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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-01 18:55:35 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-01 18:55:35 +0100 |
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[AC,AVD-D,RT] toudous
-rw-r--r-- | chapitres/AC.tex | 1 | ||||
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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex index 776302d..1bd32bf 100644 --- a/chapitres/AC.tex +++ b/chapitres/AC.tex @@ -1240,6 +1240,7 @@ Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens. \begin{définition2} +\label{définition fonction zêta Hasse} \XXX $A$ $𝐙$-algèbre de type fini. \[ diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex index f591e1d..8e2750e 100644 --- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -227,6 +227,16 @@ d'Archimède dans lequel il introduit un système pour nommer les grands nombres \subsubsection{}Définir $Σ(K)$ (ensemble des classes d'équivalences de valeurs absolues). Fonctorialité. +\begin{proposition2} +\label{fonctorialité valeurs absolues} +Soit $K\bo k$ une extension. +Le morphisme de restriction $Σ(K) → Σ(k)$ est +\emph{surjectif}. Si l'extension est finie, +le cardinal des fibres est majoré par $[K:k]_{\sep}$. +\end{proposition2} + +%ZS, tome 2, p. 29 par exemple. + \begin{théorème2} \XXX Le théorème d'approximation=th. restes chinois pour valeurs absolues. diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex index 37ef526..7284426 100644 --- a/chapitres/RT.tex +++ b/chapitres/RT.tex @@ -36,11 +36,31 @@ \section{Degré de transcendance} + +\begin{proposition2} +Une extension est de type fini si et seulement si +elle est finie sur une extension transcendante +pure « finie ». +\end{proposition2} + +\begin{corollaire2} +\label{finitude clôture algébrique dans tf} +Soit $K \bo k$ une extension de type fini. +La clôture algébrique de $k$ dans $K$ est finie +sur $k$. +\end{corollaire2} + +\begin{corollaire2} +\label{sous-extension de tf est tf} +Toute sous-extension d'une extension de type fini est +de type fini. +\end{corollaire2} + +% cf. p. ex A.VI.§16.nº7. + \section{Extensions radicielles. $p$-bases} -\section{Extensions séparables} -\section{Extension régulières, linéairement disjointes} -\subsection{Extensions linéairement disjointes (facultatif)} +\subsection{Extensions linéairement disjointes} La démonstration de \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii), et particulièrement le lemme \ref{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}, motivent la définition suivante (voir aussi @@ -244,7 +264,7 @@ D'après le critère précédent, il suffit en effet de vérifier que le produit tensoriel $⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i]$ est intègre. dans le cas particulier où $I$ est fini. Ceci résulte de l'existence d'un isomorphisme (donné par le produit des polynômes) -$⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i]\iso k[X_α,\,α∈\coprod_{i∈I} A_i]$ (\ref{produit +$⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i] ⥲ k[X_α,\,α∈\coprod_{i∈I} A_i]$ (\ref{produit tensoriel d'anneaux de polynômes}). (On vérifie sans peine que l'application produit induit un isomorphisme même si $I$ est infini.) @@ -391,6 +411,20 @@ A_i)$. +\section{Extensions séparables} + +\begin{théorème2} +\label{critère de MacLane} +$L \bo K$ est séparable si et seulement si elle +est linéairement disjointe de $K^{p^{-∞}}$ sur $K$. +\end{théorème2} + +\begin{corollaire2} +\label{extension corps parfait est séparable} +Toute extension d'un corps \emph{parfait} est séparable. +\end{corollaire2} + + \section{Théorème de Lüroth} |