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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2014-02-06 08:38:40 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2014-02-06 08:38:40 (GMT)
commit7e7879a7e9aa76938a6d99a10d6dfad879eebfd9 (patch)
tree90976cad69781dcb7f507a64d0542e527b060de3
parentb6bfc3ffab1e2238d8b079ded693a7764ef4a7dc (diff)
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[radicaux] mini-modification d'un argument
Ça me semble plus clair comme ça : toute flèche 𝐙/p𝐙 → 𝐙/ℓ𝐙 est triviale (si ℓ ≠ p)
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex12
1 files changed, 6 insertions, 6 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index c83b01e..c960f9a 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1780,12 +1780,12 @@ $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient $G_i/G_{i+1}$
soit cyclique d'ordre premier.
Considérons d'abord le plus grand $i$ tel que $C_p \leq G_i$. Le
-groupe $G_i/G_{i+1}$ est nécessairement d'ordre $p$ : s'il était d'un
-ordre $\ell \neq p$, alors en notant $\tau$ le générateur $t \mapsto
-t+1$ de $C_p$, on aurait $\tau^\ell$ trivial modulo $G_{i+1}$
-c'est-à-dire $\tau^\ell \in G_{i+1}$ et comme $\tau^\ell$
-engendre $C_p$ on aurait encore $C_p \leq G_{i+1}$, ce qui contredit
-la maximalité de $i$. Montrons maintenant que $i=r-1$ c'est-à-dire
+groupe $G_i/G_{i+1}$ est nécessairement d'ordre $p$ car,
+dans le cas contraire, le morphisme composé $C_p ↪ G_i ↠
+G_i/G_{i+1} ≃ C_ℓ$ ($ℓ ≠ p$) serait trivial, et par
+conséquent $C_p$ serait un sous-groupe de $G_{i+1}$,
+ce qui est contraire à l'hypothèse de maximalité de $i$.
+Montrons maintenant que $i=r-1$ c'est-à-dire
que $G_{i+1}$ est trivial : si ce n'était pas le cas, il existerait un
$\gamma \in G_{i+1}$ différent de l'identité, disons $\gamma(u) = v$
avec $u\neq v$ dans $\FF_p$, alors $\varrho := \tau^{u-v}\gamma$ fixe