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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 22:10:52 (GMT)
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index 09f9e3c..1e7a36e 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -953,7 +953,7 @@ Serre [CL] p. 85.
\section{Différentielles}
\begin{proposition2}
-$K ≃ k((T))$. Alors, $\dim_K Ω¹_K=1$.
+$K ≃ k((T))$. Alors, $\dim_K Ω¹_K=1$.
\end{proposition2}
\begin{théorème2}
@@ -961,7 +961,7 @@ $K ≃ k((T))$, $x,y$ deux uniformisantes. Alors, $\Res_x(ω)=\Res_y(ω)$.
[Généralisation (avec la trace) [Lang, prop. 4.2].]
\end{théorème2}
-\XXX notation pas terrible : en conflit avec $\Res_x Ω¹_{K\bo k} → k$
+\XXX notation pas terrible : en conflit avec $\Res_x Ω¹_{K\bo k} → k$
où $x$ est un point fermé (place) de $K$ lorsque $K$ n'est pas local
(courbe algébrique sur $k$).
@@ -972,14 +972,14 @@ la généralisation ; [GAGC] p. 29— 31.
\begin{définition2}
\label{résidu forme différentielle formelle}
-Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$.
+Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$.
\end{définition2}
Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467).
\begin{proposition2}
\label{non nullité du résidu}
-L'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
+L'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
\end{proposition2}
\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}
@@ -1109,7 +1109,7 @@ Méthodes de calcul.
\begin{proposition2}
\XXX
-Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
+Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme
minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$.
[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$.
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index bbf2605..eaffa31 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -158,7 +158,7 @@ Méthodes de calcul.
\begin{proposition2}
\XXX
-Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
+Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme
minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$.
[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$.
diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex
index 1b80e8c..4ed265b 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -390,12 +390,12 @@ abéliennes d'exposant divisant $n$ sont obtenues ainsi.
\begin{théorème2}\label{Kummer général}
Soient $n$ un entier, $k$ un corps contenant $n$ racines
-$n$-ièmes de l'unité et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+$n$-ièmes de l'unité et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item L'application $A ↦ K_A=k(A^{1/n})$ est une bijection
croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k^×$
contenant ${k^×}^n$ et l'ensemble des sous-extensions
-abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $n$. La bijection
+abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $n$. La bijection
réciproque est donnée par $K ↦ A_K={K^×}^n ∩ k^×$.
\item Soit $A$ un sous-groupe de $k^×$ contenant ${k^×}^n$.
Le morphisme
@@ -462,7 +462,7 @@ de façon cruciale sur une variante du lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul}.
\subsection{Démonstration}Nous allons démontrer ici le théorème \ref{Kummer
général}. Commençons par le cas des extensions finies. Soit $K$ une sous-extension de
-$Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $n$.
+$Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $n$.
Considérons le morphisme $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$
envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère de Kummer correspondant :
$σ ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n}$. Ce morphisme est injectif car
@@ -483,7 +483,7 @@ Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement
Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
$A_K \bo {k^×}^n$ —, on a également $K = K ′$.
Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $n$ de
-$Ω$ est de la forme $k(A^{1/n})$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
+$Ω$ est de la forme $k(A^{1/n})$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
Notons $D_μ=\Hom(\tiret,μ)$. L'isomorphisme $A_K \bo {k^×}^n ⥲ D_μ(\Gal(K\bo k))$
induit un isomorphisme $D_μD_μ(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_μ(A_K \bo {k^×}^n)$.
On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
@@ -528,12 +528,12 @@ que $a=b^ℓ$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $ℓ$-ième
-de $a$ dans $Ω$. Les racines dans $Ω$ d'un diviseur $g$ de $f$ dans $k[X]$
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $ℓ$-ième
+de $a$ dans $Ω$. Les racines dans $Ω$ d'un diviseur $g$ de $f$ dans $k[X]$
s'écrivant sous la forme $ζ α$, où $ζ$ parcourt une partie
-$S⊆μ_ℓ(Ω)$ de cardinal $\deg(g)$, son coefficient $g(0)$
+$S⊆μ_ℓ(Ω)$ de cardinal $\deg(g)$, son coefficient $g(0)$
est égal — au signe près — au produit $ξ α^{\deg(g)}$,
-où $ξ=∏_{ζ ∈ S} ζ$ appartient à $μ_ℓ(Ω)$. Par élévation à
+où $ξ=∏_{ζ ∈ S} ζ$ appartient à $μ_ℓ(Ω)$. Par élévation à
la puissance $ℓ$, on voit que $a^{\deg(g)}$ appartient à ${k^×}^ℓ$.
La conclusion résulte alors du fait que si $g$ est un diviseur strict de $f$,
on a $\deg(g)< ℓ$ de sorte que $d=\deg(g)$ et $ℓ$ sont premiers entre eux
@@ -550,8 +550,8 @@ existe un unique entier $r ∈ [0,ℓ-1]$ tel que $y/x^r$ appartienne à $k$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-Soient $Ω$ une clôture algébrique de $K$, $ζ$ une racine \emph{primitive}
-$ℓ$-ième de l'unité dans $Ω$ et $σ:K → Ω$ l'unique $k$-plongement
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $K$, $ζ$ une racine \emph{primitive}
+$ℓ$-ième de l'unité dans $Ω$ et $σ:K → Ω$ l'unique $k$-plongement
envoyant $x$ sur $ζx$. Considérons maintenant $σ(y)$. Puisque $σ(y^ℓ)=y^ℓ$ — car
$y^ℓ$ est un élément de $k$ —, on peut écrire $σ(y)$ sous la forme $ξ y$,
où $ξ$ est une racine $ℓ$-ième de l'unité. Cette racine s'écrit donc
@@ -1122,12 +1122,12 @@ Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions
abéliennes d'exposant divisant $p$ sont obtenues ainsi.
\begin{théorème2}\label{AS général}
-Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item L'application $A ↦ K_A=k(\root ℘ \of A)$ est une bijection
croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k$
contenant $℘(k)$ et l'ensemble des sous-extensions
-abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $p$. La bijection
+abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $p$. La bijection
réciproque est donnée par $K ↦ A_K=℘(K) ∩ k$.
\item Soit $A$ un sous-groupe de $k$ contenant $℘(k)$.
Le morphisme
@@ -1147,7 +1147,7 @@ est un isomorphisme. En particulier
\subsubsection{Démonstration du théorème \ref{AS général}}
(\emph{Mutatis mutandis}, la démonstration est identique à celle
de \ref{Kummer général}.)
-Soit $K$ une sous-extension de $Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant
+Soit $K$ une sous-extension de $Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant
divisant $p$. Considérons le morphisme $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$
envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère
d'Artin-Schreier correspondant :
@@ -1170,7 +1170,7 @@ Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement
Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
$A_K \bo ℘(k)$ —, on a également $K = K ′$.
Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $p$ de
-$Ω$ est de la forme $k(\root ℘ \of A)$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
+$Ω$ est de la forme $k(\root ℘ \of A)$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
Notons $D_p=\Hom(\tiret,𝐙/p)$. L'isomorphisme $A_K \bo ℘(k) ⥲ D_p(\Gal(K\bo k))$
induit un isomorphisme $D_pD_p(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_p(A_K \bo ℘(k) )$.
On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
@@ -1267,11 +1267,11 @@ On a donc montré que toute extension de $k$ de groupe $𝐙/p²$
est obtenue par extensions successives d'Artin-Schreier d'un type
particulier : $x^p-x=a$ puis $y^p-y=q(x)$ où $q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}$.
-\subsubsection{Réciproque} Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ et soit $Ω$
+\subsubsection{Réciproque} Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ et soit $Ω$
une clôture algébrique de $k$. Considérons :
\begin{enumerate}
\item $a ∈ k-℘(k)$ ;
-\item $x ∈ Ω$ une racine du polynôme irréductible $X^p-X-a ∈ k[X]$ ;
+\item $x ∈ Ω$ une racine du polynôme irréductible $X^p-X-a ∈ k[X]$ ;
\item $q ∈ k[X]$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$
satisfaisant l'équation aux différences
\[
@@ -1281,7 +1281,7 @@ q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}.
Posons
\[
-P(Y)=∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q(x+ζ)\big) ∈ Ω[X].
+P(Y)=∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q(x+ζ)\big) ∈ Ω[X].
\]
\begin{lemme2}
@@ -1316,15 +1316,15 @@ degré $p²$ sur $k$. CQFD.
\end{démo}
\begin{lemme2}
-Soit $y ∈ Ω$ une racine du polynôme $P$ dans $Ω$.
+Soit $y ∈ Ω$ une racine du polynôme $P$ dans $Ω$.
L'extension $k(y)\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p²$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
Commençons par observer que si pour chaque $ζ ∈ 𝐅_p$,
-on note $y_ζ$ une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ)$ dans $Ω$,
+on note $y_ζ$ une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ)$ dans $Ω$,
l'ensemble des racines de $P$ est le sous-ensemble
-$\{y_ζ + ψ : (ζ,ψ) ∈ (𝐅_p)²\}$ de $Ω$. On veut montrer
+$\{y_ζ + ψ : (ζ,ψ) ∈ (𝐅_p)²\}$ de $Ω$. On veut montrer
qu'il est contenu dans $k(y₀)$. (On peut supposer $y=y₀$.)
Or, il résulte de l'identité $(x+ζ)^{p(p-1)}=(x+a+ζ)^{p-1}$ et
de l'équation aux différences satisfaite par $q$ que si $y_ζ$ est une racine
@@ -1350,11 +1350,11 @@ En résumé, nous avons démontré le théorème suivant.
\begin{théorème2}[\cite{Kennzeichnung@AS}, théorème 3]\label{AS Z sur p carré}
Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a ∈ k- ℘(k)$,
-$Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $x$ une racine du polynôme
-$X^p-X-a$ dans $Ω$. Pour tout polynôme $q_{AS} ∈ k[X]$
+$Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $x$ une racine du polynôme
+$X^p-X-a$ dans $Ω$. Pour tout polynôme $q_{AS} ∈ k[X]$
tel que $q_{AS}(X+1)-q_{AS}(X)=(X+a)^{p-1}-X^{p-1}$, et toute
racine $y_{AS}$ du polynôme $Y^p-Y-q_{AS}(x)$, la sous-extension
-$k(y_{AS})$ de $Ω$ contient $k(x)$ et est galoisienne de groupe
+$k(y_{AS})$ de $Ω$ contient $k(x)$ et est galoisienne de groupe
cyclique d'ordre $p²$ sur $k$. Réciproquement toute telle extension est obtenue
de cette manière. De plus, $σ(x)=x+1$ et $σ(y_{AS})=y_{AS}+x^{p-1}$. \XXX
\end{théorème2}
@@ -1982,7 +1982,7 @@ naturellement isomorphe à $(A,+)$ par le morphisme $a ′ ↦ (0,a ′)$.
\subsubsection{}
Soient $(a,b)$ deux éléments de $k$ de caractéristique $p>0$
-et soit $Ω$ une clôture séparable de $k$.
+et soit $Ω$ une clôture séparable de $k$.
L'équation $℘(x,y)=(a,b)$ en les inconnues $(x,y)$,
où $℘=F_p \ominus \Id$, est équivalente aux deux équations :
\[
@@ -1992,15 +1992,15 @@ et
\[
℘(y)=(-1)^{p+1} x^p \log_{<p}(-\frac{a}{x}) + b.
\]
-Ces équations ont des solutions dans $Ω$ car elles
+Ces équations ont des solutions dans $Ω$ car elles
sont séparables. Notons $q_W$ — $W$ pour \emph{Witt} — le terme
de droite de la seconde équation. C'est un polynôme
en $x$ de terme constant $b$ de degré visiblement
-inférieur ou égal à $p$. Si le couple $(x_W,y_W) ∈ Ω²$ est une solution de
+inférieur ou égal à $p$. Si le couple $(x_W,y_W) ∈ Ω²$ est une solution de
ces équations, le couple $τ(x_W,y_W)=(x_W+1,y_W+\log_{<p}(x_W+1))$
est également solution : cela résulte du fait
que $℘$ est additif, de noyau contenant $(1,0)$.
-Ceci se traduit par l'égalité dans $Ω$
+Ceci se traduit par l'égalité dans $Ω$
\[
℘\big(\log_{<p}(x_W+1))=q_W(x_W+1)-q_W(x_W),
\]
@@ -2151,9 +2151,9 @@ On observera que les coefficients $β$ sont obtenus par résolutions
successives d'équations d'Artin-Schreier.
Soit maintenant $f ∈ W(K)$, où $K$ n'est plus supposé
-séparablement clos. Soit $Ω$ une clôture séparable de $K$
-et soit $f_Ω$ l'image de $f$ dans le sur-groupe $W(Ω)$ de $W(K)$.
-Les $Ω$-algèbres $M(f_Ω)$ et $M(f) ⊗_K Ω$ sont canoniquement
+séparablement clos. Soit $Ω$ une clôture séparable de $K$
+et soit $f_Ω$ l'image de $f$ dans le sur-groupe $W(Ω)$ de $W(K)$.
+Les $Ω$-algèbres $M(f_Ω)$ et $M(f) ⊗_K Ω$ sont canoniquement
isomorphes. Le caractère étale d'une algèbre sur un corps
se testant après extension algébrique séparable, et
le rang étant invariant par une telle extension,
@@ -2189,40 +2189,40 @@ $E_p(α.X) ↦ ∑_{i=0}^{r} \gtilde{α_{p^i}}p^i \mod p^{r+1}$, est un isomorph
\begin{théorème2}\label{ASW}
Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$,
$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ la puissance de $p$
-correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item Pour toute extension galoisienne $K\bo k$ de groupe
cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un
élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que
$K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps
-$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
-solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
+$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
+solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$.
\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$
est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$
avec égalité si et seulement si le premier coefficient
de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre
-part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
+part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
par les coefficients de Witt d'un élément
-quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
+quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
\subsubsection{Démonstration de \ref{ASW} (ii)}
Soit $f$ comme dans l'énoncé. Notons $k\sep$ la clôture
-séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt},
+séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt},
il existe $g₀ ∈ ℘^{-1}(f)(k\sep)$. Pour chaque $ζ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$,
posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass-Witt},
-les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
+les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
(Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image
de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique
-$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
-de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
+$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
+de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc
algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}.
-Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
+Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
$σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation
évidente de $σ$ avec $℘$, l'égalité $℘\big(σ (g₀)\big)=f$
d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$.
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index 27aeaa9..2814569 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -71,11 +71,11 @@ est une extension, $A_{k'}=A⊗_k k'$ est une $k'$-algèbre
d'Azumaya. (Ces conditions sont d'ailleurs équivalentes.)
\begin{lemme2}\label{trivialisation Azu descend au niveau fini}
-Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture algébrique de $k$,
+Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture algébrique de $k$,
$r ≥ 0$ un entier et $A$ une $k$-algèbre. Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item la $k$-algèbre $A$ est d'Azumaya, de degré $r$ ;
-\item il existe un isomorphisme de $Ω$-algèbres $A_Ω ≃ 𝐌_r(Ω)$ ;
+\item il existe un isomorphisme de $Ω$-algèbres $A_Ω ≃ 𝐌_r(Ω)$ ;
\item il existe une extension $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme $A_K ≃ 𝐌_r(K)$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 7d9b0b4..131cf63 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -57,7 +57,7 @@
\section{Conjugués d'un élément, extensions normales et galoisiennes}
-Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique
+Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique
de $k$. Rappelons que si $K$ est un anneau et $A,B$ deux $K$-algèbres,
on note également $\japmath{田}A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des
homomorphismes de $K$-algèbres.
@@ -65,54 +65,54 @@ homomorphismes de $K$-algèbres.
\subsection{Conjugués d'un élément}
\begin{définition2}
-Deux éléments $x$ et $y$ de $Ω$ sont dits \emph{conjugués sur $k$}
-s'il existe un $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$ tel que
+Deux éléments $x$ et $y$ de $Ω$ sont dits \emph{conjugués sur $k$}
+s'il existe un $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$ tel que
$σ(x)=y$.
\end{définition2}
\begin{proposition2}\label{prolongement-plongement}
-Soit $K$ une sous-$k$-extension de $Ω$. Tout morphisme
-$k$-linéaire $ι:K→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$.
-Tout $k$-morphisme $Ω→Ω$ est un isomorphisme.
+Soit $K$ une sous-$k$-extension de $Ω$. Tout morphisme
+$k$-linéaire $ι:K→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$.
+Tout $k$-morphisme $Ω→Ω$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-L'existence d'un $k$-morphisme $Ω→Ω$ étendant $ι$
+L'existence d'un $k$-morphisme $Ω→Ω$ étendant $ι$
résulte du lemme de prolongement des plongements
(\refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}).
-La surjectivité d'un $k$-morphisme $f:Ω→Ω$
-est conséquence du fait que $f(Ω)$ est une clôture algébrique
-de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$.
+La surjectivité d'un $k$-morphisme $f:Ω→Ω$
+est conséquence du fait que $f(Ω)$ est une clôture algébrique
+de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$.
(Voir aussi \ref{Hom=Aut} \emph{infra} pour une généralisation.)
\end{démo}
Une telle extension est non unique en général. Nous verrons
-plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$.
+plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$.
\begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison}
-Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$.
+Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$.
Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi
-il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$.
+il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$.
\end{corollaire2}
\begin{proposition2}
-Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$
+Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$
\ssi ils ont même polynôme minimal sur $k$.
\end{proposition2}
\begin{démo}Soient $x$ et $y$ deux éléments conjugués : $y=σ(x)$
-où $σ∈\Aut_k(Ω)$. En appliquant $σ$ à l'identité
+où $σ∈\Aut_k(Ω)$. En appliquant $σ$ à l'identité
$μ_{x,k}(x)=0$, on obtient :
$$0=σ\big(μ_{x,k}(x)\big)=μ_{x,k}\big(σ(x)\big)=μ_{x,k}(y).$$
(La seconde égalité résulte de la $k$-linéarité de $σ$.)
Il en résulte que $y$ est racine de $μ_{x,k}$. Ce dernier étant
unitaire, irréductible sur $k$, on a $μ_{y,k}=μ_{x,k}$.
-Réciproquement, si $x$ et $y$ sont deux éléments de $Ω$
+Réciproquement, si $x$ et $y$ sont deux éléments de $Ω$
tels que $μ_{x,k}=μ_{y,k}$, le
morphisme composé
$$
-k(x) ⥲ k_{μ_{x,k}}=k_{μ_{y,k}} ⥲ k(y)↪Ω,
+k(x) ⥲ k_{μ_{x,k}}=k_{μ_{y,k}} ⥲ k(y)↪Ω,
$$
envoie $x$ sur $y$. La seconde (resp. première) flèche
est induite par l'isomorphisme canonique (resp. son
@@ -121,14 +121,14 @@ où $z=y$ (resp. $z=x$).
\end{démo}
\begin{corollaire2}\label{conjugues=racines}
-L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide
-avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$.
+L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide
+avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$.
Cet ensemble est fini, de cardinal inférieur ou égal
à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu \ssi
$x$ est séparable sur $k$.
\end{corollaire2}
-Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré
+Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré
de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque
sur le cas d'égalité est évidente.
@@ -138,7 +138,7 @@ On peut être plus précis.
\label{polynôme minimal et conjugués dans cas général}
Le polynôme minimal d'un élément $x$ sur $k$ est
\[
-\big( ∏_{y ∈ \Hom_k(K,Ω).x} (X-y) \big)^{[k(x):k]_i}
+\big( ∏_{y ∈ \Hom_k(K,Ω).x} (X-y) \big)^{[k(x):k]_i}
\]
où l'exposant est le degré d'inséparabilité de l'extension.
\end{proposition2}
@@ -148,7 +148,7 @@ où l'exposant est le degré d'inséparabilité de l'extension.
\end{démo}
\begin{proposition2}
-Les points fixes de $\Hom_k(K,Ω)$ sont
+Les points fixes de $\Hom_k(K,Ω)$ sont
la clôture radicielle.
\end{proposition2}
@@ -178,12 +178,12 @@ $y∈R⊆K$ tel que $x=ι(y)$.
\subsubsection{Trace et norme, suite}
\begin{proposition2}
-Soit $K\bo k$ une extension finie de corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Soit $K\bo k$ une extension finie de corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Pour tout $x ∈ K$, on a
\[
\Tr_{K\bo k}(x)=[K:k]_i ∑_{σ} σ(x),
\]
-où $σ$ parcourt l'ensemble fini $\Hom_k(K,Ω)$
+où $σ$ parcourt l'ensemble fini $\Hom_k(K,Ω)$
et $[K:k]_i$ désigne le degré inséparable de l'extension.
\end{proposition2}
@@ -208,17 +208,17 @@ de base} de $k$ à $K$ dans le cas particulier où $K'=K$.
\end{convention2}
\begin{proposition2}\label{caracterisation-extension-normale}
-Soit $K\bo k$ une sous-extension de $Ω$.
+Soit $K\bo k$ une sous-extension de $Ω$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ;
-\item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ;
-\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ;
+\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ;
+\item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ;
+\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ;
\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est scindé sur $K$ ;
\item tout polynôme irréductible de $k[X]$ ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$ ;
-\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ;
+\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ;
\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle $κ(𝔭)\bo K$ est triviale ;
-\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ;
+\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ;
\item l'application $\Aut_k(K) → \Spec(K ⊗_k K)$, $g ↦ 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)$
est une bijection.
\end{enumerate}
@@ -240,15 +240,15 @@ et \ref{caracterisation-conjugaison}.
% On utilise le fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes.
(vii)⇔(viii). Notons $A$ la $K$-algèbre $K ⊗_k K$ ; elle est entière
sur $K$ (\refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}).
-L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$
+L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$
est donc surjective. En effet, sa fibre au-dessus d'un élément $𝔭$ de
$\Spec(A)$ est, par propriété universelle du quotient, en bijection
-avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre
+avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre
et entier sur $K$ ; c'est donc un corps (\refext{Alg}{polynome-minimal}).
D'après \refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique},
-l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide.
+l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide.
Les idéaux premiers de $A$ sont donc tous $K$-rationnels
-si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$
+si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$
est une bijection. (viii)⇔(iii) Soit $B$ une $K$-algèbre et
${_{[k]}B}$ la $k$-algèbre déduite de $B$ par restriction des scalaires.
L'application $\japmath{田}K({_{[k]}B})→\japmath{田}A(B)$,
@@ -269,10 +269,10 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme
\draw[->] (KBp) -- (ABp);
\end{tikzpicture}
\end{center}
-est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$.
+est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$.
(viii)⇔(ix). L'application $G=\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(K)$
n'est autre que $g ↦ (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. L'application composée
-$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$
+$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$
est celle de l'énoncé. [À vérifier] \XXX
Notons que l'injectivité de $G → \Spec(K ⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$,
l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais pas à $𝔭_{g'}$.
@@ -306,7 +306,7 @@ les éléments $j\sqrt[3]{2}$ et $\sqrt[3]{2}$ ont même polynôme minimal
$X³-2$ sur $𝐐$ mais $j\sqrt[3]{2}∉𝐐(\sqrt[3]{2})$.
\item Par définition, toute extension de décomposition d'un polynôme $f∈k[X]$
est normale.
-\item L'extension $Ω\bo k$ est normale.
+\item L'extension $Ω\bo k$ est normale.
\end{enumerate}
\end{exemples2}
@@ -319,10 +319,10 @@ des polynômes minimaux de ses éléments.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Soit $R_f$ l'ensemble des racines des $f_i$ dans $Ω$.
+Soit $R_f$ l'ensemble des racines des $f_i$ dans $Ω$.
Par unicité de la $k$-extension de décomposition (\ref{unicite-extension-decomposition}),
il suffit de démontrer que l'extension $K=k(R_f)\bo k$ est normale.
-Or, pour tout $k$-morphisme $ι$ de $K$ dans $Ω$,
+Or, pour tout $k$-morphisme $ι$ de $K$ dans $Ω$,
on a $ι(R_f)⊆R_f$ donc $ι(K)⊆K$. CQFD.
\end{démo}
@@ -344,9 +344,9 @@ Les deux premières assertions résultent de la proposition précédente
et de \ref{unicite-extension-decomposition}.
Supposons maintenant $k'\bo k$ normale. Fixons des plongements de $K$ et
-$k'$ dans $Ω$ et considérons $K'=Kk'$ dans $Ω$. Si suffit de montrer que $K'\bo k$
+$k'$ dans $Ω$ et considérons $K'=Kk'$ dans $Ω$. Si suffit de montrer que $K'\bo k$
est normale car toute extension composée sur $k$ de $K$ et $k'$ lui est $k$-isomorphe.
-Soit $σ$ un $k$-automorphisme de $Ω$. Puisque $σ(k')⊆k'$ et $σ(K)⊆K$, on a bien
+Soit $σ$ un $k$-automorphisme de $Ω$. Puisque $σ(k')⊆k'$ et $σ(K)⊆K$, on a bien
$σ(K')⊆K'$.
\end{démo}
@@ -366,24 +366,24 @@ Cela résulte immédiatement du critère (iii) de normalité : si un polynôme
sur $⋂_i K_i$.
\end{démo}
-\subsubsection{}Étant donné une famille de sous-extensions \emph{normales} $K_i\bo k$ de $Ω$,
+\subsubsection{}Étant donné une famille de sous-extensions \emph{normales} $K_i\bo k$ de $Ω$,
on a vu ci-dessus le corps $K=⋂_i K_i$ est également normal sur $k$.
-Si $X$ est une partie quelconque de $Ω$,
-il existe donc un plus petit sous-corps de $Ω$ la contenant
-et normal sur $k$. (Rappelons que l'extension $Ω\bo k$ est normale.)
+Si $X$ est une partie quelconque de $Ω$,
+il existe donc un plus petit sous-corps de $Ω$ la contenant
+et normal sur $k$. (Rappelons que l'extension $Ω\bo k$ est normale.)
On vérifie sans peine qu'il coïncide
avec le corps engendré sur $k$ par les conjugués
des éléments de $X$ ou bien encore avec le corps
-de décomposition sur $k$ contenu dans $Ω$ des polynômes minimaux
+de décomposition sur $k$ contenu dans $Ω$ des polynômes minimaux
des éléments de $X$.
On l'appelle \emph{extension normale engendrée
par $X$} ou bien, si $X$ est un corps $k'$ contenant $k$,
-\emph{clôture normale de l'extension $k'\bo k$ dans $Ω$}.
+\emph{clôture normale de l'extension $k'\bo k$ dans $Ω$}.
Plus généralement, on appelle clôture normale d'une extension
algébrique $k'\bo k$ toute extension $K/k'$ qui soit
normale sur $k$ et minimale pour cette propriété. Puisque
-qu'un tel corps $K$ se plonge dans $Ω$, il est aisé de vérifier
+qu'un tel corps $K$ se plonge dans $Ω$, il est aisé de vérifier
que deux clôtures normales d'une même extension algébrique $k'\bo k$
sont $k'$-isomorphes.
@@ -546,7 +546,7 @@ Le fait que $k$ soit contenu dans $\Fix_G(K)$ est équivalent
\begin{démo}[Première démonstration]
Il s'agit de démontrer que pour tout $x∈K-k$, il existe $σ∈G$
tel que $σ(x)≠x$. Puisque $x$ est séparable sur $k$, il
-a exactement $[k(x):k]$ conjugués sur $k$ dans $Ω$ (\ref{conjugues=racines}). Soit $y$ l'un d'entre
+a exactement $[k(x):k]$ conjugués sur $k$ dans $Ω$ (\ref{conjugues=racines}). Soit $y$ l'un d'entre
eux. Par définition, il existe un $σ∈G$ tel que $y=σ(x)≠x$. CQFD.
\end{démo}
\begin{démo}[Seconde démonstration, par descente fidèlement plate (esquisse)]
@@ -1117,9 +1117,9 @@ automorphisme intérieur près. Conformément à l'usage, mais en contradiction
la convention \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel}, nous nous autorisons cependant à parler \emph{du}
groupe de Galois d'une équation, même si ce dernier n'est pas abélien.
Une façon de procéder pour résoudre cette difficulté est de fixer une clôture algébrique
-de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé,
-et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad
-le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$.
+de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé,
+et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad
+le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$.
\subsubsection{}Le fait trivial suivant est d'importance capitale : l'ensemble
$R_f$ est stable sous l'action de $G_f$. Cela résulte du fait
@@ -1680,7 +1680,7 @@ Déterminer le groupe de Galois du polynôme $X³-2∈𝐐[X]$.
\begin{exercice3}\label{borne-degre-elements}
Soient $p$ un nombre premier et $k=\FF_p((t_i)_{i∈𝐍})$ le
corps des fractions de l'anneau de polynômes en une infinité
-de variables $\FF_p[(t_i)_{i∈𝐍}]$. Soit $Ω$ une clôture
+de variables $\FF_p[(t_i)_{i∈𝐍}]$. Soit $Ω$ une clôture
algébrique de $k$ et $K$ le corps engendré sur $k$ par
les éléments $t_i^{1/p}$ ($i∈𝐍$). Montrer que pour tout
$x∈K$, on a $x^p∈k$ mais que $[K:k]=+∞$.
@@ -1748,12 +1748,12 @@ de Galois. La décroissance de ces applications est évidente.
Vérifions le dernier point. Soit $k'$ une sous-$k$-extension
de $K$ et notons $H=\Gal(K\bo k')$ le sous-groupe de $G$ correspondant de sorte
que $k'=\Fix_H(K)$.
-Soit $Ω$ une clôture algébrique de $K$. Puisque $K\bo k$
-est normale et contient $k'$, l'inclusion $\Hom_k(k',K)→\Hom_k(k',Ω)$
+Soit $Ω$ une clôture algébrique de $K$. Puisque $K\bo k$
+est normale et contient $k'$, l'inclusion $\Hom_k(k',K)→\Hom_k(k',Ω)$
est une bijection ; d'autre part l'application
$\Gal(K\bo k)=\Hom_k(K,K)→\Hom_k(k',K)$ est une surjection
(\ref{prolongement-plongement}). Il en résulte
-que tout $k$-plongement $ι:k'↪Ω$ est la restriction d'un élément
+que tout $k$-plongement $ι:k'↪Ω$ est la restriction d'un élément
$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale \ssi
pour tout $g∈G$, $g(k')=k'$. Puisque $k'=\Fix_H(K)$,
cette condition se réécrit : $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$,
@@ -1761,8 +1761,8 @@ pour tout $g∈G$. Par bijectivité de l'application $H↦\Fix_H(K)$,
on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ \ssi $gHg^{-1}=H$.
Le groupe $H$ est donc distingué dans $G$.
Enfin, si $k'\bo k$ est normale, donc galoisienne,
-on a $\Hom_k(k',Ω)=\Gal(k'\bo k)$ de sorte
-que l'application (surjective) de restriction $\Hom_k(K,Ω)→\Hom_k(k',Ω)$
+on a $\Hom_k(k',Ω)=\Gal(k'\bo k)$ de sorte
+que l'application (surjective) de restriction $\Hom_k(K,Ω)→\Hom_k(k',Ω)$
s'identifie à une application $G=\Gal(K\bo k)→\Gal(k'\bo k)$, dont
on vérifie immédiatement que c'est un morphisme de groupes. Son noyau
étant l'ensemble $\Gal(K\bo k')$ des applications $k'$-linéaires de $G$,
@@ -2003,7 +2003,7 @@ de sorte que $σ$ induit bien un isomorphisme $K' ⥲ K'$.
\end{démo}
\begin{lemme3}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
-Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions.
+Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions.
\begin{enumerate}
\item Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, $K₁∩K₂=k$.
\item Si $K₁\bo k$ est galoisienne et $K₁∩K₂=k$, le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂$ est un \emph{corps}.
@@ -2012,7 +2012,7 @@ Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions
\begin{démo}
(i) Soit $K=K₁∩K₂$ et considérons $x∈K$. L'élément $1⊗x-x⊗1$ de $K₁⊗_k K₂$ est d'image nulle par l'application
-produit dans le corps $Ω$. Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, une telle application est
+produit dans le corps $Ω$. Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, une telle application est
nécessairement injective, si bien que $1⊗x-x⊗1$ est nul dans $K₁⊗_k K₂$ donc
dans le sous-anneau $K⊗_k K$ auquel il appartient.
Or, si $x∉k$, les vecteurs $v₁=1$ et $v₂=x$ de $K$ sont linéairement indépendants sur $k$
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 78739e9..58e65a6 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -1127,10 +1127,10 @@ Finalement $α∈K$ et $K'=K$.
\end{démo}
\begin{remarque2}\label{caracterisation-cloture-algebrique}
-Il résulte de la démonstration qu'une clôture algébrique $Ω$ d'un corps $k$
+Il résulte de la démonstration qu'une clôture algébrique $Ω$ d'un corps $k$
est un corps de décomposition de l'ensemble des polynômes non constants
-de $k$. En effet, $Ω$ contient un tel corps de décomposition $D$
-et puisque ce dernier est algébriquement clos avec $Ω/D$ algébrique, on a bien $Ω=D$.
+de $k$. En effet, $Ω$ contient un tel corps de décomposition $D$
+et puisque ce dernier est algébriquement clos avec $Ω/D$ algébrique, on a bien $Ω=D$.
\end{remarque2}
\begin{proposition2}
@@ -1145,8 +1145,8 @@ La proposition suivante nous sera très utile dans le chapitre
[Gal].
\begin{proposition2}\label{plongement-dans-cloture-algebrique}
-Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $k'\bo k$ une extension
-algébrique. Il existe un $k$-plongement $k'→Ω$.
+Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $k'\bo k$ une extension
+algébrique. Il existe un $k$-plongement $k'→Ω$.
\end{proposition2}
L'expression « $k$-plongement », synonyme de $k$-morphisme,
@@ -1154,11 +1154,11 @@ permet d'insister sur le fait qu'un tel morphisme
est nécessairement injectif.
\begin{démo}
-Soit $Ω'$ une extension composée de $k'\bo k$ et $Ω\bo k$. L'extension $Ω'/Ω$
+Soit $Ω'$ une extension composée de $k'\bo k$ et $Ω\bo k$. L'extension $Ω'/Ω$
est algébrique (cf. par exemple \ref{cb-entier} ou
-\ref{composee algebrique}), de sorte que l'injection $Ω→Ω'$
+\ref{composee algebrique}), de sorte que l'injection $Ω→Ω'$
est un isomorphisme, dont nous noterons $τ$ l'inverse. Le morphisme
-composé $k'→Ω'\dessusdessous{τ}{→} Ω$ répond à la question.
+composé $k'→Ω'\dessusdessous{τ}{→} Ω$ répond à la question.
\end{démo}
\begin{proposition2}
@@ -1456,18 +1456,18 @@ de la propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, cf.
\end{démo}
\begin{proposition2}\label{sorites-pot-diagonalisable}
-Soient $A$ une $k$-algèbre et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Soient $A$ une $k$-algèbre et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item il existe une extension $K$ de $k$ telle que $A_K$ soit
diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
-\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
-\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
-\item $\# π₀(A_Ω)=[A:k]$.
+\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
+\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
+\item $\# π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
-De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
-par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
+De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
+par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
$u(A) ⊆ K$.
\end{proposition2}
@@ -1489,12 +1489,12 @@ de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
$A$ est diagonalisable sur $k_A$.
(ii)⇒(iii).
-Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
-et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
-diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
-comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
-%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
-%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
+Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
+et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
+diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
+comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
+%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
+%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
(iii) ⇔ (iv) : résulte de \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
@@ -1598,8 +1598,8 @@ que $k_f$ est réduit. Or, si $K\bo k$ diagonalise $k_f$,
le morphisme canonique $k_f→(k_f)_K$ étant injectif,
l'algèbre $k_f$ est réduite car $(k_f)_K$, étant diagonalisable,
l'est. (ii)⇒(iii) Supposons que $f$ ait une racine multiple dans une
-clôture algébrique $Ω$ de $k$ et considérons $k'$ le corps de
-décomposition de $f$ dans $Ω$. Le polynôme $f$ a un facteur
+clôture algébrique $Ω$ de $k$ et considérons $k'$ le corps de
+décomposition de $f$ dans $Ω$. Le polynôme $f$ a un facteur
carré dans $k'$, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse,
d'après le lemme précédent et \ref{structure k-f} (ii).
(iii)⇒(i). Si $f$ est scindé à racines simples sur un corps $k'$,
@@ -1637,12 +1637,12 @@ Soit $f∈k[X]$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{démo}
Le cas où $k$ est algébriquement clos est clair. Vérifions
que l'on peut se ramener à ce cas. Soient $k$ comme dans l'énoncé
-et $Ω$ une clôture algébrique de $k$. D'après \ref{pot-diag-reduit} (iii),
-le polynôme $f$ est séparable si et seulement si son image dans $Ω[X]$
+et $Ω$ une clôture algébrique de $k$. D'après \ref{pot-diag-reduit} (iii),
+le polynôme $f$ est séparable si et seulement si son image dans $Ω[X]$
l'est. D'autre part, la condition (ii) est également invariante
par extension des scalaires. En effet, l'algorithme d'Euclide
montre que l'idéal engendré par $f$ et $f'$ dans
-$Ω[X]$ est engendré par un polynôme à coefficients dans $k$, qui
+$Ω[X]$ est engendré par un polynôme à coefficients dans $k$, qui
n'est autre que le pgcd, calculé dans $k[X]$. (Ceci
est un fait général valable pour toute $k$-algèbre et toute
paire de polynômes.)
@@ -1664,24 +1664,24 @@ si $p=0$.)
\subsection{Algèbres géométriquement réduites}
\begin{proposition2}
-Soit $A$ une $k$-algèbre et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Soit $A$ une $k$-algèbre et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est réduit ;
-\item l'anneau $A_Ω$ est réduit ;
-%\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A → Ω$.
+\item l'anneau $A_Ω$ est réduit ;
+%\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A → Ω$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
-(ii) ⇒ (i). Soit $k ′ \bo k$ une extension finie et soit $σ: k ′ ↪ Ω$ un
-$k$-plongement. Le morphisme $A_{k ′} → A_Ω$ déduit de $σ$ est une
+(ii) ⇒ (i). Soit $k ′ \bo k$ une extension finie et soit $σ: k ′ ↪ Ω$ un
+$k$-plongement. Le morphisme $A_{k ′} → A_Ω$ déduit de $σ$ est une
injection (cf. \ref{changement de base k-algèbre}). On utilise alors
le fait qu'un sous-anneau d'un anneau réduit est réduit.
-(i) ⇒ (ii). Soit $x ∈ A_Ω$. Décomposant $x$ en somme de tenseurs
+(i) ⇒ (ii). Soit $x ∈ A_Ω$. Décomposant $x$ en somme de tenseurs
purs, $x=∑_1^n a_i ⊗ λ_i$, on constate que cet élément
-appartient à l'image de $A_{k ′}$ dans $A_Ω$, où
-$k ′=k(λ₁,…,λ_n)$ est une sous-extension de $Ω$,
-finie sur $k$ (\ref{multiplicativité degré}). Si $x$ est nilpotent dans $A_Ω$,
+appartient à l'image de $A_{k ′}$ dans $A_Ω$, où
+$k ′=k(λ₁,…,λ_n)$ est une sous-extension de $Ω$,
+finie sur $k$ (\ref{multiplicativité degré}). Si $x$ est nilpotent dans $A_Ω$,
il l'est dans $A_{k ′}$. Ceci suffit pour conclure.
% cf. Grothendieck projet pour Bourbaki, p. 18.
\end{démo}
@@ -1844,11 +1844,11 @@ une unité de $k_f$ (cf. \ref{critère différentiel de séparabilité polynôm
de sorte que l'égalité $f'(x)d(x)=0$ entraîne $d(x)=0$.
Ainsi, pour tout $g∈k[X]$, $d(g(x))=g'(x)d(x)=0$ de sorte que $d=0$. CQFD.
Réciproquement, supposons $k_f$ formellement net sur $k$ ; il
-en est donc de même de $Ω_f$ où $Ω$ est une clôture algébrique
-de $k$. Supposons par l'absurde que $f$ ne soit pas à racines simples dans $Ω$,
-de sorte que $Ω_f$ se surjecte (non canoniquement) sur la $Ω$-algèbre $Ω[ε]=Ω[X]/(X²)$.
-Or, d'après \ref{quotient formellement net=formellement net}, $Ω[ε]$ serait
-alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas nets}).
+en est donc de même de $Ω_f$ où $Ω$ est une clôture algébrique
+de $k$. Supposons par l'absurde que $f$ ne soit pas à racines simples dans $Ω$,
+de sorte que $Ω_f$ se surjecte (non canoniquement) sur la $Ω$-algèbre $Ω[ε]=Ω[X]/(X²)$.
+Or, d'après \ref{quotient formellement net=formellement net}, $Ω[ε]$ serait
+alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas nets}).
\end{démo}
\begin{corollaire2}\label{mono geom red ssi f-nette}
@@ -1926,7 +1926,7 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ;
\item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme
$A ⥲ A^{\vee}$ ;
-\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
+\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -1943,12 +1943,12 @@ On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale.
\begin{définition2}\label{degre separable}
On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre
-finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
+finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
\end{définition2}
-Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
-du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
+Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
+du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
est étale si et seulement si $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
@@ -1975,8 +1975,8 @@ On conclut par \ref{colim-nettes}. (iii)⇒(ii) :
cf. \ref{cb-nets} (réduction au cas d'un corps algébriquement clos) et \ref{net-implique-reduit}.
Démontrons enfin l'équivalence de (v) avec (i)-(iv). La condition (v) est invariante par extension
des scalaires : l'application $k$-linéaire $A→A^{\vee}$ déduite
-de la trace $\Tr_{A\bo k}$ induit, par extension des scalaires de $k$ à $Ω$,
-l'application $Ω$-linéaire $A_Ω→A_Ω^{\vee}$ déduit de la trace $\Tr_{A_Ω/Ω}$ (cf.
+de la trace $\Tr_{A\bo k}$ induit, par extension des scalaires de $k$ à $Ω$,
+l'application $Ω$-linéaire $A_Ω→A_Ω^{\vee}$ déduit de la trace $\Tr_{A_Ω/Ω}$ (cf.
\ref{cb-trace}) ; cette correspondance préserve les isomorphismes
de sorte que l'on peut supposer $k$ algébriquement clos. Faisons dorénavant
cette hypothèse.
@@ -2024,7 +2024,7 @@ algèbre étale, il résulte de \ref{composes-nets} et du théorème précédent
Stabilité par :
\begin{enumerate}
\item quotient : si une $B$ est un quotient
-d'une $k$-algèbre $A$, le morphisme induit $A_Ω → B_Ω$
+d'une $k$-algèbre $A$, le morphisme induit $A_Ω → B_Ω$
est également surjectif, comme il résulte immédiatement
de la définition \ref{définition restreinte produit tensoriel}.
La stabilité résulte de \ref{quotient diagonalisable}
@@ -2033,7 +2033,7 @@ et du critère (i) du théorème ci-dessus.
\item sous-objet : cf. \ref{sous algebre geometriquement reduite} et
critère (ii) ou bien \ref{sous-quotient-diag=diag} (ii) et critère (i).
\item produit tensoriel : si $A$ et $B$ sont deux $k$-algèbres,
-la $Ω$-algèbre $(A⊗_k B)⊗_k Ω$ est isomorphe à $A_Ω⊗_Ω B_Ω$.
+la $Ω$-algèbre $(A⊗_k B)⊗_k Ω$ est isomorphe à $A_Ω⊗_Ω B_Ω$.
(Ceci peut se voir par exemple sur les constantes de structure
de ces algèbres, relativement aux bases introduites
en \ref{constantes structure produit tensoriel} et
@@ -2172,28 +2172,28 @@ De façon équivalente, cela revient à supposer que tout polynôme
\emph{séparable} à coefficient dans $K$ est scindé.
\begin{proposition2}
-Soient $k$ un corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
-L'ensemble $Ω₀$ des éléments de $Ω$ séparables sur $k$ est
+Soient $k$ un corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+L'ensemble $Ω₀$ des éléments de $Ω$ séparables sur $k$ est
un corps séparablement clos. De plus, c'est le seul
-sous-corps séparablement clos de $Ω$ contenant $k$.
+sous-corps séparablement clos de $Ω$ contenant $k$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
D'après \ref{extension-algebrique-separable-maximale}, on sait que
-$Ω₀$ est un corps contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$.
-Si $z∈Ω$ est séparable sur $Ω₀$, il est séparable sur une sous-$k$-extension
-\emph{étale} $k'$ de $Ω₀$, par exemple le corps
+$Ω₀$ est un corps contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$.
+Si $z∈Ω$ est séparable sur $Ω₀$, il est séparable sur une sous-$k$-extension
+\emph{étale} $k'$ de $Ω₀$, par exemple le corps
engendré sur $k$ par les coefficients du polynôme
-$μ_{z,Ω₀}$. Les extensions $k'\bo k$ et $k'(z)\bo k'$
+$μ_{z,Ω₀}$. Les extensions $k'\bo k$ et $k'(z)\bo k'$
étant étales, il en est de même de l'extension
$k'(z)\bo k$ (\ref{etale stable par sous-quotient etc.}, transitivité).
-Ainsi, $z∈k'(z)$ est séparable sur $k$ donc $z∈Ω₀$.
+Ainsi, $z∈k'(z)$ est séparable sur $k$ donc $z∈Ω₀$.
Ceci achève la démonstration du premier point.
-Enfin, si $Ω₀'$ est un sous-corps séparablement clos
-de $Ω$ contenant $k$, il contient tous les éléments séparables
-sur $k$, donc $Ω₀$. L'extension $Ω₀'\bo Ω₀$ étant algébrique
+Enfin, si $Ω₀'$ est un sous-corps séparablement clos
+de $Ω$ contenant $k$, il contient tous les éléments séparables
+sur $k$, donc $Ω₀$. L'extension $Ω₀'\bo Ω₀$ étant algébrique
séparable (\ref{sous-extension-etale}),
-on a donc $Ω₀'=Ω₀$.
+on a donc $Ω₀'=Ω₀$.
\end{démo}
\begin{definition2}
@@ -2211,15 +2211,15 @@ séparables d'un corps $k$ sont $k$-isomorphes.
Existence. Elle résulte de la proposition précédente
et du théorème de Steinitz.
Unicité. Soient $K$ et $K'$ deux clôtures
-séparables d'un corps $k$. Si $Ω$ est une clôture
+séparables d'un corps $k$. Si $Ω$ est une clôture
algébrique de $k$, il existe des $k$-plongements
-$u$ et $v$ de $K$ et $K'$ dans $Ω$ car ces extensions
+$u$ et $v$ de $K$ et $K'$ dans $Ω$ car ces extensions
sont algébriques (lemme de prolongement
des plongements, \ref{plongement-dans-cloture-algebrique}).
-D'autre part, leurs images dans $Ω$ sont séparablement closes et contiennent $k$ :
+D'autre part, leurs images dans $Ω$ sont séparablement closes et contiennent $k$ :
elles coïncident donc avec l'unique clôture séparable
-$Ω₀$ de $k$ dans $Ω$. L'existence de $k$-isomorphismes
-$u:K ⥲ Ω₀$ et $v:K' ⥲ Ω₀$ permet de conclure.
+$Ω₀$ de $k$ dans $Ω$. L'existence de $k$-isomorphismes
+$u:K ⥲ Ω₀$ et $v:K' ⥲ Ω₀$ permet de conclure.
\end{démo}
\begin{remarque2}
@@ -2239,8 +2239,8 @@ et $k\sep$ une clôture séparable.
Cette notation, quoique commode, tend à faire
oublier qu'un \emph{choix} qui a été fait.
Pour cette raison, nous noterons aussi souvent
-$Ω$ l'un ou l'autre de tels sur-corps, en précisant
-à chaque fois l'hypothèse faite sur $Ω$.
+$Ω$ l'un ou l'autre de tels sur-corps, en précisant
+à chaque fois l'hypothèse faite sur $Ω$.
\end{convention2}
\subsection{Corps parfait}
@@ -2272,8 +2272,8 @@ sont parfaits.
(i)⇒(ii). On peut supposer $p>1$, c'est-à-dire $k$ de caractéristique non nulle
sans quoi il n'y a rien à démontrer. Supposons par l'absurde qu'il existe un élément $a∈k-k^p$.
Le polynôme $f=X^p-a$ est alors irréductible sur $k$ :
-si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $p$-ième de $a$ dans $Ω$,
-on a $f=(X-α)^p$ dans $Ω[X]$. Ses diviseurs unitaires dans $k[X]$ sont donc de la forme
+si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $p$-ième de $a$ dans $Ω$,
+on a $f=(X-α)^p$ dans $Ω[X]$. Ses diviseurs unitaires dans $k[X]$ sont donc de la forme
$(X-α)^i$ pour un entier $i$ convenable. Le coefficient sous-dominant,
c'est-à-dire le coefficient de $X^{i-1}$, d'un tel polynôme est égal à $-iα$,
qui n'appartient à $k$ que pour $i=0$ et $i=p$. Ce démontre que $f$ est
@@ -2298,7 +2298,7 @@ une extension algébrique. Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item toute sous-extension séparable $k'\bo k$ de $K\bo k$ est triviale.
\item pour tout $x∈K$, il existe un entier $e≥1$ tel que $x^{p^e}∈k$.
-\item pour toute clôture algébrique $Ω$ de $k$, l'ensemble $\Hom_k(K,Ω)$
+\item pour toute clôture algébrique $Ω$ de $k$, l'ensemble $\Hom_k(K,Ω)$
est un singleton.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -2332,17 +2332,17 @@ $K[X]$ montre que $μ$ est une puissance $X-x$ appartenant à $k[X]$. En
conséquence, le polynôme $μ$ n'est à racines simples dans $K$ — condition qui est nécessaire
à sa séparabilité — que s'il est égal à $X-x$, c'est-à-dire si $x$ appartient
à $k$. CQFD.
-(ii) ⇒ (iii). On sait qu'il existe au moins un $k$-morphisme de $K$ dans $Ω$.
-Montrons qu'il est unique. Soit $x$ un élément de $K$ et soit $ι:K ↪ Ω$ un $k$-plongement.
+(ii) ⇒ (iii). On sait qu'il existe au moins un $k$-morphisme de $K$ dans $Ω$.
+Montrons qu'il est unique. Soit $x$ un élément de $K$ et soit $ι:K ↪ Ω$ un $k$-plongement.
L'image de $x$ par $ι$ est l'unique racine $p^e$-ième de l'élément $x^{p^e}$
-de $k$ dans $Ω$. L'unicité en résulte.
+de $k$ dans $Ω$. L'unicité en résulte.
(iii) ⇒ (i). Supposons par l'absurde qu'il existe une sous-extension étale $k ′\bo k$ de $K\bo k$
-et fixons une clôture algébrique $Ω$ de $k$. L'égalité entre le cardinal
-de $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ et la dimension $[k ′ : k]$ montre
-que l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ n'est pas réduit à un
+et fixons une clôture algébrique $Ω$ de $k$. L'égalité entre le cardinal
+de $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ et la dimension $[k ′ : k]$ montre
+que l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ n'est pas réduit à un
singleton. D'après le lemme de prolongement des plongements,
-l'application de restriction $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω) → \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$
-est surjective. En particulier $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω)$ n'est pas un
+l'application de restriction $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω) → \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$
+est surjective. En particulier $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω)$ n'est pas un
singleton. Contradiction.
\end{démo}
@@ -2375,9 +2375,9 @@ des sous-$k$-algèbres de $A$ est \emph{fini}.
\begin{démo}
Il résulte du lemme ci-dessous, appliqué à une clôture algébrique
-$Ω$ de $k$, que si $B$ et $B'$ sont deux sous-$k$-algèbres
-de $A$ dont les images respectives $B_Ω$ et $B'_Ω$ dans $A_Ω$ coïncident, alors $B=B'$.
-(Rappelons que les applications $B_Ω→A_Ω$ et $B'_Ω→A_Ω$ sont injectives, cf.
+$Ω$ de $k$, que si $B$ et $B'$ sont deux sous-$k$-algèbres
+de $A$ dont les images respectives $B_Ω$ et $B'_Ω$ dans $A_Ω$ coïncident, alors $B=B'$.
+(Rappelons que les applications $B_Ω→A_Ω$ et $B'_Ω→A_Ω$ sont injectives, cf.
\ref{changement de base k-algèbre}.)
On peut alors utiliser \ref{sous-quotient-diag=diag} (ii).
\end{démo}
@@ -2412,14 +2412,14 @@ En d'autres termes, $w'$ appartient à $W$. CQFD.
%\begin{facultatif}
\begin{remarque2}On peut obtenir une seconde
-démonstration de l'implication « $B_Ω=B'_Ω$ entraîne $B=B'$ »
+démonstration de l'implication « $B_Ω=B'_Ω$ entraîne $B=B'$ »
utilisée ci-dessus de la façon suivante.
Quitte à considérer la sous-$k$-algèbre de $A$ engendrée par $B$ et $B'$,
on peut supposer que l'on a une inclusion $B⊆B'$. (On suppose
-bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte
+bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte
immédiatement de la définition donnée en \ref{section définition restreinte
-produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$
-est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}).
+produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$
+est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}).
Il est donc nul si et seulement si $B'/B$ l'est, c'est-à-dire si $B=B'$.
\end{remarque2}
%\end{facultatif}
@@ -2517,8 +2517,8 @@ d'une grande souplesse et s'avère être un guide utile pour l'étude générale
des anneaux commutatifs. Depuis Alexandre Grothendieck, la propriété « $A\bo k$ est
étale » est vue comme un analogue algébrique de la propriété
topologique d'être un \emph{revêtement} :
-dans un cas une algèbre $A$ contenant $k$ devient, en tensorisant avec $Ω$, une somme directe
-de copies de $Ω$ ; dans l'autre, un espace topologique $X$ au-dessus de $Y$
+dans un cas une algèbre $A$ contenant $k$ devient, en tensorisant avec $Ω$, une somme directe
+de copies de $Ω$ ; dans l'autre, un espace topologique $X$ au-dessus de $Y$
devient, en se restreignant à un ouvert $V$ de $Y$ suffisamment petit,
une union disjointe de copies de $V$.
@@ -2664,7 +2664,7 @@ tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que
est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de
$k$.)
% OPS $k$ parfait. Soit $f$ polynôme à coefficients dans $k$, $R$ ses racines
-% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
+% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$.
% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$.
\end{exercice2}
@@ -2682,8 +2682,8 @@ nul.)
\end{exercice2}
\begin{exercice2}
-Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
-À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
+Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles.
\end{exercice2}
diff --git a/chapitres/groupes-permutations.tex b/chapitres/groupes-permutations.tex
index 029d099..9ce5693 100644
--- a/chapitres/groupes-permutations.tex
+++ b/chapitres/groupes-permutations.tex
@@ -1330,8 +1330,8 @@ de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$.
\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre}
Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme
-irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et
-$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois
+irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et
+$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois
$G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de
$𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part,
il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est
@@ -1378,8 +1378,8 @@ Le théorème suivant est une généralisation de la proposition
\ref{Gal(deg 3)=cyclique}.
\begin{théorème}
-Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$
-un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et
+Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$
+un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et
$G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant.
\begin{enumerate}
\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
@@ -1424,7 +1424,7 @@ $\{X₁X₃+X₂X₄,X₁X₂+X₃X₄,X₁X₄+X₂X₃\}$ de
$𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ et, \emph{a fortiori},
sur le sous-ensemble (à trois éléments
par séparabilité de $g$) $\{x₁x₃+x₂x₄,x₁x₂+x₃x₄,x₁x₄+x₂x₃\}$
-de $Ω$. Le polynôme $g$ n'a donc pas de racine dans $k$.
+de $Ω$. Le polynôme $g$ n'a donc pas de racine dans $k$.
\end{démo}
Pour un complément, cf. \cite{Generic@JLY}, th. 2.2.3.
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 7879305..7cdc8dd 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -966,7 +966,7 @@ Soit $K$ un corps local.
premier ou $p=∞$) est l'adhérence de $𝐐$ dans $K$, le
caractère additif $𝐞_{K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
-résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
+résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
le caractère additif $𝐞_{K,ω}: x ↦ ψ_{𝐅_p}(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
— où $\Res$ est le résidu défini en \refext{AVD-D}{résidu
forme différentielle formelle} — est non trivial.
@@ -978,7 +978,7 @@ forme différentielle formelle} — est non trivial.
trace $\Tr_{K\bo 𝐐_p}$ est surjective. Le caractère $𝐞_p$
étant non trivial, il en est de même de $𝐞_{K}$.
(ii). Même argument, joint au fait (\refext{AVD-D}{non nullité du résidu}) que
-l'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
+l'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
\end{démo}
On observe ici une différence fondamentale entre la caractéristique
@@ -2490,8 +2490,8 @@ complets $𝒪_{L,v}=\{f ∈ L_v: |f|_v ≤ 1\}$, pour $v ∈ V$.
Or, si $f ∈ L$ est entier sur $A$, il est entier sur chaque sur-anneau $𝒪_{K,u}$, $u ∈ U$,
donc contenu pour chaque $v↦ u$ dans l'anneau normal $𝒪_{L,v}$ de corps des
fractions $L_v$ contenant $L$. Ainsi $B′$ est contenu dans $B$.
-Réciproquement si $Ω$ est une clôture algébrique de $L$
-et $G=\Aut(Ω \bo K)$, un élément $b ∈ B$
+Réciproquement si $Ω$ est une clôture algébrique de $L$
+et $G=\Aut(Ω \bo K)$, un élément $b ∈ B$
est racine d'un polynôme $P=(∏_{β ∈ G ⋅ b} (X-β))^{p^e}$
à coefficients dans $K$, où $p$ désigne une puissance
de l'exposant caractéristique de $K$, et $e$ un entier
@@ -3914,7 +3914,7 @@ $K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}).
On peut montrer que si $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
et $ω$ une forme différentielle non nulle,
pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_{K,x})=\{1\}$.
-De plus, on peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
+De plus, on peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
% cf. Tate, cours à Harvard.
\end{remarque2}
diff --git a/chapitres/omega.tex b/chapitres/omega.tex
index 872bd10..41fed71 100644
--- a/chapitres/omega.tex
+++ b/chapitres/omega.tex
@@ -50,7 +50,7 @@ Différentielles
\begin{théorème2}
\XXX
Une extension $K\bo k$ est algébrique séparable
-si et seulement si $Ω¹_{K\bo k}=0$.
+si et seulement si $Ω¹_{K\bo k}=0$.
\end{théorème2}
diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex
index 00a3181..298787a 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -252,9 +252,9 @@ que son discriminant est un carré de sorte que $G_f≃𝔄₃≃𝐙/3$.
un groupe
de Galois cyclique}
Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b∈k[X]$ un polynôme
-irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable de
+irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable de
$k$ et
-$R=\{x₁,x₂,x₃\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de
+$R=\{x₁,x₂,x₃\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de
Galois $G$ de $f$
correspondant est naturellement un sous-groupe de $𝔖_R$
agissant transitivement sur $R$
@@ -472,7 +472,7 @@ l'énoncé.
\begin{proposition2}\label{extensions quadratiques sont obtenues par torsion}
Soient $k$ un corps de caractéristique différente de deux,
-$K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$ et $Ω$
+$K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$ et $Ω$
une clôture séparable de $K$.
Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ :
\[
@@ -480,14 +480,14 @@ Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ :
\]
où $E ↠ G$ n'a pas de section.
Soient $L₁=K(\sqrt{y₁})\bo K$ et $L₂=K(\sqrt{y₂})\bo K$
-deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$
+deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$
soient galoisiennes de groupe isomorphe à $E$.
Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(\sqrt{λ y₁})$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
Supposons $L₁≠L₂$ sans quoi il n'y a rien à démontrer.
-Le sous-corps $L₁ ∩ L₂$ de $Ω$ est donc $K$ de sorte
+Le sous-corps $L₁ ∩ L₂$ de $Ω$ est donc $K$ de sorte
que le morphisme
\[\Gal(L₁L₂\bo k) → \Gal(L₁\bo k) ×_{\Gal(K\bo k)} \Gal(L₂\bo k)\]
est un isomorphisme (\refext{CG}{fonctorialite-finie-galois}) :
@@ -842,29 +842,29 @@ Compte tenu de ce qui précède, il est naturel de considérer
m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄}).
\]
Par construction $σ_μ(m_P)=g_μ⋅m_P$ pour tout $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$.
-Soit $Ω$ une clôture séparable de $k_{V₄}$ et soit $q¹_P$
-un relèvement de $m_P$ dans $𝐇^{N=1}(Ω)$ (cf. \refext{Azu}{quaternions et SO3}).
+Soit $Ω$ une clôture séparable de $k_{V₄}$ et soit $q¹_P$
+un relèvement de $m_P$ dans $𝐇^{N=1}(Ω)$ (cf. \refext{Azu}{quaternions et SO3}).
Un tel élément est bien défini à multiplication par $±1$ près,
comme il résulte de la suite exacte
\[
-1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω) → 1.
+1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω) → 1.
\]
-(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω))=Ω^×$ et
-que $N(λ)=λ²$ si $λ∈Ω⋅1⊆ 𝐇(Ω)$.)
-L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\mathrm{SO}₃(Ω)$
+(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω))=Ω^×$ et
+que $N(λ)=λ²$ si $λ∈Ω⋅1⊆ 𝐇(Ω)$.)
+L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\mathrm{SO}₃(Ω)$
n'est autre que l'orbite $\Gal(k_{V₄}\bo k)⋅m_q$.
D'après ce qui précède, cette dernière est de cardinal $4$ et l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$
se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\mathrm{SO}₃(𝐙)$
et, plus précisément, à son sous-groupe diagonal, isomorphe à $V₄$.
-Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω)$
-étant en bijection avec $μ₂(𝐙)=\{±1\}$, de cardinal $2$, il en résulte que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$
+Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω)$
+étant en bijection avec $μ₂(𝐙)=\{±1\}$, de cardinal $2$, il en résulte que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$
sur $q_P¹$ se fait par multiplication à gauche par des éléments d'un sous-groupe de $𝐇^{N=1}(𝐙)=𝐇^×(𝐙)$
qui se surjecte sur $𝐇^×(𝐙)/\{±1\}≃V₄$. Un tel sous-groupe est égal à $𝐇^×(𝐙)$, par exemple parce que l'extension
$1 → \{±1\} → 𝐇^×(𝐙) → 𝐇^×(𝐙)/\{±1\} → 1$ n'est pas scindée.
-On a donc montré que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$ sur $q¹_P∈ 𝐇^{N=1}(Ω)$
-induit une surjection $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$ prolongeant
+On a donc montré que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$ sur $q¹_P∈ 𝐇^{N=1}(Ω)$
+induit une surjection $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$ prolongeant
l'isomorphisme $\Gal(k_{V₄}\bo k) ⥲ V₄≃𝐇^×(𝐙)/\{±1\}$ de \ref{notations Witt non 2}.
-Le corps invariant par le noyau de $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$
+Le corps invariant par le noyau de $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$
définit une extension $k_{Q₈}\bo k$ du type cherché.
Ceci achève la démonstration de l'implication (ii)⇒(i).