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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-23 22:33:46 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-23 22:33:46 +0100
commit7e92a277321053d5e2133c6ecc6c50f4c101ce01 (patch)
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[AVD] énoncé équation fonctionnelle pour ζ locale.
-rw-r--r--chapitres/AVD.tex76
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diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD.tex
index d5b7857..6a3a5b9 100644
--- a/chapitres/AVD.tex
+++ b/chapitres/AVD.tex
@@ -28,6 +28,8 @@
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
+\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont}
+
%\textwidth16cm
%\hoffset-1.5cm
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
@@ -723,7 +725,7 @@ décroissante à l'infini suivante :
\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction
à une ou deux variables réelles et pour toute paire de
polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction
-réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. \XXX
+réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX]
\end{itemize}
Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou
\emph{Bruhat-Schwartz}.
@@ -772,42 +774,54 @@ précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$.
\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$.
-Pour toute mesure de Haar $μ$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
+Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
-ℱ_{ψ,μ}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ.
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
+L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
+qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
+topologique $K$.
+
\begin{remarques2}
Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}.
D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
-alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ}(f)$ comme une
+alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
\end{remarques2}
\begin{proposition2}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
-\item Il existe une constante $c_{ψ,μ}$ telle que
+\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
-ℱ_{ψ,μ} ∘ ℱ_{ψ,μ} = c_{ψ,μ} ⋅ [-1]^*,
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*,
\]
où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
-\item Il existe une unique mesure de Haar $μ_ψ$ telle que
-$c_{ψ,μ_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, on a $μ_ψ(𝒪)=q^{n/2}$
-où $n$ est le niveau de $ψ$.
+\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
+$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique
+mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit
+de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$.
+[signe devant $n$ ? \XXX]
\end{enumerate}
\end{proposition2}
On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
-à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ_ψ}$.
+à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
\begin{démo}
Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
\end{démo}
+\begin{exemple2}
+\XXX
+Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
+Lien avec sommes de Gauß.
+\end{exemple2}
+
\subsection{Théorie multiplicative}
\subsection{Quasi-caractères}
@@ -816,17 +830,52 @@ Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
Conducteur.
\end{définition2}
+$ω_s=| ⋅ |^s$.
+
\begin{proposition2}
Structure des quasi-caractères.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Cf. p. ex. Tate.
+Cf. ex. Tate.
\end{démo}
-\subsubsection{}Soit $μ^×$ une mesure de Haar sur $K^×$.
+\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure
+de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que
+le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un.
+
+\begin{lemme2}
+Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
+\end{lemme2}
+
+Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$
+dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
+\[
+ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}
+\]
+
+\begin{proposition2}
+Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
+Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que,
+pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
+\begin{enumerate}
+\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ;
+\item l'équation fonctionnelle
+\[
+γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
+\]
+est satisfaite.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+\begin{démo}
+Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration
+plus jolie.
+\end{démo}
+\begin{exemples2}
+Exemples de $γ$.
+\end{exemples2}
\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}
@@ -834,7 +883,8 @@ Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti).
\section{Notes}
-Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart}.
+Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ;
+[Colmez, appendice F].
\ifx\danslelivre\undefined