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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 23:20:54 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 23:20:54 (GMT)
commit81ad60a9caf5f2c029e307d92290fc55d5ce3f72 (patch)
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Transformation en LuaTeX : groupes-permutations.tex
-rw-r--r--chapitres/groupes-permutations.tex52
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index 9ce5693..720e041 100644
--- a/chapitres/groupes-permutations.tex
+++ b/chapitres/groupes-permutations.tex
@@ -1,27 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
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-\usepackage{stmaryrd}
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-\usepackage{srcltx}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Notions sur les groupes de permutations}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{exemples-galois}
-
-\title{Notions sur les groupes de permutations}
-
\begin{document}
\maketitle
-\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Notions sur les groupes de permutations}
@@ -1233,12 +1219,12 @@ Alors $G$ contient $𝔄_n$.
Nous ferons usage de la terminologie suivante :
-\begin{dfn2}
+\begin{définition2}
Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant
transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
-$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$
-sont $\vide,X$, et les singletons.
-\end{dfn2}
+$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\varnothing,Y\}$
+sont $\varnothing,X$, et les singletons.
+\end{définition2}
De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de
partition\footnote{En particulier, par définition,
chaque constituant est non vide.}
@@ -1283,13 +1269,13 @@ Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
-remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
+remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \varnothing$, alors $g'(E)=E$.
(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)
\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement
sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.)
-\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
+\item Soit $F'=F\cap g(F)$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui
sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
\end{itemize}
\end{proof}
@@ -1329,15 +1315,17 @@ de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$.
\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre}
+\subsection{\XXX}
+
Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme
irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et
$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois
$G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de
$𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part,
-il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est
+il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité si et seulement si $G$ n'est
contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$.
-\begin{proposition}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4}
+\begin{proposition2}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4}
\begin{enumerate}
\item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs
des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$
@@ -1346,7 +1334,7 @@ des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$
les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes
à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$.
\end{enumerate}
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
\begin{enumerate}
@@ -1377,16 +1365,16 @@ possibilités sont celles de l'énoncé.
Le théorème suivant est une généralisation de la proposition
\ref{Gal(deg 3)=cyclique}.
-\begin{théorème}
+\begin{théorème2}
Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$
un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et
$G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant.
\begin{enumerate}
-\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
+\item $G⊆𝔄_R$ si et seulement si $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
$Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ;
-\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine \ssi
+\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine si et seulement si
$f$ a une racine dans $k$ ;
-\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ \ssi la \emph{résolvante
+\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ si et seulement si la \emph{résolvante
cubique}
\[
g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)=
@@ -1396,7 +1384,7 @@ a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal
au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les
pseudo-discriminants coïncident également.
\end{enumerate}
-\end{théorème}
+\end{théorème2}
\begin{démo}