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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-02 11:53:18 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-02 11:53:18 +0100
commit85c1b46323cd24a1d7c882283e3bd6ffd4a76f49 (patch)
tree574d55ab46cd4ccd2e3e868c22ebb65fb5127ef4
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[Fin] ajout exercice sur Φ₈
Déjà explicitement quelque part ?
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex20
1 files changed, 20 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 19d2373..6fccc61 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -530,6 +530,22 @@ X(X+1)\penalty-100 (X^2+X+1)\penalty-100 (X^4+X+1)\penalty0
(X^4+X^3+1)\penalty-50 (X^4+X^3+X^2+X+1)$.
\end{exemple2}
+\begin{exercice2}
+\label{exercice-Phi8}
+\begin{enumerate}
+\item Vérifier les factorisations dans $𝐂[X]$
+\[
+X^4+1=(X^2+i)(X^2-i)=(X^2-\sqrt{2} X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)=(X^2+i\sqrt{2}X-1)(X^2-i\sqrt{2}-1).
+\]
+\item En déduire que $X^4+1$ est irréductible dans $𝐐[X]$.
+\item Montrer que $X^4+1$ est réductible dans $𝐅_p[X]$ pour tout nombre
+premier $p$. (Indication : on rappelle que l'ensemble des carrés de
+$𝐅_p^×$ est un sous-groupe d'indice $2$ de sorte que $a,b ∈ 𝐅_p$, alors $a$, $b$ ou $ab$
+est un carré dans $𝐅_p$.)
+Voir \ref{existence-p-Phin-irreductible-mod-p} pour un énoncé général.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
\subsubsection{}\label{definition-fonction-de-Moebius} On appelle \emph{fonction de Möbius} la fonction $\mu \colon \NN \to
\ZZ$ définie par $\mu(n) = 0$ si $n$ est multiple du carré d'un entier
autre que $1$ et $\mu(n) = (-1)^t$ si $n = p_1\cdots p_t$ avec
@@ -1523,12 +1539,16 @@ tel que $p \equiv b \pmod{n}$.
On peut alors remarquer :
\begin{proposition2}
+\label{existence-p-Phin-irreductible-mod-p}
Pour tout entier naturel $n$, il existe un nombre premier $p$ (ou, de
façon équivalente, une puissance $q$ d'un nombre premier) tel que
$\Phi_n$ soit irréductible dans $\FF_p$ (resp., dans $\FF_q$) si, et
seulement si, $n$ vaut $2$, $4$, $\ell^k$ ou $2\ell^k$ pour $\ell$
premier impair.
\end{proposition2}
+
+(Le cas $n=8$ a été considéré dans l'exercice \ref{exercice-Phi8}.)
+
\begin{proof}
Démontrons le « si » : si $n$ est d'une des formes indiquées, alors
$(\ZZ/n\ZZ)^\times$ est cyclique, donc il existe un élément $g \in