ dans les notations de cette section). Dans ce cas, le
+ socle de $G$ est $T^r$ (avec les notations en question) où $T$ est
+ un groupe simple fini non-abélien et $r\geq 2$, et le degré
+ $\#\Omega$ de $G$ est $(\#T)^{r-1}$. Si $r\geq 3$ alors $G$ a un
+ unique sous-groupe distingué minimal qui est son socle.
+\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
+ \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit sur
+ $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
+ sur $\Delta$ d'un des deux types précédents, et le socle de $G$ est
+ $H^\Gamma$ où $H$ est le socle de $K$. Dans ce cas, le socle en
+ question n'est pas régulier.
+\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
+ \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit sur
+ $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
+ sur $\Delta$ du type diagonal avec $r=2$ ayant deux sous-groupes
+ distingués minimaux $N_1,N_2$ (isomorphes) distincts, et le socle de
+ $G$ est isomorphe à $N_1^\Gamma$. Ceci se produit si et seulement
+ si le socle de $G$ est régulier mais non abélien.
+\end{itemize}
+\end{theoreme2}
+
+\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
+
\subsection{Un théorème de Jordan}
On veut démontrer :